2020年四川成都中考年级二诊—二次函数的实际应用B26 专题复习讲义设计(无答案)
2024成都中考数学一轮复习 二次函数(含答案)
2024成都中考数学一轮复习二次函数（学生版）目标层级图课中讲解1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例1.下列函数中，是二次函数的是()A ．21y x =--B ．22y x=C ．4y x=D ．2y ax bx c=++过关检测1.下列y 关于x 函数中，一定是二次函数的有()①2y ax bx c =++②21y x =③212x y x +=-④22(1)y x x =+-⑤210025y x =-A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二.根据定义确定参数值例1.函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．例2.若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =过关检测1.若函数232(1)mm y m x --=+是二次函数，则______m =2.若2(1)1mmy m x -=++是x 的二次函数，则m =．例1.二次函数223y x x =-+图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-例2.二次函数(1)(3)y x x =+-的图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线2x =C ．直线3x =D ．直线1x =-例3.已知二次函数2y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：x⋯2-1-0123⋯y⋯831-03⋯则这个二次函数图象的对称轴是直线．过关检测1.二次函数2243y x x =+-的图象的对称轴为()A ．直线2x =B ．直线4x =C ．直线3x =-D ．直线1x =-2.若抛物线2(2)3y x m x =+-+的对称轴是y 轴，则m =．四.二次函数顶点坐标及最值例1.二次函数2(1)2y x =--的顶点坐标是()A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)例2.抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，则系数a 的值是．例3.二次函数221213y x x =-+的最小值是．例4.已知二次函数的图象2(03)y ax bx c x =++ 如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值1-，有最大值0C ．有最小值1-，有最大值3D ．有最小值1-，无最大值过关检测1.抛物线21()22y x =-+的顶点坐标是()A ．1(,2)2B ．1(,2)2-C ．1(,2)2--D ．1(,2)2-2.下列抛物线中，与抛物线231y x =-+的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(1,2)-的是()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =--+C ．2(31)2y x =--+D ．2(31)2y x =--+3.已知二次函数28y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值等于．4.如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，则函数2*(2)2*4(33)y x x x =+- 的最大值与最小值的和为．五.二次函数增减性例1.由二次函数23(4)2y x =--可知()A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线4x =C ．其顶点坐标为(4,2)D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大例2.已知二次函数228y x x =--+，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线1x =；③y 的最大值是9；④图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小．其中正确的是()A ．①②③B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①④⑤例3.若24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当0x >时，y 随的增大而增大．则(k =)A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3例4.若二次函数24y x x m =-+的图象经过1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(4,)C y 三点，则1y 、2y 、3y 的关系是()A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<过关检测1.对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是()A ．图象开口向下B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线1x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小2.对于抛物线22(1)3y x =-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =：③顶点坐标为(1,3)-；④1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．43.点11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )均在函数221y x =-+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是()A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．312y y y >=D ．123y y y =>六.二次函数的图象与性质综合例1.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y a x b =+的图象大致是()A ．B ．C ．D ．例2.二次函数2()y a x m n =--的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过()A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限例3.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >；②0a b c -+<；③24ac b <；④20a b +>；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的说法个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例4.在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2(a b c am bm c m -+++ 为实数）．其中结论正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例5.已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是()A ．B ．C ．D ．例6.在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y b x a =-的图象可能是()A ．B ．C ．D ．例7.函数2y ax c =+和(0,0)ay a c x=≠≠在同一坐标系里的图象大致是()A ．B ．C ．D ．过关检测1.已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法正确的是()A ．0abc >B ．2a b c -+=C ．240a cb -<D ．当1x >-时，y 随x 增大而增大2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②24b a c >；③420a b c ++<；④20a b +=．其中正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y kx k =-和二次函数224(y kx x k =-+-是常数且0)k ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．4.在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与by x=的图象大致为下图中的()A ．B ．C ．D ．5.在同一直角坐标系中，函数2y ax b =-与(0)y ax b ab =+≠的图象大致如图()A ．B ．C ．D ．七.二次函数图象的平移、翻折、旋转（1）平移方法总结：抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。
2020年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷及答案
2020年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷A卷一.选择题1.一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．tan B＝3.关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大4.如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（）A．20°B．25°C．45°D．30°5.抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点为（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，0）6.如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3 B．4 C．5 D．67.我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2208.若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝x2+2x上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y29.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0B．abc＞0C．2a+b＜0D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根二.填空题11.若x＝2是一元二次方程x2+3x+k＝0的一个根，则k的值为．12.如果反比例函数y＝在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．13.若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝．14.如图，△ABC内接于ʘO，AB为直径，若AC＝AO，则∠B＝度．三.解答题15.（1）计算：（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣916.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有两个相等的实数根，求m的值．17.如图，小明家的窗口到地面的距离CE＝9米，他在C处测得正前方花园中树木顶部A点的仰角为37°，树木底部B点的俯角为45°，求树木AB的高度．（参考数据sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）18.如图，二次函数y＝ax2+bx+a（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）M为它的顶点求△AMB的面积．19.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．20.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．B卷一.填空题21.如图，已知⊙O的半径为4，弦AB垂直平分半径OC，与围成阴影部分，则S阴影＝22.二次函数y＝2（x+1）2﹣3上一点P（x，y），当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是23.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．24.如图1，点A在第一象限，AB⊥x轴于B点连结OA，将Rt△AOB折叠，使A′点落在x轴上，折痕交AB边于D点，交斜边OA于E点．（1）若A点的坐标为（4，3），当EA′∥AB时点A′的坐标是．（2）若A′与原点O重合，OA＝4，双曲线y＝（x＞0）的图象恰好经过D，E两点（如图2），则k＝．25.如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．二.解答题26.随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆千米）的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米小时；当车流密度为95辆千米时，车流速度为50千米/小时．（1）当20≤x≤220时，求车流速度v（千米/小时）与车流密度x（辆/千米）的函数关系式；（2）为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求该道路上车流量y的最大值．此时车流速度为多少？27.如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．28.如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？参考答案A卷一.选择题1、C．2、A．3、D．4、D．5、C．6、D．7、B．8、A．9、A．10、D．二.填空题11、﹣10．12、m＞﹣1．13、2．14、30．三.解答题15、解：（1）原式＝2﹣2×+|﹣1|+1＝2﹣+﹣1+1＝2；（2）方程整理得：4x2+12x＝x2﹣9，即x2+4x+3＝0，分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，可得x+1＝0或x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．16、解：根据题意知△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）＝0，整理得：32﹣16m＝0，解得：m＝2．故m的值为2．17、解：如图，由题意得，DB＝CE＝9，∵∠CDB＝90°，∠DCB＝45°，∴CD＝DB＝9，在Rt△ADC中，AD＝DC×tan∠ACD＝9tan37°，∴AB＝AD+BD＝9+9tan37°≈15.75，答：旗杆AB的高约为15.75米．18、解：（1）∵将A（﹣1，0）、B（5，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c得，，解得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）∵y＝﹣x2+4x+5，＝﹣（x2﹣4x+4）+4+5，＝﹣（x﹣2）2+9，∴顶点M（2，9），∴S△AMB＝×（1+5）×9＝27．19、解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点A的纵坐标为6，∵点A在反比例函数y＝图象上，∴A（1，6），∴，∴，∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，设BC与AO交于E，则E（，3），∴AE＝OE＝D1E＝，∵E（，3），∴D1的坐标为（，3）；②当∠OAD2＝90°时，可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，当y＝3时，x＝19，∴D2的坐标为（19，3），综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）20、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．B卷一.填空题21、π﹣4．22、﹣3≤y≤5．23、8．24、．25、3．二.解答题26、解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120，∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840，此时v＝﹣×110+88＝44km/h，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆，此时v＝44km/h．27、（1）证明：连接OC，∵∠A＝∠CBD，∴＝，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴CG＝BG；（3）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∴＝tan30°＝，∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AC＝CE，∴＝，∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC，∴△CGB∽△CBE，∴＝＝，∵CG＝8，∴BC＝8，∴BE＝8．28、解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．。
2020届初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
➢ 构造函数解不等式，利用两个函数图象上下方位置关系 ➢ 可对不等式进行同解变形，再构造函数。
巩固练习：
分析：
巩固练习：
巩固练习：
巩固练习：
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分析 ：
该抛物线由已知抛物线向下平移11个单 位得到。
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二、二次函数与实际问题
常用二次函数解决的实际问题：
1、最大利润、最大收益、最大面积等最值问题。
2、物体运动轨迹或形状呈抛物线型。
二次函数与实际问题
用二次函数解决的实际问题过程：
解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
例3：
图 1 图 3
例3：
图 1 图 4
例3：
分析：如图5，以第一种建系方式为例，
图 4
小结
1.二次函数将一元二次方程的根和一元二次不等式的解集 图像化，让我们能用“形”看“数”问题。
2020年成都市青羊区中考数学二诊试卷(含答案解析)
2020年成都市青羊区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.某山上的温度是8℃，山下的温度是−4℃，那么山上的温度比山下高()℃．A. 12B. 4C. −4D. −122.若二次根式√3−a有意义，则a的取值范围是()A. a>3B. a≥3C. a≤3D. a≠33.计算3x2−2x2的结果是()A. 1B. xC. x2D. −x24.港珠澳大桥是东亚建设的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，整个大桥造价超过720亿元人民币，将720亿用科学记数法表示为()．A. 7.2×1011B. 7.2×1010C. 0.72×1011D. 72×1095.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sin A的值是()A. 34B. 53C. 45D. 356.点P(−3,−5)关于x轴对称的点为P1，则P1的坐标为()A. (−3,5)B. (3,−5)C. (−3,−5)D. (3,5)7.如图所示的三视图所对应的几何体是()A.B.C.D.8.某班17名女同学的跳远成绩如下表所示：成绩(m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是()A. 1.70，1.75B. 1.75，1.70C. 1.70，1.70D. 1.75，1.7259.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为()A. 1B. √3C. 2D. 2√310.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）11.计算1m −−4m=_________．12.二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3，则a的值为．13.如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG =______．14. 如图，点A 在双曲线y =3x 上，过点A 作AB ⊥y 轴交双曲线y =1x 于点B ，作AC ⊥x 轴交双曲线y =1x 于点C ，连接OB ，OC ，则四边形OBAC 的面积为________ ．15. 若m ，n 是一元二次方程x 2−2x −8=0的两根，则m +n =______．16. 甲，乙，丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是__________．17. 如图，矩形ABCD 中，以AD 为直径的半圆与BC 边相切于点E ，且AD =8、AB =4，则图中阴影部分的面积是______．18. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =6，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，若△ADE 是直角三角形，且△BDE 是等腰三角形，则BE =________．19. 在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是__________ ．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）20. 计算：(−1)2019+√83−(13)−2+√2sin45°．21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于点H，求AB和DH的长．22.如图，AB、CD为两栋建筑物，建筑物CD的高度为20m，从建筑物CD的顶部D点测得建筑物AB的顶部A点的仰角为45°，从建筑物CD的底部C点测得建筑物AB的顶部A点的仰角60°，求建筑物AB的高度(结果保留整数)(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)23.某校九(1)班期末考试数学及格人数的统计情况如下表(总分为150分，且考试成绩均为整数)，并绘制成如图所示的频数分布直方图．成绩分组89.5～99.599.5～109.5109.5～119.5119.5～129.5129.5～139.5139.5～150.5合计频数68m n64B占调查总人数的百分比12％16％32％a％12％8％100％请你根据图表提供的信息，解答下列问题．(1)直接写出m，n，a，b的值，并补全频数分布直方图；(2)如果规定120分(含120分)以上为优秀，且已知该校九年级共有学生1500人，及格率为80％，请你估计该校九年级学生这次数学考试成绩为优秀的人数；(3)已知考试成绩的前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人参加全县数学竞赛，求选中的2人恰好性别相同的概率．24.如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．(1)求该反比例函数的解析式；(2)若△ABC的面积为6，求B点的坐标．25.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE⊥AD，交AB于点E，AE为⊙O的直径．(1)判断BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：△ABD∽△DBE；(3)若cosB=2√2，AE=4，求CD．326.某游泳馆普通票价为25元/次，暑假期间为了促销，推出优惠卡．优惠卡售价150元，每次凭卡另收10元．优惠卡仅限暑假期间使用，次数不限．同时，暑假期间普通票正常出售．设暑假中游泳x次时，所需总费用为y元．(1)请分别写出选择选择普通消费卡和选择优惠卡消费时，y与x之间的函数表达式：y普通消费=______ ，y优惠卡消费=______ ；(2)在同一坐标系中，两种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点B的坐标，并说出它的实际意义；(3)根据图象直接写出选择哪种消费方式更合算？27.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．(1)求证：BE=CF；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BE的长．x2+(6−√m2)x+m−3与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1<x2)，交28.如图，抛物线y=−13y轴于C点，且x1+x2=0．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程．(2)在抛物线上是否存在一点P使△PBC≌△OBC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：8−(−4)，=8+4，=12℃．故选A．用山上的温度减去山下的温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2.答案：C解析：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．根据被开方数是非负数，可得答案．解：由题意，得3−a≥0，解得a≤3，故选：C．3.答案：C解析：解：3x2−2x2=x2．故选：C．根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行计算即可．此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．4.答案：B解析：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：720亿即72000000000，将其用科学记数法表示为：7.2×1010．故选B．5.答案：D解析：解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∴sinA=BCAB =35．故选：D．利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比斜边，求出即可．此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6.答案：A解析：解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P(−3,−5)关于x轴的对称点为P1(−3,5)．故选：A．根据平面直角坐标系中对称点的规律，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．7.答案：B解析：解：从主视图可判断A，C、D错误．故选B．对所给四个几何体，分别从主视图和俯视图进行判断．本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．8.答案：B解析：本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．根据中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个即可得结果．解：由表可知，1.75出现次数最多，所以众数为1.75；由于一共调查了2+3+2+3+4+1+1+1=17人，所以中位数为排序后的第9个数，即：1.70．故选B．9.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，OA=OC=1，∴AC=2OA=2，∵∠ABC=∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴CD=AC=2，故选：C．首先求出AC的长，只要证明△ADC是等边三角形即可解决问题．本题主要考查了菱形的性质和等边三角形的判定以及性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定以及性质．10.答案：A解析：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．连接OA、OB，根据等边三角形的性质得到∠AOB=60°，根据圆周角定理解答．解：连接OA、OB，∵OA=OB=AB=4，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB=30°，故选：A．11.答案：5m解析：本题考查分式的加减，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，直接按分式的加减运算法则计算即可．解：1m −−4m=1−(−4)m=5m．故答案为5m．12.答案：1解析：本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大值(最小值)公式是解题的关键．根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．解：解：∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3，∴4a−164a =−3，解得a =1.所以a 的值是1．故答案为1．13.答案：30°解析：解：如图，连接AN ，由折叠可得，EF 垂直平分AB ，∴NA =NB ，由折叠可得，AB =NB ，∠ABG =∠NBG ，∴AB =BN =AN ，∴△ABN 是等边三角形，∴∠ABN =60°，∴∠ABG =12∠ABN =30°，故答案为：30°．连接AN ，根据轴对称的性质，即可得到△ABN 是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到∠ABG =12∠ABN =30°．本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．14.答案：2解析：解：作AB 的延长线交y 轴于点D ，作AC 的延长线交x 轴于点E ，∵点A 在双曲线y =3x 上，过点A 作AB ⊥y 轴交双曲线y =1x 于点B ，作AC ⊥x 轴交双曲线y =1x 于点C ，∴△BOD 的面积是12，△COE 的面积是12，矩形AEOD 的面积是3，∴四边形OBAC 的面积为：3−12−12=2，故答案为：2．根据反比例函数的性质可以得到△BOD 和△COE 的面积、矩形AEOD 的面积，从而可以得到四边形OBAC 的面积．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.答案：2解析：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．根据根与系数的关系，直接代入得结果．解：因为m，n是一元二次方程x2−2x−8=0的两根，根据根与系数的关系，m+n=−−21=2．故答案为2．16.答案：23解析：本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．解：由题意可得，所列树状图如下图所示，故甲、乙两人位置恰好相邻的概率是46=23，故答案为：23．17.答案：4π解析：解：连接OE ．阴影部分的面积=S △BCD −(S 矩形ODCE −S 扇形ODE )=12×4×8−(4×4−14π×4×4)=4π． 答：阴影部分的面积为4π． 故答案为：4π连接OE.先求空白部分DCE 的面积，再用△BCD 的面积−空白部分DCE 的面积得阴影面积．本题考查了三角形的面积、矩形的性质、切线的性质的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积，题目比较典型，主要培养了学生的计算能力． 18.答案：307或154．解析：本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，分两种情形：①如图1中，当∠AED =90°，DE =BE 时．②如图2中，当∠ADE =90°，DE =EB 时．利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题．解：①如图1中，当∠AED =90°，DE =BE 时，设DE =BE =x ．在Rt △ABC 中，∵AC =8，BC =6，∴AB =√62+82=10， ∵∠A =∠A ，∠AED =∠C =90°，∴△AED∽△ACB ，∴AE AC =DE BC ，∴10−x8=x6，解得x =307．②如图2中，当∠ADE =90°，DE =EB 时，设DE =BE =x ，∵△ADE∽△ACB ，∴DE BC =AE AB ，∴x 6=10−x 10，解得x =154，综上所述，BE 的值为307或154．19.答案：10解析：本题考查的是动点问题的函数图象，矩形的性质，三角形的面积等有关知识，根据矩形△ABP 的面积和函数图象，求出BC 和CD 的长，从而可求△ABC 的面积．点P 从点B 运动到点C 的过程中，y 与x 的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC 的长为4，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积保持不变，就是矩形ABCD 面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD 的长为5，则△ABC 的面积等于BC ×CD ÷2．解：当点P 在BC 上时，y =S △ABP =12AB ⋅BP ，∵AB 是定值，∴点P 从点B 到C 的过程中，y 逐渐增加，增加到点P 到点C 时，增加到最大，从图(2)知，x =4时增加到最大，∴BC =4，当点P 在CD 上时，y =S △ABP =12AB ⋅BC ，∵BC ，AB 是定值，∴y 始终保持不变， 从(2)知，x 从4到9时，y 保持不变，∴CD =9−4=5，∴△ABC 的面积为：12×4×5=10．故答案为10． 20.答案：解：(−1)2019+√83−(13)−2+√2sin45°=−1+2−9+√2×√2 2=−7．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值以及立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，∴AO=CO=4cm，DO=BO=3cm，∠AOB=90°，∴在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=5(cm)，菱形面积为：12AC×BD=DH×AB，则12×8×6=5×DH，解得：DH=245(cm)，答：菱形ABCD的高DH为245cm，AB的长为5cm．解析：本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质和勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．首先根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．22.答案：解：设DE=a，由题意可得，AE=DE⋅tan45°=DE=a，AB=BC⋅tan60°=AE+BE，DE=BC，DC=EB=20m，∴a+20=a⋅√3，解得，a≈27m，∴AB≈27+20=47m，即建筑物AB的高度约为47m．解析：本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答，根据题意和锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决．23.答案：解：(1)b=50，m=16，n=10，a=20；(2)优秀的人数：10+6+450×1500×80％=480(人)；(3)如图：男1男2女1女2男1——(男1，男2)(男1，女1)(男1，女2)男2(男2，男1)——(男2，女1)(男2，女2)女1(女1，男1)(女1，男2)——(女1，女2)女2(女2，男1)(女2，男2)(女2，女1)——根据列表可知共有12种等可能结果，其中性别相同的有4种结果，∴P(性别相同)=412=13，故选中的2人恰好性别相同的概率为13．解析：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，概率公式P=nm．(1)先算出总数b，再求出a，m，n，并不全直方图；(2)根据题意列式计算即可；(3)用列表法得出所有情况，再求出随机事件的概率．(1)总人数：b=6÷12%=50(人)，m=50×32%=16，n=50−4−6−8−6−16=10，10÷50=20%，则a=20；故答案为：b=50，m=16，n=10，a=20，补全的图，如图(2)见答案；(3)见答案．24.答案：解：(1)由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为：y=6x．(2)设B点坐标为(a,b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2,b)，∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a,b)∴b=6 a∴AD=3−6a．∴S△1B∖calC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=6解得a=6∴b=6a=1∴B(6,1)．解析：(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；(2)作AD⊥BC于D，则D(2,b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．25.答案：(1)结论：BC与⊙O相切．证明：如图连接OD．∵△ADE中，∠ADE=90°，O为AE的中点，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC//OD，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切线．(2)证明：∵BC是⊙O切线，∴∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODE=90°，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠BDE=∠DAB，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE．(3)解：在Rt△ODB中，∵cosB=BDOB =2√23，设BD=2√2k，OB=3k，∵OD2+BD2=OB2，∴4+8k2=9k2，∴k=2，∴BO=6，BD=4√2，∵DO//AC，∴BDCD =BOAO，∴4√2CD =62，∴CD=4√23．解析：本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．(1)结论：BC 与⊙O 相切，连接OD 只要证明OD//AC 即可．(2)欲证明△ABD∽△DBE ，只要证明∠BDE =∠DAB 即可．(3)在Rt △ODB 中，由cosB =BD OB =2√23，设BD =2√2k ，OB =3k ，利用勾股定理列出方程求出k ，再利用DO//AC ，得BD CD =BO AO ，列出方程即可解决问题．26.答案：解：(1)25x ；10x +150；(2)由题意，得{y =25x y =10x +150， 解得{x =10y =250， ∴点B 的坐标为(10,250)，∴当游泳次数为10次时，两种消费的费用都是250元；(3)当游泳次数为10次时，两种消费的费用相同，当游泳次数为小于10次时，选择普通消费卡便宜，当游泳次数为大于10次时，选择优惠卡便宜．解析：此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．(1)根据题意即可写出选择选择普通消费卡和选择优惠卡消费时，y 与x 之间的函数表达式；(2)解方程组即可解决问题，点B 的纵坐标相同，表示费用相同；(3)分三种情形回答即可．解：(1)y 普通消费=25x ，y 优惠卡消费=10x +150，故答案为25x ；10x +150；(2)见答案；(3)见答案．27.答案：证明：(1)∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=1，∠EAF=∠BAC=45°，∴∠BAC+∠FAB=∠EAF+∠FAB，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAF AE=AF，∴△ABE≌△ACF(SAS)，∴BE=CF；(2)解：∵四边形ACDE为菱形，∴EB//AC，∴∠EBA=∠BAC=45°，又∵AE=AB，∴△AEB为等腰直角三角形，∴BE=√AB2+AE2=√1+1=√2．解析：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．(1)由旋转的性质可得AE=AF=AB=AC=1，∠EAF=∠BAC=45°，由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得BE=CF；(2)由题意可证△AEB为等腰直角三角形，由勾股定理可求解．28.答案：解：(1)∵x1+x2=0∴6−√m2=0∴m=±6，∵抛物线与y轴交于正半轴上，∴m=6．抛物线解析式y=−13x2+3，∴抛物线顶点坐标C(0,3)，抛物线对称轴方程x=0．(2)B点坐标为(3,0)．假设存在一点P使△PBC≌△OBC．因为△OBC是等腰直角三角形，BC是公共边，故P点与O点必关于BC所在直线对称．点P坐标是(3,3)．当x=3时，y≠3，即点P不在抛物线上，所以不存在这样的点P，使△PBC≌△OBC．解析：(1)根据x1+x2=0，可得出抛物线的对称轴为y轴即x=0，由此可求出m的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其顶点坐标和对称轴方程．(2)如果△PBC≌△OBC，由于△OBC是等腰直角三角形，那么P有两种可能：①P，O重合；②P与O关于直线BC对称，而这两种P点均不在抛物线上，因此不存在这样的P点．本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定以及全等三角形的判定等知识点．。
四川省成都市中考复习专题——实际问题与二次函数
第十七讲 实际问题与二次函数 知识点：运动问题、利润问题、投篮问题、面积问题（围长方形问题）、拱桥问题（水位、船通过问题）．１．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离ｓ（ｍ）与时间ｔ（ｓ）的函数关系式为ｓ＝２０ｔ－５ｔ２，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 ｍ才能停下来．２．飞机着陆后滑行的距离ｙ（单位：ｍ）关于滑行时间ｔ（单位：ｓ）的函数解析式是ｙ＝６０ｔ－３２ｔ２．在飞机着陆滑行中，最后４ｓ滑行的距离是 ｍ．３．飞机着陆后滑行的距离ｙ（单位：ｍ）关于滑行时间ｔ（单位：ｓ）的函数解析式是ｙ＝６０ｔ－３２ｔ２．在飞机着陆滑行中，滑行最后的１５０ｍ所用的时间是 ｓ．４．四边形ＡＢＣＤ的两条对角线互相垂直，ＡＣ＋ＢＤ＝１２，则四边形ＡＢＣＤ的面积最大值是 ．５．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面２ｍ时，水面宽４ｍ；若水面下降２．５ｍ，则水面宽度增加 ．第５题图 第６题图６．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径ＡＢ间按相同间隔０．２ｍ用５根立柱加固，拱高ＯＣ为０．３６ｍ，则立柱ＥＦ的长为 ．７．某商店经销一种成本为每千克４０元的水产品，据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能售出５００千克．若销售价每涨１元，则月销售量减少１０千克．（１）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？（２）要使月销售利润不低于８０００元，请结合图象说明销售单价应如何定？８．如图，要建一个矩形的鸡场ＡＢＣＤ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为１４ｍ，墙的对面开一个１ｍ宽的门，现有竹篱笆总长３１ｍ．（１）若要围成的鸡场面积为１２０ｍ２，求鸡场的长和宽各是几米？（２）当ＡＢ边的长为多少ｍ时，鸡场面积最大？最大面积为多少？９．实验学校数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第ｘ（１≤ｘ≤９０）天的售价与销量的相关信息如下表：时间ｘ（天）１≤ｘ＜５０５０≤ｘ≤９０售价（元／件）ｘ＋４０９０每天销量（件）２００－２ｘ已知该商品的进价为每件３０元，设销售该商品的每天利润为ｙ元．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式；（２）问销售该商品第几天时，每天销售利润最大？最大利润是多少？（３）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于４８００元？请直接写出结果．１０．如图，女子排球场的长度ＯＤ为１８ｍ，位于排球场中线处网球的高度ＡＢ为２．２４ｍ．一队员站在点Ｏ处发球，排球从点Ｏ的正上方２ｍ的Ｃ点向正前方飞出．当排球运行至离点Ｏ的水平距离ＯＥ为６ｍ时，到达最高点Ｇ．将排球看成一个点，它运动的轨迹是抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系．（１）当球上升的最大高度为３米时，求排球飞行的高度ｙ（单位：ｍ）与水平距离ｘ（单位：ｍ）的函数关系式（不要求写自变量ｘ的取值范围）；（２）在（１）的条件下，对方距球网１ｍ的点Ｆ处有一队员，他起跳后手能拦截的最大高度为２．７ｍ，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；（３）若队员发球既要过网又不出界，问排球飞行的最大高度ｈ（ｍ）的取值范围是 （排球压线属于没出界）．１１．某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩型花园ＡＢＣＤ，为了节约材料并种植不同花卉，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块．已知所用栅栏的总长为６０米，墙长为３０米，设花园垂直于墙的一边的长为ｘ米．（１）若平行于墙的一边长为ｙ米，直接写出ｙ与ｘ的函数关系式及自变量的取值范围；（２）当为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值为多少？（栅栏占地面积忽略不计）（３）当这个花园的面积不小于２８８平方米时，试结合函数图象，直接写出ｘ的取值范围．１２．如图，某单向行驶隧道横截图面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，矩形的长是１２米，宽是３米，隧道的最大高度为６米，现以Ｏ点为原点，ＯＭ所在的直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系．（１）直接写出点Ｍ，Ｎ及抛物线顶点Ｐ的坐标；（２）求出这条抛物线的函数解析式；（３）一大货运汽车装载某大型设备后高为５米，宽为４米，那么这辆货车能否安全通过？１３．某公司生产的商品的市场指导价为每件１５０元，公司的实际销售价格可以浮动ｘ个百分点（即销售价格＝１５０（１＋ｘ％））．经过市场调研发现，这种商品的日销售量ｙ（件）与销售价格浮动的百分点ｘ之间的函数关系为ｙ＝－２ｘ＋２４．若该公司按浮动－１２个百分点的价格出售，每件商品仍可获利１０％．（１）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（２）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为６６０元？（说明：日销售利润＝（销售价格－成本）×日销售量）（３）该公司决定每销售一件商品就捐赠ａ元利润（ａ≥１）给希望工程，公司通过销售记录发现：当价格浮动的百分点大于－２时，扣除捐赠后的日销售利润随ｘ增大而减小，直接写出ａ的取值范围．１４．公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销ｘ件，产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲５２ａ１００乙１８８３０＋０．１ｘ２４０其中ａ为常数，且８０≤ａ≤１００．（１）若产销甲乙两种产品的年利润分别为ｙ１万元，ｙ２万元，直接写出ｙ１、ｙ２与ｘ的函数关系式；（２）分别求出产销两种产品的最大年利润；（３）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．１５．某公司生产某环保产品的成本为每件４０元，经过市场调研预测：这件产品在未来两个月天（６０天）的日销量ｍ（件）与时间ｔ（天）的关系如图所示（前３０天三点共线，后３０天三点共线）．未来两个月（６０天）该商品每天的价格ｙ（元／件）与时间ｔ（天）的函数关系式为：ｙ＝１４ｔ＋８０（１≤ｔ≤３０，ｔ为整数）－１３ｔ＋９０（３１≤ｔ≤６０，ｔ为整数）{．（１）请分别确定１≤ｔ≤３０和３１≤ｔ≤６０时该产品的日销量ｍ（件）与时间ｔ（天）之间的函数关系式；（２）请预测未来第一月日销量利润Ｗ１（元）的最小值是多少？第二个月日销量利润Ｗ２（元）的最大值是多少？（３）市政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴ａ元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润Ｗ３（元）随时间ｔ（天）的增大而增大，求ａ的取值范围．。
数学人教版九年级上册二次函数的实际应用专题复习教案
二次函数的实际应用专题复习教案盛康中心学校司念钦学习目标：1、能够正确根据题意确定二次函数关系式，运用二次函数性质解决实际问题.2、通过利用递进式问题串，让学生经历不同题型的分析解决过程，进一步培养学生分析解决问题的能力.3、通过把实际问题转化为数学问题的过程，形成初步的数学建模思想.教学重点：让学生掌握把生活信息转化为数学问题的方法，正确建立二次函数关系式，并用二次函数的性质解决实际问题.教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并运用数学知识加以解决，最后再回到实际问题的能力.教学过程：一、创设情境请同学们欣赏图片，进而发现生活中的抛物线，欣赏图片想象导弹发射出去的运行轨迹，跟学生聊聊中韩关系激发学习热情引入新课。
二、诊断练习归纳方法1，一种卡车的刹车距离y（m）与滑行时间x（s）之间函数关系式是y=﹣x2+10x 该型卡车采取刹车后滑行_____m才能停下来，此时卡车滑行时间为______秒.引导分析：整理二次函数有关的性质.把y=﹣x2+10x化为y=a(x-h)2+ k形式为__________，开口______，顶点______，对称轴______，当x =___时y有最___值____；当x ___时y随x _______，当x ___时y随x _______.2，一种信号枪从地面垂直向上发出一枚信号弹，信号弹的高度h(米)与它运动时间t（秒）的函数关系式是h=-5t2+10t+55,那么信号弹运动中的最大高度为（）米。
.反思归纳：求刹车距离及信号弹最大高度就是求___________,先把二次函数一般式化为______________式，再根据________________解决实际问题.3，为了丰富野战官兵的业余生活，野战军某部在临时场地装备篮球投篮篮筐，篮筐P距离地面x轴为3m，以篮筐P所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，篮球投出后呈抛物线y= -x2+bx+c先向上至最高点然后落下，士兵投球位置为B（球出手高度忽略不计），则最高点距地面_____m，此时距离y轴为_____m。
2020届九年级中考北师大版数学(成都)复习课件：第1篇 第3章 3.4二次函数 (共56张PPT)
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9 ． (2019·成 都 中 考 ) 如 图 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的 图 象 经 过 点 A(1,0) 、 B(5,0)，下列说法正确的是( D )
A．c<0 B．b2－4ac<0 C．a－b＋c<0 D．图象的对称轴是直线x＝3
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
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4．(2019·雅安中考)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列 说法中错误的是( C )
A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长 度得到
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四川中考真题精练
命题点一 二次函数的图象与性质 1．二次函数的基本性质 1．(2016·成都中考)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物 线的说法，正确的是( C ) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点(2,3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点
数值 y 的最小值为－2，则 m 的值是( D )
A．32
B． 2
C．32或 2
D．－32或 2
14．(2018·泸州中考)已知二次函数 y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中 x 是自变量)，当
x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且－2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为( D )
A．1 或－2
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考点三 求二次函数的解析式(高频考点)
2020届四川省成都市中考数学二模试卷((有答案))(已纠错)
四川省成都市中考数学二模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞52．下列运算正确的是（）A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5C．（x3y）5＝x8y5D．m10÷m7＝m33．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×10135．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）A．《九章算术》B．《几何原本》C．《海岛算经》D．《周髀算经》6．某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92B．中位数是92C．众数是92D．极差是67．将抛物线y＝x2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣38．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠29．如图，AB∥CD，那么（）A．∠BAD与∠B互补B．∠1＝∠2C．∠BAD与∠D互补D．∠BCD与∠D互补10．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（）A．B．C．D．．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）若2x+y＝4，x﹣＝1，则4x2﹣y2＝．12．（4分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．13．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD中，AC＝，∠CAB＝30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN＝．14．（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°（2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．17．（8分）如图，飞机沿水平线AC飞行，在A处测得正前方停泊在海面上某船只P的俯角∠CAP（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，飞行10km到达B处，在B处测得该船只的俯角∠CBP＝52°，求飞机飞行的高度（精确到1m）18．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A 的概率．（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）19．（10分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．（10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．（1）求证：AB2＝AE•AD；（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE＝2，ED＝4，求EF的长．四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为．22．（4分）当x＝5.4，y＝2.4时，代数式x2﹣2xy+y2的值是．23．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E 与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．24．（4分）如图，把矩形ABCD绕着点A逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG，则图中三角形AFC是三角形．25．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴与x轴交于点（﹣1，0），图象上有三个点分别为（2，y1），（﹣3，y2），（0，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（用“＞”“＜”或“＝”连接）．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？27．（10分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D 不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．四川省成都市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．【解答】解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．2．下列运算正确的是（）A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5C．（x3y）5＝x8y5D．m10÷m7＝m3【分析】根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断．【解答】解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；B、（﹣a）3•a2＝﹣a5，此选项错误；C、（x3y）5＝x15y5，此选项错误；D、m10÷m7＝m3，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．3．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．故选：A．【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．4．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（）A．8×1012B．8×1013C．8×1014D．0.8×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）A．《九章算术》B．《几何原本》C．《海岛算经》D．《周髀算经》【分析】根据数学常识逐一判别即可得．【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；故选：B．【点评】本题主要考查数学常识，解题的关键是了解我国古代在数学领域的成就．6．某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表：成绩（分）8990929495人数46857对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是92B．中位数是92C．众数是92D．极差是6【分析】根据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：A、平均数为＝，符合题意；B、中位数是＝92，不符合题意；C、众数为92，不符合题意；D、极差为95﹣89＝6，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7．将抛物线y＝x2先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则新的函数解析式为（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x+1）2﹣3【分析】由平移的规律即可求得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2﹣3，将y＝x2﹣3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x+1）2﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．8．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6B．m＜6C．m≤6且m≠2D．m＜6且m≠2【分析】当m﹣2＝0，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，列不等式即可得到结论．【解答】解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．9．如图，AB∥CD，那么（）A．∠BAD与∠B互补B．∠1＝∠2C．∠BAD与∠D互补D．∠BCD与∠D互补【分析】根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD与∠D互补，即C选项符合题意；当AD∥BC时，∠BAD与∠B互补，∠1＝∠2，∠BCD与∠D互补，故选项A、B、D都不合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB＝1时，L2016等于（）A．B．C．D．．【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2016的长．【解答】解：根据题意得：l1＝＝，l2＝＝，l3＝＝＝π，则L2016＝，故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出l2016的长．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）若2x+y＝4，x﹣＝1，则4x2﹣y2＝8．【分析】利用平方差公式分解因式，进而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x﹣＝1，∴2x﹣y＝2，则4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）＝4×2＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12．（4分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．13．（4分）如图，平行四边形纸片ABCD中，AC＝，∠CAB＝30°，将平行四边形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕MN＝2．【分析】根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，在△ONC中解得NO．【解答】解：根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，∵AC＝，∠CAB＝30°，∴在Rt△ONC，解得ON＝1，∴MN＝2．故答案为2．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．14．（4分）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为y＝﹣x．【分析】直接利用一次函数图象平移规律进而得出答案．【解答】解：把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）﹣1＝﹣x．故答案为：y＝﹣x．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°（2）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】（1）直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案；（2）先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】（1）解：（）﹣1﹣（π﹣2018）0﹣4cos30°＝﹣2+2﹣1﹣4×＝﹣3；（2）解不等式①得：x≤4解不等式②得：x≤2；∴不等式组的解集为：2≤x≤4不等式组的解集在数轴上表示：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（6分）先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．17．（8分）如图，飞机沿水平线AC飞行，在A处测得正前方停泊在海面上某船只P的俯角∠CAP（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，飞行10km到达B处，在B处测得该船只的俯角∠CBP＝52°，求飞机飞行的高度（精确到1m）【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出AC与BC，根据AC﹣BC＝AB求出PC的长即可．【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠PAC＝，即AC＝，在Rt△BCP中，tan∠CBP＝，即BC＝，由AB＝AC﹣BC，得到﹣＝10000，解得：PC＝≈3388，则飞机飞行的高度为3388m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．18．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沙县﹣﹣我最喜爱的沙县小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D．随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．请用列表或画树状图的方法，求出两次都摸到A 的概率．（3）近几年，沙县小吃产业发展良好，给沙县经济带来了发展.2011年底，小吃产业年营业额达50亿元，到了2013年底，小吃产业年营业额达60.5亿元．假设每年的小吃产业年营业额平均增长率不变，求这两年平均增长率是多少？（数据来源于网络）【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“花椒饼”的人数，补全条形统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率；（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，根据等量关系为：2011年的利润×（1+增长率）2＝2013年的利润，把相关数值代入即可列出方程．【解答】解：（1）喜欢花椒饼的人数为50﹣14﹣21﹣5＝10（人），补全条形统计图如下：（2）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P＝．（3）设小吃产业年营业额平均增长率为x，由题意可得：50×（1+x）2＝60.5，解得：x＝10%，答：这两年平均增长率是10%．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝；还考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．19．（10分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C （0，3），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想． 20．（10分）已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点，AD 交BC 于点E ，连接AB ． （1）求证：AB 2＝AE •AD ；（2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ，若AE ＝2，ED ＝4，求EF 的长．【分析】（1）点A 是劣弧BC 的中点，即可得∠ABC ＝∠ADB ，又由∠BAD ＝∠EAB ，即可证得△ABE ∽△ADB ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB 2＝AE •AD ；（2）由（1）求得AB 的长，又由BD 为⊙O 的直径，即可得∠A ＝90°，由DF 是⊙O 的切线，可得∠BDF ＝90°，在Rt △ABD 中，求得tan ∠ADB 的值，即可求得∠ADB 的度数，即可证得△DEF 是等边三角形，则问题得解．【解答】解：（1）证明：∵点A 是劣弧BC 的中点， ∴∠ABC ＝∠ADB ．（1分） 又∵∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABE ∽△ADB ．（2分） ∴．∴AB 2＝AE •AD ．（2）解：∵AE ＝2，ED ＝4， ∵△ABE ∽△ADB ，∴，∴AB2＝AE•AD，∴AB2＝AE•AD＝AE（AE+ED）＝2×6＝12．∴AB＝2（舍负）．（4分）∵BD为⊙O的直径，∴∠A＝90°．又∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥BD．∴∠BDF＝90°．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴∠ADB＝30°．∴∠ABC＝∠ADB＝30°．∴∠DEF＝∠AEB＝60°，∠EDF＝∠BDF﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°．∴∠F＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝60°．∴△DEF是等边三角形．∴EF＝DE＝4．（5分）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为23.4．【分析】由折线统计图得出这五天游客数量从小到大排列为结果，再根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将这5天的人数从小到大排列为21.9、22.4、23.4、24.9、25.4，所以这五天游客数量的中位数为23.4，故答案为：23.4．【点评】本题主要考查折线统计图与中位数，解题的关键是根据折线统计图得出数据，并熟练掌握中位数的概念．22．（4分）当x＝5.4，y＝2.4时，代数式x2﹣2xy+y2的值是9．【分析】把代数式分解因式，然后把数值代入，计算得出答案即可．【解答】解：x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2当x＝5.4，y＝2.4时，原式＝（5.4﹣2.4）2＝9，故答案为9．【点评】此题考查因式分解和代数式的求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．23．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E 与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为4．【分析】根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．【解答】解：连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝＝＝4．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝2．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∵∠EFD+∠CED＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为4，故答案为4【点评】本题考查了圆的综合题、轴对称的性质，垂线段最短，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是求出CD的最小值，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．24．（4分）如图，把矩形ABCD绕着点A逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG，则图中三角形AFC是等腰直角三角形．【分析】根据旋转的性质知：两矩形是完全相同的矩形可知AC＝AF，∠BAC+∠GAF＝90°，则易证△ACF是等腰直角三角形．【解答】解：在矩形ABCD中，根据勾股定理知AC＝，在矩形AEFG中，根据勾股定理知AF＝．∵根据旋转的性质知，矩形ABCD和AEFG是两个大小完全相同的矩形，∠CAF＝90°，∴AB＝AE＝GF，BC＝AD＝AG，∴AC＝AF，∴△ACF是等腰直角三角形，故填：等腰直角．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意，旋转前后的图形全等．25．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴与x轴交于点（﹣1，0），图象上有三个点分别为（2，y1），（﹣3，y2），（0，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y3＜y2＜y1（用“＞”“＜”或“＝”连接）．【分析】先确定抛物线对称轴为直线x＝﹣1，然后二次函数的性质，通过比较三个点到直线x＝﹣1的距离的大小得到y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点（﹣1，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点（2，y1）到直线x＝﹣1的距离最大，点（0，y3）到直线x＝﹣1的距离最小，∴y3＜y2＜y1．故答案为y3＜y2＜y1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．运用二次函数的性质是解决本题的关键．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？【分析】（1）根据利润＝销售价﹣进价列关系式；（2）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；（3）利用函数的性质求最值．【解答】解：由题意得：（1）50+x﹣40＝x+10（元）（2）设每个定价增加x元．列出方程为：（x+10）（400﹣10x）＝6000解得：x1＝10 x2＝20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．（3）设每个定价增加x元，获得利润为y元．y＝（x+10）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250当x＝15时，y有最大值为6250．所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．（4分）【点评】应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解．此题的关键在列式表示销售价格和销售量．27．（10分）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D 不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝4；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为1﹣cosα（用含α的表达式表示）．【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE＝BD的，又∠B＝60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE＝60°，另外∠DEF＝60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF＝CD＝BC﹣BD；（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似；【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM＝DG＝DN，从而证明△BDM≌△CDN可得BD＝CD；【探索】由已知不能求得C△ABC＝AB+BC+AC＝2AB+2OB＝2（m+m cosα），则需要用m和α是三角函数表示出C△AEF ，C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG；题中直接已知点O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG＝ED，FH＝DF，则C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG，而AG＝AB﹣BO，从而可求得．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°．∵AE＝4，∴BE＝2，则BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，又∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°，则∠CDF＝∠C＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4．故答案是：4；（2）证明：如图①，∵∠EDF＝60°，∠B＝60°，∴∠CDF+BDE＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，。
2020年四川省中考数学一轮复习课件：第13讲二次函数(二) (共27张PPT)
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
思路点拨:由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①;由对称轴 公式可得b=-2a,结合点(-1,a-b+c)的位置将b=-2a,代入a-b+c>0,可判断②; 由点(1,a+b+c)和(-1,a-b+c)的位置可判断③;由二次函数当x=1时,y有最小 值可判断④. 解析:①∵抛物线开口向上,∴a>0, ∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴b<0, ∵抛物线与y轴交于负半轴, ∴c<0, ∴abc>0,故①错误;
应用二次函数模型解决实际问题的步骤
1.根据题意确定二次函数的表达式; 2.根据已知条件确定自变量的取值范围; 3.利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定大(小)值,注意二次函数的 最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系
抛物线经过 原点 抛物线与y轴 正 半轴相交 抛物线与y轴 负 半轴相交 抛物线的顶点在 x 轴上 抛物线与x轴有 两个 交点
抛物线与x轴 没有 交点
二次函数图象的平移 1.将抛物线表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标 (h,k) . 2.保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到 (h,k) 处,具体平移方 法如下:
2020年四川省成都地区中考数学第二部分系统复习专题14二次函数的综合运用1(共38张PPT)
课堂精讲 (3)当 n＝－3m 时，PQ 解析式为 y＝－mx＋3m， ∴H(0，3m)． ∵y＝－mx＋3m 与 y＝－12x2＋12x＋3 相交于点 P 与 Q，
y＝－mx＋3m，
∴联立y＝－21x2＋12x＋3，解得 x＝3 或 x＝2m－2. 5
当 2m－2＜3 时，有 0＜m＜2， ∵点 P 在点 Q 的右边， ∴P(3，0)，Q(2m－2，－2m2＋5m)．
2020春成都地区中考数学第二部分系统复习
专题14 二次函数的综合运用1
考点解读
二次函数中的面积问题在成都中考中占了一 定的地位，都是在大题中结合题目的背景进行综 合考查，重在考查学生的知识应用能力．考查的 问题有求三角形面积最大，求一边上高的最大值， 找面积相等的点的坐标等，这些问题大多是利用 公式法、面积分割法、平行相切法、构联立y＝－12x2＋12x＋3， 整理，得 x2－(2m＋1)x＋4＝0， ∴x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝4. ∵△CPQ 的面积为 3，
1 ∴S△CPQ＝S△CHP－S△CHQ，即2HC(x2－x1)＝3. ∴x2－x1＝3. ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝9，即(2m＋1)2＝25. ∴m＝2 或 m＝－3. ∵m＞0，∴m＝2.
②当 1＜m＜52时，如图 2，HK＝5m－5，
∴S△PQK＝－5m2＋325m－225.
图2
课堂精讲
③当 2m－2＞3 时，如图 3，有 m＞52，
∴P(2m－2，－2m2＋5m)，Q(3，0)，K(0，0)．
∴S△PQK＝12×KQ|yP|＝32(2m2－5m)＝3m2－125m.
2020届四川中考数学总复习课件：3.5二次函数的综合应用
b=2
3 a + b=- 25 ,
2
解得a=-
14
8
,b=2.
∴yC′D=
-
1214x+2,
12
当y=0时,- 14 x+2=0,则x=
14
,
∴M（
14
12
，0）.
12
12
（1）【思路点拨】设每位消费单价应涨价x元，根 据题意得：（涨价+10）×销量=6000求出即可； 【自主解答】
解：设每位消费单价应涨价x元，根据题意得： （10+x）（500－20x）=6000， 解方程得：x1=10，x2=5， ∵该项目要保证每天盈利6000元，同时又要旅游 者得到实惠， ∴x=5， 答：每位消费单价应涨价5元
第三章 函数
第五节
二次函数的综合应 用
考点梳理
考点特训营
二次函数的 综合应用
二次函数的实际应用 二次函数与几何图形的综合应用
重难点突破
命题点 二次函数的实际应用（重点） 例1 某风景区特色旅游项目：水上游艇．旅游人 员消费后风景区可盈利10元/人，每天消费人员为 500人．为增加盈利，准备提高票价，经调查发现， 在其他条件不变的情况下，票价每涨1元，消费人 员就减少20人． （1）现该项目要保证每天盈利6000元，同时又要 旅游者得到实惠，那么票价应涨价多少元？ （2）若单纯从经济角度看，票价涨价多少元，能 使该项目获利最多？
（2）【思路点拨】利用总利润=销量×每张利润 求出即可，进而根据 x b 时w最大求出．
2a
【自主解答】
设每位消费金额涨价m元，能获利w元，根据题意 得： w=（10+m）（500－20m）=-20m2+300m+5000， ∵a=-20＜0， ∴m＝ 300 =7.5元时，获得最多.
2020成都中考 专题7 二次函数综合题 第3课时 二次函数与一次函数的综合
变 式 训 练
（2018·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线 轴交于点C（0,5），直线l与y轴交于D点. 为对称轴的 抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m（k>0）交于A（1,1），B两点，与y
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的
（3）设直线PC解析式为y=nx+n-2，与抛物线 联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系知 ,x1+x2=4n-4，x1x2=11-4n，根据 从而得到结果为定值.
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于D， 若 且点Q 是线段DC上的一个动点，求出当 △DBQ与△AOM相似时点Q的坐标
作业布置
达式.意图考查数学思想方法（数形结合思想、分类讨论思想、
转化思想和方程函数思想等）和待定系数法.
精
示例 已知：如图1，二次函数y=ax2+4ax+34的图象交x轴于A，B两点
交该二次函数的图象于 （A在B的左侧），过点A的直线y=kx+3k
另一点C（x1，y1），交y轴于M.
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式； （2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若 且点Q 是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标； （3）设P（-1，-2），图2中连接CP交二次函数的图象于另一点E（x2，
专题七 二次函数综合题
第3课时 二次函数与一次函数的综合
考法示例
考
从压轴题的题干分析成都市的压轴题常把二次函数与一次
函数综合设置，对给出的二次函数和一次函数的表达式中都设置
中考数学成都中考二诊数学专题汇编B卷：二次函数综合问题(含答案)压轴题
中考数学专题：二次函数B卷压轴题一．解答题38．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．40．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，对称轴交AB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上对称轴左侧一点，连接EP，若tan∠BEP＝，求点P的坐标；（3）M是直线CD上一点，N是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．41．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．42．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象交x轴于点A和点B（点A在点B 左侧），与y轴交于点C，顶点为E．（1）如图1，求线段AB的长度（用含a的式子表示）及抛物线的对称轴；（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P点坐标；如果不能，请说明理由；（3）如图3，当a＝3时，若M点为x轴上一动点，连接MC，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连接AC、CN、AN，则△ACN周长的最小值为多少？43．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E 不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．44．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？45．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，点B坐标为（1，0），点C坐标（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上，是否存在一点P，使得S△ACP＝S△ACB，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，将抛物线位于直线AC上方的图象沿AC翻折，翻折后的图形与y轴交于点D，求出点D的坐标．46．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为P，过点B作BC的垂线交抛物线于点D．（1）若点P的坐标为（﹣4，﹣1），点C的坐标为（0，3），求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，求点A到直线BD的距离；（3）连接DC，若点P的坐标为（﹣，﹣），DC∥x轴，则在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求该抛物线的一般式；（2）若点Q为该抛物线上第一象限内一动点，且点Q在对称轴DE的右侧，求四边形DEBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；（3）若点P为对称轴DE上异于D，E的动点，过点D作直线PB的垂线交直线PB于点F，交x轴于点G，当△PDG为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．48．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．50．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．51．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5，与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2．CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK+KB的最小值．52．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）两点，且抛物线经过点C（5，0）．点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）连接P A、PB、BD，当S△ADB═S△P AB时，求S△P AB；（3）是否存在点P，使得△PBE为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．53．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．54．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x 轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值；（2）连接OF，求△OEF的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．55．如图1，抛物线y1＝x2+bx+c经过原点，交x轴于另一点A（4，0），顶点为P．（1）求抛物线y1的解析式和点P的坐标；（2）如图2，点Q（0，a）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线交抛物线y1＝x2+bx+c于点M，N，将抛物线y1＝x2+bx+c沿直线MN翻折得到新的抛物线y2，点P落在点B处，若四边形BMPN的面积等于，求a的值及点B的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，在第一象限的抛物线y1＝x2+bx+c上取一点C，连接OC，作CD⊥OB于D，BE⊥OC交x轴于E，连接DE，若∠BEO＝∠DEA，求点C的坐标．56．如图，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A，B，D三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点G（1，m）在抛物线上，作射线AG，点H为线段AB上一点，过点H作HE⊥y 轴于点E，过点H作HF⊥AG于点F，过点H作HM∥y轴交AG于点P，交抛物线于点M，当HE•HF 的值最大时，求HM的长；（3）在（2）的条件下，连接BM，若点N为抛物线上一点，且满足∠BMN＝∠BAO，求点N的坐标．参考答案与试题解析一．解答题38．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．∵S△CPD＝3S△CQD，∴PD＝3DQ，∵PT∥DH∥BC，∴＝＝＝3，∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），∴OC＝OB＝5，OD＝OH＝2，∴HC＝3，∴TH＝9，OT＝7，∴直线PT的解析式为y＝x+7，由，解得或，∴P（，）或（，），②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，∴PQ＝3DQ，∴S△CPD＝3S△CQD，过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，由，解得或，∴P′（3，﹣8），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y＝x2+x﹣1（2）∵动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2①当∠ANM＝90°，AN＝MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN＝t﹣（﹣2）＝t+2∵MN＝t2+2∴t2+2＝t+2∴t1＝0（舍去），t2＝1∴t＝1②当∠AMN＝90°，AM＝MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM＝t﹣（﹣2）＝t+2，∵MN＝t2+2∴t2+2＝t+2∴t1＝0，t2＝1（舍去）∴t＝0故t的值为1或0（3）由（2）可知t＝1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设半径为1的⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点O关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ＝∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ＝∠BNP．由图形易得Q1（﹣1，3）设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3N＝NQ1＝BN＝2，由∵⊙K半径为1∴解得，．同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4N＝NQ2＝NO＝，∴解得，．∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）40．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，对称轴交AB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上对称轴左侧一点，连接EP，若tan∠BEP＝，求点P的坐标；（3）M是直线CD上一点，N是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c，则有，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）由题可求B（0，3），D（2，4），设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，将A（6，0），B（0，3）代入可得，∴，∴y＝﹣x+3，设直线CD的解析式为y＝k2x+b2，将C（﹣2，0），D（2，4）代入可得，∴，∴y＝x+2，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴E（2，2），∴tan∠BAO＝，∵tan∠BEP＝，∴∠BEP＝∠BAO，①如图1：过点E作EQ∥x轴交抛物线于点P，交y轴于点Q，当y＝2时，﹣x2+x+3＝2，解得x＝2﹣2或x＝2+2（舍），∴P1（2﹣2，2）；②在①中，点Q坐标为（0，2），作点Q关于AB的对称点Q'，连接BQ'，EQ'，则BQ'＝BQ＝1，EQ'＝EQ＝2，过点Q'作Q'H⊥y轴于点H，过点E作EG⊥Q'H于点G，∵∠BQ'E＝90°，∴∠BHQ'＝90°﹣∠GQ'E＝∠Q'EG，∵∠BHQ'＝∠Q'GE＝90°，∴△BHQ'∽△Q'GE，∴＝＝＝，∴设BH＝m，则Q'G＝2m，GE＝m+3﹣2＝m+1，HQ'＝（m+1），∵HQ'+Q'G＝HG＝2，∴（m+1）+2m＝2，∴m＝，∴HO＝，HQ'＝，∴Q'（，），直线EQ'的解析式为y＝﹣x+，解方程组，解得或（舍），∴P2（，）；综上所述：点P的坐标为（2﹣2，2）或（，）；（3）∵M是直线CD上一点，N是抛物线上一点，设M（m，m+2），N（x，﹣x2+x+3），B（0，3），E（2，2），①当BE∥MN时，BN的中点为（，），ME的中点为（，），∴＝，＝，∴x＝±4，∴N（4，3）或N（﹣4，﹣5）；②当BM∥NE时，BE的中点为（1，），MN的中点为（，），∴＝1，＝，∴x＝±2，∴N（2，1+2）或N（﹣2，1﹣2）；综上所述：满足条件的N点坐标为（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．41．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，得﹣m+3＝2，解得m＝﹣2或1（舍去），∴E（﹣2，2），∵A（﹣3，0）、B（2，0），∴AB＝5，AE＝，BE＝2，∴AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2，（Ⅱ）当△EF A∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为2或2；②点H的坐标为（﹣，）或（﹣，），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y＝x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，∴MH+HN＝2m+m＝1，解得，m＝，∴H点的横坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，∴点H的坐标为（﹣，）．（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA＝，则tan∠MHG＝＝tan∠GCH＝，设MG＝a，则MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG∽△CNH，∴，∴NH＝2a，CN＝4a，又C（0，3），∴G（﹣3a，3﹣4a），代入y＝﹣x+3中，得，a＝或0（舍去），∴CN＝，∴H点的横坐标为﹣，代入y＝x+3，得，y＝．∴点H的坐标为（﹣）．综合以上可得点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．42．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象交x轴于点A和点B（点A在点B 左侧），与y轴交于点C，顶点为E．（1）如图1，求线段AB的长度（用含a的式子表示）及抛物线的对称轴；（2）如图2，当抛物线的图象经过原点时，在平面内是否存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出P点坐标；如果不能，请说明理由；（3）如图3，当a＝3时，若M点为x轴上一动点，连接MC，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，连接AC、CN、AN，则△ACN周长的最小值为多少？【解答】解：（1）当y＝0时，x2+3x﹣a2+a+2＝0，∴[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，∴x＝a﹣2，或x＝﹣a﹣1，∵点A在点B左侧，∴A（﹣a﹣1，0），B（a﹣2，0），∴AB＝a﹣2﹣（﹣a﹣1）＝2a﹣1，抛物线的对称轴为x＝＝﹣，即抛物线的对称轴为x＝﹣；（2）存在，理由如下：∵抛物线y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的图象经过原点，a＞1，∴﹣a2+a+2＝0，解得：a＝2，或a＝﹣1（舍去），∴a＝2，∴A（﹣3，0），B（0，0），y＝x2+3x＝（x+）2﹣，∴E（﹣，﹣），分情况讨论，如图2所示：①若AB为平行四边形的边，则P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；②若AB为平行四边形的对角线，则P点坐标为（﹣，）；综上所述，在平面内存在一点P，使得以A、B、E、P为顶点的四边形成为平行四边形，P点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，）；（3）当a＝3时，y＝x2+3x﹣4，此时A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），∴OA＝4，OC＝4，设M（t，0），∵将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN，∴OM＝﹣t，过点M作EF⊥x轴，过点N作NE⊥EF于点E，过点C作CF⊥EF于点F，如图3所示：则∠MEN＝∠CFM＝90°，由旋转的性质得：MN＝MC，∠CMN＝90°，∴∠EMN+∠CMF＝∠CMF+∠FCM＝90°，∴∠EMN＝∠FCM，在△MNE和△CMF中，，∴△MNE≌△CMF（AAS），∴ME＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，∴点N的横坐标为N x＝4+t，点N的纵坐标为N y＝﹣t，∴y＝﹣x+4，∴点N在直线l：y＝﹣x+4上运动，设直线l交x轴于点G，则G（4，0），若使△ACN的周长最小，即使AN+CN最小，∴作点A关于l的对称点A'，连接A'C，A'N，则AN＝A'N，当A'、N、C三点共线时，AN+CN最小＝A'C，由题意得：∠A'AO＝45°，∠CAO＝45°，∴∠CAA'＝90°，∵G（4，0），∴AG＝OA+OG＝8，AA'＝8，∵AC＝＝4，∴A'C＝＝4，∴A'C+AC＝4+4，∵△ACN的周长＝AN+CN+AC，∴△ACN周长的最小值为A'C+AC＝4+4．43．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E 不与A，C两点重合）；（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，∴x＝0时，y＝3，则C点的坐标为（0，3），∵A（4，3），∴AC∥OD，∵AD⊥x，∴四边形ACOD是矩形，设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：则，解得：，∴直线BE的函数表达式为：y＝x+，令y＝x+＝0，则x＝4m﹣6，∴点M的坐标为（4m﹣6，0），∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，S梯形ECOM＝（OM+EC）•OC＝（4m﹣6+m）×3＝，分两种情况：①＝，即＝，解得：m＝，∴点E的坐标为：（，3）；②＝，即＝，解得：m＝，∴点E的坐标为：（，3）；综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）；（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：设点F的坐标为：（a，﹣a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a，∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，∵NF∥CG，∴∠EMC＝∠EFN，∴∠EFN＝∠DGO，在△EFN和△DGO中，，∴△EFN≌△DGO（ASA），∴NE＝OD＝AC＝4，∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，∴∠EFN＝∠DEA，∴△ENF∽△DAE，∴＝，即＝，整理得：a2+a＝0，解得：a＝﹣或0，当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，∴AE＝NC＝﹣a＝，∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．44．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥P A，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠P AQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠F AE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3，得y＝1．所以E（2，1）．45．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，点B坐标为（1，0），点C坐标（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上，是否存在一点P，使得S△ACP＝S△ACB，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，将抛物线位于直线AC上方的图象沿AC翻折，翻折后的图形与y轴交于点D，求出点D 的坐标．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，B（1，0），∴A（﹣3，0）．设抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），∵过点，∴，，∴抛物线解析式为．（2）如图1中，∵AO：AB＝3：4，∴，过点O作l1∥AC交抛物线于点P，∴．∵A（﹣3，0），，∴直线，∴，联立，∴，∴x2+3x﹣3＝0，解得：，，∴，，将直线l1向左平移6个单位得到直线l2，∴，此时l2上所有点与AC连接构成的三角形面积为，联立，∴x2+3x+3＝0，∴△＜0，∴此种情形不存在．综上，点P的坐标为，．（3）如图2中，过点D作CA的对称点D'交AC于点E，设D（0，m）．∴D'在抛物线上，AC垂直平分DD'，∴CD＝3﹣m，∵，∴在Rt△CED中，CE＝CD•cos∠1＝（3﹣m）＝﹣m，过点E作EF⊥CD于点F，∴，∴，点E在AC上，∴，∴．∵E为DD'中点，∴x D'＝2x E﹣x D＝m﹣，，∴，∵D'在抛物线上，∴．∴，∴，解得：（舍），，∴．46．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为P，过点B作BC的垂线交抛物线于点D．（1）若点P的坐标为（﹣4，﹣1），点C的坐标为（0，3），求抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，求点A到直线BD的距离；（3）连接DC，若点P的坐标为（﹣，﹣），DC∥x轴，则在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠BDC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+4）2﹣1把C（0，3）代入，得3＝a（0+4）2﹣1，a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+4）2﹣1，即y＝x2+2x+3；（2）令x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，∴A（﹣6，0），B（﹣2，0），∴OA＝6，OB＝2，AB＝4，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴BC＝＝＝．作AF⊥BD于F，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABF+∠CBO＝90°．∵∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABF＝∠BCO，∴＝sin∠ABF＝sin∠BCO＝＝，∴AF＝AB＝＝，即点A到直线BD的距离为；（3）作DH⊥x轴于H．设A（x1，0），B（x2，0），由抛物线的对称性可知AH＝BO，∴BH＝OH﹣OB＝OH﹣AH＝OA＝﹣x1∵DC∥x轴，∴DH＝CO＝c，∵DB⊥BC，∴△DBH∽△BCO．∴＝，∴＝，∴c2＝x1x2，令ax2+bx+c＝0，则x1x2＝，∴c2＝，∴c＝．由P（﹣，﹣），可设抛物线的解析式为y＝a（x+）2﹣，令x＝0，得c＝a﹣，∴a﹣＝，解得a＝﹣（舍去）或a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+）2﹣，即y＝x2+x+2，易得A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，2），AB＝3，OB＝1，OC＝2，设经过A，B，M三点的圆的圆心为P，连接P A，PB，PM，作PN⊥AB于N，则AN＝BN＝，P A＝PB＝PM，∠APN＝∠AMB＝∠BDC，∵DC∥x轴，∴∠BDC＝∠ABD＝∠BCO，∴∠APN＝∠BCO，∴＝tan∠APN＝tan∠BCO＝＝，∴PN＝2AN＝AB＝3，∴P（﹣，3），P A2＝．设M（m，y），其中y＝m2+m+2，则PM2＝（m+）2+（y﹣3）2，∴（m+）2+（y﹣3）2＝，m2+5m+4+y2﹣6y＝0，2y+y2﹣6y＝0，y2﹣4y＝0，解得y＝0（舍去）或y＝4．令x2+x+2＝4，解得x＝，∴M1（，4），M2（，4）．47．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求该抛物线的一般式；（2）若点Q为该抛物线上第一象限内一动点，且点Q在对称轴DE的右侧，求四边形DEBQ面积的最大值及此时点Q的坐标；（3）若点P为对称轴DE上异于D，E的动点，过点D作直线PB的垂线交直线PB于点F，交x轴于点G，当△PDG为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣；（2）∵抛物线解析式为y＝﹣＝﹣，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，），对称轴为x＝2，E（2，0），过点Q作y轴的平行线交BD于点M，设点Q（m，﹣），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣，可设M（m，﹣），∴QM＝﹣﹣）＝﹣m﹣5，∴S四边形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM＝+×（m﹣2）+，＝﹣．当m＝时，S四边形DEBQ取得最大值，S四边形DEBQ＝．此时﹣．∴Q（，）．（3）抛物线的对称轴为x＝2，则点D（2，），设点P（2，n），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y＝﹣nx+，∵DG⊥PB，故直线DG表达式中的k值为，将点D的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线DG的表达式为：y＝x+，解得：x＝2﹣，故点G（2﹣，0），∴GP2＝，，，①当GP＝GD时，＝，解得：n＝﹣或（舍去），∴P（2，﹣）．②当GP＝PD时，，解得：n＝﹣2±，∴P（2，﹣2+）或P（2，﹣2﹣）．③当GD＝PD时，，解得：n＝﹣或n＝0（舍去）．∴．综合以上可得点P的坐标为（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）．48．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，解得：x＝﹣1或x＝2，当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF＝y F﹣y P＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．S△ABP＝S△PF A+S△PFB＝PF（x F﹣x A）+PF（x B﹣x F）＝PF（x B﹣x A）＝PF ∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+当x＝时，y P＝x2﹣1＝﹣．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．∴C（﹣k，0），OC＝k．Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．∴EN＝OE﹣ON＝﹣．∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k＝±，∵k＞0，∴k＝．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝．Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，可得k＝1，k＝﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）∴S△ABP＝（F Y﹣P Y）（B X﹣A X），∴S△ABP＝（t+1﹣t2+1）（2+1），∴S△ABP＝﹣t2+t+3，当t＝时，S△ABP有最大值，∴S△ABP＝．（3）∵y＝x2+（k﹣1）x﹣k，∴y＝（x+k）（x﹣1），当y＝0时，x1＝﹣k，x2＝1，∴C（﹣k，0），D（1，0），当点A和点C重合时，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，可得k＝1，k＝﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．当点A和点C不重合时，∵点Q在y＝kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），∵∠OQC＝90°，∴CQ⊥OQ，∴K CQ×K OQ＝﹣1，∴∴（k2+1）t2+3kt+1＝0有唯一解，∴△＝（3k）2﹣4（k2+1）＝0，∴k1＝，k2＝﹣（k＞0故舍去），∴k＝．综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C′．（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，解得，∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y轴交于点E，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），∵抛物线绕点M旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝×40＝10，∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4或m＝﹣16；（3）如图，过点C作CD⊥y轴于点D，当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M在O、D之间，当MB⊥MC时，△MOB∽△CDM，∴＝，即MO•MD＝BO•CD．∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，。
2020年四川成都中考年级二诊—二次函数的实际应用B26 专题复习讲义设计(无答案)
2x九年级二诊——B26专题复习单类型一销售利润问题(仅2019年考查)例1：(2019成都B卷26题8分)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)求出每月的利润z(万元)与销售单x(元)之间的函数关系式。
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售利润率不能高于50%,而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元。
那么并求出当销售单价定为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=售价制造成本)(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝112来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【分层分析】(1)要求y与x之间的函数关系式，只需设出一次函数关系式，根据图象代入_____________、____________两点的坐标即可；(2)设销售收入为W元，由(1)得y与x之间的函数关系式，根据销售收入＝销售数量×销售价格，得W关于x的关系式为__________________________，利用二次函数的性质即可求解．即学即练：某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品,投放市场进行试销。
经过调查,得到每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的部分数据如下：销售单价x(元/件)…20253035…每月销售量y(万件)…60504030…(1)求出每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式。
类型二每每问题(仅2016年考查)例2：(2016成都B卷26题8分·源自北师九下P29例题)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x 棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？【分层分析】(1)根据题意，果园多种的橙子树有x棵，则少结的橙子为_____个，则平均每棵树结的橙子的个数y与x之间的关系式为________________；(2)设橙子的产量为w，由(1)得，平均每棵树结的橙子的个数y与x之间的函数关系式，根据产量＝树的棵数×每棵树结的橙子数，可得w关于x的关系式为_______________________，利用二次函数的性质即可求得最大值．即学即练：四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．类型三几何面积问题(2011、2012、2013、2014考查)例3：(2014成都B卷26题8分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．【分层分析】(1)根据题意，因为AB＝x m，则BC=，可以列出方程：；(2)根据题意可以列出不等式组：，可出x的取值范围为：，根据S=AB×BC，可得S关于x的关系式为，利用二次函数的性质即可求得最大值．即学即练：工人师傅用一块长为10dm,宽为8dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)若长方体容器底面面积为48平方分米，问：裁掉的小正方形边长是多少分米?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的3倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，问：裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低费用为多少元?括 1.5 小时）y 与 x 可近似地用反比例函数 k） B例 5：某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后，1.5 小时内其血液中含药量 y （微克/毫升）与时间 x （时）的关系可近似地用二次函数 y =﹣12x 2+24x 刻画；1.5 小时后（包x （k ＞0）刻画（如图所示），已知当 x =3 时，y =4.5．（1）成人按规定的剂量服药后几时血液中含药量达到最大值？最大值为多少？（2）据测定：每毫升血液中含药量少于 4 微克，这种药对疾病治疗就会失去效果，试分析成人按规定 的剂量服完药 3.5 小时以后是否还有药效．类型四 其它类型（增长率、药物有效性问题）例 4：为了打造“清洁能源示范城市”，成都市 2017 年投入资金 2560 万元用于充电桩的安裝，并规划投入资金逐年增加，2019 年在 2017 年的基础上增加投入资金 3200 万元.（1）从 2017 年到 2019 年，成都市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2 2020 年成都市计划再安装 A 、 两种型号的充电桩共 200 个.已知安装一个 A 型充电桩需 3.5 万元， 安装一个 B 型充电桩需 4 万元，且 A 型充电桩的数量不多于 B 型充电桩的一半.求 A 、B 两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？。
专题06 二次函数-2020年中考数学真题分专题训练(四川专版)(教师版含解析)
专题06 二次函数1.(3分)(2020•成都)关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是()A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(﹣2，0)和(4，0)D．y的最小值为﹣9【答案】D【解析】∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝(x+1)2﹣9＝(x+4)(x﹣2)，∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点(0，﹣8)，故选项B错误；当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为(2，0)和(﹣4，0)，故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．2.(3分)(2020•甘孜州)如图，二次函数y＝a(x+1)2+k的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B两点，下列说法错误的是()A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝﹣1C．点B的坐标为(1，0)D．当x＜0时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】观察图形可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，∵A(﹣3，0)，A，B关于x＝﹣1对称，∴B(1，0)，故A，B，C正确，故选：D．3．(3分)(2020•泸州)已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1﹣b，m)，B(2b+c，m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为()A．﹣1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，∴(﹣2b)2﹣4×1×(2b2﹣4c)≥0，即b2﹣4c≤0 ①，=b，抛物线经过不同两点A(1﹣b，m)，B(2b+c，m)，由抛物线的对称轴x=−−2b2b=1−b+2b+c，即，c＝b﹣1 ②，②代入①得，b2﹣4(b﹣1)≤0，即(b﹣2)2≤0，因此b＝2，2c＝b﹣1＝2﹣1＝1，∴b+c＝2+1＝3，故选：C．4．(4分)(2020•凉山州)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b(m为实数)．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；=1，②∵对称轴x=−b2a∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a=−12b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴−12b﹣b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b(m为实数)．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．5．(4分)(2020•南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A．19≤a≤3B．19≤a≤1C．13≤a≤3D．13≤a≤1【答案】A【解析】当抛物线经过(1，3)时，a＝3，当抛物线经过(3，1)时，a=19，观察图象可知19≤a≤3，故选：A．6．(4分)(2020•自贡)函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：D．7．(3分)(2020•达州)如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是()A．B．C．D．【答案】B【解析】设y ＝y 2﹣y 1，∵y 1＝kx ，y 2＝ax 2+bx +c ，∴y ＝ax 2+(b ﹣k )x +c ，由图象可知，在点A 和点B 之间，y ＞0，在点A 的左侧或点B 的右侧，y ＜0，故选项B 符合题意，选项A 、C 、D 不符合题意；故选：B ．8．(4分)(2020•南充)关于二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5(a ≠0)的三个结论：①对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则−43＜a ≤﹣1或1≤a ＜43；③若抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6，则a ＜−54或a ≥1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x =−4a 2a =2，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等；故①正确；当x ＝3时，y ＝﹣3a ﹣5，当x ＝4时，y ＝﹣5，若a ＞0时，当3≤x ≤4时，﹣3a ﹣5＜y ≤﹣5，∵当3≤x ≤4时，对应的y 的整数值有4个，∴1≤a ＜43，若a ＜0时，当3≤x ≤4时，﹣5≤y ＜﹣3a ﹣5，∵当3≤x ≤4时，对应的y 的整数值有4个，∴−43＜a ≤﹣1，故②正确；若a ＞0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6，∴△＞0，25a ﹣20a ﹣5≥0，∴{16a2+20a ＞05a −5≥0， ∴a ≥1，若a ＜0，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6，∴△＞0，25a ﹣20a ﹣5≤0，∴{16a 2+20a ＞05a −5≤0， ∴a ＜−54，综上所述：当a ＜−54或a ≥1时，抛物线与x 轴交于不同两点A ，B ，且AB ≤6．故选：D ．9．(3分)(2020•乐山)我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：(1)当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 0≤x ＜3 ；(2)当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 a ＜−1或a ≥32． 【答案】a ＜﹣1或a ≥32．【解析】(1)由题意∵﹣1＜[x ]≤2，∴0≤x ＜3，故答案为0≤x ＜3．(2)由题意：当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方，则有x ＝﹣1时，1+2a +3＜﹣1+3，解得a ＜﹣1，或x ＝2时，4﹣2a +3≤1+3，解得a ≥32，故答案为a ＜﹣1或a ≥32．10．(10分)(2020•南充)某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．(1)如图，设第x (0＜x ≤20)个生产周期设备售价z 万元/件，z 与x 之间的关系用图中的函数图象表示．求z 关于x 的函数解析式(写出x 的范围)．(2)设第x 个生产周期生产并销售的设备为y 件，y 与x 满足关系式y ＝5x +40(0＜x ≤20)．在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润＝收入﹣成本)解：(1)由图可知，当0＜x ≤12时，z ＝16，当12＜x ≤20时，z 是关于x 的一次函数，设z ＝kx +b ，则{12k +b =16，20k +b =14，解得：{k =−14，b =19，∴z =−14x +19，∴z 关于x 的函数解析式为z ={16，(0＜x ≤12)z =−14x +19，(12＜x ≤20)． (2)设第x 个生产周期工厂创造的利润为w 万元，①当0＜x ≤12时，w ＝(16﹣10)×(5x +40)＝30x +240，∴由一次函数的性质可知，当x ＝12时，w 最大值＝30×12+240＝600(万元)；②当12＜x ≤20时，w ＝(−14x +19﹣10)(5x +40) =−54x 2+35x +360=−54(x ﹣14)2+605， ∴当x ＝14时，w 最大值＝605(万元)．综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．11．(8分)(2020•甘孜州)某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可以近似看作一次函数y ＝kx +b ，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．(1)求k ，b 的值；(2)求销售该商品每周的利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．解：(1)由题意可得：{30=50k +b 10=70k +b， ∴{k =−1b =80， 答：k ＝﹣1，b ＝80；(2)∵w ＝(x ﹣40)y ＝(x ﹣40)(﹣x +80)＝﹣(x ﹣60)2+400，∴当x ＝60时，w 有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．12．(8分)(2020•成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y (单位：件)与线下售价x (单位：元/件，12≤x ＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：x (元/件)12 13 14 15 16 y (件) 1200 1100 1000 900 800(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．解：(1)∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx +b ，将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：{1200=12k +b 1100=13k +b， 解得：{k =−100b =2400， ∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣100x +2400；(2)设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400(x ﹣2﹣10)+y (x ﹣10)＝400x ﹣4800+(﹣100x +2400)(x ﹣10)＝﹣100(x ﹣19)2+7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．。
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九年级二诊——B26专题复习单
类型一 销售利润问题(仅2019年考查)
例1：(2019成都B 卷26题8分)随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x (x 为正整数)个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y 与x 之间的关系式；
(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝
2
1
21 x 来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【分层分析】(1)要求y 与x 之间的函数关系式，只需设出一次函数关系式，根据图象代入_____________、____________两点的坐标即可；
(2)设销售收入为W 元，由(1)得y 与x 之间的函数关系式，根据销售收入＝ 销售数量×销售价格，得 W 关于x 的关系式为__________________________，利用二次函数的性质即可求解．
即学即练：某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品,投放市场进行试销。
经过调查,得到每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的部分数据如下：
(1)求出每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式。
(2)求出每月的利润z (万元)与销售单x (元)之间的函数关系式。
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售利润率不能高于50%,而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元。
那么并求出当销售单价定为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=售价−制造成本)
类型二 每每问题(仅2016年考查)
例2：(2016成都B 卷26题8分·源自北师九下P29例题)某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x 棵橙子树．
(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y (个)与x 之间的关系式；
(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？
【分层分析】(1)根据题意，果园多种的橙子树有x 棵，则少结的橙子为_____个，则平均每棵树结的橙子的个数y 与x 之间的关系式为________________；
(2)设橙子的产量为w ，由(1)得，平均每棵树结的橙子的个数y 与x 之间的函数关系式，根据产量＝树的棵数 × 每棵树结的橙子数，可得w 关于x 的关系式为_______________________，利用二次函数的性质即可求得最大值．
即学即练：四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．类型三几何面积问题(2011、2012、2013、2014考查)
例3：(2014成都B卷26题8分)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.
(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
【分层分析】(1)根据题意，因为AB＝x m，则BC= ，可以列出方程：；
(2)根据题意可以列出不等式组：，可出x的取值范围为：，根据S=AB×BC，
可得S关于x的关系式为，利用二次函数的性质即可求得最大值．
即学即练：工人师傅用一块长为10dm,宽为8dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)若长方体容器底面面积为48平方分米，问：裁掉的小正方形边长是多少分米?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的3倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，问：裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低费用为多少元?
类型四其它类型（增长率、药物有效性问题）
例4：为了打造“清洁能源示范城市”，成都市2017年投入资金2560万元用于充电桩的安裝，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2017年到2019年，成都市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2020年成都市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？例5：某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后，1.5小时内其血液中含药量y（微克/毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣12x2+24x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数
x
k
（k＞0）刻画（如图所示），已知当x=3时，y=4.5．（1）成人按规定的剂量服药后几时血液中含药量达到最大值？最大值为多少？
（2）据测定：每毫升血液中含药量少于4微克，这种药对疾病治疗就会失去效果，试分析成人按规定的剂量服完药3.5小时以后是否还有药效．。