梯形及其性质

25
B
C ∴ ∠EAD=∠B， ∠EDA=∠C，
图（13）
∴ ∠EAD=∠EDA=60°。
∴ △EAD和△EBC都是等边三角形。
∴ EA=AD=13（cm）,
EB=BC=25（cm）。
∴ AB=EB－EA=25－13=12（cm）。
小结：
1、等腰梯形及其有关概念
2、等腰梯形的性质:
边
角
等腰梯形
两底平行，
A
D
A
D
B 图7
C
B
C
图8
1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等
已知：如图9，在梯形ABCD中，
A
D
AD∥BC，AB=DC。
B
E
图9
求证：∠B=∠C 。
分析：我们学过“等腰三角形两底角相等”，
C
如果能将等腰梯形在同一底上的两个角，转化 成等腰三角形的两个底角，就容易证明了。
证明：过点D作DE∥AB，
练习：已知，如图（13），在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC，∠B=60°，AD=13cm，BC=25cm。求AB的长度。
解：(方法3）
E
延长BA、CD相交于点E，
13
25
A
13
D
12
在梯形ABCD中 ∵ AB=DC， ∴ ∠B=∠C=60°（等腰梯形在同一 底上的两个角相等）。
又∵ AD∥BC，
12
∵ AE∥DF， AD∥BC，
B ∴ AE=DF，EF=AD=13（cm）。
6E
13 25
F6 C
图（13）
又∵AB=DC，
∴ RT△ABE≌ RT△DCF
∴ BE=FC=（BC－EF）／2=（25－13）／2=6（cm )
又∵ ∠B=60°，∠AEB=90°，
∴ ∠BAE=30° 。
∴ AB=2BE=2×6=12（cm）。
交BC于点E，得到△DEC。
研究梯形时，
常常需要添加适当 的辅助线，把梯形 转化成平行四边形 和三角形，此处是 移动一腰，即从梯 形的一个顶点作一 腰的平行线。
∵ AD∥BC，DE∥AB ∴ AB=DE ∵ AB=DC ∴ DE=DC
∴ ∠DEC=∠C ∵ ∠DEC=∠B
∴ ∠B=∠C
1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
A
D
已知：如图9，在梯形ABCD中，
AD∥BC，AB=DC。
BE
F
来自百度文库
图9
C 求证：∠B=∠C 。 证明：（方法2）过A、D分别作AE⊥BC， DF⊥BC ， 垂足分别为E、F
∵ AE∥DF， AD∥BC
这也是研究梯形
时常用的辅助线作法， 即从同一底的两端作 另一底的垂线，它可 把梯形分成一个矩形 和两个直角三角形 （如果是等腰梯形， 所得到的两个直角三 角形全等）。
B G F HC 图2
E
F
图3
（2）、不平行的两边叫梯形的腰。 （3）、两底的距离叫做梯形的高。
3、两种特殊的梯形：
A
DA
D
矩形
B
图4
CB
图5
C
（1）、一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（如图4）。
（2）、两腰相等的梯形叫做等腰梯形（如图5）。
两组对边分别平行
平行四边形
四边形
只有一组对边平行 梯形
有一个角是直角 两腰相等
B
图11 F
C 因此从E作两底的垂线平分两底。 根据等腰三角形是轴对称图形，可
得等腰梯形也是轴对称图形。过两
这也是研究梯形常用的
底中点的直线是它的对称轴。
辅助线作法，即延长梯
形的两腰交于一点，得
到两个三角形（如果是
等腰梯形，则得到两个
分别以梯形两底为底的
等腰三角形）。
3、例题 求证：等腰梯形的两条对角线相等。
直角梯形 等腰梯形
（2）、梯形可以分成哪些图形？有哪些 分法？
二、等腰梯形的性质：
分组讨论、研究：等腰梯形有什么性质？
（提示：可以从边、角、对角线、对称性等方面 进行讨论。）
边
角
对角线
对称性
等腰梯形
两底平行，
同一底上的两 个角相等（同
两腰相等 一腰上的两个
角互补，对角
也互补）
两条对角线 相等
轴对称
A 130°
130° D
B
C
练习2：已知，如图（13），在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC，∠B=60°，AD=13cm，BC=25cm。求AB的长度。
A
12
13 D
解：(方法1）
过点A作AE∥DC，交BC于点E ∵ AD∥BC，AE∥DC ，
B
12
13
E 25
图（13）
C ∴ EC=AD=13（cm）， AE=DC 。
∴ AE=DF 又∵ ∠AEB=∠DFC=90°
AB=DC ∴ RT△ABE≌ RT△DCF（HL） ∴ ∠B=∠C
2、等腰梯形的对称性：
E
等腰梯形为什么是轴对称图形？
它的对称轴是什么？
A
HD
如图11， 延长等腰梯形的两腰 相交于点E，
由∠B=∠C，AD∥BC，可知
△EBC和△EAD都是等腰三角形。
又∵ AB=DC，
∴ AE=AB 。
又 ∠B=60°，
∴ △ABE是等边三角形。
∴ AB=BE=BC－EC=25－13=12 (cm)
练习：已知，如图（13），在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC，∠B=60°，AD=13cm，BC=25cm。求AB的长度。
解：(方法2）
A 13
D
过A、D分别作AE⊥BC， DF⊥BC，垂足分别为E、F 。
4.9 梯形及其性质
4.9 梯形及其性质
两组对边分别平行
四边形 只有一组对边平行
平行四边形 梯形
图1
一 1、梯形的定义： 一组对边平行而另一组对边不平
行的四边形叫做梯形。
梯形
平行四边形
2、梯形的有关概念：
（1）、梯形平行的两边叫做梯形的底（通常 把较短的底叫上底，较长的底叫做下底）。
AE
D
H
G
A
D
已知：如图（12），在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC 。
求证：AC=BD
证明：在梯形ABCD
B
C 图（12）
∵ AB=DC，
∴ ∠ABC=∠DCB（等腰梯形
在同一底上的两个角相等）。
又 BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB （SAS） 。
∴ AC=DB 。
练习1、（口答）已知等腰梯形的一个锐角是50°， 求其他三个角各是多少度。
同一底上的两 个角相等（对
两腰相等 角互补，同一
腰上的两个角
也互补）
A
B
对角线
两条对角线 相等
3、等腰梯形常用的辅助线作法：
（1）、移动一腰。 （2）、从同一底的两端作另一底的垂线。 （3）、延长梯形的两腰交于一点。
D
C
对称性 轴对称
作业：书上P179 A组 2、3、4 基础训练：P30