激光谐振腔的模式计算研究

激光谐振腔模式研究的MATLAB 实现

光信1001班 刘吉祥 U201013222

摘要：谐振腔内的模式计算是分析激光器输出光束质量的前提和基础。本文

在matlab 环境下，采用Fox_Li 数值迭代法计算了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾

斜腔的自再现模的振幅分布和相位分布，并比较了腔形、菲涅尔数、初始光强分

布、倾斜扰动等因素对最终模式的影响，具有一定的实际应用价值。

1. 原理说明

设初始时刻在镜I 上有某一个场分布1u ，则当波在腔中经第一次渡越而到

达镜II 时，将在镜II 上形成一个新的场分布2u ，场2u 经第二次渡越后又将在

镜I 上形成一个新的场分布3u 。每次渡越时，波都将因为衍射损失一部分能量，

并引起能量分布变化，如此重复下去……由于衍射主要是发生在镜的边缘附近，

因此在传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得更快，经多次衍射后所形成的场分

布，其边缘振幅往往都很小（与中心处比较），具有这种特征的场分布受衍射的

影响也将比较小。可以预期：在经过足够多次渡越之后，能形成这样一种稳态场：

分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实

现了模的“自再现”。

光学中的惠更斯—菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题的基础，该原理的严

格数学表示是菲涅尔—基尔霍夫衍射积分。设已知空间任意曲面S 上光波场地振

幅和相位分布函数为),(y x u '',由它所要考察的空间任一点P 处场分布为),(y x u ，

二者之间有以下关系式：

⎰⎰+=-S ik dS e y x u ik y x u ')cos 1()','(4),(θρπρ

式中，ρ为),(y x ''与),(y x 连线的长度，θ为S 面上点),(y x ''处的法线和上述连

线之间的夹角，s d '为S 面上的面积元，k 为波矢的模。

本文采用Fox —Li 数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自

再现模的形成。

2. 实现方案

2.1条形腔

条形腔是一种理想模型，即一个方向有限长，而另一个方向上无限延伸的

腔形，故只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭代公式为一维的菲涅尔—

基尔霍夫衍射积分：

⎰+-'---'

'=a a L x x ik ikL x d x u e e L i x u )()(2)(2λγ

将条形腔的左镜面S 上沿着)(a a ，-之间划分N-1等分，则有N 个点，每个

区间为)1/(2-N a 。右边镜面P 上每一点的求解都需将左边镜面上的点逐点计算

一遍并相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。

2.2矩形腔

在矩形腔中，),(y x ''与),(y x 连线的长度ρ可以表示为

222)()(L y y x x +'-+'-=ρ，经过计算与推导可知：矩形腔的计算不需考

虑整个面上的点的影响，可以按照x 、y 两个方向分离变量为)()(),(y u x u y x u =，

其中)()(y u x u 、的计算与条形腔相同。

2.3 圆形腔

圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。圆形腔是按照径

向和角向划分，在极坐标(r,Φ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将

极坐标还原成笛卡尔坐标系。

具体思路是：由极坐标和直角坐标的转换关系，X=r COS Φ，Y=r sin Φ，其

中，r 、Φ为极坐标参量。将X 、Y 用相应的极坐标参量代换并代入衍射方程，得

（4）

为了分离变量，对圆形镜谐振腔，其场分布函数经常采用如下形式：

（5）

式中：p 表示场分布在径向的变化；f 表示场分布按方位角以不同的正弦或余

弦方式变化。将式(5)代入式(4)，可得：

式中，右边积分可以分离为Φ和r的积分，方括号内Φ的积分可以仿照圆形镜共焦腔来进行，利用积分关系

为l阶第一类贝塞尔函数。再将式(7)代入式 (6)，可以将方程(6)化式中，J

l

简为只含径向的本征方程：

模，设初始场分布为均数值迭代开始前需要给定初始的场分布尺，对TEM

00

匀平面波，将0≤r≤a等分为N个点，令R1L(r)=1，即镜面上各点振幅均为1。

第q次迭代后，r1,r2,…rN各点本征值为

2.4 倾斜腔

严格的平行平面腔只是一种理想情况，实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的，这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响，如图3所示：

图3 倾斜平行平面腔的示意图

两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置) 沿相反

方向偏离同样大小的微小角度β, 在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。在δ

甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况

下相应两点的距离M1M2之差为:

)()(2121x x a x x M M M M I '+=

'+=-''='δβ，故)(2121x x a M M M M '++=''=δρ，

于是衍射积分方程变为： ⎰+-'+-'---''••=a a x x a ik L x x ik ikL x d x u e e e L

i x u )()()(2)(2δλγ，类似于条形腔，可以计算

出倾斜条形腔的自再现模。 3. 实验结果与分析

3.1 激光谐振腔模式的各种分析方法的比较

特征向量矩阵法，Fox —Li 数值迭代法、厄米一高斯展开法、快速傅立叶变换

法（FFT ）、有限差分法（FDM ）和有限元法（FEM ）。特别是Fox —Li 数值迭代方法，

它是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法，只要取样点足够多，它可以用来

计算任何形状开腔的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、

镜面的不平整性等对模的扰动。其缺点是在菲涅耳数F 很大时，计算工作量很大。

特征向量法是对腔镜进行有限元单元划分的，构造光束传输矩阵，通过求解

特征矩阵的特征向量，即可获得腔镜光场分布的振幅和相位分布。矩阵运算时间

与矩阵维数有着近似平方的关系，二维衍射积分方程的传输矩阵的维数高，计算

需要数小时甚至数天的时间，对于大菲涅耳系数的谐振腔计算难度更大。

3.2 菲涅尔数对结果的影响

对于条形腔，菲涅尔数F 定义为：L a F λ/2=。菲涅尔数越大，衍射损耗越

小。当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，以

至于高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，

高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能有效地抑制高阶模振荡。下图依次为条形

腔菲涅尔数F=0.9，2.5，10时，自再现模的振幅分布和相位分布的比较。