二次根式专题(培优训练)
部编数学八年级下册二次根式专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优【人教版】含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题16.1专项提升训练(重难点培优)班级:___________________ 姓名:_________________ 得分:_______________注意事项:本试卷满分120分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022秋•南湖区校级期中)要使二次根式有意义,x的值可以是( )A.4B.2C.1D.0【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0,再解即可.【解答】解:要使二次根式有意义,则x﹣3≥0,解得:x≥3,故x的值可以是4.故选:A.2.(2022秋•北碚区校级期中)要使式子有意义,则a的取值范围是( )A.a≠0B.a≥﹣2C.a>﹣2且a≠0D.a≥﹣2且a≠0【分析】根据分子的被开方数不能为负数,分母不能为零,可得答案.【解答】解:由题意得,a+2≥0且a≠0,即a≥﹣2且a≠0,故选:D.3.(2022秋•惠山区期中)下列各式中,一定是二次根式的是( )A.B.C.D.【分析】根据二次根式的定义进行判断.【解答】解:A.被开方数为负数,不是二次根式,故此选项不合题意;B.根指数是3,不是二次根式,故此选项不合题意;C.a﹣1的值不确定,被开方数的符号也不确定,不能确定是二次根式,故此选项不合题意;D.被开方数恒为正数,是二次根式,故此选项符合题意.4.(2022秋•奉贤区期中)使二次根式有意义的x的取值范围是( )A.B.C.D.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.【解答】解:由题意得:2x﹣1>0,解得:x>,故选:B.5.(2022秋•南湖区校级期中)已知y=++4,y x的平方根是( )A.16B.8C.±4D.±2【分析】根据二次根式有意义的条件可得,据此可得x的值,进而得出y的值,再代入所求式子计算即可.【解答】解:∵y=++4,∴,解得x=2,∴y=4,∴y x=42=16.∴y x的平方根是±4.故选:C.6.(2022秋•通州区期中)已知n是一个正整数,且是整数,那么n的最小值是( )A.6B.36C.3D.2【分析】先把=2,从而判断出6n是完全平方数,所以得出答案正整数n的最小值是6.【解答】解:=2,则6n是完全平方数,∴正整数n的最小值是6,故选:A.7.(2022秋•新蔡县校级月考)已知x、y为实数,且y=+1,则x+y的值是( )A.2022B.2023C.2024D.2025【分析】根据二次根式有意义的条件:被开方数是非负数求出x的值,代入求得y的值,代入代数式求【解答】解:∵x﹣2023≥0,2023﹣x≥0,∴x﹣2023=0,∴x=2023,∴y=1,∴x+y=2023+1=2024,故选:C.8.(2022春•东平县期中)已知a满足|2018﹣a|+=a,则a﹣20182=( )A.0B.1C.2018D.2019【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的取值范围,化简绝对值即可得出答案.【解答】解:根据题意得:a﹣2019≥0,∴a≥2019,∴原式可变形为:a﹣2018+=a,∴=2018,∴a﹣2019=20182,∴a﹣20182=2019.故选:D.9.已知a为实数,若在实数范围内有意义,那么等于( )A.a B.﹣a C.﹣1D.0【分析】根据非负数的性质与被开方数大于等于0列式计算即可得解.【解答】解:根据非负数的性质a2≥0,所以,﹣a2≤0,又∵﹣a2≥0,∴﹣a2=0,∴=0.故选:D.10.(2022春•荣昌区校级期末)若二次根式有意义,且关于分式方程﹣3=有正整数解,则符合条件的整数m的和是( )A.5B.3C.﹣2D.0【分析】根据二次根式有意义,可得m≤4,解出关于x的分式方程﹣3=的解为x=,解为正整数解,进而确定m的取值范围,注意增根时m的值除外,再根据m为整数,确定m的所有可能的整数值,求和即可.【解答】解:去分母得,2﹣3(x﹣1)=﹣m,解得x=,∵关于x的分式方程﹣3=有正整数解,∴>0,∴m>﹣5,又∵x=1是增根,当x=1时,=1,即m=﹣2∴m≠﹣2,∵有意义,∴4﹣m≥0,∴m≤4,因此﹣5<m≤4且m≠﹣2,∵m为整数且关于x的分式方程﹣3=有正整数解,∴m可以为1,4,其和为5.故选:A.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11.(2022秋•南安市期中)若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≤4 .【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.【解答】解:由题意得:12﹣3x≥0,解得x≤4,故答案为:x≤4.12.(2022秋•罗湖区校级期中)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x<4 .【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0,即可求出x的取值范围.【解答】解:根据题意得:4﹣x>0,故答案为:x<4.13.(2022秋•海曙区校级期中)若,则x y= .【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x,y的值,进而代入得出答案.【解答】解:∵,∴2x﹣3≥0且3﹣2x≥0,解得:x=,则y=2,则x y=()2=.故答案为:.14.(2022秋•卧龙区校级月考)若y=+﹣3,则点P(x,y)在第 四 象限.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数,求出x的值,进而得到y的值,再根据点的坐标特征解答即可.【解答】解:根据题意,得x﹣4≥0且4﹣x≥0,.所以x=4.所以y=﹣3.所以P(4,﹣3),位于第四象限.故答案为:四.15.(2022春•东莞市校级期中)若是整数,则满足条件的最小正整数n的值为 6 .【分析】24=22×6,所以要想能开平方,必须再乘一个6.【解答】解:=2,∵是整数,∴满足条件的最小正整数n=6.故答案为:6.16.(2022春•东平县期中)已知y=++2022,则x2+y﹣3的值为 2023 .【分析】根据二次根式有意义的条件得到x2=4,进而求出y的值,代入代数式求值即可.【解答】解:根据题意得:x2﹣4≥0,4﹣x2≥0,∴y=2022,∴原式=4+2022﹣3=2023.故答案为:2023.17.(2022•沙坪坝区校级开学)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足,则该三角形的周长为 10 .【分析】根据题意求出a、b的值,根据等腰三角形的三边关系确定三角形的边长,求出此三角形的周长.【解答】解:由题意得,a﹣2≥0,2﹣a≥0,解得a≥2,a≤2,∴a=2,则b=4,∵2+2=4,∴2、2、4不能组成三角形,∴该三角形的三边分别为2、4、4,∴此三角形的周长为2+4+4=10.18.(2021春•南通期中)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,,b为整数,则a+b= ﹣2 .【分析】通过识图可得a<b<,从而利用二次根式的性质进行化简.【解答】解:∵a<b<,∵|b﹣2|=b﹣2,∵a+4≥0,b﹣2≥0,∴b≥2,∵b<,∴2≤b<,b为整数,∴b=2,将b=2代入|b﹣2|=b﹣2,∴a+b=﹣4+2=﹣2,故答案为:﹣2.三、解答题(本大题共6小题,共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(2021春•新泰市期中)(1)已知2a﹣1的平方根是±3,3a+b﹣1的平方根是±4,求a+2b的平方根;(2)若x,y都是实数,且y=+8,求x+3y的立方根.【分析】(1)根据平方根的定义求出a、b的值,然后代入a+2b即可求出答案.(2)根据二次根式有意义的条件可求出x与y的值,然后代入原式即可求出答案.【解答】解:(1)由题意可知:2a﹣1=9,3a+b﹣1=16,∴a=5,b=2,∴a+2b=5+4=9,∴9的平方根是±3,即a+2b的平方根为±3.(2)由题意可知:,∴x=3,∴y=8,∴x+3y=3+24=27,∴27的立方根是3,即x+3y的立方根是320.(2019秋•松北区期末)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=4++3,求此三角形的周长.【分析】根据题意求出a、b的值,根据三角形的三边关系确定三角形的边长,求出此三角形的周长.【解答】解:由题意得,3a﹣6≥0,2﹣a≥0,解得,a≥2,a≤2,则a=2,则b=4,∵2+2=4,∴2、2、4不能组成三角形,∴此三角形的周长为2+4+4=10.21.(2022秋•济南期中)已知实数a,b,c满足:.(1)a= ﹣3 ;b= 5 ;c= 2 ;(2)求﹣b﹣3a+2c的平方根.【分析】(1)根据二次根式有意义的条件求得b=5,再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c.(2)将(1)中a、b与c的值代入,再求得﹣b﹣3a+2c的平方根.【解答】解:(1)由题意得,b﹣5≥0,5﹣b≥0.∴b=5.∴|a+3|+=0.∵|a+3|≥0,,∴a+3=0,c﹣2=0.∴a=﹣3,c=2.故答案为:﹣3;5;2.(2)由(1)得,a=﹣3,b=5,c=2.∴﹣b﹣3a+2c=﹣5+9+4=8.∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±=.22.(2022秋•锦江区校级月考)(1)若m﹣2=+,求n m的值;(2)已知有理数a,b,c在数轴上对应位置如图所示:①用“<”或“>”填空:a+c < 0,b﹣c > 0;②化简:|a+c|﹣+.【分析】(1)利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0,则n=3,所以m﹣2=0,则m=2,然后利用乘方的意义计算n m;(2)①利用数轴表示数的方法进行判断;②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|=|a+c|﹣|b﹣c|+b+c,再利用①中的结论去绝对值,然后取括号合并即可.【解答】解:(1)根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0,解得n=3,∴m﹣2=0,解得m=2,∴n m=32=9;(2)①a+c<0,b﹣c>0;故答案为:<,>;②|a+c|﹣+=|a+c|﹣|b﹣c|+b+c=﹣(a+c)﹣(b﹣c)+b+c=﹣a﹣c﹣b+c+b+c=﹣a+c.23.(2022春•定远县期末)在学习了算术平方根和二次根式等内容后,我们知道以下的结论:结论①:若实数a≥0时,=a;结论②:对于任意实数a,=|a|.请根据上面的结论,对下列问题进行探索:(1)若m<2,化简:+|m﹣3|.(2)若=4,|b|=8,且ab>0,求a+b的值.(3)若A=+|1﹣m|有意义,化简A.【分析】(1)先根据二次根式的性质和绝对值进行计算,再算加减即可;(2)先根据二次根式的性质和绝对值求出a、b的值,再求出a+b的值即可;(3)根据二次根式的性质得出m﹣2≥0,求出m≥2,再进行化简即可.【解答】解:(1)分为两种情况:①当m≤﹣3时,+|m﹣3|.=|m+3|+|m﹣3|=﹣m﹣3﹣m+3=﹣2m,②当﹣3<m<2时,+|m﹣3|=|m+3|+|m﹣3|=m+3+3﹣m=6;(2)∵,∴|a|=4,∴a=±4,∵|b|=8,∴b=±8,∵ab>0,∴a=4,b=8或a=﹣4,b=﹣8,当a=4,b=8时,则a+b=4+8=12,当a=﹣4,b=﹣8时,则a+b=﹣4﹣8=﹣12,∴a+b=±12;(3)∵有意义,∴m﹣2≥0,∴m≥2,∴1﹣m<0,∴A=m﹣2+m﹣1=2m﹣3.24.(2022春•天门校级月考)二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0,其化简的结果≥0,利用的双重非负性解决以下问题:(1)已知=0,则a+b的值为 ﹣2 ;(2)若x,y为实数,且x2=+9,求x+y的值;(3)已知实数m,n(n≠0)满足|2m﹣4|+|n+2|++4=2m,求m+n的值.【分析】(1)利用非负数的性质,可求a,b的值,从而求得a+b的值为﹣2;(2)利用二次根式有意义的条件,可得y值,进而求x值,最终得x+y的值;(3)是上两个题目的综合运用,利用(1)(2)可出得m+n的值.【解答】解:(1)∵,且,∴a﹣1=0,且3+b=0,∴a=1,b=﹣3,∴a+b=﹣2.(2)∵,∴y﹣5≥0且5﹣y≥0,∴y≥5且y≤5,∴y=5,∴x2=9,∴x=±3,当x=3时,x+y=3+5=8;当x=﹣3时,x+y=﹣3+5=2.(3)∵|2m﹣4|+|n+2|++4=2m,∴(m﹣3)n2≥0,∴m≥3,∴2m﹣4>0,∴|2m﹣4|+|n+2|++4=2m2m﹣4+|n+2|++4=2m∴|n+2|+=0,∵|n+2|≥0,≥0,∴n+2=0,(m﹣3)n2=0,∴n=﹣2,m=3,∴m+n=3﹣2=1.。
二次根式综合性大题训练(培优)
二次根式综合性大题训练(培优)1.阅读材料:康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:3+2√2=(1+√2)2,善于思考的康康进行了以下探索:设a+b√2=(m+n√2)2(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2(有理数和无理数分别对应相等),∴a=m2+2n2,b=2mn,这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法.请你仿照康康的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b√3=(c+d√3)2,用含c、d的式子分别表示a、b,得:a=,b=;(2)若7−4√3=(e−f√3)2,且e、f均为正整数,试化简:7−4√3;(3)化简:√7+√21−√80.2.观察下列各式:①√1+13=2√13,②√2+14=3√14;③√3+15=4√15,…(1)请观察规律,并写出第④个等式:;(2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律:;(3)请证明(2)中的结论.3.观察下列各式:√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:(1)√1+142+152=(2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:;(3)利用上述规律计算:√5049+164(仿照上式写出过程)4.小明在解决问题:已知a=2+√3,求2a2﹣8a+1的值.他是这样分析与解的:∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3,∴a−2=−√3,∴(a﹣2)2=3,a2﹣4a+4=3,∴a2﹣4a=﹣1,∴2a2﹣8a+1=2(a2﹣4a)+1=2×(﹣1)=﹣1.请你根据小明的分析过程,解决如下问题:(1)化简√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√121+√119.(2)若a=√2−1.求:①求3a2﹣6a+1的值.②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=;2a2−5a+1a+2=.5.先阅读下列的解答过程,然后作答:形如√m±2√n的化简,只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,这样(√a)2+(√b)2=m,√a•√b=√n,那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b(a>b),例如:化简√7+4√3.解:首先把√7+4√3化为√7+2√12,这里m=7,n=12;由于4+3=7,4×3=12,即(√4)2+(√3)2=7,√4•√3=√12,∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4)2+(√3)2=2+√3.由上述例题的方法化简:(1)√13−2√42;(2)√7−√40;(3)√2−√3.6.细心观察下图,认真分析各式,然后解答下列问题:OA 22=(√1)2+1=2,S 1=√12(S 1是Rt △OA 1A 2的面积);OA 32=(√2)2+1=3,S 2=√22(S 2是Rt △OA 2A 3的面积); OA 42=(√3)2+1=4,S 3=√32(S 3是Rt △OA 3A 4的面积);…(1)请用含有n (n 为正整数)的式子填空:OA n 2= ,S n = ; (2)求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S 99+S 100的值;(3)在线段OA 1、OA 2、OA 3、…、OA 2022中,长度为正整数的线段共有 条.7.已知a ,b 均为正整数.我们把满足{x =2a +3b y =3a +2b 的点P (x ,y )称为幸福点.(1)下列四个点中为幸福点的是 ; P 1(5,5);P 2(6,6);P 3(7,7);P 4(8,8) (2)若点P (20,t )是一个幸福点,求t 的值;(3)已知点P (√m +1,√m −1)是一个幸福点,则存在正整数a ,b 满足{√m +1=2a +3b √m −1=3a +2b ,试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q (12a +k ,12b ﹣k )到x 轴的距离相等,且到y 轴的距离也相等?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.8.阅读下列材料,并解答问题:①√2+√4=√4−√22=2−√22;②√4+√6=√6−√42=√6−22;③√6+√8=√8−√62=2√2−√62;④√8+√10=√10−√82=√10−2√22;……(1)直接写出第⑤个等式;(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律;(3)利用你探索的规律,求√2+√4+√4+√6+√6+√8+⋯+√198+√200的值.9.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2.设a+b√2=(m+n√2)2(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2,∴a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b√3=(m+n√3)2,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a=,b=.(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:+√5=(+√5)2;(3)化简√16−6√7−√11+4√710.数学阅读:古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式:若一个三角形的三边长分别为a、b、c,则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c),其中p=1 2(a+b+c).这个公式称为“海伦公式”.数学应用:如图1,在△ABC中,已知AB=9,AC=8,BC=7.(1)请运用海伦公式求△ABC的面积;(2)设AB边上的高为h1,AC边上的高h2,求h1+h2的值;(3)如图2,AD、BE为△ABC的两条角平分线,它们的交点为I,求△ABI的面积.11.阅读下列材料,然后回答问题.在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如√5、√23、√3+1一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:√5=√5√5×√5=35√5;(Ⅰ)√2 3=√2×33×3=√63(Ⅱ)√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1.(Ⅲ)以上这种化简的步骤叫做分母有理化.√3+1还可以用以下方法化简:√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.(Ⅳ)(1)请用不同的方法化简√5+√3.①参照(Ⅲ)式得√5+√3=.②参照(Ⅳ)式得√5+√3=.(2)化简:√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1.12.观察下列等式:①√2−1=√2+1;②√3−√2=√3+√2;③√4−√3=√4+√3;…,(1)请用字母表示你所发现的律:即√n+1+√n=.(n为正整数)(2)化简计算:1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√2016+√2017.13.观察下列各式:√1+112+122=1+11−12=112;√1+122+132=1+12−13=116;√1+132+142=1+13−14=1112,…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想:√1+172+182==;②归纳:根据你的观察,猜想,请写出一个用n(n为正整数)表示的等式:;③应用:计算√8281+1100.14.阅读下列解题过程:√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1;√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2.请回答下列问题:(1)归纳:观察上面的解题过程,请直接写出下列各式的结果.①√7+√6=;②√n+√n−1=;(2)应用:求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值;(3)拓广:√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=.15.观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:OA1=1OA2=√12+12=√2;S1=12×1×1=12OA3=√2+12=√3;S2=12×√2×1=√22OA4=√3+12=√4;S3=12×√3×1=√32(1)推算出OA5=;(2)若一个三角形的面积是3,则它是第几个三角形?(3)用含n(n是正整数)的等式表达上述面积变化规律,即S n=;(4)求出s12+s22+s32+⋯⋯+s1002的值.。
(完整word)二次根式培优题
二次根式培优题1. 若02=+a a ,则a 的取值范围是___________.2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5—2x ,则x 的取值范围是__________.3. 已知ABC ∆的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ,求ABC ∆的周长.4. 若x 满足23)31(2x x --=-,则x 的整数解的个数有_____个.5. 在实数范围内分解因式: (1) 32-a ; (2)742-a ; (3))0,0(2>>++y x y xy x 。
6. 已知实数a 满足()a a a =-+-220072006,那么2006-a 的值是_______.7. 若m 满足等式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253,试确定m 的值.8. 要使代数式2113----x x 有意义,实数x 的取值范围是_______________。
9. 比较大小:25 , 32 , 23---.10.化简:(1) )0(48342>+-y y y ;(2)()()()0222222>--+ab b a b a(2)161213b -; (4)23322-; (5)b a 3--;(6) )0(12122>>+-b a bab a a ;(7)32416++⨯。
11。
把下列各式中根号外的因式移到根式内:(1) x y xy -; (2)aa --⋅-11)1(。
12。
计算:(1)3232245-;(2)3612-;(3))5131(15-÷(3)()()201220112323-⨯+;(4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212;(5)()()()()13132131322+--++-(6) ()()632632+--+(7) ba b a aba b a a a +----;(8)()()233623346++++13。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题(含解析)一.选择题(共5小题)1.计算:=()A.3994001B.3994002C.3994003D.39940002.计算:=()A.B.C.D.3.的结果是()A.B.C.D.4.的值是()A.B.C.1D.5.在这1000个二次根式中,与是同类二次根式的个数共有()A.3B.4C.5D.6二.填空题(共24小题)6.已知实数x1,x2,x3,…,x1999满足.则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为.7.化简=.8.化简.9.观察图形,用S i表示第i个三角形的面积,有;;,…,若S1+S2+S3+…+S n>10,则n的最小值为.10.方程的解是x=11.设M=+++┉+,N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994,则=.12.计算:=(其中a>0)13.的值为.14.已知:对于正整数n,有,若某个正整数k满足,则k=.15.若n为整数,且是自然数,则n=.16.如果,并且表示为时的值,即,表示当时的值,即,那么的值为.17.若u、v满足v=,则u2﹣uv+v2=.18.已知a为实数,且与都是整数,则a的值是.19.使得++=1的一组正整数(a,b,c)为:.20.计算﹣20062的结果是.21.设=.22.若,,则x6+y6的值是.23.当时,的值为.24.已知,,则k=.25.当1≤x≤2时,经化简等于.26.计算=.27.已知x=,那么+1的值是.28.化简:,得到.29.=.三.解答题(共1小题)30.计算:(1);(2);(3);(4).二次根式竞赛培优题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.计算:=()A.3994001B.3994002C.3994003D.3994000【分析】设1998=a,把被开方数变形后,利用多项式的乘法法则计算后,加上a2再减去a2,前三项结合提取a2,剩下的三项利用完全平方公式化简,接着三项合并后提取2a,整体再利用完全平方公式化简,从而得到被开方数为一个数的完全平方,利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果.【解答】解:设1998=a,则1997×1998×1999×2000+1=(a﹣1)a(a+1)(a+2)+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2(a+1)2﹣2a(a+1)+1=[a(a+1)﹣1]2,所以==1998×1999﹣1=3994001.故选:A.【点评】此题考查了二次根式的化简求值,考查了换元的思想,本题的技巧性比较强,要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点,同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征,以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用.2.计算:=()A.B.C.D.【分析】根据每个加数的特点,推出一般规律为,将所得式子化简,分别取n=1,2,3,…,40,寻找抵消规律,得出结论.【解答】解:∵=()=()=()=(﹣)∴分别取n=1,2,3, (40)原式=[(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=(1﹣)=.故选:B.【点评】本题考查了二次根式的化简求值,观察式子的特点,得出一般规律,将一般规律化简代值,再观察抵消规律是解题的关键.3.的结果是()A.B.C.D.【分析】把每个加数分母有理化,然后通分计算即可.【解答】解:=()=.故选:D.【点评】主要考查二次根式的分母有理化.主要利用了平方差公式,所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.4.的值是()A.B.C.1D.【分析】认真观察式子的特点,总结规律,可发现,,,据此作答.【解答】解:由题意可知第k项是∴原式=(++=1﹣=1﹣=.故选:B.【点评】此题考查二次根式的化简求值,关键是审清题意,找准规律答题.5.在这1000个二次根式中,与是同类二次根式的个数共有()A.3B.4C.5D.6【分析】找到1000<5×x2<2000中符合x的整数值即可得出答案.【解答】解:由题意得:与=20,是同类二次根的被开方数一定为5,由此及题意可:1000<5×x2<2000,x可取15、16、17、18、19,共5个.故选:C.【点评】本题考查同类二次根式的知识,有一定难度,关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足.二.填空题(共24小题)6.已知实数x1,x2,x3,…,x1999满足.则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000.【分析】由等式可知=x1,=x2,…解得x1=x2=x3=…=x1999=2,由此代入求得数值即可.【解答】解:∵,∴=x1,=x2,…∴x1=x2=x3=…=x1999=2,∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×(1+2+3+ (1999)=2×(1999+1)×1999÷2=3998000.故答案为:3998000.【点评】此题考查二次根式的化简求值,解答此题的关键是找出对应关系,求出x1、x2、x3、…、x1999的值.7.化简=2011.【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=,然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案.【解答】解:∵=,∴原式=======2011.故答案为2011.【点评】本题考查了二次根式的性质与化简:=|a|.也考查了平方差公式.8.化简后2.【分析】由于===﹣1,其他根式也可以进行同样的化简,然后合并同类二次根式即可求解.【解答】解:=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值,解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的.9.观察图形,用S i表示第i个三角形的面积,有;;,…,若S1+S2+S3+…+S n>10,则n的最小值为10.【分析】利用不等式≤,结合S1+S2+S3+…+S n >10,解不等式即可.【解答】解:∵S i表示第i个三角形的面积,由不等式≤n,得≤n=n,而S1+S2+S3+…+S n=,S1+S2+S3+…+S n>10,∴n>10,即n2(n+1)>800,n为正整数,n的最小值为9.但n=9时,代入S1+S2+S3+…+S n<10,不符合题意,故n=10.【点评】本题考查了二次根式的运用.利用均值不等式和不等式的传递性解题.10.方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化,再通分,注意观察抵消规律.【解答】解:原方程化为:+++…+=,通分得=,解得x=2011.故答案为:2011.【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用.关键是将各分式的分母有理化,寻找抵消规律.11.设M=+++┉+,N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994,则=﹣.【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化,再求出N式的值,代入代数式求值即可解答.【解答】解:将M分母有理化可得M=(﹣1)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=﹣1.N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=(1﹣2)+(3﹣4)+(5﹣6)+┉+(1993﹣1994)=﹣1×997=﹣997,∴==﹣.故答案为﹣.【点评】本题主要考查分母有理化的方法,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.12.计算:=4(其中a>0)【分析】仔细观察会发现有以下规律:第1项加上第8项等于1,第2项加上第7项等于1,依此类推最后求得的结果4.【解答】解:第一项与最后一项相加得:+,=+,=,=1,同理可得:第二项与倒数第二项的和也是1;第三项与倒数第三项的和也是1;所以原式=1+1+1+1=4.故应填:4.【点评】本题考查了二次根式的加减运算,同时也考查了学生的逻辑思维能力,是一道不错的规律型问题.13.的值为1998999.5.【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系,可用换元法解题,设k=2000,将所求算式转化为关于k的算式,将被开方数配成完全平方式,开平方,再将k的值代入即可.【解答】解:设k=2000,原式=====,当k=2000时,原式=1998999.5.故本题答案为:1998999.5.【点评】本题考查了二次根式的化简求值,当算式数字较大,并且数字之间有联系时,用换元法解题,可使运算简便.14.已知:对于正整数n,有,若某个正整数k满足,则k=8.【分析】读懂规律,按所得规律把左边所有的加数写成的形式,把互为相反数的项结合,可使运算简便.【解答】解:∵,∴+,即1﹣,∴,解得k=8.故答案为:8.【点评】解答此题的关键是读懂题意,总结规律答题.15.若n为整数,且是自然数,则n=﹣14或﹣7或﹣2或5.【分析】设=p,再把等式两边同时乘以4,利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式,列出关于p、n的方程组,求出n 的值即可.【解答】解:∵设=p(P为非负整数),则n2+9n+30=p2,∴4n2+36n+120=4p2,∴(2n+9)2+39=4p2,∴(2p+2n+9)(2p﹣2n﹣9)=39,∴或或或,解得或或或,∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5.故答案为:﹣14或﹣7或﹣2或5.【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简,先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键.16.如果,并且表示为时的值,即,表示当时的值,即,那么的值为2012.5.【分析】根据新定理得f()=,f()=,则f()+f()=1;f()=,f()=,则f()+f()=1,由此得到f()+f()=1(n≥2的整数),所以原式=+.【解答】解:f()=,∵f()==,f()=,则f()+f()=1,f()==,f()==,则f()+f()=1,∴f()+f()=1,∴=+=2012.5.故答案为2012.5.【点评】本题考查了二次根式的化简求值:二次根式的化简求值,一定要先化简再代入求值.也考查了阅读理解能力.17.若u、v满足v=,则u2﹣uv+v2=.【分析】根号里面的式子大于等于0,从而可得≥0,﹣≥0,从而能得出u和v的值,继而可得出答案.【解答】解:由题意得:≥0,﹣≥0,从而=0,2u﹣v=0,u=v,又v=,∴u=,∴u2﹣uv+v2=.故答案为.【点评】本题考查二次根式有意义的条件,注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键.18.已知a为实数,且与都是整数,则a的值是或.【分析】由是正整数可得,a是含﹣2的代数式;再由是整数,可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后,是1或﹣1,据此确定a的值.【解答】解:∵是正整数,∴a是含﹣2的代数式;∵是整数,∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后,是1或﹣1,∴a=或.故答案为:或.【点评】此题主要考查二次根式的混合运算,要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化.19.使得++=1的一组正整数(a,b,c)为:答案不唯一;如(288,8,8),(48,24,8).【分析】由于三个复合二次根式的和为1,则它们的被开方数为完全平方数,设任意一个复合二次根式的被开方数为()2(x,y为正整数,x>y),然后通过正整数的含义,得到x,y为两个相邻正整数,即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根.若第一个化简后是﹣1,则第二个复合二次根式化简后必为﹣,第三个复合二次根式化简后必为,最后求的a,b,c的值.【解答】解:因为几个复合二次根式的和为1,则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数.设==x+y﹣2,(x,y为正整数,x>y),所以有=x+y,﹣=﹣2.∴a+1=(x+y)2,a=4xy,∴(x﹣y)2=1,即x﹣y=1.则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根.若第一个化简后为﹣1,而要消掉,则第二个复合二次根式化简后必为﹣,要消掉,则第三个复合二次根式化简后必为.最后正好为﹣=1.所以=(﹣1)2=3﹣=3﹣,则a=8,同理得b=24,c=48.故得到一组正整数(a,b,c)为:8,24,48.故答案为8,24,48.【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简:.20.计算﹣20062的结果是2005.【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=(20052+3×2005+1)2”化为完全平方的形式,再开平方,然后再来求值.【解答】解:∵2005×2006×2007×2008+1=2005×(2005+3)×(2005+1)(2005+2)+1=(20052+3×2005)×(20052+3×2005+2)+1=(20052+3×2005)2+2(20052+3×2005)+1=(20052+3×2005+1)2∴=20052+3×2005+1;∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=(2005+2006)(2005﹣2006)+3×2005+1=2005;故答案为:2005.【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值.解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式,并开平方,然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=(2005+2006)(2005﹣2006)的值.21.设=.【分析】把已知条件的左边相乘得,这样出现了所求代数式,设=z,代入变形所得的等式,逐步变形,消去x、y,即可求得z.【解答】解:据条件式令=z,则(1)式化为:z+xy+=9,即有9﹣z=xy+,平方得,81﹣18z+z2=x2y2+(x2+1)(y2+4)+2xy(2),又由z2==x2(y2+4)+y2(x2+1)+2xy,代入(2)得,81﹣18z=4,所以.即=,故答案为:.【点评】此题考查二次根式的化简求值,难度较大,多次利用已知条件求解.22.若,,则x6+y6的值是40.【分析】根据题意可求出x2+y2,x2﹣y2,利用平方差公式可求得x4﹣y4,(x2﹣y2)(x4﹣y4)=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4,由此可得答案.【解答】解:由题意得:x2+y2=2++2﹣=4,x2﹣y2=2+﹣(2﹣)=2,x4﹣y4=(x2+y2)(x2﹣y2)=8,又(x2﹣y2)(x4﹣y4)=x6+y6+x2y4+y2x4,∴可得:x6+y6=32﹣x2y2(x2+y2)=32+2×4=40.故答案为:40.【点评】本题考查二次根式的乘除法运算,有一定难度,关键是熟练运用平方差及完全平方公式.23.当时,的值为.【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可.【解答】解:原式=﹣,∵,∴=2005,∴x<,∴原式=﹣+x,=x,当时,原式=.故答案为.【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a(a≥0)的应用.24.已知,,则k=﹣1.【分析】先从等式右边进行分母有理化,即原式=﹣2,然后依次循环即可求k的值.【解答】解:由原式可知=+2﹣4=﹣2,∴4+=+2,依此类推得:=+2,∴k=﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题考查了分母有理化的知识,解题时可从等式右边进行分母有理化,那样会简便些.25.当1≤x≤2时,经化简等于2.【分析】先配成完全平方式,再根据二次根式的性质化简计算即可.【解答】解:∵1≤x≤2,∴=+=+1+1﹣=2.故答案为:2.【点评】考查了二次根式的性质,解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式.26.计算=2010.【分析】因为=,=,=,…,可发现=1+=1+1﹣,=1+=1+﹣…,依此类推再把1+1﹣,1+﹣…相加可得问题答案.【解答】解:原式=++++…+,=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣,=2010+(1﹣+﹣+﹣…+﹣),=2010+(1﹣),=2010.【点评】本题考查了二次根式的化简,在化简中注意有关数列的规律.27.已知x=,那么+1的值是2.【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1,所以x+1=,然后将代数式化为含有(x+1)2的形式,把x+1的值代入求出代数式的值.【解答】解:∵x==﹣1,∴x+1=.原式=(3x3+10x2+5x+4)=[(3x3+6x2+3x)+3x2+(x2+2x+1)+3]=[3x(x+1)2+3x2+(x+1)2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[(3x2+6x+3)+2]=[3(x+1)2+2]=(3×2+2)=2.故答案是:2.【点评】本题考查的是二次根式的化简求值,先根据分母有理化把x的值化简,得到x+1=,再把代数式化成含有x+1的形式,然后代入代数式可以求出代数式的值.28.化简:,得到1.【分析】将被开方数的分子、分母提公因式,约分,再开平方,约分即可.【解答】解:原式=()1004=()1004()1004=1.【点评】本题考查了二次根式的化简求值,关键是将被开方数的分子、分母提公因式,约分.29.=﹣3.【分析】因为=,代入并通分计算即可.【解答】解:原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3.故答案为:﹣3.【点评】此题考查二次根式的混合运算,关键是求=.三.解答题(共1小题)30.计算:(1);(2);(3);(4).【分析】(1)设n=1999,从而可将根号里面的数化为完全平方的形式,继而可得出答案.(2)分别将各二次根式配方可得出答案.(3)将分子及分母分别化简,然后运用提公因式的知识将分子及分母简化,继而得出答案.(4)设=a,=b,=c,从而可将原式化简,继而可得出答案.【解答】解:(1)设n=1999,则原式===n2+3n+1,故原式=20002+1999;(2)原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣,=﹣1,=3﹣1,=2;(3)原式=,=,=+,=﹣;(4)设=a,=b,=c,则原式=++,=,=0.【点评】本题考查了二次根式的混合运算,难度较大,注意换元法及完全平方知识的运用.。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试(一)判断题:(每小题1分,共5分)1.ab 2)2(-=-2ab .…………………()【提示】2)2(-=|-2|=2.【答案】×.2.3-2的倒数是3+2.()【提示】231-=4323-+=-(3+2).【答案】×.3.2)1(-x =2)1(-x .…()【提示】2)1(-x =|x -1|,2)1(-x =x -1(x ≥1).两式相等,必须x ≥1.但等式左边x 可取任何数.【答案】×. 4.ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式.…( )【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断.【答案】√. 5.x 8,31,29x +都不是最简二次根式.( )29x +是最简二次根式.【答案】×.(二)填空题:(每小题2分,共20分)6.当x __________时,式子31-x 有意义.【提示】x 何时有意义?x ≥0.分式何时有意义?分母不等于零.【答案】x ≥0且x ≠9. 7.化简-81527102÷31225a =_.【答案】-2aa .【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. 8.a -12-a 的有理化因式是____________.【提示】(a -12-a )(________)=a 2-22)1(-a .a +12-a .【答案】a +12-a . 9.当1<x <4时,|x -4|+122+-x x =________________.【提示】x 2-2x +1=( )2,x -1.当1<x <4时,x -4,x -1是正数还是负数? x -4是负数,x -1是正数.【答案】3.10.方程2(x -1)=x +1的解是____________.【提示】把方程整理成ax =b 的形式后,a 、b 分别是多少?12-,12+.【答案】x =3+22.11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222d c ab d c ab +-=______.【提示】22d c =|cd |=-cd .【答案】ab +cd .【点评】∵ ab =2)(ab (ab >0),∴ ab -c 2d 2=(cd ab +)(cd ab -).12.比较大小:-721_________-341.【提示】27=28,43=48.【答案】<.【点评】先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较-281与-481的大小.13.化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________.【提示】(-7-52)2001=(-7-52)2000·(_________)[-7-52.] (7-52)·(-7-52)=?[1.]【答案】-7-52.【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式. 14.若1+x +3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________.【答案】40. 【点评】1+x ≥0,3-y ≥0.当1+x +3-y =0时,x +1=0,y -3=0.15.x ,y 分别为8-11的整数部分和小数部分,则2xy -y 2=____________.【提示】∵ 3<11<4,∴_______<8-11<__________.[4,5].由于8-11介于4与5之间,则其整数部分x =?小数部分y =?[x =4,y =4-11]【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算.在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了. (三)选择题:(每小题3分,共15分)16.已知233x x +=-x 3+x ,则………………( )(A )x ≤0 (B )x ≤-3 (C )x ≥-3 (D )-3≤x ≤0【答案】D . 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件,(A )、(C )不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义. 17.若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=………………………( )(A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y 【提示】∵ x <y <0,∴ x -y <0,x +y <0.∴222y xy x +-=2)(y x -=|x -y |=y -x .222y xy x ++=2)(y x +=|x +y |=-x -y .【答案】C . 【点评】本题考查二次根式的性质2a =|a |.18.若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1(2-+xx 等于………………………()(A )x 2 (B )-x 2(C )-2x (D )2x【提示】(x -x 1)2+4=(x +x 1)2,(x +x 1)2-4=(x -x 1)2.又∵ 0<x <1,∴ x +x 1>0,x -x1<0.【答案】D .【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质.(A )不正确是因为用性质时没有注意当0<x <1时,x -x1<0. 19.化简aa 3-(a <0)得………………………………………………………………()(A )a - (B )-a (C )-a - (D )a【提示】3a -=2a a ⋅-=a -·2a =|a |a -=-a a -.【答案】C . 20.当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为………………………………………( )(A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C )2)(b a -+- (D )2)(b a ---【提示】∵ a <0,b <0,∴ -a >0,-b >0.并且-a =2)(a -,-b =2)(b -,ab =))((b a --.【答案】C .【点评】本题考查逆向运用公式2)(a =a (a ≥0)和完全平方公式.注意(A )、(B )不正确是因为a <0,b <0时,a 、b 都没有意义. (四)在实数范围内因式分解:(每小题3分,共6分)21.9x 2-5y 2;【提示】用平方差公式分解,并注意到5y 2=2)5(y .【答案】(3x +5y )(3x -5y ).22.4x 4-4x 2+1.【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解.【答案】(2x +1)2(2x -1)2.(五)计算题:(每小题6分,共24分)23.(235+-)(235--);【提示】将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式.【解】原式=(35-)2-2)2(=5-215+3-2=6-215.24.1145--7114--732+;【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式.【解】原式=1116)114(5-+-711)711(4-+-79)73(2--=4+11-11-7-3+7=1.25.(a 2m n -m ab mn +m n nm)÷a 2b 2m n ;【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式. 【解】原式=(a 2mn-m ab mn +m n n m )·221ba n m=21bn m m n ⋅-mab 1n m mn ⋅+22b ma n n m n m ⋅ =21b-ab 1+221b a =2221b a ab a +-. 26.(a +ba abb +-)÷(b ab a ++a ab b --ab b a +)(a ≠b ).【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分. 【解】原式=ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--=b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----=ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-=-b a +.【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. (六)求值:(每小题7分,共14分)27.已知x =2323-+,y =2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值.【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值. 【解】∵ x =2323-+=2)23(+=5+26,y =2323+-=2)23(-=5-26.∴x +y =10,x -y =46,xy =52-(26)2=1.32234232y x y x y x xy x ++-=22)())((y x y x y x y x x +-+=)(y x xy yx +-=10164⨯=652. 【点评】本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x +y ”、“x -y ”、“xy ”.从而使求值的过程更简捷. 28.当x =1-2时,求2222ax x a x x+-++222222ax x x a x x +-+-+221ax +的值.【提示】注意:x 2+a 2=222)(a x +,∴ x 2+a 2-x22a x +=22a x +(22a x +-x ),x 2-x22a x +=-x (22a x +-x ).【解】原式=)(2222x a x a x x-++-)(22222x a x x a x x -++-+221ax +=)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-=)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+=)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++=x 1.当x =1-2时,原式=211-=-1-2.【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便.即原式=)(2222x a x a x x-++-)(22222x a x x a x x -++-+221ax +=)11(2222a x x a x +--+-)11(22x x a x --++221a x +=x1.七、解答题:(每小题8分,共16分)29.计算(25+1)(211++321++431++…+100991+).【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算. 【解】原式=(25+1)(1212--+2323--+3434--+…+9910099100--)=(25+1)[(12-)+(23-)+(34-)+…+(99100-)]=(25+1)(1100-)=9(25+1).【点评】本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分.这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消.这种方法也叫做裂项相消法. 30.若x ,y 为实数,且y =x 41-+14-x +21.求xy y x ++2-xyy x +-2的值.【提示】要使y 有意义,必须满足什么条件?].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗?].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x =41.当x =41时,y =21.又∵x y y x ++2-xyy x +-2=2)(x y y x +-2)(xy y x - =|xy yx +|-|x y y x -|∵ x =41,y =21,∴yx<xy .∴ 原式=x y y x +-y x xy+=2yx 当x =41,y =21时,原式=22141=2.【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y 的值.。
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1.下列计算正确的是( )A =B =C =D =2.下列各式计算正确的是( )AB .C =3D .3.下列运算正确的是( )A =B . 3C =﹣2D =4.下列各式中,正确的是( )A 2=±B =C 3=-D 2=5.下列计算正确的是( )A =B 3=C =D .21= 6.下列式子中,是二次根式的是( )A B CD .x7.若化简的结果为2x ﹣5,则x 的取值范围是( ) A . x 为任意实数B .1≤x ≤4C .x ≥1D . x ≤48.已知a ( )A .0B .3C .D .99.如果a ,那么a 的取值范围是( ) A .a 0=B .a 1=C .a 1≤D .a=0a=1或10.下面有四个命题:①两条直线被第三条直线所截,同位角相等;②0.1的算术平方根是0.01)=5;④如果点P (3-2n ,1)到两坐标轴的距离相等,那么n =1,其中假命题的有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个11.若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为( ) A .3B .4C .6D .912.230x -=成立的x 的值为( )A .-2B .3C .-2或3D .以上都不对二、填空题13.使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14.已知实数,x y 满足(2008x y =,则2232332007x y x y -+--的值为______.15.已知x=3+1,y=3-1,则x 2+xy +y 2=_____.16.如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____.17.)230m m --≤,若整数a 满足52m a +=a =__________.18.()()22223310x y x y ++-+=,则222516x y +=______.19.已知4a2(3)|2|a a +--=_____.20.化简:3222=_____.三、解答题21.阅读下面问题: 阅读理解:2221(21)(21)==++-1; 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-.应用计算:(176+(211n n++(n 为正整数)的值.归纳拓展:(3122334989999100++++++【答案】应用计算:(17621n n + 归纳拓展:(3)9. 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式,为此(17-6分母利用平方差公式计算即可,(2n 1-n +(3)根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式,分母用公式计算化去分母,分子合并同类项二次根式即可. 【详解】(1(2(3+98+,(+98+,++99-, =10-1, =9. 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题,关键找到各分母的有理化因式,用平方差公式化去分母.22.计算: 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简,然后进行计算. 【详解】解:原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简;特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23.(112=3==;……写出④ ;⑤ ;(2)归纳与猜想.如果n 为正整数,用含n 的式子表示这个运算规律; (3)证明这个猜想.【答案】(12=5==;(2n=;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果; (2)根据(1)中的特例,可以写出相应的猜想;(3)根据(2)中的猜想,对等号左边的式子进行化简,即可得到等号右边的式子,从而可以解答本题. 【详解】解:(1)由例子可得,④5=25,(2)如果n 为正整数,用含n (3)证明:∵n 是正整数,n .n.故答案为5=25 n;(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.24.小明在解决问题:已知2a 2﹣8a+1的值,他是这样分析与解的:∵=2 ∴a ﹣2=∴(a ﹣2)2=3,a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2(a2﹣4a)+1=2×(﹣1)+1=﹣1请你根据小明的分析过程,解决如下问题:(1(2)若,求4a2﹣8a+1的值.【答案】(1)9;(2)5.【解析】试题分析:(1)此式必须在把分母有理化后才能实现化简,即各分式分子分母同乘以一个因式,使得1===.(2)先对a1,若就接着代入求解,计算量偏大.模仿小明做法,可先计算2(1)a-的值,就能较为简单地算出结果;也可对这个二次三项式进行配方,再代入求值.后两种方法都比直接代入计算量小很多.解:(1)原式=1)+++⋯(2)∵1a===,解法一:∵22(1)11)2a-=-=,∴2212a a-+=,即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛:(1得22=-=-a b,去掉根号,实现分母有理化.(2)当已知量为根式时,求这类二次三项式的值,直接代入求值,计算量偏大,若能巧妙利用完全平方公式或者配方法,计算要简便得多.25.先化简,再求值:a=1007.如图是小亮和小芳的解答过程.(1) 的解法是错误的;(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质: ; (3)先化简,再求值:269a a -+a =﹣2018. 【答案】(1)小亮(22a (a <0)(3)2013. 【解析】试题分析:(12a ,判断出小亮的计算是错误的; (22a 的应用错误;(3)先根据配方法把被开方数配成完全平方,然后根据正确的性质化简,再代入计算即可. 试题解析:(1)小亮 (22a (a <0) (3)原式=()23a -a+2(3-a )=6-a=6-(-2007)=2013.26.先观察下列等式,再回答下列问题: 2211111111121112++=+-=+; 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律,用含n 的等式表示(n 为正整数). 【答案】(1)1120(2)()111n n ++(n 为正整数)【解析】试题分析:(1)从三个式子中可以发现,第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n ,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积.所以由此可计算给的式子;(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子. 试题解析:(1)2211145++=1+14−141+=1120,1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =,也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目,通过阅读找出题目隐含的条件.总结:找规律的题目,都要通过仔细观察找出和数之间的关系,并用关系式表示出来.27.观察下列一组等式,然后解答后面的问题1)1=,1=,1=,1=⋯⋯(1)观察以上规律,请写出第n 个等式: (n 为正整数). (2(3【答案】(1)1=;(2)9;(3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律,分母有理化,再化简计算.(3)先对两个式子变形,分子有理化,变为分子为1,再比大小. 【详解】解:(1)根据题意得:第n 个等式为1=;故答案为1=;(2)原式111019==-=;(3-==,<∴>.【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目,解题的关键是掌握平方差公式.28.先化简,再求值:24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭,其中2x =.【答案】22x x +-,1 【分析】先把分式化简,然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可. 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---,当2x =时,原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点,把分式化到最简是解题的关键.29.(1)已知a 2+b 2=6,ab =1,求a ﹣b 的值; (2)已知b =,求a 2+b 2的值. 【答案】(1)±2;(2)2. 【分析】(1)先根据完全平方公式进行变形,再代入求出即可;(2)先分母有理化,再根据完全平方公式和平方差公式即可求解. 【详解】(1)由a 2+b 2=6,ab=1,得a 2+b 2-2ab=4, (a-b )2=4, a-b=±2.(2)12a ===,12b ===,2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用,能灵活运用公式进行变形是解此题的关键.30.(1)计算:21)-(2)已知a ,b 是正数,4a b +=,8ab =【答案】(1)5-2(1)根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题;(2)先将所求式子化简,然后将a+b=4,ab=8代入化简后的式子即可解答本题. 【详解】解:(1)原式21)=-(31)(23)=---5=-;(2)原式=== a ,b 为正数, ∴原式=把4a b +=,8ab =代入,则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值,完全平方公式、平方差公式,解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】根据二次根式加法法则,二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= , ∴A 、C 、D 均错误,B 正确, 故选:B.此题考查二次根式的加法法则,二次根式的乘法法则,熟记计算法则是正确解题的关键. 2.C解析:C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可.【详解】AB、C,故本选项正确;D、=18,故本选项错误;故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,掌握二次根式的化简是解题的关键.3.D解析:D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案.【详解】解:AB、=,故此选项错误;C2,故此选项错误;D,正确;故选:D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握计算法则是关键.4.B解析:B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项;利用立方根性质判断D选项.【详解】A,故该选项错误;B===,故该选项错误;C3D11223334=(2)2==,故该选项错误;故选:B.【点睛】本题考查二次根式以及立方根,二次根式计算时通常需要化为最简二次根式,然后按照运算法则求解即可,解题关键是细心.5.A解析:A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算,然后选择正确答案.【详解】解:======,原式计算错误;D. 2220=-=,原式计算错误;故应选:A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法,掌握运算法则是解答本题的关键.6.A解析:A【分析】a≥0)的式子叫做二次根式,据此可得结论.【详解】解:A是二次根式,符合题意;B是三次根式,不合题意;C、当x<0D、x属于整式,不合题意;故选:A.【点睛】此题考查二次根式的定义,关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数.7.B解析:B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|,然后根据x的取值范围分别讨论,求出符合题意的x的值即可.【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|,当1-x≥0,x-4≥0时,可得x无解,不符合题意;当1-x≥0,x-4≤0时,可得x≤1时,原式=1-x-4+x=-3;当1-x≤0,x-4≥0时,可得x≥4时,原式=x-1-x+4=3;当1-x≤0,x-4≤0时,可得1≤x≤4时,原式=x-1-4+x=2x-5,据以上分析可得当1≤x≤4时,多项式等于2x-5,故选B.【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简,要注意正负号的变化,分类讨论.8.B解析:B【解析】=,可知当(a﹣3)2=0,即a=3故选B.9.C解析:C【解析】试题解析:∵a1,a∴1-a≥0,a≤1,故选C.10.D解析:D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:①两条平行线直线被第三条直线所截,同位角相等,故错误;②0.01的算术平方根是0.1,故错误;)=17322+=,故错误;④如果点P(3-2n,1)到两坐标轴的距离相等,则n=1或n=2,故错误,故选D.【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质,难度一般.解析:A【解析】根据题意得:|x2–4x,所以|x2–4x+4|=0,即(x–2)2=0,2x–y–3=0,所以x=2,y=1,所以x+y=3.故选A.12.B解析:B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=,=0=,∴x=-2或x=3,又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩,∴x=3,故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件,熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13.【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零,即可完成.【详解】根据题意,解得:①当时,解得:即:①当时,解得:即:故自变量x的取值范围为【点睛】解析:11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零,即可完成.【详解】根据题意,220x x +≠解得:0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时,120x -≥ 解得:12x ≤ 即:102x <≤①当0x <时,120x +≥ 解得:21x ≥-即:102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件,熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14.1【分析】设a=,b=,得出x ,y 及a ,b 的关系,再代入代数式求值.【详解】解:设a=,b=,则x2−a2=y2−b2=2008,∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析:1【分析】设x ,y 及a ,b 的关系,再代入代数式求值. 【详解】解:设x 2−a 2=y 2−b 2=2008, ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得:x+a=y−b ,x−a=y+b∴x=y ,a+b=0,∴, ∴x 2=y 2=2008,∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值,解题的关键是求出x,y及a,b的关系.15.10【解析】根据完全平方式的特点,可得x2+xy+y2=(x+y)2﹣xy=(2)2﹣(+1)(﹣1)= 12﹣2=10.故答案为10.解析:10【解析】根据完全平方式的特点,可得x2+xy+y2=(x+y)2﹣xy=(2﹣1)=12﹣2=10.故答案为10.16.﹣2b【解析】由题意得:b<a<0,然后可知a-b>0,a+b<0,因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣(a+b)]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b.故答案为﹣2b.点睛:本题主要考查了二次根式和绝对解析:﹣2b【解析】由题意得:b<a<0,然后可知a-b>0,a+b<0,因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣(a+b)]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b.故答案为﹣2b.点睛:本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简.特别因为a.b都是数轴上的实数,注意符号的变换.17.【分析】先根据确定m的取值范围,再根据,推出,最后利用来确定a的取值范围.【详解】解:为整数为故答案为:5.【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小,利用解析:5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围,再根据m a +=32a ≤≤,最后利用78<<来确定a 的取值范围.【详解】 解:()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为:5.【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小,利用“逼近法”得出围是解此题的关键.18.【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方,整理后再平方,然后整理即可得解.【详解】移项得,两边平方得,整理得,两边平方得,所以,两边除以400得,1.故答案为1.【点睛】解析:【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方,整理后再平方,然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得,()()22223=1003x y x y ++--+整理得,253x =- 两边平方得,22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以,221625400x y +=两边除以400得,222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质,此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19.-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值,再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5,故答案为:-5.【点睛】此解析:-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值,再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5,|2|a故答案为:-5.【点睛】此题考查二次根式的化简,绝对值的化简,整式的加减法计算法则,正确化简代数式是解题的关键.20.【分析】直接合并同类二次根式即可.【详解】解:.故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加,而根指数与被开方数都不变.解析:【分析】直接合并同类二次根式即可.【详解】解:=.故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加,而根指数与被开方数都不变.三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无27.无28.无29.无30.无。
专题01 二次根式的混合运算(专项培优训练)(教师版)
专题01 二次根式的混合运算(专项培优训练)试卷满分:100分考试时间:120分钟难度系数:0.53一.填空题(共12小题,满分24分,每小题2分)1.(2分)(2023•原平市模拟)计算的结果为 7 .解:===7,故答案为:7.2.(2分)(2023春•嘉定区期末)计算:= .解:原式=2﹣+3=.故答案为:.3.(2分)(2023春•莱州市期中)计算:×= 3﹣2 .解:原式=[(3+2)(3﹣2)]2012•(3﹣2)=(9﹣8)2012•(3﹣2)=3﹣2.故答案为:3﹣2.4.(2分)(2023春•西塞山区期中)已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为 a+1 .解:由实数a在数轴上的位置可得0<a<1,所以=a+1.故答案为:a+1.5.(2分)(2022•市南区三模)(温州)计算:+﹣(2+)0= 3 解:+﹣(2+)0=2+2+﹣1=3+1.6.(2分)(2022春•钦北区校级期中)已知,,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于 ﹣9 .解:由m=1+,得(m﹣1)2=2,即m2﹣2m=1,故7m2﹣14m=7,同理,得3n2﹣6n=3,代入已知等式,得(7+a)(3﹣7)=8,解得a=﹣9.7.(2分)(2023•封丘县校级开学)计算:= .解:原式=3﹣=3﹣=2.故答案为:2.8.(2分)(2023春•威县校级期末)嘉淇想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律,下面是他的探究过程,请补充完整.(1)具体运算,发现规律.式子1:;式子2:;式子3:;式子4: =4(写===4也可) ;(2)观察、归纳,得出猜想.若n为正整数,则式子n为: =n .解:(1)根据规律可得,=4.故答案为:=4(写===4也可);(2)运算规律为:=n.故答案为:=n.9.(2分)(2023春•邗江区期中)“黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌”.其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中有这样相辅相成的例子:,它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号,令(n为非负数),则;.则= 2023﹣ .解:=2023×(+++•••+)=2023×(+++•••+)=2023×(1﹣+﹣+﹣+﹣)=2023×(1﹣)=2023﹣.故答案为:2023﹣.10.(2分)(2023春•铁岭县期中)计算:(+1)2022(﹣1)2023= ﹣1 .解:原式=[(+1)(﹣1)]2022×(﹣1)=(2﹣1)2022×(﹣1)=﹣1.故答案为:﹣1.11.(2分)(2023春•高邮市期末)若,则bc的值为 ﹣3 .解:∵a﹣6=(b+c)2=b2+2bc+2c2=b2+2c2+2bc,∴2bc=﹣6,∴bc=﹣3.故答案为:﹣3.12.(2分)(2023春•东丽区期末)计算:(+2)(﹣2)= 3 .解:原式=()2﹣22=7﹣4=3,故答案为:3.二.选择题(共6小题,满分12分,每小题2分)13.(2分)(2023春•通河县期末)下列计算中,结果错误的是( )A.B.C.D.解:A、与不属于同类二次根式,不能运算,故A符合题意;B、5﹣2=3,故B不符合题意;C、÷=,故C不符合题意;D、(﹣)2=2,故D不符合题意;故选:A.14.(2分)(2022秋•昌图县期末)下列运算中,正确的是( )A.=B.=4C.2=2D.=解:A、与不属于同类二次根式,不能运算,故A不符合题意;B、==2,错误,故B不符合题意;C、2﹣=,错误,故C不符合题意;D、,故C符合题意.故选:D.15.(2分)(2022秋•安化县期末)下列各式不成立的是( )A.B.=C.D.解:A、﹣=3﹣=,A选项成立,不符合题意;B、=÷,B选项成立,不符合题意;C、==,C选项不成立,符合题意;D、==﹣,D选项成立,不符合题意;故选:C.16.(2分)(2022秋•绥中县校级期末)下列运算正确的是( )①,②=3,③,④=2,⑤=﹣3,⑥=3.A.1个B.2个C.3个D.4个解:①不是同类二次根式,不能加减,故①运算错误;②==3,故②运算正确;③=,故③运算正确;④÷===2,故④运算正确;⑤=|﹣3|=3,故⑤运算错误;⑥=3,故⑥运算错误.故选:C.17.(2分)(2022秋•方城县期中)下列计算正确的是( )A.2+3=5B.2×3=6C.=﹣6D.÷(+)=+解:A.2和3不能合并同类二次根式,故本选项不符合题意;B.2×3=(2×3)=6,故本选项符合题意;C.=6,故本选项不符合题意;D.÷(+)====,故本选项不符合题意;故选:B.18.(2分)(2022秋•长安区期中)下列计算正确的是( )A.2+3=5B.2×3=6C.5﹣2=3D.÷(+)=+解:A.2和3不能合并同类二次根式,故本选项不符合题意;B.2=(2×3)=6,故本选项符合题意;C.5和﹣2不能合并同类二次根式,故本选项不符合题意;D.÷(+)==,故本选项不符合题意;故选:B.三.简答题(共6小题,满分24分)19.(4分)(2023•江北区开学)计算下列各式:(1);(2).解:(1)原式=3++3﹣=3+;(2)原式=3﹣4+4+2﹣+=7﹣2﹣+.20.(4分)(2022秋•宝山区期末)计算:.解:原式=(4)2﹣72++=48﹣49++=﹣1++.21.(4分)(2023春•永顺县期末)计算:(1);(2).解:(1)原式=4﹣2+=4﹣2+=4﹣2+4=2+4;(2)原式=2+5﹣=6.22.(4分)(2023春•龙华区校级月考)(1)计算:.(2)解不等式组:.解:(1),=,=3+1﹣2,=2;(2)解不等式2+x<6﹣3x,得x<1,解不等式,得x≤4,∴不等式组的解集为:x<1.23.(4分)(2023•和平区校级开学)计算:(1);(2).解:(1)=(3﹣2)×=×=3;(2)=3+﹣5=﹣.24.(4分)(2023春•新宾县期末)计算:(1);(2).解:(1)原式=﹣1+3﹣1+=﹣1+3﹣1+2=3;(2)原式=3﹣(2﹣)+3﹣1=3﹣2++3﹣1=4.四.解答题(共6小题,满分40分)25.(6分)(2023春•雄县期中)嘉琪同学计算:,部分解题步骤如下.解:.(1)在以上解题步骤中用到了 BD (从下面选项中选出两个).A.等式的基本性质B.二次根式的化简C.二次根式的乘法法则D.通分(2)算到这里,他发现算式好像变得更复杂了,请用一种简便的方法解答此题.解:(1)观察可知把变为用到了二次根式的化简,然后把变为用到了通分,故答案为:BD;(2)===.26.(6分)(2023春•禹州市期中)阅读下列材料,然后解决问题.在进行二次根式的化简时,我们有时会遇到形如,,的式子,其实我们可以将其进一步化简:,=,如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”.(1)化简= ,= ,= ﹣ .(2)化简:.解:(1)==,==,===﹣,故答案为:;;﹣;(2)=+++=+++=(﹣1+﹣+﹣+﹣)=.27.(6分)(2023春•铁西区期中)在进行二次根式的化简时,我们有时会碰到形如,,这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==;==;===.像这样,把代数中分母化为有理数过程叫做分母有理化.化简:(1)(2)(n为正整数);(3)求的值.解:(1)==﹣.(2)==﹣;(3)=+++...+=﹣1+﹣+﹣+...+﹣=﹣1.=2﹣1.28.(6分)(2023春•绥棱县期末)在进行二次根式的化简与运算时,如遇到,,这样的式子,还需做进一步的化简,这种方法叫分母有理化.,①,②,③参照③式方法化简:.解:====.29.(8分)(2023春•清江浦区期末)像、、…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,例如,和、与、与等都是互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:(1)计算:①= ,②= ;(2)计算:.解:(1)①,故答案为:;②,故答案为:;(2)===2+﹣﹣1=1.30.(8分)(2022春•开州区期中)我们知道平方运算和开方运算是互逆运算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何将双重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化简呢?如能找到两个数m,n(m>0,n>0),使得()2+()2=a即m+n=a,且使=即m•n=b,那么=|±|,双重二次根式得以化简;例如化简:;∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2×∴=1+由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式,且能找到m,n(m>0,n>0)使得m+n =a,且m•n=b,那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:(1)填空:= ﹣ ;= + ;(2)化简:①②(3)计算:+.解:(1)填空:=﹣;=+;(2)①==+;②==﹣;(3)+=+=+=+=.故答案为﹣;+。
第十六章 二次根式(培优卷)(原卷版)
第十六章二次根式(培优卷)一、单选题1.(2021·山东河东·七年级期末)2021=0的值为()A.0B.2021C.-1D.12.(2021·福建南安·九年级期中)若x=y=222x xy y++的值为().A.2B.2021C.-D.8 3.(2021·=.=关于解答过程,下列说法正确的是().A.两人都对B.甲错乙对C.甲对乙错D.两人都错4.(2021·河北八年级期中)墨迹覆盖了等式“=中的运算符号,则覆盖的是()A.+B.﹣C.×D.÷5.(2021·湖北)已知按照一定规律排成的一列实数:﹣1﹣2,﹣,…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是()A B C D.20216.(2021·山东青州·八年级期末)如图是一个无理数生成器的工作流程图,根据该流程图,下列说法:①当输出值y x为5或25;②当输入值为64时,输出值y③对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y;④存在这样的正整数x,输入x之后,该生成器能够一直运行,但始终不能输出y值.其中错误的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个.7.(2021·山东河东·八年级期末)我们把形如b(a,b型无理数,如12属于无理数的类型为().A型B C型D8.(2021·浙江滨江·八年级期中)对式子m,正确的结果是()A B.C.D9.(2021·全国·九年级专题练习)=x、y、z为有理数.则xyz=()A.34B.56C.712D.131810.(2021·广西钦州·七年级期末)如图是一张正方形的纸片,下列说法:①若正方形纸片的面积是1,则正方形的长为1;②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π,设圆形纸片的周长为C圆,正方形纸片的周长为C正,则C圆<C正;③若正方形纸片的面积是16,沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片,使它的长和宽之比为3:2,其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题11.(2021·山东青州·八年级期末)已知2x=,则代数式24x++的值等于___.12.(2021·江西·景德镇一中七年级期中)_______13.(2021·山东商河·八年级期中)计算:)20142)2015=______.14.(2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末)==a b =______.15.(2021·浙江金华市·八年级期末)对于实数a 、b 作新定义:@a b ab =,b a b a =※,在此定义下,计算:--2-=※________.16.(2021·安徽八年级期中)在数学课上,老师将一长方形纸片的长增加,宽增加,就成为了一个面积为2192cm 的正方形,则原长方形纸片的面积为________2cm .17.(2020·全国·八年级课时练习)已知x 、y 满足:1<x <y <100,且+.18.(2021·浙江杭州市·八年级模拟)比较下列四个算式结果的木小:(在横线上选填“>”、“<”或“=”)(1)①________;②__________;③_________.(2)通过观察归纳,写出反映这一规律的一般结论 .三、解答题19.(2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中)(1(2)(3(41)20.(2021·洛阳市第五中学八年级期中)2)2)=1a (a≥0)、+1)﹣1)=b ﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有22(+2(22+2´22+2+1﹣1,次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:(1(2)计算:(3的大小,并说明理由.21.(2021·湖北沙区·三模)小颖利用平方差公式,自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解5的过程.m,与原方程相乘得:×5m,x﹣2﹣(x﹣7)=5m,解之得m=1,1,与原方程相加得:+5+1,6,解之得,x=11,经检验,x=11是原方程的根.1.22.(2021·江西)1=-;==2==.试求:(1(2n为正整数)的值.(3)计算:)1L.23.(2021·四川大邑·八年级期中)阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如,善于思考的小明进行了以下探索,若设a+ba,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到一种把类似a+(1)若a+,当a,b,m,n均为整数时,用含m,n的式子分别表示a,b,得:a= ,b= .(2)若a,当a,m,n均为正整数时,求a的值.(3.24.(2020·江苏省初二月考)甲是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1.2(1=222(22m m n=+=++2(m=+2(m=+细心观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:)2+1=2,S 1)2+1=3,S 2;)2+1=4,S 3;….(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出OA 10的长;(2)求出的值.25.(2021·北京·八年级单元测试),3,…按下面的方式进行排列:,,那么(1所在的位置应记为;(2)在的位置上的数是,所在的位置应记为;(3)这组数中最大的有理数所在的位置应记为.222123210S S S S +++¼+ 3,M(1,5)(2,3)(4,1)。
八年级数学二次根式培优专题
《二次根式》培优习题训练 【知识要点】1.二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中 叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.2. ()()a aa 20=≥.3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系.(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数.(2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数.(3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.4、性质:(1)非负性:a a ()≥0是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.(2).()()a aa 20=≥性质既可正用,也可反用, 反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:a a a =≥()()20(3) a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.5、(1)最简二次根式:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号.(2)同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。
6、(1)分母有理化:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
(2)有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们 的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。
有 理化因式确定方法如下:①单项二次根式:a =来确定,如:,b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式:利用平方差公式来确定。
如a +与a -,,分别互为有理化因式。
(3)分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算:(1)二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积, 等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式培优试题
二次根式培优试题一、选择题(本大题共32小题)1.下列四个数:-3,-,-π,-1,其中最小的数是()A.-πB.-3C.-1D.-2.已知整数m满足m<<m+1,则m的值为()A.4B.5C.6D.73.在实数,3.1415926,0.123123123…,π2,,,,,0.1010010001…(相邻两个1中间一次多1个0)中,无理数有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列各式正确的是()A.a+b<0B.a-b>0C.<0D.|a|•|b|<05.如果m>0,n<0,m<|n|,那么m,n,-m,-n的大小关系是()A.-n>m>-m>nB.m>n>-m>-nC.-n>m>n>-mD.n>m>-n>-m6.已知无理数x=+2的小数部分是y,则xy的值是()A.1B.-1C.2D.-27.下列计算正确的是()A.=2B.3+=3C.+=D.+=38.化简的值为()A.4B.-4C.±4D.29.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为()A.-1B.-1C.2D.10.如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为()cm2.A.16-8B.-12+8C.8-4D.4-211.实数的平方根()A.3B.-3C.±3D.±12.若=x-5,则x的取值范围是()A.x<5B.x≤5C.x≥5D.x>513.若的小数部分为a,的小数部分为b,则a+b的值为()A.0B.1C.-1D.214.实数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a|的结果为()A.-2a+bB.-bC.-2a-bD.b15.一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-216.已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a-15,这个数的值为( )A.4B.±7C.-7D.4917.若3a-22和2a-3是实数m的平方根,则的值为()A.7B.5C.25D.1918.下列二次根式中,与是同类二次根式的是()A. B. C. D.19.的算术平方根是( )A.2B.±2C.D.±20.当0<x<3时,化简-的正确结果是()A.4B.-4C.2-2xD.2x-221.已知y=,则的值为()A. B.- C. D.-22.已知x=,y=,则x2+xy+y2的值为()A.16B.20C.2D.423.计算(+1)2016(-1)2017的结果是()A.-1B.1C.+1D.324.下面的推导中开始出错的步骤是()①2==,②-2==,所以③2=-2,④2=-2.A.①B.②C.③D.④25.已知=1.147,=2.472,=0.5325,则的值是()A.24.72B.53.25C.11.47D.114.726.若,则x2015+y2016的值()A.0B.1C.-1D.227.下列说法错误的是( )A. B.-3 C.2的平方根是 D.28.如图,数轴上A,B两点表示的数分别为-1和,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为()A.-2-B.-1-C.-2+D.1+29.计算的结果是( )A.6B.C.2D.30.在下列说法中正确的有( )①两个无理数的和与差一定是无理数;②两个无理数的积与商一定是无理数;③一个无理数与一个有理数的和仍是无理数;④一个无理数与一个有理数的积仍是无理数.A.0个B.1个C.2个D.3个31.下列计算正确的是()A. B. C. D.32.把a根号外的因式移入根号内的结果是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共17小题)33.的相反数是 ______ ,绝对值是 ______ .34.的立方根是 ______ .35.已知a,b为两个连续的整数,且a<b,则a+b= ______ .36.已知:≈44.91,≈14.0,则≈ ______ .37.一个实数的两个平方根分别是a+2和2a-5,则a= ______ .38.若,则= ______ .39.如果是整数,则正整数n的最小值是 ______ .40.定义新运算“☆”:a☆b=,则2☆(3☆5)= ______ .41.若的平方根为±3,则a= ______ .42.已知|a-2007|+=a,则a-20072的值是 ______ .43.已知某数的两个平方根分别是a+3与2a-15,则a= ______ ,这个数= ______ .44.已知a、b为实数,且ab≠0,那么-= ______ .45.定义运算“@”的运算法则为:x@y=,则(2@6)@8= ______ .46.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分,例如[3.69]=3.[]=1,按此规定,[-1]= ______ .47.观察下面的各个等式:=-1,,,,…从上述等式中找出规律,并用这一规律计算:()(+1)=____________.48.计算:+…+= ______ .49.若实数a、b满足(a-5)2+=0,则a+b=____________.三、计算题(本大题共13小题)50.计算:(1)2-6+3(2)-+; (3)×÷(4)+2-(-)(5)-+-|-| (6)3÷+(-1)2 (7) (8)(3-4)÷ (9) |-|+|-2|-|-1| (10)+-+(-1)2016 (11)(2-3)2-(-)(+)51. 解方程:(1)(x-2)2=25. (2) 27(x+1)3=125四、解答题(本大题共8小题,共64.0分)52.小明在解决问题:已知a=,求2a2-8a+1的值,他是这样分析与解的:∵a===2-∴a-2=-∴(a-2)2=3,a2-4a+4=3∴a2-4a=-1∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1请你根据小明的分析过程,解决如下问题:(1)化简+++…+(2)若a=求4a2-8a+1的值.53.阅读下列材料,然后回答问题:在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如、这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==;===-1.以上这种化简过程叫做分母有理化.还可以用以下方法化简:====-1.请任用其中一种方法化简:①;②.54.若的整数部分为a,小数部分为b,求a2+b-的值.55.如图,化简.56.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图2中,画一个直角三角形,使它们的三边长都是无理数;(3)在图3中,画一个正方形,使它的面积是10.。
二次根式培优专题
二次根式培优专题一、选择题1.下列各式中,不是二次根式的是( )A .45 B .3π- C .14 D .122、现有边长AB =10,BC =5的矩形纸片ABCD ,对角线BD 。
在AB 上取一点G ,以DG 为折痕,使DA 落在DB 上,则AG 的长是:( ) A 、555+ B 、5510+ C 、555- D 、5510-3.下列说法正确的是( )A .若a a -=2,则a<0 B .0,2>=a a a 则若 C .4284b a b a = D .5的平方根是54.下列式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x5.下列各式中,一定能成立的是( )A .22)5.2()5.2(=- B .22)(a a = C .1-x 122=+-x x D .3392+⋅-=-x x x6.下列说法错误的是 ( ) A .962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式C .22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是47.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是( ) A .m=0 B .m=1 C .m=2 D .m=38.二次根式132(3)mm ++的值是( ) A .23 B .32 C .22 D .09.化简2||(0)x x y x y --<<的结果是( ) A .x y 2- B .y C .y x -2 D .y -10.已知2218102x xx x ++=,则x 等于( ) A .4 B .±2 C .2 D .±4 11.若32+=a ,32-=b ,则a 与b 的关系是( ) A .互为相反数;B .互为倒数;C .互为负倒数;D .以上均不对。
12.已知:a=,b=,则a 与b 的关系是( ) A .ab=1 B .a+b=0 C .a ﹣b=0 D .a 2=b 213.若1≤x <2,则的值为( ) A .2x ﹣4 B .﹣2 C .4﹣2xD .214.已知,ab >0,化简二次根式a 的正确结果是( ) A . B . C .﹣ D .﹣15.把中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) A .B .C .D .16.化简二次根式22aa a+-的结果是﹙ ﹚A .2--a B .2---a C .2-a D .2--a 17.若x<0,则xx x 2-的结果是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .218.已知a<02a 2a │可化简为( ) A .-a B .a C .-3a D .3a19.若11x x ---2()x y =+,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .320.已知:1080n 是整数,则满足条件的最小正整数n 为() A .2 B .3 C .30 D .120.二、填空1.实数在数轴上的位置如图1所示,化简————。
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二次根式培优练习题一.选择题(共14 小题)1.使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是()A. x≥ 3 B. x>3 且 x≠4 C. x≥ 3 且 x≠4 D.x>32.若=3﹣a,则 a 与 3 的大小关系是()A. a< 3B. a≤3 C.a>3 D.a≥33.如果等式( x+1)0=1 和=2﹣3x 同时成立,那么需要的条件是()A. x≠﹣ 1 B. x<且 x≠﹣ 1 C.x≤或 x≠1 D.x≤且 x≠﹣ 14.若 ab<0,则代数式可化简为()A. a B.a C.﹣ a D.﹣ a5.已知 xy<0,则化简后为()A.B.C.D.6.如果实数 a、b 满足,那么点( a, b)在()A.第一象限B.第二象限 C.第二象限或坐标轴上D.第四象限或坐标轴上7.化简二次根式,结果正确的是()A.B.C.D.8.若 a+ =0 成立,则 a 的取值范围是()A.a≥0 B.a>0 C.a≤0 D.a< 0 9.如果 ab> 0, a+b<0,那么下面各式:①= ,②× =1,③÷=﹣b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③10.下列各式中正确的是()A.B.=±3 C.(﹣)2=4 D.3 ﹣ =2 11.在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有()A. 2 个 B.3 个 C.4 个 D. 5 个12.若是一个实数,则满足这个条件的 a 的值有()A. 0 个 B.1 个 C.3 个 D.无数个13.当 a<0 时,化简的结果是()A.B.C.D.14 .下列计算正确的是() A .B.C.D.二.填空(共13 小)15.二次根式与的和是一个二次根式,正整数 a 的最小;其和.16.已知 a、b 足=a b+1, ab 的.17.已知 | a 2007|+ =a, a 20072的是.18.如果的是一个整数,且是大于 1 的数,那么足条件的最小的整数a= .19.已知 mn=5, m +n = .20.已知 a<0,那么 | 2a| 可化.21.算:的果.22.若最二次根式与是同二次根式, x= ..若,x= ;若 2 2, x= ;若( x 1)2 ,.23 x =( 3)=16 x=24.化 a 的最后果.25.察分析,探求出律,然后填空:,2,,2 ,,,⋯,(第n 个数).26.把根号外的因式移到根号内:=27.若 a 是的小数部分, a(a+6)= .三.解答(共7 小)28.下列解程:= = = = 2;===.回答下列:(1)察上面的解程,直接写出式子=;(2)察上面的解程,直接写出式子=;(3)利用上面所提供的解法,求++++⋯+的.29.一个三角形的三分、、(1)求它的周(要求果化);(2)你一个适当的x ,使它的周整数,并求出此三角形周的.30.如,数 a、b 在数上的位置,化:.31.先下列的解答程,然后作答:形如的化,只要我找到两个数a、b 使 a+b=m,ab=n,()2+()2=m,? = ,那么便有= = ±( a> b)例如:化解:首先把化,里 m=7, n=12;由于 4+3=7,4×3=12,即()2+()2=7,? =,∴===2+由上述例的方法化:(1);(2);(3)..已知x=2 ,求代数式(2+(2+ )x+ 的.32 7+4 )x33.数 a、b 在数上的位置如所示,化:| a| .34.察下列各式:;;⋯,你猜想:(1)=,=.(2)算(写出推程):(3)你将猜想到的律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来.参考答案一.选择题(共14 小题)1.C;2.B;3.D;4.C;5.B;6.C;7.D;8.C;9.B;10.A;11.B;12.B;13.A;14.D;二.填空题(共13 小题)15.6;﹣;16.±;17.2008;18.1;19.±2;20.﹣3a;21.1;22.0;23.±5;± 3;5 或﹣ 3; 24.﹣ 2;25.2;;26.;27.2;三.解答题(共7 小题)28.﹣;﹣;29.;30.;31.;32.;33.;34.5;6;;。
二次根式12套培优练习题及答案
二次根式练习(03)一、选择题(每小题2分,共30分) 1、25的平方根是( )A 、5B 、–5C 、5±D 、5± 2、2)3(-的算术平方根是( )A 、9B 、–3C 、3±D 、3 3、下列叙述正确的是( )A 、0.4的平方根是2.0±B 、32)(--的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中,错误的是( ) A 、864±=±B 、1511225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=-5、下列各数中,无理数的个数有( ) 10.1010017231642π--,, , ,, 0, - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果x -2有意义,则x 的取值范围是( ) A 、2≥xB 、2<xC 、2≤xD 、2>x7、化简1|21|+-的结果是( ) A 、22-B 、22+C 、2D 、28、下列各式比较大小正确的是( ) A 、32-<-B 、6655->- C 、14.3-<-π D 、310->-9、用计算器求得333+的结果(保留4个有效数字)是( )A 、3.1742B 、3.174C 、3.175D 、3.1743 10、如果mm m m -=-33成立,则实数m 的取值范围是( )A 、3≥mB 、0≤mC 、30≤<mD 、30≤≤m 11、计算5155⨯÷,所得结果正确的是( )A 、5B 、25C 、1D 、5512、若0<x ,则xx x 2-的结果为( )A 、2B 、0C 、0或–2D 、–213、a 、b 为实数,在数轴上的位置如图所示,则2a b a +-的值是( ) A .-b B .b C .b -2a D .2a -b 14、下列算式中正确的是( )A 、333n m n m -=-B 、ab b a 835=+C 、1037=+x xD 、52523521=+15、在二次根式:①1281827中,与3是同类二次根式的是( )A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④ 二、填空题(每小题2分,共20分)16、–125的立方根是_____. 17、如果9=x ,那么x =________;如果92=x ,那么=x ________.18、要使53-x 有意义,则x 可以取的最小整数是 . 19、平方根等于本身的数是________;立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数,且02122=-x ,则.____=x 21、若b a 、是实数,012|1|=++-b a ,则._____22=-b a 22、计算:①____;)32(2=-②._____1964522=-23 2.645=== .24、计算:._____1882=++25、已知正数a 和b ,有下列命题:(1)若2=+b a ,则ab ≤1 (2)若3=+b a ,则ab ≤23 (3)若6=+b a ,则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想:若9=+b a ,则ab ≤________. 三、解答题(共50分) 26、直接写出答案(10分)② ④⑦348- ⑧()225+ ⑨27、计算、化简:(要求有必要的解答过程)(18分) ①8612⨯ ②)7533(3-③32 -321+2④123127+- ⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题(10=____,,=______. 根据计算结果,回答:(1a 吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.(2)利用你总结的规律,计算 ①若2x 〈②=_____29、(6分)已知一个正方形边长为3cm ,另一个正方形的面积是它的面积的4倍,求第二个正方形的边长。
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二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题: 1、使式子x 2有意义的 x 的取值范围是x2、无论 x 取任何实数,x2 6x m 都有意义,则m的取值范围是3、已知yx2 4 8 2x 2,求 x+y 的值4、已知实数a,b,c满足2 a 3 4 b 0 ,c24b 4c 12 0 ,求a+b+c的值。
练习:1、使式子x 1有意义的 x 的取值范围是x 12、若a2 4a b 3 4 ,则 a2 2b =3、若2014 a a 2015 a ,则a 20142 =二、简单的二次根式的化简例题: 1、如果式子( x 1)2 x 2 2 x 3 ,则x的取值范围是12、把( a b)根号外的因式移到根号内的结果为b a练习:1、化简( 1)a 1( 2)xx 2 a2x2、已知 a,b,c 为 ?ABC的三边,化简( a b c) 2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2 的结果为是3、若1 x 1 x ,则(x 1) 2=三、二次根式的运算与规律探究例: 1、察下列各式: 1 1 2 3 4 12 3 1 1 , 1 2 3 4 5 22 3 2 1,1 3 4 5 6 323 3 1,猜 1 2014 2015 2016 20172、算2015 2016 2017 2018 1 20162的果:1、 n,k 正整数,,,,已知,2、小明做数学,,,,, 按上述律 , 第 n 个等式是3、 S=++⋯ +,求不超S 的最大整数四、分母有理化例:黑白双雄、横江湖;双合璧,天下无.是武侠小中常的描述,其意是指两人合在一起,取短,威力无比.在二次根式中也有种相相成的“ 子”如:,与的不含有根号,我就两个式子互有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是二次根式可以解:,像,通分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.解决:①的有理化因式是,1分母有理化得12② 算:③ 算:.④已知,,⑤已知 :,,, 试比较 a、b、 c 的大小 .练习:1、计算( 1 1 1 1 )( 2004 1) =2 23 3 2 20031 20042、已知则3、已知实数x,y 满足, 则的值为五、二次根式的计算综合题例题:计算:(1)6 4 3 3 2( 2)2 6( 3)2 3 2 217 12 2 ( 6 3)( 3 2) 3 2 5练习:计算( 1)( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)19992001(2)(3)(4)863 8 63 ( 5)1 14 59 30 2 3 66 40 2六、二次根式的求值例题: 1、先化简 , 再求值, 其中,.2、设 m>0,x 3x 1 m ,求代数式x 3x 1 的值3、若,, 求 xy.4、设 a=,求a5+2a4-17a3-a2+18a-17的值.5、正数 m,n 满足, 求的值.练习: 1、已知1x 1 ,那么1x 值是x x2、若,, 则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b 满足, 且满足, 求的值5、如果, 求的值.。
二次根式12套培优练习题及答案
二次根式练习(03)一、选择题(每小题2分,共30分)1、25的平方根是()A、5B、–5C、5±D、5±2、2)3(-的算术平方根是()A、9B、–3C、3±D、33、下列叙述正确的是()A、0.4的平方根是2.0±B、32)(--的立方根不存在C、6±是36的算术平方根D、–27的立方根是–34、下列等式中,错误的是()A、864±=±B、1511225121±=C、62163-=-D、1.0001.03-=-5、下列各数中,无理数的个数有()10.1010017231642π--, , 0, -A、1B、2C、3D、46、如果x -2有意义,则x 的取值范围是()A、2≥xB、2<x C、2≤x D、2>x 7、化简1|21|+-的结果是()A、22-B、22+C、2D、28、下列各式比较大小正确的是()A、32-<-B、6655->-C、14.3-<-πD、310->-9、用计算器求得333+的结果(保留4个有效数字)是()A、3.1742B、3.174C、3.175D、3.174310、如果mm m m -=-33成立,则实数m 的取值范围是()A、3≥mB、0≤mC、30≤<m D、30≤≤m 11、计算5155⨯÷,所得结果正确的是()A、5B、25C、1D、5512、若0<x ,则xx x 2-的结果为()A、2B、0C、0或–2D、–213、a、b 为实数,在数轴上的位置如图所示,则2a b a +-的值是()A.-bB.bC.b-2aD.2a-b14、下列算式中正确的是()A、333n m n m -=-B、ab b a 835=+C、1037=+x x D、52523521=+15、在二次根式:①1281827中,与3是同类二次根式的是()A、①和③B、②和③C、①和④D、③和④二、填空题(每小题2分,共20分)16、–125的立方根是_____.17、如果9=x ,那么x =________;如果92=x ,那么=x ________.18、要使53-x 有意义,则x 可以取的最小整数是.19、平方根等于本身的数是________;立方根等于本身的数是_______20、x 是实数,且02122=-x ,则.____=x 21、若b a 、是实数,012|1|=++-b a ,则._____22=-b a 22、计算:①____;)32(2=-②._____1964522=-2.645===.24、计算:._____1882=++25、已知正数a 和b ,有下列命题:(1)若2=+b a ,则ab ≤1(2)若3=+b a ,则ab ≤23(3)若6=+b a ,则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想:若9=+b a ,则ab ≤________.三、解答题(共50分)26、直接写出答案(10分)②④⑦348-⑧()225+⑨27、计算、化简:(要求有必要的解答过程)(18分)①8612⨯②)7533(3-③32-321+2④123127+-⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题(10=____,=______.根据计算结果,回答:a 吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.(2)利用你总结的规律,计算①若2x 〈=②=_____29、(6分)已知一个正方形边长为3cm,另一个正方形的面积是它的面积的4倍,求第二个正方形的边长。
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5.己知xy<0,则山弓化简后为( )A.B.-xVy C. D.6.如果实数a 、b 满足后兵-北咨,那么点(a , b)A.第一象限B.第二象限C.第二象限或坐标轴上 7.化简二次根式」二^,结果正确的是( )A. &D.第四象限或坐标轴上 B. & C. 右8.若a+J^=O 成立,则a 的取值范围是( )A. a 》0 B. a>0 C. aWO D. a<09.如果ab>0, a+bVO,那么下面各式:①13.当aVO 时,化简」芋的结果是()A ・C.D. -p/b二次根式培优练习题%1. 选择题(共14小题)1. 使代数式还玉有意义的自变量x 的取值范围是()x-4 A. xN3 B. x>3 且 x 乂4C. xN3 且 xU4D ・ x>3 2. 若Jg_6a+ "=3・a,则a 与3的大小关系是( )A. a<3B. aW3C. a>3D. a 》3 3.如果等式(x+1) °=1和7(3X -2) 2=2" 3x同时成立,那么需要的条件是()A. - 1B. x<—且 xK-lC. x<—或 x/lD.3 34.若ab<0,则代数式可化简为( )A. aVbB. a\/-bC. - aVbD. - aV~b 中正确的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③10.下列各式中正确的是( )A.寸(一7)2二]B.V9=±3 C.( - 梃)2=4 D. 3^2 - V2=2义、底罕中与、奇是同类二次根式的有( )V abA. 2个B. 3个C.4个D.5个12.若是一个实数,则满足这个条件的a 的值有( )A. 0个B. 1个C. 3个D.无数个X=1, - b,其11.在二次根式J 克、14 .下列计算正确的是()A . J(-16)X (-9)二二-4X (-3)二1218.19. 21.如果施的值是一个整数,且是大于1的数,那么满足条件的最小的整数*. 20-己知a<0,那么l"-2a|可化简为计算:3^V3><22.若最简二次根式2奴亦与-折卢是同类二次根式,则后23. 若=5,则 x=;若)<2二(-3)之,则 x=;若(x - 1) 2=16, x=. 24. 化简的最后结果为.25. 观察分析,探求出规律,然后填空:血,2,2匝,而,,…, (第n 个数).26.把根号外的因式移到根号内:(z )JX=-后V l~a27.若a 是的小数部分,则a (a+6) =.三.解答题(共7小题)28.阅读下列解题过程:_I_=_*(抵*)__=_(蚯-也)_=扼《=诉-2- V5+V4 (膜 + 折)(鹏 M ) ,1 _ IX ( &)V~6 +V5(V6 +V~5)(V6 ~V5)(V6)2-(V5)2=76^5.请回答下列问题:(1)(2)观察上面的解题过程,请直接写出式子亍、二V7+V6 _ 观察上面的解题过程,请直接写出式子=;V n+V n-1(3) —1—+ __ ± __ + __ k _ + _ ± _ + + __ ± __ 的值.V2+1 V3+V2 V4+V3 V5+V4V100+V99利用上面所提供的解法,请求1 X 1 X 1 X X 1B ・ 78a 4b 2=4a 2b c - V^+5^8+5= 13 D - 7252-242=7(25+24)(25-24)=749=7 %1. 填空题(共13小题)15. 二次根式-3/云与J 疝的和是一个二次根式,则正整数a 的最小值为;其和 为・ 16. 巳知 a 、b 满足寸(2-&) 2二&+3,且\/a-b+l =a 一 b+1,则 ab 的值为 17. 已矢口 | a - 20071 +Va-2008=a,则 a - 20072 的值是 己知mn=5,二的结果为V329.一个三角形的三边长分别为建、奇声、言脂(1)求它的周长(要求结果化简);(2)请你给一个适当的x值,使它的周长为整数,并求出此时三角形周长的值.30.如图,实数a、b在数轴上的位置,化简:后」^项(壶)2.a b_j ------ _i——e-J -------- 1_►-2 -1 0 1 231.先阅读下列的解答过程,然后作答:形如唇疝的化简,只要我们找到两个数a、b使a+b=m, ab=n,这样(仲24- <Vb)2=m, 揭•展二Vii,那么便有2\^=V (Va ± Vb)2=Va±Vb(a>b)例如:化简寸7+4必解:首先把J7+4必化为顼7+2/丘,这里m=7, n=12;由于4+3=7, 4X3=12,即(V4)2+ (如)2=7, V4*V3=V12,二顼7+4扼二寸7+2顶12=/ (折+扼)2=2+扼由上述例题的方法化简:(1)713-2V42;(2)J7-J如;(3 ) V 2^/3,32.己知x=2-如,求代数式(7+4扼)X2+ (2+如)x+如的值.33.实数a、b在数轴上的位置如图所示,请化简:沽|-府-后・1 1 « > a 0 b请你猜想:(2)计算(请写出推导过程):法、《)口异k 1<月7山刃上寸以q王/:V ]3+(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n (n^l)的代数式表达出来参考答案%1.选择题(共14小题)1. C;2. B;3. D;4. C;5. B;6. C;7. D;8. C;9. B; 10. A; 11. B; 12. B; 13. A;14.D;%1.填空题(共13小题)15.6; - V3x; 16. ±【;17. 2008; 18. 1; 19. ±2^5; 20. - 3a; 21. 1; 22. 0; 23. ±— A 一5; ±3; 5 或-3; 24.二1V7京;25. 2^3;底;26.; 27. 2;%1.解答题(共7小题)28. W - V6; Vn - Vn-1; 29.;。
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【最新整理,下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题:1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数,m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ,012442=--+c b c ,求a+b+c 的值。
练习: 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014,则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题:1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ,则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习: 1、化简(1)aa1- (2)22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边,化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1,则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题:1、观察下列各式:121312+1431⨯+,⨯=⨯⨯+5463333+⨯+,猜测⨯⨯⨯=12++,1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习:1、设n,k为正整数,,,,已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+,求不超过S的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如:,与的积不含有根号,我们就说这两个式子互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是二次根式可以这样解:,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.1分母有理化解决问题:①的有理化因式是,12得②计算:③计算:.④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题(2)(3)(4)638638-++(5)24066312305941--+++六、二次根式的求值例题:1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=,求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值.5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
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二次根式专题 一、二次根式a 的双重非负性:(1)被开方数0≥a ;(2)a ≥0
典型题练习:
1.当m 时,5-3m 是二次根式;若12-x 有意义,则x 的取值范围是 ;
x 应满足的条件是 ;
2.若2014y =,则x+y= .
3.0|1|42=+-+++b a b a ,则2014)(b a -= .
4.m 12为整数,则m 的最小值为 .
二、最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式必须满足两个条件:
(1)被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不能含有分母。
同类二次根式必须满足的条件:被开方数相同。
典型练习:
1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是 .
a >0,
b >0); xy ≠0);
2.已知最简二次根式b a =______,b =_______.
3.若最简二次根式1+x 与x 2能合并成一个二次根式,则x _______.
三、二次根式的化简运算
1.2= , 2(= , 2
= , 2= ,
= ,= , 83= , x
x 652= , 2.计算下列各题:
(1)182712⨯÷ (2 )⎛÷ ⎝
(3)x x x x 3)1246(÷- (4)214181
22-+-;
3.化简2)41-(的值是( )
A .21
B .21-
C .41
D .41
-
4.2(3)--的值是( )
A. ±3
B. 3
C. -3
D. -9
5.若12)21(2-=-a a ,则a 的取值范围是( )
A 、21≥a
B 、21≤a
C 、21>a
D 、21
<a 6.已知2≤x ≤3,则2x 6x 91x -++-化简后,应等于( )
A . 4-2x
B . 2x -4
C . -2
D . 2
7.已知a=3+22,b=3-22,求22ab b a -的值。
8.3-=+b a ,2=ab ,求a b
a b a b +的值。
四、创新拓展提高题
1.比较数值的大小 :45 54; 310+ 112+;
2.式子494y -在实数范围内分解因式为 。
3.当x= 时,二次根式1+x 取最小值,其最小值为 。
4.若43-a ,小数部分为b ,则a
b =_______。
5.若3)3(-•=-m m m m ,则m 的取值范围是 。
6.已知2228
442142x x y x x x y y x x ++=--+,求的值.
检 测 题
一、选择题(每题3分,共30分):
1.函数y = )
A. x <2
B. x ≤2
C. x ≥2
D. x ≠2
2.。
下列各式中,最简二次根式是( )
A 、32
B 、22+a
C 、a 8
D 、23a
3 )A. ±3 B. 3 C. -3 D. -9
4.下列计算中,正确的是( )
A =.
22=-( D .)3()2(-⨯-=2-×3- 5.下列计算正确的是( )
A .4=
B 132
=
C 115236=+=
D == 6.下列说法错误的是( )
A .
B .
C .
D . 4
7a ,b 应满足( ) A .a ≥ 0 ,b ≥ 0 B .a ,b 同号C .a > 0 ,b ≥ 0 D .
b a ≥ 0 8.若2)2(2-=-a a ,则a 的取值范围是( )
A 、2≤a
B 、2≥a
C 、2>a
D 、2<a
9.已知b b a -+-+-=333,则b a +的值为( )
A 、 6
B 、-6
C 、0
D 、无法确定
10.已知1≤x ≤21x -化简后,应等于( )
A . 3-2x
B . 2x -3
C . -1
D . 1
二:填空(每题3分,共12分)
112x y 70+-=,则xy 的平方根是 .
12.等腰三角形的两条边长为那么这个三角形的周长为 .
13. 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。
14====a,b为正整数),则a=______,b=______,用含有n式子表示规律为______。
(n为正整数)
三、解答题(每题6分,共18分)
15.计算:÷
16.化简:
17.已知x+y=-8,xy=8,求+。