2019版数学(理科)精选课件：第二章-函数2.2 函数的基本性质
2019版一轮复习理数通用版第二单元 函数的概念及其性质
第二单元函数的概念及其性质教材复习课“函数”相关基础知识一课过函数的基本概念1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案：B2．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()A．y＝x2x B．y＝(3x2)32C．y＝lg 10x D．y＝2log2x解析：选C A ．y ＝x 2x ＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同，故不是相同的函数；B ．y ＝(3x 2)32＝|x |与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数；C ．y ＝lg 10x ＝x 与y ＝x 的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数；D ．y ＝2log 2x 与y ＝x 的对应关系不相同，故不是相同的函数． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－1解析：选A 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >1，2＋16x ，x ≤1，所以f ⎝⎛⎭⎫14＝2＋1614＝4， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)＝log 124＝－2. 4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.[清易错]1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．1．(2018·合肥八中模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．2．下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根； ②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方． 其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．②③解析：选C 由映射的概念知①中集合B 中有两个元素对应，②中集合A 中的0元素在集合B 中没有对应，③④是映射．故选C.函数定义域的求法 函数y ＝f (x )的定义域1.函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]2．函数y ＝lg(1－2x )＋x ＋3的定义域为________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，x ＋3≥0，求解可得－3≤x <0，所以函数y ＝lg(1－2x )＋x ＋3的定义域为[－3,0)． 答案：[－3,0)[清易错]1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围. 1．(2018·辽宁锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________． 解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lgt ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (x )＝lg x ＋3x －1的定义域为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为________．解析：因为函数f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数f(2x)，0≤2x≤2，即0≤x≤1，又因为8－2x≥0，所以x≤3，所以函数g(x)＝f(2x)＋8－2x的定义域为[0,1]．答案：[0,1]函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值A．y＝2－x B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1 x解析：选B由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.作出函数f (x )的图象如图，则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2018·长春质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，当x 1＋x 2＝1时，不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞)解析：选D 若f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)， 则f (x 1)－f (x 2)>f (1)－f (0)． 又由x 1＋x 2＝1，则有f (x 1)－f (1－x 1)>f (1)－f (0)． 又由函数f (x )为增函数，则不等式f (x 1)＋f (0)>f (x 2)＋f (1)恒成立可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 1>1，1－x 1<0，解得x 1>1.5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：2[清易错]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1 x.1．函数f(x)＝x1－x在()A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝x1－x＝11－x－1，根据函数y＝－1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]函数的奇偶性1．定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．1．下列函数中的偶函数是()A．y＝2x－12x B．y＝x sin xC．y＝e x cos x D．y＝x2＋sin x解析：选B 因为f (－x )＝(－x )si n (－x )＝x sin x ＝f (x )，即函数f (x )是偶函数，故选B. 2．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3x －1，则f (9)＝( )A ．－2B ．2C ．－23D.23解析：选D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ∈[0,2]时，f (x )＝－f (－x )＝－3－x＋1；设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，则f (x －2)＝f (x ＋2)可化为f (t )＝f (t ＋4)，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则f (9)＝f (1)＝23.3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A. 4．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( ) A ．函数f (x )－g (x )是奇函数 B ．函数f (x )·g (x )是奇函数 C ．函数f [g (x )]是奇函数 D ．函数g [f (x )]是奇函数解析：选B 因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数．[清易错]1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断分段函数奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．1．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则( )A ．f (m )<f (1)B ．f (m )>f (1)C ．f (m )＝f (1)D ．f (m )与f (1)大小不能确定解析：选A 由题意可知－3－m ＋m 2－m ＝0， 所以m ＝3或m ＝－1， 又因为函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，所以2－m 是奇数，且2－m >0，所以m ＝－1，则f (x )＝x 3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数， 所以f (m )<f (1)．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 2(－x )，x <0的奇偶性为________．解析：∵x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x <0时，－x >0， f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )． 故f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 答案：偶函数函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．3．重要结论周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的，若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)．则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．4．对称性与周期的关系(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)的值为( )A ．0 B.22C ．1D. 2解析：选B 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x 4π，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，可得f (－5)＝f (1)＝si n π4＝22.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选C 由f (－x )＝－f (x )可得函数f (x )是奇函数，所以f (x ＋1)＝f (1－x )＝－f (x －1)．令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t ＋2)＝－f (t )， 则f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )， 即函数f (x )的最小正周期为4.又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (31)＝f (31－4×8)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.3．(2018·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.解析：∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)， ∴当x ＝－3时， 有f (3)＝f (－3)＋f (3)＝0， ∴f (－3)＝0，f (3)＝0， ∴f (x ＋6)＝f (x )，周期为6. 故f (2 017)＝f (1)＝2. 答案：2[清易错]在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)的使用而致误.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解析：由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3， ∴f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 答案：2.5 一、选择题1．函数f (x )＝lg(x －1)－4－x 的定义域为( ) A ．(－∞，4] B ．(1,2)∪(2,4] C ．(1,4]D ．(2,4]解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4－x ≥0，解得1<x ≤4，所以函数f (x )的定义域为(1,4]．2．(2017·唐山期末)已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3解析：选A ∵f (a )＝a ＋1a －1＝2，∴a ＋1a ＝3.f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 当a ≥0时，f (a )＝a ，由已知得a ＋1＝2，得a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ，由已知得－a ＋1＝2，得a ＝－1，综上，a ＝±1.故选D.4．下列几个命题正确的个数是( )(1)若方程x 2＋(a －3)x ＋a ＝0有一个正根，一个负根，则a <0；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2是偶函数，但不是奇函数； (3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，则f (x 2)的定义域是[0,2]；(4)若曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R )的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B (1)由根与系数的关系可知，(1)正确；(2)函数y ＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}，值域为{0}，显然该函数既是奇函数也是偶函数，(2)错误；(3)函数f (x ＋1)的定义域是[－1,3]，所以0≤x ＋1≤4，则函数f (x )的定义域是[0,4]，对于函数f (x 2)可得0≤x 2≤4，则－2≤x ≤2，即f (x 2)的定义域是[－2,2]，(3)错误；(4)由二次函数的图象，易知曲线y ＝|3－x 2|和直线y ＝a (a ∈R )的公共点个数可能是0,2,3,4，(4)正确．故选B.5．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 函数f (x )的对称轴方程为x ＝－a －13， 由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝l n (x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝l n (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.7．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－12，2 D.⎝⎛⎦⎤－12，2解析：选D 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知y ＝log 13t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －－a 2≤1，g (1)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2. 8．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：选C f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.二、填空题9．f (x )＝a si n x －b log 3(x 2＋1－x )＋1(a ，b ∈R )，若f (lg(log 310))＝5，则f (lg(lg 3))＝________.解析：令g (x )＝a sin x －b log 3(x 2＋1－x )， 因为g (－x )＝－a sin x －b log 3(x 2＋1＋x ) ＝－a sin x －b log 31x 2＋1－x＝－a sin x ＋b log 3(x 2＋1－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，因为lg(log 310)＋lg(lg 3)＝lg1lg 3＋lg(lg 3)＝0，即lg(log 310)与lg(lg 3)互为相反数，f (lg(lg 3))＝g (lg(lg 3))＋1＝－g (lg(log 310))＋1＝－[f (lg(log 310))－1]＋1＝－3.答案：－310．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7，若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为________．解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0，则0≥a ＋1，所以a ≤－1，又设x >0，则－x <0，所以f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎡⎦⎤9(－x )＋a 2－x ＋7＝9x ＋a 2x －7.由基本不等式得9x ＋a 2x －7≥29x ·a 2x －7＝－6a －7，由f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，只需－6a －7≥a ＋1，即a ≤－87，结合a ≤－1，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－87. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－87 11．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．解析：因为f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3＋log 21x ＋x 2＋1＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，易知函数f (x )在R 上是增函数， 因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，所以f (a )≥f (－b )＝－f (b )，即f (a )＋f (b )≥0，反之亦成立， 因此，对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的充要条件． 答案：充要12．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1 ＝2－1. 答案：2－1 三、解答题13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示：14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示． 设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 高考研究课(一)函数的定义域、解析式及分段函数 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 函数的概念 5年1考 函数定义问题分段函数 5年3考分段函数求值及不等式恒成立问题函数的定义域问题[典例] (1)(2018·长沙模拟)函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)(2)若函数f (x )＝22+2-x ax a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] (1)由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，x ＋1>0，即－1<x <2或x >2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.[答案] (1)C (2)[－1,0] [方法技巧]函数定义域问题的3种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． [即时演练]1．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得2<x <3或3<x ≤4，所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．2．已知函数f (2－x )＝4－x 2，则函数f (x )的定义域为( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,16] C ．[0,4]D ．[0,2]解析：选B 由4－x 2≥0可得－2≤x ≤2，令2－x ＝t ，则0≤t ≤4，函数f (2－x )＝4－x 2可化为函数f (t )＝4－(2－t )2，0≤t ≤4，所以函数f (x )满足0≤x ≤4，则0≤x ≤16，即函数f (x )的定义域为[0,16]．函数解析式的求法函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现.知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2018·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)用“待定系数法”解题设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)用“代入法”解题∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)＝－12x 2－12x .(3)用“函数方程法”解题令1x 代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ， 得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1，∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18.[答案] (1)A (2)－12x 2－12x(3)f (x )＝1516x －916x ＋18[方法技巧]求函数解析式的常见方法 待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可换元法已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可构造法已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理构造成只含h (x )的式子，用x 将h (x )替换函数方程法已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫1x ，则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )1．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t (t ≠1)， ∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.2．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 答案：2x ＋7分段函数分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题或中档题.常见的命题角度有： (1)分段函数求值问题；(2)求参数值或自变量的取值范围； (3)研究分段函数的性质.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥1，e x －1，x <1，则f [f (l n 2)]＝________.解析：由题意知，f (l n 2)＝e l n2－1＝1，所以f [f (l n 2)]＝log 22＝1. 答案：1角度二：求参数或自变量的取值范围2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x，x ≤1，log 22x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，log 22x ，x >1，所以f (x )≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，log 22x≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x≤4，即0≤x ≤1或x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1，若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2,2]∪[4，＋∞)C ．[－2,2＋2]D ．[－2,2＋2]∪[4，＋∞)解析：选D 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3.由1－|x |＝－1得，x ＝2或x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1得，x ＝2±2，由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝0或x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞)．角度三：研究分段函数的性质4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x ) 在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 当0<x ≤1时，－1<x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． [方法技巧]分段函数问题的3种类型及求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)研究分段函数的性质可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断． 1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝l n (x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故选D.一、选择题1．(2018·广东模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：选A 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，即f (x )＝21＋x，故选A.2．函数f (x )＝1ln (2x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得－12<x <0或x >0.3．(2018·福建调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析：选D 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B.{}1，4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：选A 由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4，故选A.7．(2018·莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0，2－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，2－x <1，2－x >0⇒32≤x <2.故选B. 8．(2018·武汉调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， ∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝si n (πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1. 故a ＝－22或1. 二、填空题9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]10．已知函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 解析：∵函数y ＝lg(kx 2＋4x ＋k ＋3)的定义域为R ， ∴kx 2＋4x ＋k ＋3>0对任意实数x 恒成立，若k ＝0，不等式化为4x ＋3>0，即x >－34，不合题意；若k ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，16－4k (k ＋3)<0，解得k >1.∴实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)11．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③12．(2016·北京高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 解析：当x ≤a 时，由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.答案：①2 ②(－∞，－1) 三、解答题 13．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.14．水库的储水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50，0<t ≤9，4(t －9)(3t －41)＋50，9<t ≤12.(1)该水库的储水量小于50的时期称为枯水期，问：一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的最大储水量． (取21的值为4.6计算，e 3的值为20计算) 解：(1)当0<t ≤9时，v (t )＝1240(－t 2＋15t －51)e t ＋50<50，即t 2－15t ＋51>0. 解得t >15＋212或t <15－212，从而0<t <15－212≈5.2.当9<t ≤12时，v (t )＝4(t －9)(3t －41)＋50<50， 即(t －9)(3t －41)<0，解得9<t <413，所以9<t ≤12.综上，0<t <5.2或9<t ≤12，故枯水期分别为：1月，2月，3月，4月，5月，10月，11月，12月．(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在6～9月份． v ′(t )＝1240(－t 2＋13t －36)e t ＝－1240e t (t －4)(t －9)， 令v ′(t )＝0，解得t ＝9或t ＝4(舍去)， 又当t ∈(6,9)时，v ′(t )>0，v (t )单调递增； 当t ∈(9,10)时，v ′(t )<0，v (t )单调递减． 所以当t ＝9时，v (t )的最大值v (9)＝1240×3×e 9＋50＝150(亿立方米)， 故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为( )A.n (n ＋1)2B ．22n －1＋2n －1C.(1＋2n )22D ．2n －1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以m ≥1.又因为对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x >1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所以m ＝1. 如图所示，函数g (x )＝f (x )－x 在区间[0,2n](n ∈N *)上的所有零点分别为0,1,2,3， (2)， 所以所有的零点的和等于2n (1＋2n )2＝22n －1＋2n －1.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，则k 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，－13 B.⎝⎛⎭⎫－12，－13 C.⎝⎛⎦⎤－1，－12 D.⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析：选C 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0的图象如图所示．因为直线y ＝k (x －1)(k <0)与函数y ＝f (x )的图象只有三个不同的交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k (0－1)<1，k (－1－1)≥1，解得－1<k ≤－12.高考研究课(二)函数的单调性、奇偶性及周期性 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度函数的单调性 5年4考 利用单调性解不等式、比较大小、求最值函数的奇偶性 5年5考 奇偶性的判断及应用求值函数的周期性 未考查函数的单调性高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.,常见的命题角度有：(1)确定函数的单调性； (2)求函数的值域或最值； (3)比较两个函数值； (4)解函数不等式；(5)利用单调性求参数的取值范围.1．(2018·昆明调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝l n x －xD ．y ＝e x －x解析：选A 对于选项A ，y ＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y ＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B 、C 选项中的函数在(0，＋∞)内的单调性不确定；对于选项D ，y ′＝e x －1>0在(0，＋∞)内恒成立，故y ＝e x －x 在(0，＋∞)上单调递增，故选A.2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5x解析：选A y ＝x2在区间(0，＋∞)上为增函数，A 项符合题意；y ＝(x －1)2在(0,1)上为减函数，y ＝2－x ，y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上都是减函数，故B 、C 、D 选项都不符合题意．3．(2018·广东佛山联考)讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：(定义法) 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x 2－1)－ax (x 2－1)′(x 2－1)2＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝a (－x 2－1)(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.∵a >0，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )<0.∴f (x )在(－1,1)上是减函数． [方法技巧]确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性 导数法先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．角度二：求函数的值域或最值 4．函数y ＝2x 2＋2x 的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[2，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 因为x 2＋2x ≥－1，且y ＝2t 是增函数， 所以y ＝2x 2＋2x ≥12，因此函数y ＝2x 2＋2x 的值域是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.5．(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．解析：f ′(x )＝(x －1)－x (x －1)2＝－1(x －1)2， 当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.答案：2 [方法技巧]利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数法．角度三：比较两个函数值6．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．。
2019高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的基本性质课件1
调性;(5)利用导数研究函数的单调性.
3.复合函数单调性的判断方法:如果y=f(u)和u=g(x)单调性相同,那么y=
f(g(x))是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函
数.
4.一些重要函数的单调性
(1)y=x+ 1 的单调增区间为(-∞,-1]和[1,+∞);单调减区间为(-1,0)和(0,1).
同,则这两个基本初等函数的复合函数为增函数;若两个基本初等函数
的单调性相反,则这两个基本初等函数的复合函数为减函数. 例1 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,7)已知函数f(x)=
(a2
ax2
1)log2 (x 1, x 0
2),
2
x
0,
在(-2,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围
是 ( A )
A.1<a≤ 2 B.1<a≤ 2 或a<- 2
C.a≥ 2
D.a≤- 2
解析
a2 1 0,
当函数f(x)在(-2,+∞)上是增函数时,有a 0, 解得1<a≤ 2 .当
a2 1 1,
a2 1 0,
函数f(x)在(-2,+∞)上是减函数时,有a 0, 无解.综合得1<a≤ 2 .
例如:函数f(x)= 1 在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说
x
f(x)= 1x 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.因为当x1=-1,x2=1时,有f(x1)=-1<
f(x2)=1,不满足减函数的定义. [特别提醒] 求函数单调区间应注意以下几个问题: (1)函数的单调区间是函数定义域的非空子集,求函数的单调区间必须 先确定函数的定义域,求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内 进行. (2)函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,还可以是半开半闭的,对 于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也单
(2019版)高一数学函数的基本性质2
2019版高考数学：§2.2 函数的基本性质
大小关系为 ( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.பைடு நூலகம்<b<a D.c<a<b
答案 C 本题考查函数的奇偶性、单调性及对数函数的性质. ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴a=-f(-log25)=f(log25), 而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上为增函数, ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,故选C.
答案 C 依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)·g(x)], f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错; f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g (x)|=-[f(x)|g(x)|], f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D 错.故选C.
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18
3.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= x B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x
答案 D A、B项中的函数为非奇非偶函数;C项中的函数为偶函数;D项中的函数为奇函数, 故选D.
2019年4月28日
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19
4.(2014重庆,4,5分)下列函数为偶函数的是 ( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x
2019最新高一数学精品课件第二讲二次函数的图像与性质
2019年3月24日星期日
小试牛刀
二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，则在下列各不等式 3 中成立的个数是____________
y
-1
0
1
x
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2019年3月24日星期 日
四、二次函数图像与X轴的交点个数
一、定义
形如y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数， a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
2019年3月24日星期 日
二、对称轴与顶点坐标
b 对称轴： x 2a
b 4ac b ( , ) 顶点坐标： 2a 4a
2
2019年3月24日星期 日
配方：
y ax2 bx c c 2 b a x x a a 2 2 2 b b b c a x 2 x 2 a 2 a 2 a a 2 2 b 4 ac b a x 2a 4a
向下 (-1,4) x=-1 单调增区间为(-∞,-1]， 单调减区间为[-1,+∞) 最 大 值 : 4 (-∞,4] 值 域 2019 年3月24 日星期日: 开口方向: 顶点坐标: 对称轴为: 单调区间:
y
（2）作图
采用描点法
(-1,4)A
4
2 3 2 3 与x轴的交点B 3 ,0 和C 3 ,0
1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 x x ． ∴二次函数的表达式为 ． y x x x x 或 y x x ∴二次函数的表达式为 y 或y 2 2 2 2 2 2 2 2
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
函数的基本性质ppt课件
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的基本性质ppt课件
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
高中数学第二章函数2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调课件苏教必修1
f(2)
f(1)
O
1 2x
用定义证明单调性的步骤：
取值
作差
变形
判断 正负
例2、求证：函数 f (x) 1 1 在区间 x
0， 上是单调增函数．
（1）若把区间改为 ，0 ,结论变化吗 ?
（2）若把函数改为 f (x) a 1 (a 0)，
x
结论变化吗 ?
小结
1.函数单调性的定义 2.判断单调性的重要方法：图像，定义 3.证明单调性的唯一方法：定义 4.数学中重要的数学思想：数形结合
图像在该区间内逐渐上升——当x的值增大时,函数值y也增大； 图像在该区间内逐渐下降——当x的值增大时,函数值y反而减小。
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
y
？ y 1 x
(1) y 1 (x 0);
y
1
x
的单调减区间是_(____,_0_)___(_0__,
)
能不能说x y讨 1论(xx1： 0根)在据定函义数域(单调, 0性) 的(0定, 义)上，
函数的基本性质PPT精品课件
k p= V 例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
点此播放讲课视频
1 探究： y= 画出反比例函数 x 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售 出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1 元，其销售量减少10个，为了赚到最大利 润，售价应定为多少？ 解：设利润为 x 元，每个售价为 x 元，则 每个涨（ x －50）元，从而销售量减少 10( x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 2 ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) 9000 (50 x＜100） ∴ x = 70时 ymax = 9000 ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70 元．
考点二 函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性，应该首先 分析函数的定义域，在分析时，不 要把函数化简，而要根据原来的结 构去求解定义域，如果定义域不关 于原点对称，则一定是非奇非偶函 数．
课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性： 1 2 (1)f(x)＝lgx ＋lg 2； x 1＋x (2)f(x)＝(x－1) ； 1－x x2＋x，x<0 (3)f(x)＝ 2 － x ＋x，x>0； lg(1－x2) (4)f(x)＝ . |x－2|－2
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点 对称．反之，若函数的定义域不关于 原点对称，则该函数无奇偶性．
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A.f(x)g(x)是偶函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)· g(-x)=-f(x)· g(x),所以f(x)g(x)是奇
函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;
+f(2)+f(3)+…+f(50)=
A.-50 B.0 C.2
)
D.50
答案 C 本题主要考查函数的奇偶性和周期性. ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0, f(-x)=-f(x),① 又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),② 由①②得f(2+x)=-f(x),③ 用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x).④ 由③④得f(x)=f(x+4), ∴f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,
思路分析 由f(2)=0及f(x-1)>0得f(x-1)>f(2),结合f(x)为偶函数得f(|x-1|)>f(2),再利用单调性得|x1|<2,解不等式即可. 易错警示 易想当然地认为x-1≥0,进而导致错解.
考点二
函数的奇偶性与周期性
(
1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)
一题多解 利用特例检验法,令f(x)=x,g(x)=x2,以此对各选项分别检验,可知选C.
a x2 )为偶函数,则a= 3.(2015课标Ⅰ,13,5分,0.593)若函数f(x)=xln(x+
.
答案 1
a x2 -x)=xln(x+ a x2 ),则ln(x+ a x2 )+ln( a x2 -x)=0, 解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( a x2 )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1. ∴ln[(
解法二(性质法):因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1. 于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x ≤3.所以x的取值范围是[1,3].
2.(2014课标Ⅱ,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值 范围是 答案 (-1,3) 解析 ∵f(2)=0, f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2), 又∵f(x)是偶函数, ∴f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2, ∴-1<x<3,∴x∈(-1,3). .
1 x x2 1
=xln( x2 1 +x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴a=1.
B组
考点一 函数的单调性
自主命题·省(区、市)卷题组
1 1.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3 - ,则f(x) ( 3
x
x
)
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 答案 A 本题考查指数函数的奇偶性和单调性. 易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
思路分析 利用偶函数的定义:f(x)=f(-x)恒成立,求出a值. 一题多解 由已知得f(1)=f(-1),即ln(1+ a 1 )=-ln(-1+ a 1 ),得ln(1+ a 1 )+ln(-1+ a 1 )=0, 即(1+ a 1 )(-1+ a 1 )=1,解得a=1. 检验:将a=1代入f(x)的解析式,得f(x)=xln(x+ x2 1 ), 则f(-x)=-xln(-x+ x2 1 )=xln
1 f ( x) 1 (3)f(x+a)=- (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. f ( x)
(2)f(x+a)= (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
2.(2014课标Ⅰ,3,5分,0.82)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 结论中正确的是 ( )
对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|= |-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C. 思路分析 利用奇函数、偶函数的定义来判断函数的奇偶性.
高考理数
§2.2 函数的基本性质
五年高考
A组
考点一 函数的单调性
)
统一命题·课标卷题组
1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1 的x的取值范围是( A.[-2,2] C.[0,4] B.[-1,1] D.[1,3]
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
方法总结 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有 (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
答案 D 本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及利用函数性质求解不等式,考查学的 逻辑思维能力和运算求解能力. 解法一(特值法):取f(x)=-x,其满足在(-∞,+∞)单调递减,为奇函数,且f(1)=-1,即满足题设的所有
条件,因为f(x-2)=2-x,所以有-1≤2-x≤1,解得1≤x≤3,故选D.