空间几何体表面积与体积公式大全
立体几何的表面积公式和体积公式
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立体几何的表面积公式和体积公式一、棱柱。
1. 直棱柱。
- 表面积公式:S = 2S_底+S_侧,其中S_底为底面多边形的面积,S_侧=Ch (C为底面多边形的周长,h为直棱柱的高)。
- 体积公式:V = S_底h。
2. 斜棱柱。
- 侧面积公式:S_侧=C'l(C'为直截面(垂直于侧棱的截面)的周长,l为侧棱长)。
- 体积公式:V = S_直截面l。
二、棱锥。
1. 棱锥。
- 表面积公式:S = S_底+S_侧,其中S_侧=∑_i = 1^n(1)/(2)l_ih_i(n为侧面三角形的个数,l_i为第i个侧面三角形的底边长,h_i为第i个侧面三角形的高)。
- 体积公式:V=(1)/(3)S_底h(h为棱锥的高)。
三、棱台。
1. 棱台。
- 表面积公式:S = S_上底+S_下底+S_侧,其中S_侧=∑_i =1^n(1)/(2)(l_i+l_i')h_i(n为侧面梯形的个数,l_i为棱台上底面第i条边的长,l_i'为棱台下底面第i条边的长,h_i为第i个侧面梯形的高)。
- 体积公式:V=(1)/(3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底)S_{下底})(h为棱台的高)。
四、圆柱。
1. 圆柱。
- 表面积公式:S = 2π r^2+2π rh(r为底面半径,h为圆柱的高)。
- 体积公式:V=π r^2h。
五、圆锥。
1. 圆锥。
- 表面积公式:S=π r^2+π rl(r为底面半径,l为圆锥的母线长)。
- 体积公式:V=(1)/(3)π r^2h(h为圆锥的高,且l=√(r^2) + h^{2})。
六、圆台。
1. 圆台。
- 表面积公式:S=π r^2+π R^2+π l(r + R)(r为上底面半径,R为下底面半径,l为圆台的母线长)。
- 体积公式:V=(1)/(3)π h(r^2+R^2+rR)(h为圆台的高)。
七、球。
1. 球。
- 表面积公式:S = 4π R^2(R为球的半径)。
高考前必看数学考点资料内容大全
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高考前必看数学考点资料内容大全在高考前一段时间的数学的复习中,应当听从老师的安排,跟随考纲的重点,明确复习的重要目标,查漏补缺,寻求新的提升。
下面是为大家整理的关于高考前必看数学考点资料内容,欢迎大家来阅读。
高中数学简单的知识点空间几何体表面积体积公式:1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)。
2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高。
3、a—边长,S=6a2,V=a3。
4、长方体a—长,b—宽,c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc。
5、棱柱S—h—高V=Sh。
6、棱锥S—h—高V=Sh/3。
7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3。
8、S1—上底面积,S2—下底面积,S0—中h—高,V=h(S1+S2+4S0)/6。
9、圆柱r—底半径,h—高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h。
第1页共7页10、空心圆柱R—外圆半径,r—内圆半径h—高V=πh(R^2—r^2)。
11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。
12、r—上底半径,R—下底半径,h—高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。
14、球缺h—球缺高,r—球半径,a—球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3。
15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6。
16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。
17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
几何学中的体积与表面积公式整理
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几何学中的体积与表面积公式整理几何学是研究空间中图形、形体的性质与变换规律的数学分支。
在几何学中,体积和表面积是两个重要的概念,求解几何体的体积和表面积是很常见的问题。
本文将综合整理常见几何体的体积与表面积公式,以帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、体积公式1. 立方体的体积公式立方体是一种六个面都为正方形的特殊几何体。
其体积公式为:体积 = 边长³或 V = a³,其中 a 为立方体的边长。
2. 正方体的体积公式正方体是一种六个面都为正方形且边长相等的特殊几何体。
其体积公式与立方体相同:体积 = 边长³或 V = a³,其中 a 为正方体的边长。
3. 长方体的体积公式长方体是一种六个面都为矩形且相邻两矩形边长相等的几何体。
其体积公式为:体积 = 长 ×宽 ×高或 V = lwh,其中 l 为长方体的长度,w 为宽度,h 为高度。
4. 圆柱的体积公式圆柱是一种由两个平行且相同大小的圆底面和连接两个圆底面的曲面组成的几何体。
其体积公式为:体积 = 圆底面积 ×高或V = πr²h,其中 r 为圆底面的半径,h 为圆柱的高度。
5. 锥形的体积公式锥形是一种由一个圆锥底面和连接顶点和圆锥底面上各点的直线段组成的几何体。
其体积公式为:体积 = 圆锥底面积 ×高 ÷ 3 或V = πr²h ÷ 3,其中 r 为圆锥底面的半径,h 为锥形的高度。
6. 球体的体积公式球体是一种所有点到中心点距离相等的几何体。
其体积公式为:体积= 4/3 × π × 半径³或V = 4/3 × πr³,其中 r 为球体的半径。
二、表面积公式1. 立方体的表面积公式立方体的表面积公式为:表面积 = 6 ×边长²或 A = 6a²,其中 a 为立方体的边长。
几何体的表面积和体积计算
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几何体的表面积和体积计算几何体是指由空间中的点、线、面构成的实体形状,包括常见的球体、立方体、圆柱体等。
在几何学中,表面积和体积是表征几何体大小和形状的重要指标。
本文将介绍几何体表面积和体积的计算方法。
一、球体的表面积和体积计算球体是一种具有无限个相同半径的曲面,其表面积和体积的计算公式如下:表面积公式:S = 4πr²体积公式:V = (4/3)πr³其中,r表示球体的半径,π是一个数学常数(约等于3.14159)。
二、立方体的表面积和体积计算立方体是一种六个面都相等且相互垂直的立方体形状,其表面积和体积的计算公式如下:表面积公式:S = 6a²体积公式:V = a³其中,a表示立方体的边长。
三、圆柱体的表面积和体积计算圆柱体由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成,其表面积和体积的计算公式如下:表面积公式:S = 2πr² + 2πrh体积公式:V = πr²h其中,r表示圆柱的底面半径,h表示圆柱的高。
四、其他除了球体、立方体和圆柱体外,还存在许多其他形状的几何体,如圆锥体、棱柱体、正四面体等。
它们的表面积和体积计算方法各不相同,具体的计算公式可以通过几何学原理来推导得到,或者通过公式手册查询获得。
在实际应用中,计算几何体的表面积和体积可以帮助我们求解一些实际问题,例如建筑设计、制造工程、容器容积计算等等。
掌握几何体的计算方法,对于解决各种几何问题非常重要。
总结:几何体的表面积和体积计算是几何学中的重要概念,不同几何体有不同的计算公式。
通过熟练掌握这些计算方法,我们可以准确地计算各种几何体的表面积和体积。
这不仅有助于我们理解几何体的特性和形状,也能够应用到实际问题中。
体积公式和表面积公式
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体积公式和表面积公式
体积和表面积是数学中的基本概念,下面是常见几何图形的体积公式和表面积公式:
1. 立方体:一个边长为a的立方体的体积公式为V=a,表面积
公式为S=6a。
2. 正方体:一个边长为a的正方体的体积公式为V=a,表面积
公式为S=6a。
3. 圆柱体:一个底面半径为r、高为h的圆柱体的体积公式为
V=πrh,表面积公式为S=2πrh+2πr。
4. 圆锥体:一个底面半径为r、斜高为l的圆锥体的体积公式
为V=1/3πrl,表面积公式为S=πrl+πr。
5. 球体:一个半径为r的球体的体积公式为V=4/3πr,表面积公式为S=4πr。
以上公式仅供参考,需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
如果遇到复杂的几何问题,也可以通过数学软件或工具来求解。
空间几何体的表面积及体积公式大全
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空间⼏何体的表⾯积及体积公式⼤全空间⼏何体的表⾯积与体积公式⼤全⼀、全(表)⾯积(含侧⾯积) 1、柱体①棱柱②圆柱 2、锥体①棱锥:h c S ‘底棱锥侧21=②圆锥:l c S 底圆锥侧213、台体①棱台:h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=②圆台:l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、球体①球:r S 24π=球②球冠:略③球缺:略⼆、体积 1、柱体①棱柱②圆柱 2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台 4、球体①球:rV 334π=球②球冠:略③球缺:略说明:棱锥、棱台计算侧⾯积时使⽤侧⾯的斜⾼h '计算;⽽圆锥、圆台的侧⾯积计算时使⽤母线l 计算。
三、拓展提⾼ 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的⼉⼦)夹在两个平⾏平⾯间的两个⼏何体,如果它们在任意⾼度上的平⾏截⾯⾯积都相等,那么这两个⼏何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之⽗⼦便是运⽤这个原理实现的。
2、阿基⽶德原理:(圆柱容球)圆柱容球原理:在⼀个⾼和底⾯直径都是r 2的圆柱形容器内装⼀个最⼤的球体,则该球体的全⾯积等于圆柱的侧⾯积,体积等于圆柱体积的32。
分析:圆柱体积:r r h S V r 3222)(ππ=?==圆柱圆柱侧⾯积:r h cS r r 242)2(ππ=?==圆柱侧因此:球体体积:r r V 3334232ππ=?=球球体表⾯积:r S 24π=球通过上述分析,我们可以得到⼀个很重要的关系(如图)+ =即底⾯直径和⾼相等的圆柱体积等于与它等底等⾼的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式: )(31S SS S h V 下下上上台++=证明:如图过台体的上下两底⾯中⼼连线的纵切⾯为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于⼀点P 。
设台体上底⾯积为S 上,下底⾯积为S 下⾼为h 。
易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=,则h h PF +=1由相似三⾓形的性质得:PFPEAB CD =即:hh hSS +=11下上(相似⽐等于⾯积⽐的算术平⽅根)整理得:SS h S h 上下上-=1⼜因为台体的体积=⼤锥体体积—⼩锥体体积∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台)(31)(313131111+-=-+=代⼊:SS h S h 上下上-=1得:h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即:)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(3S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析:将半球平⾏分成相同⾼度的若⼲层(层n ),n 越⼤,每⼀层越近似于圆柱,+∞→n 时,每⼀层都可以看作是⼀个圆柱。
空间几何体的表面积及体积公式大全.doc
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几何体的表面积和体积是初中几何学中一大重要内容,各类几何体都有自己独特的表面积和体积公式,学习这些公式对于便于更快更好地解决几何图形问题是至关重要的。
平面图形的表面积:
1. 三角形的表面积:S=(底×高)/2
3. 圆形的表面积:S=π×半径×半径
4. 平行四边形的表面积:S=(水平边的长度×垂直边的长度)/2
1. 正方体的表面积公式:S=6×边长×边长;体积公式:V=边长×边长×边长
2. 球体的表面积公式:S=4πr2;体积公式:V=4/3πr3
以上是几何体的表面积及体积公式,掌握这些公式能够帮助我们快速准确地解决各式几何图形的问题。
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空间几何体的表面积与体积公式大全一、全(表)面积(含侧面积)1、①棱柱②圆柱2、①②3、①②4、①球:②③二、1、①棱柱②圆柱2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台4、①球:②③三、1、2、则+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式:)(31S SS S h V 下下上上台++=证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
则∴V 即:)(33)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S S S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析:将半球平行分成相同高度的若干层(层n ),n 越大,每一层越近似于圆柱,+∞→n 时,每一层都可以看作是一个圆柱。
这些圆柱的高为nr,则:每个圆柱的体积h S V i i ==nrr i 2π……=2r nr ⨯π=[3r n n π=[3r n n π当→n ∴V 半球5、 ∴S =球6、(1则其体积为:a V 3=正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为:中间剩下的正四面体的体积为:a a a a hSV 322231]60sin 21[3131)32232()2()2(=-⨯︒⨯⨯⨯==⨯⨯正三棱锥这样一个即:61(2 (a)(b)(c)(d)(e)(3(a ) 正方体内切球直径=正方体棱长(b ) 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
(c ) 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半 (d ) 设正四面体棱长为a ,则与其棱都相切的球半径为r 1有:aar 422211=⨯= 7、利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体,使其截面与半球截面处处相等,根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明:作如下构造:在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。
如图:R ,∴S 1π=即:S 1 8、 正方体与球(1) 正方体的内切球正方体的棱长=a 球体的直径d (2) 正方体的外接球正方体的体对角线=a 3球体的直径d(3) 规律:①正方体的内切球与外接球的球心为同一点; ②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上; ③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为:3:1 ④正四面体内切球与外接球体积之比为:1:339(∴a h r 12641==即:a a r V 33321663434)126(πππ===球∴π3:18=V V 球正四机体: (2)正四面体的外接球 外接球的半径=)2332(224343a a⨯-⨯=⨯高=a 46 ∴2:33122:86:33ππ==aaV V 正四面体球 (310、 (1 球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。
表面积与体积公式
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在数学中,表面积和体积是基本的几何概念。
表面积指物体外部所覆盖的空间面积,体积则指物体占据的空间大小。
对于各种形状的物体,我们可以通过不同的公式来计算它们的表面积和体积。
一、常见几何图形的表面积和体积公式1.立方体立方体是一种正六面体,所有六个面都是正方形。
它的表面积和体积公式如下:表面积S = 6a²其中,a为立方体的边长。
体积V = a³2.正方体正方体也是一种正六面体,但是它的所有面都是正方形且相等。
它的表面积和体积公式如下:表面积S = 6a²其中,a为正方体的边长。
体积V = a³3.圆柱体圆柱体是一种由两个平行圆面和一个侧面组成的几何图形。
它的表面积和体积公式如下:表面积S = 2πrh + 2πr²其中,r为圆柱体底面半径,h为圆柱体的高度。
体积V = πr²h4.圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥面和一个底面组成的几何图形。
它的表面积和体积公式如下:表面积S = πr√(r²+h²) + πr²其中,r为圆锥底面半径,h为圆锥的高度。
体积V = 1/3πr²h5.球体球体是一种三维的几何图形,由所有与一个特定点的距离相等的点组成。
它的表面积和体积公式如下:表面积S = 4πr²其中,r为球体的半径。
体积V = 4/3πr³二、总结通过以上几种几何图形的表面积和体积公式,我们可以看出它们的计算方式都是基于图形的不同属性进行推导的。
在应用时,我们需要了解图形的性质和特征,然后选择适当的公式进行计算。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解几何概念,同时也方便我们在实际生活和工作中应用数学知识。
面积体积表面积公式大全
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面积体积表面积公式大全一、平面图形面积公式。
1. 长方形。
- 面积公式:S = ab(其中a为长,b为宽)。
2. 正方形。
- 面积公式:S=a^2(其中a为边长)。
3. 三角形。
- 面积公式:S=(1)/(2)ah(其中a为底边长,h为这条底边对应的高)。
- 已知三角形三边a、b、c,还可以用海伦公式S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)),其中p=(a + b+ c)/(2)。
4. 平行四边形。
- 面积公式:S = ah(其中a为底边长,h为这条底边对应的高)。
5. 梯形。
- 面积公式:S=((a + b)h)/(2)(其中a、b为梯形的上底和下底,h为梯形的高)。
6. 圆。
- 面积公式:S=π r^2(其中r为圆的半径)。
- 扇形面积公式:S=frac{nπ r^2}{360}(其中n为扇形圆心角的度数,r为扇形所在圆的半径)。
二、立体图形体积公式。
1. 长方体。
- 体积公式:V=abc(其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高)。
2. 正方体。
- 体积公式:V = a^3(其中a为正方体的边长)。
3. 圆柱。
- 体积公式:V=π r^2h(其中r为圆柱底面半径,h为圆柱的高)。
4. 圆锥。
- 体积公式:V=(1)/(3)π r^2h(其中r为圆锥底面半径,h为圆锥的高)。
5. 球。
- 体积公式:V=(4)/(3)π r^3(其中r为球的半径)。
三、立体图形表面积公式。
1. 长方体。
- 表面积公式:S = 2(ab+bc + ac)(其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高)。
2. 正方体。
- 表面积公式:S = 6a^2(其中a为正方体的边长)。
3. 圆柱。
- 表面积公式:S = 2π r^2+2π rh(其中r为圆柱底面半径,h为圆柱的高)。
4. 圆锥。
- 侧面积公式:S_侧=π rl(其中r为圆锥底面半径,l为圆锥的母线长)。
- 表面积公式:S=π r^2+π rl。
5. 球。
几何体表面积体积公式大全
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几何体表面积体积公式大全以下是一些常见的几何体的表面积和体积的公式:
1. 立方体
表面积:6a²
体积:a³
(a为边长)
2. 长方体
表面积:2lw + 2lh + 2wh
体积:lwh
(l为长度,w为宽度,h为高度)
3. 球体
表面积:4πr²
体积:4/3πr³
(r为半径)
4. 圆柱体
表面积:2πr(h + r)
体积:πr²h
(r为底面半径,h为高)
5. 圆锥体
表面积:πr(r + l)
体积:1/3πr²h
(r为底面半径,h为高,l为斜高)
6. 正四面体
表面积:√3a²
体积:a³/6√2
(a为边长)
7. 正六面体(立方体)
表面积:6a²
体积:a³
(a为边长)
8. 正八面体
表面积:2√3a²
体积:a³√2/3
(a为边长)
9. 正十二面体
表面积:3√(25+10√5)a²
体积:(15+7√5)/4 a³
(a为边长)
10. 正二十面体
表面积:5√3a²
体积:5(3+√5)/12 a³
(a为边长)
以上公式都是基于各几何体的特性和性质推导出来的,对于一些不规则的几何体,可能需要采用其他的数学方法来计算其表面积和体积。
空间几何体的表面积和体积公式大全
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空间几何体的表面积与体积公式大全全(表)面积(含侧面积)1、柱体①棱柱]----------------A S侧=Ch ■ S全=2S底* S侧②圆柱J _______ ___2、锥体①棱锥:S棱锥侧=^2c底h②圆锥:S圆锥侧=托底l3、台体①棱台:②圆台:S棱台侧S棱台侧_ 1二2(C上底C下底)h_ 1=2 (C上底.C下底)1* S全=S上+ S侧+ S下4、球体①球:S球=4r2②球冠:略③球缺:略S下S下体积1、柱体①棱柱]--------------卜V柱=Sh②圆柱J2、锥体①棱锥r②圆锥」1V柱=3S h3、台体1①棱台]V台=gh (S上NS上S^ +S下)②圆台J V圆台=3兀h (r上+Q r上r下+ r下)4、球体①球:V球=4二r'②球冠:略③球缺:略说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线I计算。
三、拓展提高1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子)夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的2、阿基米德原理:(圆柱容球)圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的-。
3分析:圆柱体积:V圆柱=Sh =(二「2)2r=2^r'圆柱侧面积:S圆柱侧=C h =(2 r) 2r = 4二「因此:球体体积:V球=2 2二J=4二r33 3球体表面积:S球=4 r2即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式:V台=1h (S上+ S下)证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 延长两侧棱相交于一点P设台体上底面积为S上,下底面积为S下P 高为h。
易知:PDC s .>PAB ,设PE = h i,则PF =h i h由相似三角形的性质得:CD PEAB PFA整理得:h 1 : =S上hPS 下-VS上又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积1 11 1 二V台=3S 下(h 1h K3S 上h^3h 1(S下一S上) 下h代入:h= i S 上芬得: V台=3胪L(S下—S"3S 下hJS下3*SrS31 ___ I ------ ------ 1即: V 台=3 S上h (S下S上)3S下人二 V 台=3h (S 上S 上S 下S下)球体体积公式推导即:ShiS 下-h lh (相似比等于面积比的算术平方根)1 ______________=3h (S上S 上S 下S下)4、分析:将半球平行分成相同高度的若干层( n 层),n 越大,每一层越近似于圆柱,n “ •「时,每一层都可以看作是个圆柱。
立体几何体积与表面积公式
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立体几何体积与表面积公式一、棱柱。
1. 长方体。
- 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c。
- 体积V = abc。
- 表面积S=2(ab + bc+ac)。
2. 正方体(特殊的长方体,a = b = c)- 设棱长为a。
- 体积V=a^3。
- 表面积S = 6a^2。
3. 棱柱(底面积为S_底,高为h)- 体积V=S_底h。
- 表面积S = S_侧+2S_底,其中直棱柱的侧面积S_侧=Ch(C为底面多边形的周长)。
二、棱锥。
1. 三棱锥(四面体)- 设三棱锥的底面积为S_底,高为h。
- 体积V=(1)/(3)S_底h。
- 表面积S = S_侧+S_底,三棱锥的侧面是三个三角形,S_侧为三个侧面三角形面积之和。
2. 棱锥(底面积为S_底,高为h)- 体积V=(1)/(3)S_底h。
- 表面积S = S_侧+S_底,其中正棱锥的侧面积S_侧=(1)/(2)Ch^′(C为底面多边形的周长,h^′为斜高)。
三、圆柱。
1. 设圆柱底面半径为r,高为h- 体积V=π r^2h。
- 表面积S = 2π r^2+2π rh(两个底面圆的面积2π r^2加上侧面展开矩形的面积2π rh)。
四、圆锥。
1. 设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h(h=√(l^2)-r^{2})- 体积V=(1)/(3)π r^2h=(1)/(3)π r^2√(l^2)-r^{2}。
- 表面积S=π r^2+π rl(底面圆面积π r^2加上侧面展开扇形的面积π rl)。
五、球。
1. 设球的半径为R- 体积V=(4)/(3)π R^3。
- 表面积S = 4π R^2。
几何体的体积与表面积
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几何体的体积与表面积几何体是指具有一定形状和空间的物体,常见的几何体包括球体、立方体、圆柱体、锥体和棱柱体等。
在几何学中,我们常常需要计算几何体的体积和表面积来解决各种问题。
一、球体的体积与表面积球体是一种最简单的几何体,表面上呈现出完全圆滑的形状。
球体的体积和表面积的计算公式如下:1. 球体的体积公式:V = (4/3)πr³,其中V表示体积,π表示圆周率,r表示球的半径。
2. 球体的表面积公式:S = 4πr²,其中S表示表面积,π表示圆周率,r表示球的半径。
二、立方体的体积与表面积立方体是一种六个面都呈正方形的几何体,具有均匀分布的表面和体积。
立方体的体积和表面积的计算公式如下:1. 立方体的体积公式:V = a³,其中V表示体积,a表示立方体的边长。
2. 立方体的表面积公式:S = 6a²,其中S表示表面积,a表示立方体的边长。
三、圆柱体的体积与表面积圆柱体是由两个平行的圆底和一个侧面围成的几何体。
圆柱体的体积和表面积的计算公式如下:1. 圆柱体的体积公式:V = πr²h,其中V表示体积,π表示圆周率,r表示圆底的半径,h表示圆柱体的高度。
2. 圆柱体的表面积公式:S = 2πrh + 2πr²,其中S表示表面积,π表示圆周率,r表示圆底的半径,h表示圆柱体的高度。
四、锥体的体积与表面积锥体是由一个圆底和一个侧面围成的几何体,侧面呈三角形形状。
锥体的体积和表面积的计算公式如下:1. 锥体的体积公式:V = (1/3)πr²h,其中V表示体积,π表示圆周率,r表示圆底的半径,h表示锥体的高度。
2. 锥体的表面积公式:S = πrl + πr²,其中S表示表面积,π表示圆周率,r表示圆底的半径,l表示锥体的斜高。
五、棱柱体的体积与表面积棱柱体是由两个并列的多边形底面和若干个连接底面的长方形侧面围成的几何体。
棱柱体的体积和表面积的计算公式如下:1. 棱柱体的体积公式:V = Bh,其中V表示体积,B表示底面积,h表示棱柱体的高度。
数学高中知识点笔记梳理
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数学高中知识点笔记梳理数学高中知识点笔记梳理空间几何体表面积体积公式:1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h 为圆柱体高)。
2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高。
3、a—边长,S=6a2,V=a3。
4、长方体a—长,b—宽,c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc。
5、棱柱S—h—高V=Sh。
6、棱锥S—h—高V=Sh/3。
7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3。
8、S1—上底面积,S2—下底面积,S0—中h—高,V=h(S1+S2+4S0)/6。
9、圆柱r—底半径,h—高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h。
10、空心圆柱R—外圆半径,r—内圆半径h—高V=πh(R^2—r^2)。
11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。
12、r—上底半径,R—下底半径,h—高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。
14、球缺h—球缺高,r—球半径,a—球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3。
15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6。
16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。
17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
数学高中知识点总结归纳(一)导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时,相应地函数取得增量△y = f(x0 +△x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义(二)导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时,相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义(三)导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导,就称函数f(x)在区间 I 内可导。
空间几何体的体积与面积的全部公式
![空间几何体的体积与面积的全部公式](https://img.taocdn.com/s3/m/a789432d001ca300a6c30c22590102020640f250.png)
空间几何体的体积与面积的全部公式空间几何体的体积与面积的全bai部公式:1、圆柱体(duR为圆柱体上下底圆zhi半径,h为圆柱体高)S=2πdaoR²+2πRhV=πR²h2、圆锥体(r为圆锥体低圆半径,h为其高)S=πR²+πR[(h²+R²)的平方根]V=πR²h/33、正方体(a为边长)S=6a²V=a³4、长方体(a为长,b为宽,c为高)S=2(ab+ac+bc)V=abc 5、棱柱(S为底面积,h为高)V=Sh6、棱锥(S为底面积,h为高)V=Sh/37、棱台(S1和S2分别为上、下底面积,h为高)V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、圆柱(r为底半径,h为高,C为底面周长,S底为底面积,S侧为侧面积,S表为表面积)C=2πr,S底=πr²,S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=πr²h9、圆台(r为上底半径,R为下底半径,h为高)S= πR²+πrl+πRl+πr²V=πh(R²+Rr+r²)/310、球(r为半径,d为直径)S=4πr²V=4/3πr^3=πd^3/6扩展资料:巧记空间几何体中的面积和体积公式的方法:1. 面积问题:空间几何体的面积主要分为两类:侧面积和表面积,其中的重点是旋转体的侧面积公式。
对于多面体的面积,其各个面都是多边形,这个在小学阶段就研究过了。
其中,只需要记住圆台的侧面积公式就够了。
将圆台侧面打开,是一个扇环,很像一个梯形。
所以圆台的侧面积就按照梯形来进行计算,就很容易理解。
如下图所示:圆台侧面积公式对于圆柱和圆锥的侧面积公式,不需要单独去记忆,只需要将其看成一个特殊的圆台就行了。
圆柱体就是上下底相同的圆台,圆锥体就是上底为0的圆台。
2. 体积问题:按照上面的思路,把柱体和椎体看成一个特殊的台体,因此也只需要记住一个台体的体积公式就可以啦。
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空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全(表)面积(含侧面积) 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥:h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥:l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台:h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=② 圆台:l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、球体① 球:rV 334π=球②球冠:略 ③ 球缺:略说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。
三、 拓展提高 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子)夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理:(圆柱容球)圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的32。
分析:圆柱体积:r r h S V r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积:r h cS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此:球体体积:r r V 3334232ππ=⨯=球 球体表面积:r S 24π=球通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图)+ =即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式: )(31S SS S h V 下下上上台++=证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。
易知:PDC ∆∽PAB ∆,设h PE 1=, 则h h PF +=1由相似三角形的性质得:PFPEAB CD =即:hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得:SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴hS S S h h S h h S V 下上下上下台)(31)(313131111+-=-+=代入:SS h S h 上下上-=1得:h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即:)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析:将半球平行分成相同高度的若干层(层n ),n 越大,每一层越近似于圆柱,+∞→n 时,每一层都可以看作是一个圆柱。
这些圆柱的高为nr ,则: 每个圆柱的体积h S V i i ==nrr i 2π 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。
]1[)0()0(222221n r r n r r-=-= ]1[)1()1(222222n r r n r r -=-= ]1[)2()2(222223nr r n r r -=-=……]1[)1()1(22222nn r r n n r r n---=-=∴半球体积为:)......(22221r r r V V n n nr+++⨯⨯==∑π半球 =]}......[1{)1()1()0(2222nn n nr n nr -+++-⨯⨯π =]......[222223)1(210nn rn n -++++-π=]6)12)(1(1[])12()1(61[2323n r n r n n n n n n n ---=---ππ ]6)12)(11(1[3n n r ---=π 当+∞→n 时,01→n∴=V 半球r r r n n 33332)6211(]6)12)(11(1[πππ=⨯-=--- ∴球体积为:r V 334π=球5、 球体表面积公式推导分析:球体可以切割成若干(个n )近似棱锥,当+∞→n 时,这些棱锥的高为球体半径,底面积为球面面积的n1,则每一个棱锥的体积r S V n球1311⨯=,则所有的小棱锥体积之和为球体体积。
即有:rr S n n 33431π=⨯球 ∴r S 24π=球 6、正六面体(正方体)与正四面体 (1) 体积关系如图:正方体切下四个三棱锥后,球S n1o剩下的部分为正四面体 设正方体棱长为a , 则其体积为:a V 3=正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为:a a a hSV 3261)21(3131=⨯⨯==三棱锥 中间剩下的正四面体的体积为:aa a a hSV 322231]60sin 21[3131)32232()2()2(=-⨯︒⨯⨯⨯==⨯⨯正三棱锥这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体 即:a a a 33331461=+⨯ (2) 外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。
(理由:过不共面的四点确定一个球。
)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。
所以它们共球。
回顾:① 两点定线 ② 三点定面 ③ 三点定圆 ④ 四点定球 如图:(a)正方体的体对角线=球直径 (b)正四面体的外接球半径=43高 (c)正四面体的棱长=正方体棱长⨯2 (d)正方体体积:正四面体体积=3:1 (e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等 (3) 正方体的内切球与正四面体的关系(a ) 正方体内切球直径=正方体棱长(b ) 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
(c ) 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半 (d ) 设正四面体棱长为a ,则与其棱都相切的球半径为r 1有:a ar 422211=⨯= 7、利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体,使其截面与半球截面处处相等,根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明:作如下构造:在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。
如图:在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究,设圆柱和半球底面半径均为R ,截面高度均为h ,倒圆锥的截面半径为r 1锥,半球截面半径为r1球,则:挖去圆锥后的组合体的截面为:r R S 2121锥ππ-= 半球截面面积为:r S 212球π= ∵倒圆锥的底面半径与高相等,由相似三角形易得:h r =1锥 在半球内,由勾股定理易得:h Rr 221-=球∴h R S 221ππ-=h R S 222ππ-=即:S S 21=,也就是说:半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。
由祖暅原理可得:V V 21=所以半球体积:R R R V Sh Sh Sh 3232323231ππ=⨯⨯==-=⨯半球即,球体体积:RR V 3334322ππ=⨯=球8、 正方体与球(1) 正方体的内切球正方体的棱长=a 球体的直径d aV 3=正方体 a d r V 333613434)2(πππ===球:正方体V π:6=V 球 (2) 正方体的外接球正方体的体对角线=a 3球体的直径da d r V 333233434)2(πππ===球 :球V 2:3π=V 正方体(3) 规律:①正方体的内切球与外接球的球心为同一点; ②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上; ③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为:3:1 ④正四面体内切球与外接球体积之比为:1:33 ⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为:1:3⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为:3:2:1 ⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为:ππ:6:33 ⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为:ππ:6:3 9、正四面体与球(1)正四面体的内切球解题关键:利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等,球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥,每个三棱锥的底面为原正四面体的底面,高为内切球的半径r 。
利用体积关系得:h a r a ⨯︒⨯=⨯︒⨯⨯)60sin 21(31)60sin 2131422( 所以:hr 41=,其中h 为正四面体的高。
由相关计算得:aa ah 36)]321(32[22=-=⨯⨯ ∴a h r 12641==即:a a r V 33321663434)126(πππ===球 aa a V 321223660sin 2131=⨯︒⨯=正四面体 ∴π3:18=V V 球正四机体:(2)正四面体的外接球外接球的半径=)2332(224343a a⨯-⨯=⨯高=a 46a a r V 333863434)46(πππ===球 a a a V 321223660sin 2131=⨯︒⨯=正四面体 ∴2:33122:86:33ππ==aaV V 正四面体球 (3)规律:①正四面体的内切球与外接球的球心为同一点; ②正四面体的内切球与外接球的球心在高线上; ③正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高; ④正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1:3 ⑤正四面体内切球与外接球体积之比为:1:27 ⑥正四面体内切球与外接球表面积之比为:1:9⑦正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为:63:12:6 ⑧正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为:ππ3:18:327⑨正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为:ππ:26:9 10、 圆柱与球(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)圆柱高=底面直径=球的直径 球体体积=32圆柱体积 球面面积=圆柱侧面积(2)球容圆柱球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。
设球体半径为R ,圆柱高为h ,底面半径为r则有:)2()2(222r h R += 即:2422r hR +=四、 方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例:已知正四面体的棱长为a ,求它的内切球和外接球的半径思路:先分析球心的位置。
因为正四面体是特殊的四面体,显然内切球与外接球的球心是重合的。
且是正四面体的高线交点。
再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。
在内切球这种情况下,球心垂直于每一个面,且到每一个面的距离相等;在外接球这种情况下,球心到每个顶点的距离相等。
方法1:展平分析:(最重要的方法)如图:取立体图形中的关键平面图形进行分析! 连接DO 并延长交平面ABC 于点G ,连接G O 1连接D O 1并延长交BC 于点E ,则A 、G在平面AED 中,由相似知识可得:2111==GA EG DE O O ∴AD G O //1 且311=ADG O ∴△GO O 1∽△DOA ∴ 31AO O O 1= 即:a a A h O 4636434343AO 1=⨯=⨯== a a A h O 12636414141O 11O =⨯=⨯==a V 338634DO ππ==⨯外接球a OO V 331216634ππ==⨯内切球 方法2:体积分析:(最灵活的方法)如图:设正四面体ABCD 的内切球球心为O ,连接AO 、BO 、CO 、DO ,则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。