麦克斯韦速率分布律的一种推导方法

麦克斯韦速率分布律的一种推导方法

安海东

（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）

摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。

关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率

分类号：O552.3+1

One of the Derivation Methods of Maxwell Velocity Distribution Law

An Haidong

(School of physics and information science，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu，

741000)

Abstract: Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quantity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis.

Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule

1引言

麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。

2麦克斯韦速率分布函数的推导

设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N ，以分子速度v 在x ，y ，z 三个方向的分量x v ，y v ，z v 为坐标轴建立直角坐标系，如图1所示，处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，分子速度分量限制在x v ～x v +x dv ，y v ～y v +y dv ，z v ～

z v +z dv 内，即它们的速度矢量的端点都在体积元dw =z y x dv dv dv 内的分子数dN 显然与总分子数N 和速度间隔体积元dw 成正比，即

z y x dv dv dv v NF dN )(2= （1）

（其中2222

z

y

x

v v v v ++=） （1）式中的比例系数为 z

y x dv dv Ndv dN

v F =

)(2 （2）

（2）式即为速度分布函数。

其物理意义是在单位速度间隔dw =z y x dv dv dv 内的分子数占总分子数的比率。速度分布

函数的自变量取2

222z y x v v v v ++=是为了不突出该函数只与速度的大小有关，

与速度的方向无关这一特点。

由于速度分布各向同性，速度的任一分量的分布与其他分量无关， 故可令

)()()()(2z y x v f v f v f v F = （3） 对上式两边同时取对数，得

)(ln )(ln )(ln )(ln 2z y x v f v f v f v F ++= （4）

上式分别对x v ，y v ，z v 求偏导，并注意到2

222z y x v v v v ++=

整理后有：

x x x x dv v df v f v v d v dF v F )

()(121)

()()(12

22= (5.1) y y y y dv v df v f v v d v dF v F )

()(121)

()()(1222=

(5.2) z z z z dv v df v f v v d v dF v F )

()(121)

()()(12

22= (5.3) 上面三个式子左边是完全相同的，因而右边也应该是相等的，但(5.1)式中右边仅与x

v 有关而与y v ，z v 无关，但（5.2）式中右边仅与y v 有关而与x v ，z v 无关，但（5.3）式中右边仅与z v 有关而与x v ，y v 无关，要使它们对任意的x v ，y v ，z v 都成立，则必须同时等于一个与x v ，y v ，z v 均无关的系数λ，即

λ===z z z z y y y y x x x x dv v d v f v dv v df v f v dv v df v f v )

()(121)()(121)()(121 （6）

对上式积分得

2

1)(x v x e

A v f λ= （7.1） 2

2)(y v y e

A v f λ= （7.2）

2

3)(z v z e A v f λ= （7.3） （其中1A ，2A ，3A 均为常数） 将（7.1），（7.2），（7.3）式代入（3）式得

)

(2222)(z y x v v v Ae

v F ++=λ (其中A =1A 2A 3A ) （8）

联系实际，考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故λ应为负值。 令2αλ-=，由归一化条件得

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰+∞

∞

-+∞

∞

--+∞

∞

--+∞

∞

--==1)(2

2

2

22

22

z v y v x v z y x dv e dv e

dv e

A dv dv dv v F z y x α

αα （9）