3.1.1有理数指数幂及其运算

5
512
5
54
12 55
54
5.
a?
指数的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
N
N
Z
Q
Q
R
三．无理数指数幂 10 2 ？
2 ＝1.41421 35623 73095 04880 16887 24210 …
2 1.4＜1.41＜1.414＜1.4142＜…＜
2 的不足近似值
＜…＜1.4143＜1.415＜1.42＜1.5，
2 的过剩近似值
a
10α
10α
α
1.4 25.11886431…
31.62277660… 1.5
1.41 25.70395782…
26.30267991… 1.42
1.414 25.94179362…
26.00159563… 1.415
1.4142 25.95374300…
25.95971976… 1.4143
8
2 3
,100
1 2
,
(1 )3
,
(16
3
)4
4 81
4
1
100 2
(102
)
1 2
2(1 )
10 2
101
1
10 ( 1 )3 (22 )3 2(2)(3) 26 64
4
(16
3
)4
(
2
4(
)
3 4
)
( 2)3
27
81 3
38
例 2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a, a3 3 a2 , a a (式中 a＞0)
1
1
5
解： a 2
a
a2 a2
2
a 2
a2
新疆
王新敞
奎屯
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
11
31
新疆 王新敞
奎屯
3
a a (a a 2 ) 2 (a 2 ) 2 a 4
例3．计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a6b6 );
❖ ②为了避免讨论，在不特别说明的情况下， 我们约定m底数a>0；
❖ ③要求 n 为既约分数，主要是出于数学符 号的简约性要求；
❖ ④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数 幂无意义.
有理指数幂的运算性质
a a a (a ) a (ab) a b
（a 0,b 0, , Q）
例
1．求值：
也就是说10 2 是一个实数，10 2 ＝25.95455 35195…．
扩充后的实数指数幂仍然满足有理指数数幂的三个运算性质
(1) a a a ；
(2) (a ) a ；
(3) (ab) a b ．
a>0，b>0，α，β，为任意实数
若 a＞0，α 是实数，则 a > 0．
例5．化简下列各式：
n 叫作根指数。
根式性质
①当 n 为任意正整数时，( n a ) n = a
②当 n 为奇数时， n an = a a的范围？
当 n 为偶数时， n
an
=
a(a 0) |a|= a(a 0)
温故知新 小有所成
数系的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
N
N
Z
Q
Q
R
a?
指数的扩充
例题精讲 习题演练 归纳小结
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b2 3 6
4ab0
4a
新疆 王新敞
奎屯 新疆 王新敞 奎屯
13
(2)(m4 n8 )8.
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3
n3
m2 n3
小结：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相 乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，等熟练后可简 化计算步骤
作 a 的 n 次方根，把求 a 的 n 次方根的运算叫作把 a 开 n 次方，称作开方运算
正数 a 的偶次方根 有两个，互为相反数，记作 n a, n a 负数在实数范围内不存在偶次方根
正数的奇次方根仍是正数，负数的奇次方根仍是负数，记作 n a 。 正数 a 的正 n 次方根叫作 a 的 n 次算数根。n a 叫作根式，
规定：
an
1 an
(a
0, n
N ), a0
1(a
0)
计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式
(a，b，x，y均不为零)
(1) a3b2(2ab－1)3；
8a6
b
(2)
a 3b2 3a 2b1 9a 2b3
(a≠0，b≠0)； a 3
(3)
a a
b 3 b 2
a a
b4 b0
N
N
Z
Q
Q
（二）分数指数幂
正分数指数幂可以定义为：
a
1 n
n
a (a
0) ；
m
an
(n
a )m
n
am (a
0, n, m N , 且
m n
为既约分数）
负分数指数幂定义
m
a n
1
m
(a
0, n, m
N , 且
m
为既约分数）
an
n百度文库
说明：
❖ ①分数指数幂已经不表示相同因式乘积，只 是根式的另一种表示方法；
3
a
b
0,
a
a
b 18
b
0
a b9
二、分数指数幂
（一）根式及根式的性质
平方根和立方根概念?
如果存在实数 x 使得 x2 a ，则 x 叫作 a 的 2 次方根，把
求 a 的 2 次方根的运算叫作把 a 开 2 次方，称作开方运算
如果存在实数 x 使得 xn a(a R, n 1, n N ) ，则 x 叫
3．1．1 有理 数指数幂及
其运算
正整数指数幂的含义
an a a a a ，其中 an 叫作 a 的 n 次幂，a 叫作幂的底数，
n个
n 叫作幂的指数。
正整数指数幂的运算法则：
m n 如果去掉
am an
amn
;
am an
amn (m n, a 0)
(am )n amn ;(ab)m ambm
4
9b 3
3 a4
b3
5
3b 3
的值.
-50
练习： 1．计算(其中各字母均为正数)：
1
1
1
(1)
1a 2
1
a2 a 2 a 1
；
(2) (e2－2＋e-2)÷(e2－e-2)．
1a 2
2．已知 x＋x-1＝3，求下列各式的值：
1
1
3
3
(1) x 2 x 2 ； (2) x 2 x 2 ．
(1例)4．a计2算下(列a 各 式0)：;把然根后式计化算成分数指数幂的最简形式， a 3 a2
a2
1
2
2 1 2
5
a 2 3 a6
6 a5
a2 a3
(2)( 3 25 125) 4 5
2
3
1
2
1
3
1
(53 52 ) 54 53 54 52 54
21
53 4
31
52 4
例6．已知x+x-1=3,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x 2 x 2 , (2)x 2 x 2 .
新疆 王新敞
奎屯
5
注重已知条件与所求之 间的内在联系，开方时 正负的取舍应引起注意
25
例 7．已知： a 2 7 ， b 5 2 ，求
3
4
a 2b2 9b 3
3
a 2b2
3 1
6a 4b 3
（1）
2 1
5x 3 y2
(
1
x1
y
1 2
)(
5
1
x3
y
1 6
)
4
6
5
(4)(
6
)
x
2 3
1
1 3
111
y2 2 6
1
24x0 y 6
1
24 y6
5
（2）
1
m m 2 1 m m 2
1 2
1
(m2 )2
1
2m2
1
m 2
(m
1 2
)2
1
1
1
m 2
1
m2
m 2 m2
1
1
1
1
1
1
（3） (x 2 y 2 ) (x 4 y 4 ) x 4 y 4
1.41421 25.95434062… 25.95493825… 1.41422
10 2 的不…足近似值 10 2 的过…剩近似值
以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂 10α 会越来越趋 近于同一个数，我们把这个数记为10 2 ．即
101.4 101.41 101.414 101.4142 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
3．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
nm
x x2 4