初一数学二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法
中考要求
例题精讲
模块一 二元一次方程（组）的基本概念
☞二元一次方程
1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)
3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.
【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）
A.30x y z -+=
B.30xy y x -+=
C.12023x y -=
D.2
10y x
+-= 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．
【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）
A.31x xy -=
B.2430x x +=
C.23y +=
D.3x y =
【答案】D ．
【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =.
【巩固】已知方程1
1(2)2m n m x y
m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.
【答案】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【例3】 已知2
1x y =⎧⎨=⎩
是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）
A.2
B.2-
C.1
D.1-
【答案】A
【巩固】已知2
1x y =⎧⎨=⎩
是方程25x a +=的解，则a =
【答案】A
【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）
A.1组
B.3组
C.4组
D.无数组
【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，
然后可给定x 一个正整数的值，计算y 的值即可．
【答案】方程可变形为103y x =-
当1x =时，则1037y =-=； 当2x =时，则1064y =-=； 当3x =时，则1091y =-=．
故方程310x y +=的正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩
，共3组．
故选B ．
【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解
⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解
【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，2
1x y =⎧⎨=⎩
，
⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，135
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【答案】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得2
1m n =⎧⎨=-⎩
，
22()()339m n m mn n -++=⨯=.
【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）
A 、1a =，0b =
B 、0a =，1b =-
C 、2a =，1b =
D 、2a =，3b =-
【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于a ,b 的方程组。

【答案】1
1a b a b -=⎧⎨+=⎩
，解得1a =，0b =
☞二元一次方程组：
1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如26
31
x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数. 【例6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）
A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩
B.54x y =⎧⎨=⎩
C.1
345y x
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩
E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩
F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩
G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩
H.4
23531
x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩
【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含2个未知数；②最高次项为1次；整
式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。

因此B 、E 、F 、G 、H 均为二元一次方程组，很多同学易在F 、G 、H 出错。

【答案】B 、E 、F 、G 、H
【巩固】下列方程组中，①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④1
20x y =⎧⎨-=⎩
是二元一次方程组的序
号是
【解析】略 【答案】①④
【例7】 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，1∠的度数x ︒比2∠的度数y ︒的2倍多10︒，则可列正确
的方程组为（ ）
A.18010x y x y +=⎧⎨=+⎩
B.180210x y x y +=⎧⎨=+⎩
C.180102x y x y +=⎧⎨=-⎩
D.90210x y y x +=⎧⎨=-⎩
【答案】B
【巩固】一副三角板如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数大50︒，若设1x ∠=︒，2y ∠=︒，则可得到
O
2
1C
B
A
的方程组为（）
A.
50
180
x y
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
B.
50
180
x y
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
C.
50
90
x y
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
D.
50
90
x y
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】D
【巩固】某校初三⑵班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：
已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意得，可列方程组（）
A.
27
3266
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B.
27
32100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C.
27
3266
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D.
27
32100
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】A
【例8】下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？
⑴
1
325
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；⑵
264
344
x y
y x
=-
⎧
⎨
=-
⎩
8
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；⑶
278
3108
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
【解析】判断一组数是不是方程的解，必须要看它是不是方程组中每个方程的解，如果是，则是方程组的解，否则，不是方程组的解
【答案】⑴将
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组中的第二个方程：左边3
=，右边5
=，左边≠右边，∴
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
不是第二个
方程的解，从而不是方程组的解
⑵将
8
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
方程组中的第一个方程：左边8
=，右边18
=，左边≠右边，∴
8
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
不是第一个方
程的解，从而不是方程组的解
⑶将
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
代入方程组中的第一个方程：左边8
=，右边8
=，左边=右边，∴
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
是第一
个方程的解；将
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
代入方程组中的第二个方程：左边
32
5
=-，右边
32
5
=-，左边=右边，
∴
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
是第二个方程的解；∴
6
5
4
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
是原方程组的解
【巩固】下列四组数对中①
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，②
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，③
2
4
3
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，④
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程组
238
35
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解的序号
是
【解析】将数对代入方程组检验【答案】②
【巩固】在①
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，②
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，③
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，④
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，⑤
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
这五对数值中，是方程23
x y
-=的解
是，24
x y
+=的解是，
23
24
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
【答案】②⑤、②③④、②
【例9】请以
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
为解，构造一个二元一次方程组
【解析】本题答案不唯一，很多学生对类似的问题都无从下手，其实此类问题非常简单，构造的方式也多
样，完全可以转化为代数式求值有关的问题，如
2____
2____
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
3____
3____
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
42____
42____
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
因此只需要将
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
分别代入求值，填入数值即可
【答案】参考答案
3
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，其他答案符合条件即可
【巩固】请以
1
3
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
为解，构造一个二元一次方程组
【答案】参考答案
2
4
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
，答案不唯一
【例10】若
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程31
x y
+=的一个解，则934_______
a b
++=．
【解析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解．
【答案】把
x a
y b
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程31
x y
+=，得31
a b
+=
所以9343(3)43147
a b a b
++=++=⨯+=即934
a b
++的值为7．
模块二二元一次方程组的解法
☞代入消元法
代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.
☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y ax b =+的形式；
②y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；
④回代求解：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把这个方程组的解写成x a
y b =⎧⎨=⎩
的形式.
【例11】把方程2()3()3x y y x +--=改写成用含x 的代数式表示y 的形式，则（ ）
A.53y x =-
B.3y x =--
C.53y x =+
D. 53y x =--
【解析】先去括号，再移项，合并同类项，整理后分析选项可得答案． 【答案】选A ．
【巩固】已知关于x 、y 的二元一次方程
2
3
x by a +=（a 、b 均为常数）
，将其改写为用含x 的代数式表示y 的形式
【答案】23x
y b ab
=
-
【例12】用代入消元法求解下列二元一次方程组
⑴25342
x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①②， ⑵5225
3415x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①②
【解析】学生初学时，注意要求格式 【答案】⑴由①得，25y x =- ③
将③代入②得，34(25)2x x +-=，解得2x =，代入③得1y =- ∴原方程组的解为2
1x y =⎧⎨=-⎩
⑵由①得，2552
x
y -=
③
将③代入②得25534152
x
x -+⨯
=，解得5x =，代入③得0y = ∴原方程组的解为5
0x y =⎧⎨=⎩
【巩固】用代入法解下列方程组
⑴2328y x y x =⎧⎨+=⎩ ⑵22314m n m n -=⎧⎨+=⎩ ⑶20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑷41
216x y x y -=-⎧⎨+=⎩
⑸23405x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ⑹233511x y x y +=⎧⎨-=⎩ ⑺1
232(1)11
x y x y +⎧=⎪
⎨⎪+-=⎩
【答案】⑴12x y =⎧⎨=⎩，⑵42m n =⎧⎨=⎩，⑶21x y =⎧⎨=⎩，⑷72x y =⎧⎨=⎩，⑸510x y =⎧⎨=⎩，⑹21x y =⎧⎨=-⎩，⑺5
1x y =⎧⎨=⎩
【例13】已知0.5a b a b x y +-与132
3
a x y -是同类项，那么（ ）
A.12a b =-⎧⎨=⎩
B.12a b =⎧⎨=-⎩
C.21a b =-⎧⎨=⎩
D.21a b =⎧⎨=-⎩
【解析】由同类项的定义，列出关于a ，b 的二元一次方程组，从而得到a ，b 的值． 【答案】D
【巩固】单项式283m n x y +与2342m n x y +-是同类项，则________m n += 【答案】4
1
m n =⎧⎨=-⎩
☞加减消元法
加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x a
y b =⎧⎨=⎩
的形式.
☞加减消元方法的选择：
①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；
②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；
③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例14】用加减消元法、解下列方程
⑴251x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①
②
⑵ 2422x y x y -=⎧⎨
-=⎩ ①
②
【解析】学生初学时，注意格式上的要求 【答案】⑴①+②得，36x =，解得2x =
将2x =代入①得，1y =- ∴原方程的解为2
1x y =⎧⎨=-⎩
⑵ ①2⨯得，248x y -= ③ ③-②得，36y -=，解得2y =- 将2y =-代入①得0x = ∴原方程的解为0
2x y =⎧⎨=-⎩
【巩固】用加减消元法解下列方程
⑴37528x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑵451413x y x y -=⎧⎨-=⎩ ⑶328237x y x y +=⎧⎨+=⎩ ⑷425
645x y x y +=⎧⎨-=-⎩
【答案】⑴21x y =⎧⎨=-⎩；⑵43x y =⎧⎨=⎩；⑶21x y =⎧⎨=⎩；⑷12
32
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；
☞选用恰当的方法解下列方程组
【例15】选择合适方式解下列方程：8923
17674x y x y +=⎧⎨-=⎩
【解析】首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数特点，先消去y 较简单，y 系数的绝
对值9、6的最小公倍数是18，对两个方程进行适当变形.
【答案】①2⨯，得161846x y +=③
②3⨯，得5118222x y -=④ ③+④，得67268x =，解得4x = 将4x =代入①，得1y =- 故原方程组的解为4
1x y =⎧⎨=-⎩
【巩固】解下列方程组：
(1)3(1)4(4)5(1)3(5)y x x y -=-⎧⎨-=+⎩；(2)21
3224531320
45y x y x --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩；
(3)2
153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；(4)35724310()4(1)3x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩
【答案】(1)75x y =⎧⎨=⎩；(2)23x y =⎧⎨=⎩；(3)12
14
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；(4)44x y =⎧⎨=⎩.
【例16】已知x 、y 满足方程组21005
21004x y x y +=⎧⎨+=-⎩
，则x y -的值为_________．
【解析】观察方程组的系数，显然用减法即可整体求得x y -的值． 【答案】2009x y -=
【巩固】在方程组2122x y m
x y +=-⎧⎨+=⎩
中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）
A.3m >
B.3m <
C.3m ≥
D.3m ≤
【解析】已知0x y +>，因此只需构造出x y +的整体即可
【答案】2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩
①②，①+②得，3()3x y m +=-，∴303m
x y -+=>，∴3m <
【例17】已知关于x 、y 的方程组227x y k
x y k -=-⎧⎨+=⎩
，则:________x y =
【解析】先用含k 的代数式表示x 、y ，再求:x y 的值． 【答案】两方程相加得：26x k =
解得3x k =
将3x k =代入2x y k -=-得：2y k =． 则:3:23:2x y k k ==．
【巩固】已知,,x y z 满足方程组20
7450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩
，且0x ≠，求：::x y z 的值.
【解析】此题为求解未知数比值的问题.可以先把其中的一个未知数看作常数，解方程组，然后再求比值. 【答案】20
7450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩
①②，①2⨯+②得，930x z -=，所以3z x =
将3z x =代入①式，得42x y =，即2y x = ∵0x ≠，∴:::2:31:2:3x y z x x x ==
【例18
】二元一次方程组==______x =,_____y =
【解析】由于未知数的系数为无理数，所以最好找到某个未知数系数的最小公倍数，用加减法解答．
【答案】125x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
【例19】解方程组：216462
2372y x y x y x x y
++⎧
-
=-⎪⎨⎪+=--⎩ 【解析】解复杂的方程组时，应先化简为整系数的二元一次方程组，再求解.
【答案】原方程组可以简为61116537y x x y +=⎧⎨+=⎩
①
②，⨯①-②2得2x =，把2x =代入②中，解得1y =-
故原方程组的解为：2
1x y =⎧⎨=-⎩
课堂检测
1．
已知方程2122317m n x y +-+=是二元一次方程，则______m =，_______n =
【解析】根据二元一次方程的定义列出方程，求出m 、n 的值即可． 【答案】1m =-，0n = 2．
已知12x y =⎧⎨=-⎩，2
0x y =⎧⎨=⎩
都是方程1ax by -=的解，则______a =，_____b =
【解析】根据方程解的定义，解此题时可以把两组解分别代入原方程，列出关于a ，b 的方程，即可求出a ，
b 的值． 【答案】12a =，14b = 3． 用代入法解方程组372513x y x y -=⎧⎨+=⎩
【答案】372513x y x y -=⎧⎨+=⎩
①② 由①式可得37y x =-③， 把③式代入①式中，得25(37)13x x +-=，整理，得4817x =
把4817x =代入③中，可得2517
y = 这个方程组的解是48172517x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
4． 解二元一次方程组：347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩
【答案】85323
m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
课后作业
1． 已知23k y x -=是二元一次方程，那么k 的值是（ ）
A. 2
B.3
C.1
D.0
【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数为1这一方面解答．
【答案】C
2． 解下列方程组： ⑴7232134
y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ⑵ 2344133m n n m n m +-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ⑶2320.40.7 2.8y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ⑷ 5120311120x y y x -=⎧⎨-=⎩ 【答案】⑴612x y =⎧⎨=⎩；⑵ 33m n =⎧⎨=⎩；⑶04x y =⎧⎨=⎩；⑷ 120480x y =⎧⎨=⎩
. 3． 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩
(0xyz ≠)，求：::x y z 【答案】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.。