人教A版数学高二选修2-2 第二章《推理与证明》复习导学案

7.已知f (x )=x

2 008

+ax

2 007

-009

2x

b

-8,f (-1)=10,则f (1)= .答案 -24

8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比

EB AE =BC

AC

，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中（如图所示），而DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，

则得到的类比的结论是 . 答案

EB AE =BCD

ACD

S S ∆∆ 例1. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=

++ ； 2

3125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

________________________________________=2

3

（ * ）并给出（ * ）式的证明. 解：一般形式: 2

3)120(sin )60(sin sin 222=++++

ααα

证明：左边 = 2

)

2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 2123

++++-ααα

= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin

α = ]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+--

--= 右边=2

3

（将一般形式写成 222

3sin (60)sin sin (60),2

ααα-+++=

2223

sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。

） 变式训练1：设)()(,cos )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='

1()()n n f x f x +=，n ∈N ，

则=)(2008x f

解：x cos ，由归纳推理可知其周期是4

例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.2

22b a c += 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

解：2

4232221S S S S =++。

典型例题

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 . 答案 2

2.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.

①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2

+y 2

=r 2

的面积πr 2

，猜想出椭圆

2

22

2b y a x +

=1的面积S =πab

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 ② 3.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .答案 (5,7)

§102直接证明与间接证明

【考点要求】1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

【基础知识】

1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法

⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。 框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。框图表示：。

分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。

2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法。

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫反证法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.