一元二次方程的解法之直接开平方法精品PPT课件
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解一元二次方程--直接开平方法PPT课件(人教版)
（5）χ2－10x+24=0
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义 2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（2－χ）2－9=0
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程.
2.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
a 1.如果 x2 a(a 0) ，则x 就叫做 的 平方根 。 x 2.如果 x2 a(a 0) ， 则 = a 。 x 3.如果 x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义 2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得χ=±5 直接开平方，得χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（2－χ）2－9=0
1.会用直接开平方法解形如(x a)2 b(b 0)
的方程.
2.了解转化、降次思想在解方程中的运用。
a 1.如果 x2 a(a 0) ，则x 就叫做 的 平方根 。 x 2.如果 x2 a(a 0) ， 则 = a 。 x 3.如果 x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析：我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
九年级数学解一元二次方程之直接开平方法课件
思考
上面解方程的过程，由②到③的实质是什么？
将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我
们就可以通过解一元一次方程来求得一元二次方程的解。
总结
直接开平方
法解一元二
次方程
理论
依据
x2=p(p≥0)
x= ± p .
(mx+n)2=p(p≥0)
mx+n= ± p.
转化思想
平方根的定义
课堂测试
难点：通过根据平方根的意义解形如^2=p(p≥0)，知识迁移到根据平方根的意义形如(+)^2
= p(p≥0) 的方程。
情景思考
六个面
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
解得x1= -2 ，x2= -1 .
九年级
第二十一章 一元二次方程
解一元二次方程
解一元二次方程之直接开平方法
人教版 数学（初中） （九年级 上）
前言
学习目标
1.会用直接开平方法解形如^2=p(p≥0)或 (+)^2= p(p≥0)的一元二次方程.
2.在开平方法解一元二次方程的过程,体会转化和整体的数学思想.
重点难点
重点：运用开平方法解形如或 (+)^2 = p(p≥0) ，领会降次-转化的数学思想。
情景思考
参考上面解方程①的过程，你认为怎么解方程 + 3
2
= 5？
这时我们就需要用到数学转化的
思想来解决问题
你还记得数学转化思想吗？
数学转化思想
用直接开平方法法解一元二次方程PPT课件
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）x2=1.21 （2）移项，4x2=1
x 1.21
x2=
1 4
∴x=±1.1
x 1 4
即 x1=1.1， x2=-1.1
即x1=
1 2
∴x=
1 2
，x2=
1 2
对照上面解方程的过程，你认为方程2x 1S
THANK YOU
2019/7/31
交流讨论 以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
一元二次方程
x2 p p 0 mx n2 p p 0
开平方法 降次
一元一次方程
x p, mx n p
直接开平方法
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
解下列方程
(1)9x2 5 3
(2)3x 12 6 0
3 x2 4x 4 5
解下列方程：
(1)9x2 5 3
解：移项 9x2 8,
得 x2 8 , 9
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
xx
28 2 33
2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)x2-81＝0
(2)2x2＝50
x＝±9
x＝±5
(3)(x＋1)2=4 x1＝1,x2＝－3
1 x 62 9 0
解：移项得 x 62 9 x 6 3
即：x 6 3, x 6 3
方程的两根为：x1 3, x2 9
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
21.2.1 第1课时 直接开平方法 课件(共16张PPT)
. ∵ > , ∴ = + , = − + ,
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
直接开平方法解一元二次方程PPT
想一想：求x2=a的解的过程，就相当于求什么的过程？
（ 三）探究新知 探究（一）：
你能求出x的值吗？
1. x2=4
2. m2=16
3. x2-121=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的( ). 平方根
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
用直接开平方法解下列方程： 2 （1） y 121 0 ; y 11
（2） x 2 0
x 2
5 x 4 1 2 ( 4) 2 x 0 2
2
将方程化成
(3) 16x 25 0
2
x p
2
(p≥0）的形 式,再求解
9 x2－16=0 (3x+4)( 3x-4)=0
4 当3x+4=0时, x1=4 3 当3x-4=0时, x2= . 3
探究（三）：
１、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式
有何联系？ ２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程 （a-8）2=25该如何求解？试解出此方程。
图：
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。 例2、 解方程
你能通过一元二次方程解决这个问题吗？ 解：设这块绿地的边长增加了x米。 根据题意得： （15+x）2=300
（二）复习Байду номын сангаас诊断
1、将下列各数的平方根写在旁边的括号里 A： 9 （ B： 8 （ C：
49 25
）； ）； ) ；
（ 三）探究新知 探究（一）：
你能求出x的值吗？
1. x2=4
2. m2=16
3. x2-121=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的( ). 平方根
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
用直接开平方法解下列方程： 2 （1） y 121 0 ; y 11
（2） x 2 0
x 2
5 x 4 1 2 ( 4) 2 x 0 2
2
将方程化成
(3) 16x 25 0
2
x p
2
(p≥0）的形 式,再求解
9 x2－16=0 (3x+4)( 3x-4)=0
4 当3x+4=0时, x1=4 3 当3x-4=0时, x2= . 3
探究（三）：
１、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式
有何联系？ ２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程 （a-8）2=25该如何求解？试解出此方程。
图：
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。 例2、 解方程
你能通过一元二次方程解决这个问题吗？ 解：设这块绿地的边长增加了x米。 根据题意得： （15+x）2=300
（二）复习Байду номын сангаас诊断
1、将下列各数的平方根写在旁边的括号里 A： 9 （ B： 8 （ C：
49 25
）； ）； ) ；
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
直接开平方法解一元二次方程ppt课件
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
探究（二）： 9x2=16都可以怎样求解?你们小组认为 哪种解法更简便?
设计意图： 使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方 程的形式；培养学生思维的灵活性、决策能力以及 善于思考、勇于质疑的精神
设计意图： 这里从学生身边的实际问题引出学习内容， 让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明 确本节课的学习任务。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（二）复习与诊断
1、 如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
教学手段：计算机及计算器辅助教学
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
五、教学过程设计： 激趣引入 复习诊断
探究新知
巩固应用 分层检测
深化提高
学习小结
分享收获
分层作业
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
4、实力比拼 探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解. 当a≥0时, x－m=± a x1= a +m, x2=- a +m.
设计意图： 通过合作探究使学生 1.深刻理解直接开平方法的使用条件,培养分类讨论的数学思想; 2. 进一步提高问题解决能力
《用直接开平方法解一元二次方程》PPT课件
8．若关于 x 的方程(ax－1)2－16＝0 的一个根为 2，则 a 的值为
(D ) A．52
B．－32
C．－52或32
D．52或－32
*9.若(x2＋y2－5)2＝64，则 x2＋y2 的值为( A )
A．13
B．13 或－3
C．－
D．以上都不对
【点拨】直接开平方，得 x2＋y2－5＝±8，即 x2＋y2＝5±8.因为 x2＋y2 不是负值，所以 x2＋y2＝13.
6．解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程，先根据__平__方__根____ 的意义，把一元二次方程“__开__平__方____”转化为两个__一____元 __一____次方程，再求解．
7．(中考·丽水)一元二次方程(x＋6)2＝16 可化为两个一元一次 方程，其中一个一元一次方程是 x＋6＝4，则另一个一元一 次方程是( D ) A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
2．(2019·徐州)方程 x2－4＝0 的解是___x_＝__±__2_____________．
3．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程 的另一个根是( A ) A．3 B．－3 C．0 D．1
4．若 2x2＋3 与 2x2－4 互为相反数，则 x 的值为( D )
人教版 九年级上
第二十一章 一元二次方程
第2节 解一元二次方程 第1课时 用直接开平方法解一元二次
方程
提示：点击 进入习题
1 p≥0；± p； p；－ p
答案显示
6 平方根；开平方；一；一
2 x＝±2
7D
3A 4D
8D 9A
5D
10 见习题
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
《用直接开平方法解一元二次方程》PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
பைடு நூலகம்
21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
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九年级数学上册第22章一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法上课pptx课件新版华东师大版
解 （1）原方程可以变形为
(x + 1)2 = 4.
你是这样解的 吗？还有没有
直接开平方，得
其他解法？
x + 1 = ±2.
所以
x1 = 1，x2 = – 3.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
教学反思
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和 因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论， 归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、 恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法， 在整个教学过程中注意整体划归的思想.
所以 得
x(x – 3) = 0. x = 0 或 x – 3 = 0. x1 = 0，x2 = 3.
例3 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化 为
(
)2 = a (a ≥ 0)
的形式，用直接开平方法求解.
（直1接）开移平项方，，得得x2x==9±0300，，（所2以）(x左+边30因)(式x –分3解0)，= 得0，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
（2）x2 = 3x
（2）移项，得
x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得
对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得
一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
一元二次方程——直接开平方法 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
，x2=
4 3
例题讲解
2、（3x -2）²-49=0
解：移项，得：
3、（3x -4）²=（4x -3）²
解：两边开平方，得：
（3x-2）²=49
3x-4=±（4x-3）
两边开平方，得： 3x -4=4x-3
3x -2=±7
∴
x1=3，x2=
5 3
或3x-4= -4x+3
x1 =-1， x2 =1
九年级上册-21章
难点名称：探究( x－m)2=a的解的情况,培养分类讨论的意识。
目录
CONTENTS
导入
知识 讲解
课堂 练习
小结
平方根：如果 x2 a(a 0) ， 则 x = a 。
x 如果 χ2=4 ，则 =
。
对于以上方程,可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
3，得到形如： x = a. 的一元一次方程。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
知识讲解 市区有一块边长为１５米的正方形绿地，经城市 规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿 地面积将达到400平方米，请问这块绿地的边长 增加了多少米？
你能通过一元二次方程解决这个问题吗？
解：设这块绿地的边长增加了x米。根
据题意得：
（15+x）2=400 （1）
对于方程(1),可以这样想: ∵ (15+x)2=400
令15+x=a,则方程变为 a2 400
∴ a= 400= 20 即: 15+x=±20
∴ 方程 (15+x)2=400的两个根为 χ1=5，χ2=－35(舍去）. ∴这块绿地的边长增加了5米。
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(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
概括总结
什么叫直接开平方法？ 像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
典型例题
例1 解下列方程 （1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2
说说你从这两个例子中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1=
7 4
;x2=
1 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
练一练
2、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2-0.81=0 （3）9x2=4 （4）y2-144=0
练一练
3、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
13
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的 ，所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数 的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后 用平方根的概念求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平 方法求解吗？请举例说明
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程
的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的 意义求解
21.1 一元二次方程的解法 直接开平方法 （第1课时）
知识回顾
1.什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或x= a
如：9的平方根是__±___3_ 2.平方根有哪___52__
1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法
来求解? (x h)2 k
方程可化为一边是 含__未__知__数__的_完__全__平__方__式___, 另一边是__一_个__常__数_____,那么就可以用直接开 平方法来求解.
2、直接开平方法的理论依据是什么? 平方根的定义及性质
讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）
说说你从这两个例子中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。
典型例题
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
说说你从这两个例子中得到的启发：直 接开平方法能解哪种类型的二次方程？ 并写出这种类型方程的一般形式。