3.1.1有理数指数幂及其运算
3.1.1 有理指数幂及其运算
3.1.1有理指数幂及其运算（一）教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义．教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。
从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下：①； ②；③； ④； ⑤．当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即： ①； ②； ③．这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．（4）例1:先化简再用计算机求值（1）4.1213.2)549(+-（2）11(22--+-+m m m m （其中3.8=m ）例2：已知：22121=+-a a 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .例3：化简：332ba ab b a 课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．课后作业：第100页习题3-1A 第1题。
人教B版数学高一版必修1学案实数指数幂及其运算(1)
数学人教B 必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算1．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算． 2．通过具体实例了解实数指数幂的意义．3．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．1．整数指数幂(1)正整指数幂的定义：______＝n a a a a ⋅⋅⋅⋅个(n ∈N ＋)． (2)正整指数幂的运算法则： ①a m ·a n ＝______； ②(a m )n ＝______；③a m ÷a n ＝____________(m ＞n ，a ≠0)； ④(ab )n ＝________； ⑤⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n bn (b ≠0)．在上述法则③中，限定m ＞n ，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定a 0＝1(a ≠0)．a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①a m ·a n ＝______； ②(ab )n ＝______； ③(a m )n ＝______.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做1】已知a ＞0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的有( ) A ．a m÷a n＝m naB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n 2．根式(1)根式的定义：式子______叫做根式，这里n 叫做________，a 叫做________．(2)n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得______(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则____叫做____的n 次方根．(3)n 次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个______，负数的奇次方根是一个______，零的奇次方根是____．设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是________．②在实数范围内，正数的偶次方根是________________的数，零的偶次方根是______，负数的偶次方根________．设a ≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是________．其中________叫做a 的n 次算术根．(4)根式的性质：①(na )n ＝____(n ＞1，且n ∈N ＋)；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧，当n 为奇数时， ，当n 为偶数时.正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做2】计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________. 3．分数指数幂(1)如不特别说明，我们约定底数a ＞0.于是，正分数指数幂可定义为1na =________(a ＞0)；m na =________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为m na-=________(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn为既约分数)．(2)有理指数幂的运算法则：①a αa β＝a α＋β(a ＞0，α，β∈Q )； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β∈Q )；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α∈Q )．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做3－1】把根式a a 化成分数指数幂是( )A ．32()a - B ．32()a -- C ．32a - D ．32a【做一做3－2】计算：23×31.5×612. 4．无理指数幂教材中通过实例利用______的思想理解无理指数幂的意义． 一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 另外，我们要熟记经常要用的公式：(1)a －b ＝(a －b )(a ＋b )(a ＞0，b ＞0)； (2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2(a ＞0，b ＞0)． 【做一做4】判断正误： (1)23是一个有理数．( )(2)23不是一个确定的数，而是一个近似值．( ) (3)23没有意义．( ) (4)23是一个实数．( )一、辨析(n a )n 和na n剖析：(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性来决定： ①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，(327)3＝27，(5－32)5＝－32，(70)7＝0； ②当n 为大于1的偶数时，a ≥0.例如，(427)4＝27，(3)2＝3，(60)6＝0；若a ＜0，式子(na )n 无意义，例如，(－2)2，(4－54)4均无意义．由此只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a .na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制：①当n 为大于1的奇数时，其值为a ，即n a n ＝a ，例如，3(－2)3＝－2，56.15＝6.1； ②当n 为大于1的偶数时，其值为|a |，即n a n ＝|a |.例如，434＝3，(－3)2＝|－3|＝3.由此n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝2k －1，k ∈N ＋，且k >1，|a |，n ＝2k ，k ∈N ＋.二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析：(1)引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即na ＝1na ，这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式，而要使na m 对任意的n ∈N ＋且n ＞1都有意义，必须限定a ＞0，否则，当a ＝0时，若m ＝0或mn 为分母是偶数的负分数，mn a 没有意义；当a ＜0时，若m 为奇数，n 为偶数，m na 没有意义．(3)我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如：－3＝3－27＝1236(27)(27)-=-6(－27)2＝6729＝3.为什么会出现－3＝3这种情况？看看错在了哪里？因为这里的－3＜0，在1236(27)(27)-=-中发生了错误，分数的分子、分母扩大相同的倍数分数值不变，有这个性质，必须限制条件“a ＞0”或“a ＞0，b ＞0”．在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，且尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．题型一 简单的指数幂运算 【例1】计算：(1)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)230.008-； (3)34812401-⎛⎫⎪⎝⎭； (4)(2a ＋1)0； (5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1.分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如⎝⎛⎭⎫b a －n的式子，我们一般是先变形为⎝⎛⎭⎫a b n ，然后再进行运算．反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．题型二 利用根式的性质化简根式 【例2】化简下列各式： (1)3a 3； (2)2 010(x －4)2 010； (3)a 6； (4)2 011(x －7)2 011.分析：根据n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数来化简．反思：通过对本题的解答，大家一定要注意区分好n a n 与(na )n 的形式，并且要建立分类讨论的思想意识．题型三 根式与分数指数幂的互化【例3】(1)把2112 011-化为根式为__________；(2)把1(x ≠0)化为分数指数幂的形式为__________；(3)b ＞0)化为分数指数幂的形式为__________．反思：通过本例题，我们能得到如下结论：(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指数幂形式写出，然后再用性质进行化简．题型四 整体代入法求值 【例4】已知11223a a-+=，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到11221a a -=，对已知等式两边平方即可求解．反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”．解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常以整体代入来求值．【例5】已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，求11221122x y x y-+的值．分析：此题不宜采用直接求值的方法，要考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．反思：整体代入法在条件求值中非常重要，也是高中数学中一种重要的解题方法．在此题的解题过程中，不宜求出x ，y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．1下列等式中一定成立的有( ) ①36a 3＝2a ；②3－2＝6(－2)2；③－342＝4(－3)4×2.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 3求下列各式的值：(1)(325－125)÷45；(2)a 3a ·5a 3(a ＞0)．答案： 基础知识·梳理1．(1)a n (2)①a m ＋n ②a mn ③a m －n ④a n b n ①a m ＋n ②a n b n ③a mn【做一做1】D 只有选项D 是按照幂的运算法则进行的．选项A 应为a m －n ，选项B 应为a m ＋n ，选项C 应为a mn .2．(1)n a 根指数 被开方数 (2)x n ＝a x a (3)①正数 负数 零 n a ②两个绝对值相等符号相反 零 没有意义 ±n a na (4)①a ②a |a |【做一做2】－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8.3．(1)n a n a m 1m na【做一做3－1】D【做一做3－2】解：23×31.5×612＝1113262323(32)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111113323623236-+++⨯=⨯=. 4．逼近【做一做4】(1)× (2)× (3)× (4)√ 典型例题·领悟【例1】解：(1)2233331255273--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝5－23－2＝3252＝925. (2)2223223310.008(0.2)0.25255----⎛⎫===== ⎪⎝⎭.(3) 33444481324017--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝3－37－3＝7333＝34327. (4)(2a ＋1)0＝⎩⎨⎧1， a ≠－12，无意义， a ＝－12.(5)⎣⎡⎦⎤56－⎝⎛⎭⎫35－1－1＝⎝⎛⎭⎫56－53－1 ＝⎝⎛⎭⎫－56－1＝－65. 【例2】解：(1)3a 3＝a . (2)2 010(x －4)2 010＝|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，4－x ，x <4.(3)a 6＝(a 3)2＝|a 3|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，a ≥0，－a 3，a <0.(4)2 011(x －7)2 011＝x －7.【例3】(1)1112 0112(2)35x-(3)19b利用m na=a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)和1m nmna a-=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数)转化即可．(1)原式＝12 011211＝1112 0112；(2)==＝3591353511()x x x-==.(3)原式＝2221211()3334394[()]b bb ---⨯⨯-==.【例4】解：∵11223a a-+=，∴211229a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴a ＋2＋a －1＝9.∴a ＋a －1＝7.∴(a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋2＋a －2＝49.∴a 2＋a －2＝47.【例5】解：211221122111111 222222x yx yx y x y x y⎛⎫-⎪-⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝12 ()2()x y xyx y+--.①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. ∵x＜y，∴x－y＝－6 3.③将式②③代入式①，得11122211229x yx y-==+随堂练习·巩固1．A 36a3＝36·a≠2a；3－2＜0，而6(－2)2＞0；－342＜0，而4(－3)4×2＞0.2．C由2－x有意义，得x≤2，∴原式＝(x－2)2－(x－3)2＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.3．解：(1)原式＝23 23132 3241455 (55)55--÷=＝213155 3424124 5555 ---=-.(2)原式＝1319 3325103152aa aa a--==⋅.。
高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件
• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
§3有理数指数幂运算ppt
225 4
(2)
m3n2 (
mn
)2
1 m2n
m6n4 m2n2
1 m2n
m n 622 421
m2n
练习1：化简（1） (ab2 )4 (a2b（)3 2）
x3y2 x3y2 2
x4y
[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？
例2：计算：35 3和7
3,5并(判7) 断两者之间的关系
解：
35 37
35 37
1 375
1 32
1 9
35(7)
32
1 32
1 9
由此看出 35 =37
35 ( 7 )
练习2．（1）计算：（2-3）2和 2-6
（2）化简
(m n)2 (m n)3
(m n)4 (m n)1
（四）、作业：练习1,2
(4)
am an
(5)
(a )n b
(二)、例题探析与巩固训练
例1．（1）求值
105
33 28
（ 5223 ）化简
(
m3n2 mn
)2
1 m2
n
解：(1) 105
ห้องสมุดไป่ตู้
32 28
2 53
(2
5)5
32 28
2 53
25 55 32 2 28 53
52 9 22
(a (a
b)4 b)0
]3
3.1 指数概忥的推广及幂函数
3.1 指数概念的推广及幂函数一、教学目标： 1.知识目标：（1）理解整数指数幂推广到有理指数幂的过程，会实行负指数幂与正指数幂的相互转化，会把根式转化为分数指数幂，掌握有理数指数幂的运算法则.（2）会用函数型计算器计算有理指数幂； （3）会做常见的幂函数的图像.2.水平目标：培养学生归纳、推理水平和逻辑思维水平.3.思想品质目标：培养学生解决实际问题的水平.二、教学重点：有理数指数幂的运算.三、教学难点：有理数指数幂的运算. 教师精讲，学生针对性练习是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示与练习法相结合.五、教学过程：（一） 指数概念的推广1．整数指数幂 （1）n 个a 相乘写作n a a a a a =⋅⋅⋅⋅ ，（2）正整数指数幂的运算法则：① nm n m a a a +=⋅ （m ，n 为正整数），② n m n m a a a -=÷ （m ，n 为正整数，m >n ，a ≠0），③ n m n m a a ⋅=)( (m ，n 为正整数)， ④n n n b a ab =)( (n 为正整数). （3）我们规定：10=a (a ≠0) , n n aa 1=- (a ≠0，n 为正整数). 这样就将指数推广到整数，上述四条运算法则对m ，n 为整数时都成立． 例如，41212222225353====÷--； 641212)2(6623===--； 12222222)2(2280)1349(134********43===÷⨯=÷⨯=÷⨯-+.注意：零的零次方没有意义，零的负整数次方也没有意义． 例1 计算下列各式的值：（１）2322-⨯； （２）4325)5(÷.解 （１）2222)2(323==⨯-+-；（２）255555555)5(2)46(46432432===÷=÷=÷-⨯． 练习题3.1.1.1 计算下列各式的值：(1) 43-； (2) 035.2； (3) 2)54(-； (4) 325.0-. 参考答案： （1）811 （2）1 （3）1625 （4）641 ２．分数指数我们知道，如果a x =2，那么a x ±=叫做a 的二次方根，其中a 叫做算术根；如果b x =3，那么3b x =叫做b 的三次方根一般地，如果a x n =（1>n N ∈n ）， 那么x 叫做a 的n 次方根．正数的偶次方根有两个，分别表示为n a 和n a -，其中n a 叫做a 的n 次算术根，负数的偶次方根没有意义.任意实数a 的奇次方根只有一个，表示为n a ．例如，81的4次方根有两个，它们分别是3和-3，32的5次方根是2，-32的5次方根是-2． 形如n a （1>n N n ∈）的式子叫做n 次根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方式． 由n 次根式的定义知，当n a 有意义时， 有 （1）a a n n =)(；（2）n 为奇数时，=n n a a ，n 为偶数时，=n n a a .[分析] 2)2(2=，如果按照整数指数幂运算法则（3），能够得到22)2(221221==⨯.为了使得整数指数幂的四条运算法则对分数指数也成立．我们规定：n m nm a a = （a >0，m ，n 为正整数，n ≥２）， nm nmaa1=-， （a >0，m ，n 为正整数）.这样，就将整数指数推广到分数指数，而且整数指数幂的四条运算法则都成立． 例如，555531323132==⨯+，913133)3(226)31(631====-⨯--．综上所述，我们已经把正整数幂推广到了有理数指数幂，并有运算法则： （１）q p q p a a a +=⋅ （a >0，p ，q 为有理数） （２）pq q p a a =)( （a >0，p ，q 为有理数） （３）p p p b a ab =)( （a >0，b >0，p 为有理数）注意：底为正数是运算法则成立的必备条件.能够证明p , q 为实数，上述运算法则也成立． 例2 计算下列各式的值：(1) 31125.0; (2)3332963⨯⨯.解 (1)2122)2()81(125.0131)3(3133131=====-⨯--；（2）313231312131312312131313121333232332)3()23(329632963⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ 61061)3131()323121(32323=⨯=⨯=--+显然，把根式化为指数式后，运算变得简便多了. 例3 计算下列各式（a ,b 均为正数）.(１) 033434)2()3()2(a b b a b a ⋅⋅-； (2) ))((21212121b a b a -+.973129163912163334344033434271627162716)(271)()(16)2()3()2()1(b a b a b a b a b a b a a b b a b a ===⋅⋅=⋅⋅-------ba bab b b a b a a a b a b a -=-=⋅-⋅+⋅-⋅=-+++21212121212121212121212121212121))(()2(例4 化简5352523b a b a ÷÷-.5115352)5253(535252535352512513535251235352523)()()(---------==÷÷=÷÷=÷÷=÷÷ba b a b a b ab a b a b a b a b a b a练习题3.1.1.2 1. 计算下列各式（1）432793⨯⨯; （2）34)(a ；（3）31a ·32a ；（4）4852132132)2()(b a b a -⋅.2.化简下列各式：（1）323322b a a a b ⋅⋅； *（2）33263)(2764b a b a ；*（3）443abb a a . 参考答案： 1.（1）12233（2）12a （3）a （4）416b2.（1）b a 31（2）ab34（3）a （二） 利用计算器实行幂的运算利用函数型计算器能够实行幂的运算（方法详见第9章），下面通过例题来说明. 例5 用函数型计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （１）54.3；（２）268.1-；（３）349.13.2-⨯．解 利用计算器实行整数指数幂b a 的计算的主要步骤是“设定状态→输入a 值→按b a 对应函数键→输入b 值→按等号键显示结果”.依照步骤分别实行计算，得（1）454.354 2；（2）0.354 3；(3) 4.079 9. 注意：实行混合运算时，要根据需要添加括号.例6 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （１）512； （２）322.3-；（３）43317.46.2⨯．解 利用计算器实行分数指数幂的计算的方法与整数指数幂计算的方法相同，仅仅在输入指数b 时，因为mnb =是分数不能直接一步输入，需要添加括号. 依照程序计算，得（１）1.148 7；（２）0.460 5；（３）4.589 3. 练习题3.1.21. 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （1）1.94； (2) 3.75-； (3) 434.262.1⨯-.2. 计算下列各式的值：(1) 31027.0；(2) 23)169(-；(3) 41125.0⨯412-；(4) 4381-÷6)21(.3. 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）： (1) 432.3； (2)327.1-； (3) 5225.8-； (4)329.2⨯538.1-.参考答案：1.（1）13.032 1 （2）1.442 1 （3）7.803 72.（1）0.3（2）2764（3）21（4）2764（三） 幂函数前面曾经研究了函数y =x 、函数2x y =和xy 1=(x ≠0)的图像（图3-3）和性质，这些函数都是幂函数.一般地，形如αx y =的函数叫做幂函数，其中α为常数，x 为自变量.解 函数3x y =的定义域为R ，函数y =x 21x y =的定义域为),0[+∞.分别设值列表如下：以表中的每一组),(y x 的值为坐标，描出相应的点，用光滑的曲线联结这些点，得到函数3x y =和函数21x y =的图像，如图3-4所示.想一想：观察图3-4，这两个函数的图像都经过哪两个点？对于幂函数αx y =，当α>0时，函数的图像是否都经过这两个点？回答：图像都经过点（0，0），（1，1）两点.当α>0时，函数的图像也都经过这两个点. 例8 指出幂函数y =x -2的定义域，并做出它的图像.y图3-4解 因为221x x =-，所以y =x -2的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.列表如下：描点作图，如图3-5所示.想一想：观察图3-5,你发现图像关于哪条直线对称？由此得到函数2-=x y 具有什么性质？ 回答：图像关于y 轴对称；性质（略）. 练习题3.1.31. 求下列函数的定义域，并在同一坐标系下做出31x y =和41x y =的图像:31)1(x y = ； 41)2(x y =； 32)3(-=x y ； 21)4(-=xy .2. 在同一坐标系下做出3-=x y 和21-=xy 的图像，指出它们都经过哪个点？参考答案：1.（1）R （2）[),0+∞ （3）),0()0,(+∞⋃-∞ （4）),0(+∞2.)1,1(图像略 六、小结：1． 有理指数幂的知识结构框图图3-52．利用计算器进行幂的运算.3．常见幂函数x y =、2x y =，1-=x y 的图像.七. 练习与作业：练习：习题3.1第1题. 解答：略作业：习题 3.1 第2、3（2）（4）、4（2）（4）、5、6、7、8、9（1）（2）题. 选做：习题 3.1 第9（3）（4）、10题.3.2 指数函数一、教学目标：1.知识目标：（1）理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像，了解指数函数的性质；能够根据实际问题建立指数函数模型解决问题.（2）能够根据实际问题建立指数函数模型解决问题.2.能力目标：培养学生的数形结合能力和解决实际问题的能力.3.思想品质目标：我们学好数学，是为了将来更好的建设祖国.二、教学重点：指数函数的概念和指数函数的应用.三、教学难点：指数函数的应用，讲清楚指数增长模型和指数衰减模型是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示法与练习法相结合.五、教学过程： （一）指数函数1.问题的引入某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，…，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系为x y 2=.这个函数的指数x 为自变量，底数2是常量. 2.指数函数一般地，形如x a y = (a > 0，且a ≠ 1) 的函数叫指数函数，其中a 为常量.其定义域为R. 例如x y 2=，x y 3=，x y )31(=，x y 8.0=都是指数函数. 下面作出指数函数x y 2=和x y )1(=的图像.设值列表如下：以上表中的每一组（x ,y ）的值为坐标，描出相对应的点.分别用光滑的曲线联结，得到函数x y 2=和x y )21(=的图像，如图3-6所示.想一想：（1）函数x y 2=和x y )21(=的值域是什么？ （2）函数x y 2=和x y )21(=的图像都经过哪个点？（3）函数x y 2=和x y )21(=在（-∞，+∞）内是增函数，还是减函数？回答：（1）值域都是),0(∞+； （2）图像都经过)1,0(点；（3）函数x y 2=在（-∞，+∞）内是增函数；函数x y )21(=在（-∞，+∞）内是减函数. 3.指数函数的性质对于指数函数x a y =（a >0且a ≠1）具有下列性质： （1）函数的定义域是（-∞，+∞），值域为（0，+∞）； （2）函数图像过（0，1）点；（3）当a >1时，函数在（-∞，+∞）内是增函数；当0<a <1时，函数在（-∞，+∞）内是减函数. 例1 判断下列函数在（-∞，+∞）内是增函数，还是减函数？（1）x y 4=； （2）x y )41(=； （3）32xy =.解 （1）因为4>1，所以x y 4=在（-∞，+∞）内是增函数.（2）因为1410<<，所以x y )41(=在（-∞，+∞）内是减函数.(3) x x)2(233=，因为123>，所以32x y =在(-∞，+∞）内是增函数. 练习题3.2.11．在同一坐标系下，做出函数x y 10=和xy )101(=的图像，并指出它们的增减区间. 2．判断下列函数在(-∞，+∞)内是增函数，还是减函数？（1）x y 1.1=； （2）x y 3.0=； （3）x y -=3； （4）x y 718.25⨯=. 参考答案：1.x y 10=在),(+∞-∞单调递增，xy )101(=在),(+∞-∞单调递减. 2.（1）增函数；（2）减函数；（3）减函数；（4）增函数.（二） 指数函数的应用1. 应用举例例2 某市2000年国民生产总值20 亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国民生产总值可达多少亿元？解 设该市国民生产总值在2000年后的第x 年为y 亿元， x =1， y =20+20×8%=20（1+8%）=20×1.08， x =2， y =20×1.08+20×1.08×8%=20×208.1，第x 年，)101,(08.120≤≤∈⨯=x N x y x.当x =10时，y =20×1008.1≈43.18亿元.所以，2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.例3 磷的放射性同位素3 2 P 经过一天β衰变，其3 2 P 的残留量为原来的95.27%，现有10克3 2 P 经过14天衰变还剩下该物质多少克（精确到0.001）？解 设10克磷3 2 P 经过x 天衰变，剩留量为y 克. x =1 y =10×9527.0， x =2 y =10×29527.0， 经过x 天，剩留量y=10×x9527.0， 当x =14时，y =5.074（g ）.所以，经过14天，放射性物质3 2 P 还剩5.074克. 2. 指数函数的变异上面两个例子的表达式都可以写成：x ca y =（c >0,a >0且a ≠1）.一般地，函数模型x ca y =叫做指数模型.当a >1时，叫做指数增长模型；当0<a <1时，叫做指数衰减模型.想一想：例2、例3中的函数式是什么指数模型？回答：例2中的函数式是指数增长模型，例3中的函数式是指数衰减模型. 练习题3.2.21. 某城市现有人口200 万，根据最近10年的统计资料，这个城市的人口年自然增长率为1.3%，按照这个增长率计算，20年后这个城市的人口预计会达到多少万？（此题为本章开始提出的课题）2. 某企业2004年生产洗衣机15 万台，计划今后5年内，平均每年增长产量5%，问到2008年该企业的洗衣机产量是多少台？3. 某厂有一台价值100 万元的机器，该机器年折旧率为10%，问再过10年，这台机器值多少万元（精确到0.01万元）？参考答案： 1.182 325 台2.34.87 万元3.（1）50 92 元（2）54 087 元六、小结：指数函数知识结构框图：七练习：习题3.2第1、3、4题.参考答案：1. 略；3. 58 万人；4. 90.83 万元 .作业：习题 3.2 第2、5、6、7题，达标训练4.2第1、2、3题.选做：习题3.2 第8题.3.3 对数一、教学目标：1.知识目标：（1）理解对数式与指数式的关系，掌握对数的概念及对数的基本性质；（2）了解常用对数和自然对数的概念，会用函数型计算器计算常用对数和自然对数，掌握自然对数的运算法则.2.能力目标：培养学生的抽象思维能力及计算器的使用能力.3.思想品质目标：提高学生的认知新知识的能力.二、教学重点：对数的概念和对数的运算法则.三、教学难点：对数概念. 通过具体实例说清指数式与对数式的关系，是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法与练习法相结合.五、教学过程： （一）对数的概念1. 问题的引入 我们分析运算：823=，这里2是底数，3是指数，8是2的3次幂. 等式是通过底数和指数来表示幂的.如果提出另一问题：2的多少次幂等于8？即当82=b 时，b =?这就提出了已知底数和幂，求指数，即如何用底和幂来表示指数的问题.为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数.2. 对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么 b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底，N 叫做真数.例如：823=，3叫做以2为底8的对数，即28log 3=；3921=，21叫做以9为底3的对数，即213log 9=；001.0103=-，-3叫做以10为底0.001的对数，即3001.0log 10-=. N a b =叫做指数式，b N a =log 叫做对数式.当0,1,0>≠>N a a 时⇔=N a b b N a =log .3.对数的性质由对数的概念不难得到对数N a log （1,0≠>a a ）的性质： （1）01log =a ； （2）1log =a a ；（3）N >0，即零和负数没有对数.想一想：如何利用指数式得到上述对数的性质？ 例1 将下列指数式写成对数式：（1）161)21(4=； （2）32731=；（3）641)4(3=- （4）y x =10.解 （1） 4log 16121=； （2） 313log 27=；（3） 3log 6414-=； （4） x y =10log .例2 将下列对数式写成指数式：（1）532log 2=； （2）4log 8113-=；（3）30100log 10=； （4）3log 8121=；解 （1） 3225=；（2）81134=-；（3）0100103=；（4）81)21(3=. 练习题4.3.11．把下列指数式写成对数式：（1）12553=； （2）81.09.02=； （3）008.02.0=x； （4）7134331=-. 2．把下列对数式写成指数式：（1）416log 2=； （2）327log 3=； （3）201.0log 10-=； （4）4625log 5=. 参考答案：1.（1）3125log 5=； （2）281.0log 9.0=； （3）x =008.0log2.0； （4）3171log 343-=. 2.（1）1624=；（2）2733=；（3）01.0102=-；（4）62554=.（二） 常用对数与自然对数以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 简记为N lg .如2log 10记为2lg .以e 的对数叫做自然对数，N e log 简记为N ln .如5log e 记为5ln .其中e=2.71 828…为无理数，他在科学研究和工程计算中被经常使用.例3 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）. （1）2lg ；（2）3lg ； （3）10ln ；（4）2.1ln .解 利用计算器计算对数的步骤是“设定状态→按函数 ln （或log ）对应键→输入真数N 值→按等号键显示结果”.依照步骤计算，得（1）0.301 0； （2）0．477 1； （3）2.30 26； (4) 0.182 3 练习题4.3.2用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.0001）. （1）38lg ；（2）6.5lg ；（3）84.2ln ；（4）96.1ln . 参考答案：（1） 5798 ； （2）0.7482 ；（3） 1.0438 ； （4）0.6729 .（三） 对数的运算法则以自然对数为例来研究对数的运算法则.设p M =ln ，q N =ln ，则M e P=，N e q =，因为q p q p e e e N M +=⋅=⋅，所以=+=q p MN ln N M ln ln +.由此得到法则1 =MN ln M ln N ln +（M >0，N >0）.当M >0，N >0时，还可以得到（推证过程由学生自己完成）： 法则2 N M ln M ln =N ln -； 法则3 pMln M p ln =（p 为整数）； 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 例如，当M >0，N >0时，有 （1）MN N M lg lg lg =+；（2）NMN M 222log log log =-； （3）25log 25log 25log 5255===;*（4）m n M ln mn=M ln （M >0, m , n 为正整数）.例4 用x ln ，y ln ，z ln 表示下列各式：（1）xyz ln ； （2）yz xln ； （3）32ln zy x . 解 （1）=xyz ln x ln y ln +z ln +；（2）=yzxln -x ln -y ln z ln ；（3）=32lnz y x +2ln x -y ln =3ln z +x ln 2z y ln 3ln 21-. * 例5 计算：（1）34ln e ； （2）64log 2； （3）25lg 4lg + . 解 （1）=34ln e 34ln 34ln 34==e e ； （2）64log 262log 62==；（3）25lg 4lg +210lg 100lg 254lg 2===⨯=.例6 已知1693.02ln =，=3ln 1.098 6.计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （1）)34ln(75⨯； （2）18ln解 （1）)34ln(75⨯=+54ln =73ln 4ln 5=+3ln 7+22ln 53ln 7 2ln =3ln 7+6098.171693.010⨯+⨯==14.621 2；（2）=18ln 18ln 2121=92ln ⨯21=（2ln 9ln +）=21（2ln 3ln 2+）6098.11693.021+⨯=445.1=15≈1.445 2练习题3.3.31．用x ln ，y ln ，z ln 表示下列各式：（1）x ln ； （2）zxyln ； （3）()2lnxy ； （4）34lnzyx.2．已知693.02ln =，=3ln 1.098 6，计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （1）36ln ；（2）216ln ；（3）12ln ；（4）)32ln(119⨯. * 3. 计算：（1）36log 6； （2）2lg 200lg -； （3）4322log . * 4. 已知：273=x ，求 x . 参考答案：1.（1）x ln 21； （2）z y x ln ln ln -+ ； （3）x y ln 2ln 2- ； （4）z y x ln 31ln 41ln 21-+ .2.（1）3.583 4 ； （2）5.375 1 ；（3）1.242 4 ； （4）18.322 5 .六、小结：12．请学生将指数与对数对照比较.七. 练习与作业：练习：习题3.3第1、2、3、4题. 参考答案： 1. 略2.（1）6729log 3=（2）x =14log 2（3）532log =a （4）x =5.0log 912.03.（1）6426=（2）000101104=-（3）N e b =（4）162=a4.（1）0.699 0（2）0.968 9 （3）19.016 2 （4）1.398 0 作业：习题 3.3 第5、6、7题,达标训练3.3第1、2、3、4、6题.选做：习题 3.3 第8题，达标训练3.3第5题.3.4 对数函数一、教学目标： 1.知识目标：（1）对数函数的概念，会做出对数函数的图像，了解对数函数的性质； （2）能应用对数函数解决相关实际问题.2.能力目标：培养学生的数形结合能力.3.思想品质目标：学有所用，是我们追求的目标.二、教学重点：对数函数的概念和对数函数的应用.三、教学难点：教学难点是对数函数的概念，而数形结合是突破难点的关键.四、教学方法：数形结合法、讲授法与练习法相结合.五、教学过程： 复习回答问题： 1．对数的定义； 2．对数的性质； 3．对数的运算法则. 答案：略引入新课1. 问题的引入某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，1个细胞经过y 次分裂后得到x 个细胞，则y 与x 的函数关系是y x 2=，写成对数式为x y 2log =.函数x y 2log =叫做对数函数. 2. 对数函数的概念形如x y a log = (a >0,a ≠1) 的函数叫对数函数，其定义域为+R ，值域为R . 下面做出函数x y 2log =（x >0)和x y 21log =（x >0）的图像.设值列表如下：以表中每一组（x ，y ）的值为坐标描点，用光滑曲线联结这些点，得到x y 2log =和x y 21log =的图像，如图3-8所示.观察图3-8思考下列问题：（1）这两个函数图像都经过哪一个点？ （2）这两个函数的单调性如何？ 3、对数函数的性质对数函数x y a log =具有下列性质： （1）图像都经过（1，0）点； （2）当a >1时，函数在（0，+∞）内是增函数；当0<a <1时，函数在（0，+∞）内是减函数.例1 求下列函数的定义域：（1）)4(log 2+=x y ； （2）x y ln =.解 （1）由x +4>0得x >-4，所以)4lg(+=x y 的定义域为（-4，+∞） （2）由⎩⎨⎧>≥00ln x x ，得⎩⎨⎧>≥01x x ，所以x y ln =的定义域为),1[+∞.想一想：由0ln ≥x 怎样得到1≥x ？回答：由对数函数性质中，1>=e a 的情况可以得到.例2 呈指数衰减的量减少到一半所经历的时间叫做该物质的半衰期.现有一种放射性物质经过衰变，一年后残留量为原来的84%，问该物质的半衰期是多少（结果保留整数）？解 设该物质最初的质量为a ，衰变x 年后，该物残留一半，则 a a x 5.084.0=⨯，即 2184.0=x ， 于是 =x 84.0ln 21ln ，=84.0ln x 2ln - 解得 484.0ln 2ln ≈-=x （年）.即该物质的半衰期为4 年. 注意：由于2184.0=x 可以写成21log 84.0=x ，所以84.0ln 21ln21log 84.0==x .由此可以得到公式：图3-8abb a ln ln log =.这个公式叫做对数的换底公式. 练习题3.41．求下列函数的定义域：（1）xy 1lg=； （2）1ln -=x y 2.在同一坐标系下，做出函数x y x y 31log log 3==和的图像，指出它们的增减区间.3. 镭的同位素228Ra 经过一年残留的质量是原来的90.17%，问该物质的半衰期是多少（结果保留整数）？参考答案：1.（1）),0(+∞（2）)(e,+∞2.x y 3log =在),0(+∞内单调递增，x y 31log =在),0(+∞内单调递减，它们关于x 轴对称.3. 7 年六、小结：1. 指数函数、对数函数知识结构框七. 练习与作业：练习：习题3.4第1、2、3、4题.参考答案： 1．略2.（1）),0()0,(+∞⋃-∞（2）),1()0,(+∞⋃-∞3.（1）增函数（2）减函数4. 7.3 年作业：达标训练3.4第1、2、3、6题. 选做：3.4第4、5题.。
中职对口升学-高三数学第一轮复习：有理数指数幂和幂函数
复习
有理数指数幂和幂函数
知识梳理
知识点一 指数幂的性质与运算
1.定义
正整数指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：
零指数幂：
知识点一 指数幂的性质与运算
2. 有理数指数幂的性质
知识点一 指数幂的性质与运算
3. 根式
一般地，如果xn=a，那么x称为a的n次方根，其中n＞1，n∈N*
n称为根指数，a称为被开方数.
调递增
偶函数
x∈R
x∈R
y∈R
在(-∞,+∞)
上单调递增
奇函数
关于y轴对称
关于原点对称
典例解析
例1 计算
解析
技巧
点拨 进行有理数指数幂运算时
若底数是带分数，则通常将带分数化为假分数
若底数为小数，则将小数化成分数
若底数为根式，则将底数化成有理数指数幂的形式
然后再利用幂的运算法则求解
典例解析
例2 下列结论中正确的是().
y=x-2
{x|x≠0}
{y|y>0}
在(-∞,0) 上
单调递增,
在(0,+∞) 上
单调递减
y=x0
{x|x≠0}
{y|y=1}
无增减性
知识点二 幂函数
几个常见幂函数的图像和性质如表4-1所示
性质
函数
图像
定义域
值域
{x|x≥0}
{y|y≥0}
x∈R
y∈R
单调性
奇偶性
在(0,+∞) 上
非奇非偶函数
单调递增
在(-∞,+∞) 上
单调递增
奇函数
对称性
无
关于原点对
有理数指数幂
B. −4
B. －3
5.81的4次方根有（
A. 0个
C.
3
−8
D.
4
16
A ）.
4.81的4次算术根是（
A. 3
B ）.
C. ±3
D.没有意义
C. 2个
D. 4个
C ）.
B. 1个
二、填空题
1.－65的3次方根可以表示为
3
−65 ，其中根指数是
－65 .
2. 9＝
3 ， 3 8＝
2 ， 3 −64＝
个
1
＝ .
4.分数指数幂： ＝ （其中m、n∈N*且n＞1，当n为偶数时，a≥0）
−
＝
1
（其中 有意义，且a≠0）
一、选择题
1.计算－24，得（
A. －8
2.计算
A. －2
D ）.
B. 8
1
，得（
4
C. 16
D. －16
C ）.
B. 2
C.
1
2
1
2
D. ±
3.下列根式中，没有意义的是（
5
()6
2.化为分数指数幂的形式：
（1）
2
5
5
2
1
（2）
()3
3
()
−2
3.计算：
（1）
5
323
2
5
8
（3）27
1
9
（2）
4
25
2
−3
（4）
27
8
9
有理数指数幂
解析 (1)
(2)
3
4
3+
4
4
(3-3)4 (a≤1);
(1 − )4 .
根据根式的性质化简,注意被开方数的符号.
(3-3)4 =|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
3+
4
(1 − )4 =a+|1-a|=
1, ≤ 1,
2-1, > 1.
课前预学
课堂导学
方法总结：根式化简求值解题思路:解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是
方法总结：指数幂运算的常用技巧:(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运
算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,
要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
提醒:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
(3)(ab)r=
(a>0,b>0,r∈Q).
有理数指数幂的运算性质的理解与巧记
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的,可以
用文字语言叙述:①同底数幂相乘,底数不变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指数
相乘;③积的幂等于幂的积.
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘.
课前预学
课堂导学
问题 2: 问题 1 中没有 a<b<0 的限制条件,根号内的式子还能“穿墙”吗?
答案
能,但要注意讨论.
问题 3: ( a)n 中实数 a 的取值范围是任意实数吗?
答案 不一定,当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R;
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
3。
1。
1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
有理数乘法及幂的运算
有理数的乘法和除法及幂的运算一、关于有理数的乘法1、 乘法法则和运算律2、 乘法的特殊形式有理数的幂的运算(1 )能说出乘方的意义及其与乘法之间的关系．(2)了解底数、指数及幂的概念，并会辨识．(3)掌握有理数乘方的运算法则．(4)能说出科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比较大的数．3、进行乘方运算时应注意以下几点：(1)当底数为负数时，底数必须加括号．如(－2)4．读作负2的4次方．(2)－34与(－3)4不同，前者表示34的相反数，结果为负；后者表示4个－3的积，结果为正．－34＝－81，(－3)4＝81．4．科学记数法的形式：a ×10n ， 其中1≤a ＜10．5、例练：(1)(－4)2； (2)－42； (3)(－43)2；(4)(43)2； (5)－522； (6)－(－3)2．说明：(1)进行有理数的运算时，首先应明确底数是什么．6、 计算：(1)(－6)×(－3)3； (2)－2×42； (3)(－2)3×(－31)2； (4)(－3＋5)2．说明：对于有理数的混合运算，其运算顺序是：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右依次计算；(3)如果有括号，先算括号内的．（5） 已知a 、b 为有理数，且(a ＋21)2＋(2b －4)2＝0， 求－a 2＋b 2的值． 7、 用科学记数法表示下列各数．(1)270．3；(2)3870000；(3)光的速度约为300 000 000米/秒；(4)0．5×9×1000000；(5)10．二、巩固练习1．判断题(1)n 个因数的积的运算叫乘方． (2)任何有理数的偶次幂，都是正数．(3)负数的平方大于它本身． (4)任何有理数的平方都小于它的立方．(5)如果(－2)n ＜0，则n 一定是奇数． (6)(－32)3244-=． (7)(－1)4×(－3)＝－3． (8)－22×(－21)3＝－21．2、填空题(1)－542＝_____________．(2)(－1－32)2＝______________． (3)如果a 3＜0，那么a_________0．(4)如果(－3)n ＞0，那么n 一定是_________．(5)把(－43)·(－43)·(－43)写成幂的形式_______(6)如果a n＝0，那么a ＝_________． (7)如果一个数的立方等于它本身，则这个数是___________．(8)53表示_________；3×5表示___________．(9)5×109是_________位数，1．5×107是_________位数．(10)－4的平方的倒数与21的立方的相反数的和是__________． (11)a 为有理数，则a 2_______0，－a 2____________0．(12)(－2)2＋22－(－3)3＋(－3)3＝__________．(13)28490000用科学记数法表示为___________．(14)如果－x 2y ＞0，那么y __________0．（15）2、下列各对数中，数值相等的是（ ）A －27与(－2)7B －32与(－3)2C －3×23与－32×2D ―(―3)2与―(―2)3（17）、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）A 2100B －1C －2D －2100 （18）、下列代数式中，值一定是正数的是( )A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1（19）2、在2),2(,)2(,222------中，负数的个数是 （ ）A 、 l 个B 、 2个C 、 3个D 、 4个三、综合提高类：1、按提示填写：2、有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折10次，那么它会有多厚？3、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？4、你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？四、探究创新乐园1、你能求出1021018125.0⨯的结果吗?2、若a 是最大的负整数，求2003200220012000a a a a +++的值。
指数幂运算课件(人教版)
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
高中数学知识点：有理数指数幂的运算
高中数学知识点：有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a αβαβ+⋅=
(2)();a a αβαβ=
(3)();ab a b ααα=
当a>0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
142)4()4(-≠-.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.。
高中数学人教B版必修一课件3.1.1实数指数幂及其运算(42张PPT)
(1)(n a)n＝___a___(n＞1，且 n∈N*)；
n (2)
an＝
a n为奇数， |a| n为偶数.
5．分数指数幂的运算法则
1
(1)an
n ＝____a____(a＞0)；
m
(2)a n
＝__(_n_a_)_m__＝____n_a_m__(a＞0，m、n∈N*，且mn 为既
约分数)；
m
(3)a－ n
＝____(a＞0，m、n∈N*，且mn 为既约分数)．
预习效果展示
1.如果 a＞0，b＞0，m、n 都是有理数，则下列各式错误的
是( )
A．(am)－n＝a－mn
B．ama－n＝am－n
C．(ab)n＝an·b－n [答案] D
D．am＋an＝am＋n
[解析] 根据有理指数幂的运算法则可知选项D错误．
3.1 指数与指数函数 第三章
3.1.1 实数指数幂及其运算 第三章
课前自主预习
情境引入导学
2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国 约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增 长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将 增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我 们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果 将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？
×－760＋80.25×4 2＋(3 2×
3)6－
－3223；
(2) a3b2·3 ab2 (a＞b，b＞0)．
4 a
3 b4·
b a
[解析]
(1)原式＝3213
3
＋24
1
×24
＋22×33－3213
16.有理数指数幂的运算
1、有理数指数幂的定义：
；
，
；（其中 是正整数），
；（其中 都是正整数），
；（其中 是正整数），
1、幂的运算法则： ；
（2） ；
（3） ；
（4）
2、多形式的乘法公式：（1）
（2）
（3）
例1、
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
一，复习引入
二，典型例题及学生练习
三．课外作业
1.有理数指数幂的定义：
；
；（其中 是正整数）
；（其中 都是正整数），
；（其中 都是正整数），
2.幂的运算法则：
；（2） ；
（3） ；（4）
3、多形式的乘法公式：
（1）
（2）
（3）
例1、化简：
（1）
（2）
（2） =
（3）
4）
（5）
（6）
（7）
（8）
例2、应用计算器求下列各幂的值（结果保留四个有效数字）
（1） （2） （3） （4）
课本P22练习1
课题序号
40-41
授课班级
商务131
授课课时
2
授课形式
新授课
授课章节
名称
有理数指数幂的运算使用教具来自教学目的教学目标：1、理解幂指数的推广
2、掌握有理数指数幂及其运算法则
教学重点
重点：有理数指数幂的运算
教学难点
难点：有理数指数幂的运算
更新、补
充、删节
内容
课外作业
第11页练习2
教学后记
在掌握公式的基础上，以练习为主，复习巩固，加深学生对知识点的理解
3.1.1实数指数幂及其运算2
a)n＝a．
(× )
(2)分数指数幂amn 可以理解为mn 个a相乘． ( × )
2
1
(3)(－1) 4 ＝(－1) 2 ＝ －1．
( ×)
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
指数与指数函数
结束
考点一 指数幂的化简与求值
求值与化简：
[题组练透]
(1)2350＋2－2·214－
结束
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示， 并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分 母又含有负指数．
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
指数与指数函数
结束
[小题纠偏] 1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)．
n (1)
an＝(n
指数与指数函数
结束
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
1 2
；
解：原式＝－52a－
1 6
b－3÷(4a
2 3
·b－3)
1 2
＝－54a－
1 6
b－3÷(a
1 3
－
b
3 2
)＝－54a－
1 2
－
·b
3 2
＝－54· a1b3＝－54aabb2 .
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
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（1）
2 1
5x 3 y2
(
1
x1
y
1 2
)(
5
1
x3
y
1 6
)
4
6
5
(4)(
6
)
x
2 3
1
1 3
111
y2 2 6
1
24x0 y 6
1
24 y6
5
（2）
1
m m 2 1 m m 2
1 2
1
(m2 )2
1
2m2
1
m 2
(m
1 2
)2
1
1
1
m 2
1
m2
m 2 m2
1
1
1
1
1
1
（3） (x 2 y 2 ) (x 4 y 4 ) x 4 y 4
2 的过剩近似值
a
10α
10α
α
1.4 25.11886431…
31.62277660… 1.5
1.41 25.70395782…
26.30267991… 1.42
1.414 25.94179362…
26.00159563… 1.415
1.4142 25.95374300…
25.95971976… 1.4143
❖ ②为了避免讨论，在不特别说明的情况下， 我们约定m底数a>0；
❖ ③要求 n 为既约分数，主要是出于数学符 号的简约性要求；
❖ ④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数 幂无意义.
有理指数幂的运算性质
a a a (a ) a (ab) a b
（a 0,b 0, , Q）
例
1．求值：
4
9b 3
3 a4
b3
5
3b 3
的值.
-50
练习： 1．计算(其中各字母均为正数)：
1
1
1
(1)
1a 2
1
a2 a 2 a 1
；
(2) (e2－2＋e-2)÷(e2－e-2)．
1a 2
2．已知 x＋x-1＝3，求下列各式的值：
1
1
3
3
(1) x 2 x 2 ； (2) x 2 x 2 ．
3．1．1 有理 数指数幂及
其运算
正整数指数幂的含义
an a a a a ，其中 an 叫作 a 的 n 次幂，a 叫作幂的底数，
n个
n 叫作幂的指数。
正整数指数幂的运算法则：
m n 如果去掉
am an
amn
;
am an
amn (m n, a 0)
(am )n amn ;(ab)m ambm
8
2 3
,100
1 2
,
(1 )3
,
(16
3
)4
4 81
4
1
100 2
(102
)
1 2
2(1 )
10 2
101
1
10 ( 1 )3 (22 )3 2(2)(3) 26 64
4
(16
3
)4
(
2
4(
)
3 4
)
( 2)3
27
81 3
38
例 2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a, a3 3 a2 , a a (式中 a＞0)
5
512
5
54
12 55
54
5.
a?
指数的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
N
N
Z
Q
Q
R
三．无理数指数幂 10 2 ？
2 ＝1.41421 35623 73095 04880 16887 24210 …
2 1.4＜1.41＜1.414＜1.4142＜…＜
2 的不足近似值
＜…＜1.4143＜1.415＜1.42＜1.5，
例6．已知x+x-1=3,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x 2 x 2 , (2)x 2 x 2 .
新疆 王新敞
奎屯
5
注重已知条件与所求之 间的内在联系，开方时 正负的取舍应引起注意
25
例 7．已知： a 2 7 ， b 5 2 ，求
3
4
a 2b2 9b 3
3
a 2b2
3 1
6a 4b 3
1.41421 25.95434062… 25.95493825… 1.41422
10 2 的不…足近似值 10 2 的过…剩近似值
以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂 10α 会越来越趋 近于同一个数，我们把这个数记为10 2 ．即
101.4 101.41 101.414 101.4142 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
作 a 的 n 次方根，把求 a 的 n 次方根的运算叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算
正数 a 的偶次方根 有两个，互为相反数，记作 n a, n a 负数在实数范围内不存在偶次方根
正数的奇次方根仍是正数，负数的奇次方根仍是负数，记作 n a 。 正数 a 的正 n 次方根叫作 a 的 n 次算数根。n a 叫作根式，
(1例)4．a计2算下(列a 各 式0)：;把然根后式计化算成分数指数幂的最简形式， a 3 a2
a2
1
2
2 1 2
5
a 2 3 a6
6 a5
a2 a3
(2)( 3 25 125) 4 5
2
3
1
2
1
3
1
(53 52 ) 54 53 54 52 54
21
53 4
31
52 4
n 叫作根指数。
根式性质
①当 n 为任意正整数时，( n a ) n = a
②当 n 为奇数时， n an = a a的范围？
当 n 为偶数时， n
an
=
a(a 0) |a|= a(a 0)
温故知新 小有所成
数系的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
N
N
Z
Q
Q
R
a?
指数的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
3
a
b
0,
a
a
b 18
b
0
a b9
二、分数指数幂
（一）根式及根式的性质
平方根和立方根概念?
如果存在实数 x 使得 x2 a ，则 x 叫作 a 的 2 次方根，把
求 a 的 2 次方根的运算叫作把 a 开 2 次方，称作开方运算
如果存在实数 x 使得 xn a(a R, n 1, n N ) ，则 x 叫
N
N
Z
Q
Q
（二）分数指数幂
正分数指数幂可以定义为：
a
1 n
n
a (a
0) ；
m
an
(n
a )m
n
am (a
0, n, m N , 且
m n
为既约分数）
负分数指数幂定义
m
a n
1
m
(a
0, n, m
N , 且
m
为既约分数）
an
n
说明：
❖ ①分数指数幂已经不表示相同因式乘积，只 是根式的另一种表示方法；
也就是说10 2 是一个实数，10 2 ＝25.95455 35195…．
扩充后的实数指数幂仍然满足有理指数数幂的三个运算性质
(1) a a a ；
(2) (a ) a ；
(3) (ab) a b ．
a>0，b>0，α，β，为任意实数
若 a＞0，α 是实数，则 a > 0．
例5．化简下列各式：
1
1
5
解： a 2
a
a2 a2
2
a 2
a2
新疆
王新敞
奎屯
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
11
31
新疆 王新敞
奎屯
3
a a (a a 2 ) 2 (a 2 ) 2 a 4
例3．计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a6b6 );
规定：
an
1 an
(a
0, n
N ), a0
1(a
0)
计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式
(a，b，x，y均不为零)
(1) a3b2(2ab－1)3；
8a6
b
(2)
a 3b2 3a 2b1 9a 2b3
(a≠0，b≠0)； a 3
(3)
a a
b 3 b 2
a a
b4 b0
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b2 3 6
4ab0
4a
新疆 王新敞
奎屯 新疆 王新敞 奎屯
13
(2)(m4 n8 )8.
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3
n3Biblioteka m2 n3小结：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相 乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，等熟练后可简 化计算步骤
3．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
nm
x x2 4