微积分(上册)第五章
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从纯数学意义上审视，我们知道，(x2)′=2x，2x是x2的导 函数；反之，x2称为2x的一个原函数.下面给出原函数的定义.
一、 原函数的概念
2. 原函数定义
定义1
如果在区间D上定义了一个可导函数F(x)，对于区间D上的所 有x
F′(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx(x∈D) (5-1) 则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数. 例如，因(x3)′=3x2(－∞<x<+∞)，故x3是3x2在(－∞,+∞) 内的一个原函数;又如，(arctan x)′=11+x2，故arctan x是11+x2 在(－∞,+∞)内的一个原函数.
一、 基本积分表
【例9】
例9表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系， 但是通过恒等变形以后，我们发现，实际是可以直接应用基 本积分表的.
一、 原函数的概念
注
(－∞,+∞) 时可以省略不写.
一、 原函数的概念
进一步考虑，如果一个函数存在原函数，原函数有多少个？
(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x 由原函数的定义知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均为2x 的原函数.这说明，一个函数如果有原函数就有无穷多个原函数. 那么，在什么条件下，一个函数一定存在原函数? 是不是任意 给出的函数都有原函数？要回答这个问题请看下面定理.
一、 基本积分表
一、 基本积分表
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这 些公式时,有时需要对被积函数作适当的变形.
一、 基本积分表
【例7】
【例8】
一、 基本积分表
注
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一样先化成 xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
根据原函数的这种性质，下面引入不定积分的概念.
二、 不定积分的概念
1. 不定积分的定义
定义2
f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在区间D上的不定积分，记作
∫f(x)dx
其中“∫”称为积分号，f(x)
被积函数，f(x)dx称为被积表达
式，x称为积分变量.
若F(x)是f(x)在区间D上的一个原函数，根据定义2和定理2
微积分
（上册）
第三章 导数与微分
第一节 导数的基本概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高 阶 导 数 第四节 隐函数及由参数方程所确定 第五节 函数的微分及其应用
第 一节
导数的基本概念
1. 引例
一、 原函数的概念
求函数的导数或微分是微分学的基本问题，但在工程与社 会实践中往往会遇到这类问题的逆问题.例如，在物理学中常提 出：在已知物体运动速度v=v(t)的情况下，如何求出该物体的 运动方程s=s(t)的问题.由微分学知识可知，s′(t)=v(t)，此问题 实际上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，这是与求导运算相反 的问题.我们称s(t)为s′(t)［即v(t)］的原函数.
Байду номын сангаас
二、 不定积分的概念
【例1】
二、 不定积分的概念
【例2】
二、 不定积分的概念
【例3】
二、 不定积分的概念
【例4】
二、 不定积分的概念
【例5】
二、 不定积分的概念
2. 不定积分的几何意义
设y=F(x)是f(x)的一个原函数，函 数y=F(x)在平面上表示一条曲线，则 该曲线上任意一点(x,y)的切线斜率为 f(x)，我们称函数y=F(x)的图形为f(x) 的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不 定积分∫f(x)dx=F(x)+C在几何上表示 一族积分曲线，它可由f(x)的某一条积 分曲线y=F(x)沿y轴方向上下平移得到. 显然，积分曲线族中每一条积分曲线 在横坐标相同点处的切线相互平行， 如图5-1所示.
图 5-1
二、 不定积分的概念
【例6】
已知某曲线上任意一点处的切线斜率等于3x2，且该曲 线通过点(1,2)，求此曲线方程.
解设所求曲线方程为y=F(x)，其中(x,y)是曲线上的任 意一点.
F′(x)=3x2. 由于(x3)′=3x2，所以x3是3x2
F(x)=∫3x2dx=x3+C. 将题中所给初始条件F(1)=2代入
∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)
其中C是任意常数，称为积分常数.一般情况下积分常数用字母C表
示，需要时也可用A，B或C1，C2等表示.
二、 不定积分的概念
根据定义2可得不定积分的四个重要性质(不定积分与微分的运 算关系)：
二、 不定积分的概念
这说明，如果一个函数先积 分再微分(或求导)，结果是这两种 运算互相抵消；如果对它先微分 (或求导)再积分，其结果与原来的 函数相差一个任意常数.这四个性 质以后可以当公式直接使用.
［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x) 这表明F(x)+C是f(x)的原函数.
一、 原函数的概念
(2)设G(x)和F(x)是f(x)在区间D G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.
根据拉格朗日中值定理的推论2 G(x)－F(x)=C.
定理2表明，如果找到了f(x)的一个原函数F(x)，那么F(x)+C也 是f(x)的原函数；而f(x)的其他任意一个原函数与F(x)之间只相差一个 常数，因此f(x)的全体原函数可以表达为F(x)+C.
一、 原函数的概念
3. 原函数定理 定理1
(原函数存在定理)若函数f(x)在区间D上连续， 则f(x)在区间D上一定存在原函数F(x).
该定理将在第五章第二节予以证明.由于初等 函数在其定义区间上是连续的，因此，根据定理1 可知，初等函数在其定义区间上存在原函数.
一、 原函数的概念
定理2
(原函数族定理)如果函数F(x)是f(x)在区间D (1)F(x)+C也是f(x)在区间D上的原函数，其中C是任意常数. (2)f(x)在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数. 证(1)
F(1)=13+C=2.
二、 不定积分的概念
解得C=1，故所求曲线方程是y=x3+1.图5-2所 示就是本题的积分曲线.
图 5-2
第二节
不定积分的基本积分公 式与性质
一、 基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的 运算,因此,由导数的基本公式就可以得 到相应的不定积分的基本公式,为了便于 记忆和应用,我们把一些基本的积分公式 列成一个表,通常称为基本积分表.
一、 原函数的概念
2. 原函数定义
定义1
如果在区间D上定义了一个可导函数F(x)，对于区间D上的所 有x
F′(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx(x∈D) (5-1) 则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数. 例如，因(x3)′=3x2(－∞<x<+∞)，故x3是3x2在(－∞,+∞) 内的一个原函数;又如，(arctan x)′=11+x2，故arctan x是11+x2 在(－∞,+∞)内的一个原函数.
一、 基本积分表
【例9】
例9表明，有些题目在形式上跟基本积分表没有关系， 但是通过恒等变形以后，我们发现，实际是可以直接应用基 本积分表的.
一、 原函数的概念
注
(－∞,+∞) 时可以省略不写.
一、 原函数的概念
进一步考虑，如果一个函数存在原函数，原函数有多少个？
(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x 由原函数的定义知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均为2x 的原函数.这说明，一个函数如果有原函数就有无穷多个原函数. 那么，在什么条件下，一个函数一定存在原函数? 是不是任意 给出的函数都有原函数？要回答这个问题请看下面定理.
一、 基本积分表
一、 基本积分表
以上公式是求不定积分的基础,必须熟记.在应用这 些公式时,有时需要对被积函数作适当的变形.
一、 基本积分表
【例7】
【例8】
一、 基本积分表
注
上述两个例题实际上是幂函数的积分问题,但是表示 上是取用了根式和分式形式,遇到这样的情况一样先化成 xμ的形式,再根据不定积分基本公式(2)来求不定积分.
根据原函数的这种性质，下面引入不定积分的概念.
二、 不定积分的概念
1. 不定积分的定义
定义2
f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在区间D上的不定积分，记作
∫f(x)dx
其中“∫”称为积分号，f(x)
被积函数，f(x)dx称为被积表达
式，x称为积分变量.
若F(x)是f(x)在区间D上的一个原函数，根据定义2和定理2
微积分
（上册）
第三章 导数与微分
第一节 导数的基本概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高 阶 导 数 第四节 隐函数及由参数方程所确定 第五节 函数的微分及其应用
第 一节
导数的基本概念
1. 引例
一、 原函数的概念
求函数的导数或微分是微分学的基本问题，但在工程与社 会实践中往往会遇到这类问题的逆问题.例如，在物理学中常提 出：在已知物体运动速度v=v(t)的情况下，如何求出该物体的 运动方程s=s(t)的问题.由微分学知识可知，s′(t)=v(t)，此问题 实际上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，这是与求导运算相反 的问题.我们称s(t)为s′(t)［即v(t)］的原函数.
Байду номын сангаас
二、 不定积分的概念
【例1】
二、 不定积分的概念
【例2】
二、 不定积分的概念
【例3】
二、 不定积分的概念
【例4】
二、 不定积分的概念
【例5】
二、 不定积分的概念
2. 不定积分的几何意义
设y=F(x)是f(x)的一个原函数，函 数y=F(x)在平面上表示一条曲线，则 该曲线上任意一点(x,y)的切线斜率为 f(x)，我们称函数y=F(x)的图形为f(x) 的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不 定积分∫f(x)dx=F(x)+C在几何上表示 一族积分曲线，它可由f(x)的某一条积 分曲线y=F(x)沿y轴方向上下平移得到. 显然，积分曲线族中每一条积分曲线 在横坐标相同点处的切线相互平行， 如图5-1所示.
图 5-1
二、 不定积分的概念
【例6】
已知某曲线上任意一点处的切线斜率等于3x2，且该曲 线通过点(1,2)，求此曲线方程.
解设所求曲线方程为y=F(x)，其中(x,y)是曲线上的任 意一点.
F′(x)=3x2. 由于(x3)′=3x2，所以x3是3x2
F(x)=∫3x2dx=x3+C. 将题中所给初始条件F(1)=2代入
∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)
其中C是任意常数，称为积分常数.一般情况下积分常数用字母C表
示，需要时也可用A，B或C1，C2等表示.
二、 不定积分的概念
根据定义2可得不定积分的四个重要性质(不定积分与微分的运 算关系)：
二、 不定积分的概念
这说明，如果一个函数先积 分再微分(或求导)，结果是这两种 运算互相抵消；如果对它先微分 (或求导)再积分，其结果与原来的 函数相差一个任意常数.这四个性 质以后可以当公式直接使用.
［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x) 这表明F(x)+C是f(x)的原函数.
一、 原函数的概念
(2)设G(x)和F(x)是f(x)在区间D G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.
根据拉格朗日中值定理的推论2 G(x)－F(x)=C.
定理2表明，如果找到了f(x)的一个原函数F(x)，那么F(x)+C也 是f(x)的原函数；而f(x)的其他任意一个原函数与F(x)之间只相差一个 常数，因此f(x)的全体原函数可以表达为F(x)+C.
一、 原函数的概念
3. 原函数定理 定理1
(原函数存在定理)若函数f(x)在区间D上连续， 则f(x)在区间D上一定存在原函数F(x).
该定理将在第五章第二节予以证明.由于初等 函数在其定义区间上是连续的，因此，根据定理1 可知，初等函数在其定义区间上存在原函数.
一、 原函数的概念
定理2
(原函数族定理)如果函数F(x)是f(x)在区间D (1)F(x)+C也是f(x)在区间D上的原函数，其中C是任意常数. (2)f(x)在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数. 证(1)
F(1)=13+C=2.
二、 不定积分的概念
解得C=1，故所求曲线方程是y=x3+1.图5-2所 示就是本题的积分曲线.
图 5-2
第二节
不定积分的基本积分公 式与性质
一、 基本积分表
由于求不定积分与求导数是互逆的 运算,因此,由导数的基本公式就可以得 到相应的不定积分的基本公式,为了便于 记忆和应用,我们把一些基本的积分公式 列成一个表,通常称为基本积分表.