第十三讲 反比例函数

第十三讲 反比例函数考点综述：反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题。

中考课标要求考点精析考点1 反比例函数（1）反比例函数的概念：一般地，形如xk y =（k 为常数，0≠k ）的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数。

注意：反比例函数也可以写成1-=kx y 和k xy =的形式。

（2）反比例函数的特征①自变量x 位于分母上，且其次数是1； ②常量0≠k ；③自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数； ④函数值y 的取值范围是非0实数。

考点2 反比例函数的图像与性质 （1）反比例函数的图像：反比例函数xk y =（k 为常数，0≠k ）的图像由两个分支组成，叫做双曲线；它的两个分支分别在第一、三或第二、四象限，这两个分支关于坐标原点成中心对称。

（2）反比例函数的性质①当0>k 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； ②当0<k 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大。

注意：①由于双曲线在0=x 处是断开的，因此其性质强调在每一个象限内y 随x 的变化而变化的情况，整个图像没有这样的性质，使用时，必须分别在每一个象限内来研究函数值y 随x 的变化情况；②根据图像说出性质、根据性质大致画出图像及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握。

考点3 反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式xk y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需要给出一组x 、y 的对应值或图像上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的解析式。

考点4 反比例函数的应用在实际生活中，如何应用反比例函数只是解题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后再根据反比例函数的性质，综合方程、不等式、几何知识和图像求解。

在反比例函数应用的过程中，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，也要结合实际舍去不符合题意的部分。

2008年中考试题荟萃一、选择题：1．（2008年南昌市）下列四个点，在反比例函数6y x=图象上的是（ ）A ．(1，6-)B ．（2，4）C ．（3，2-）D ．（6-，1-)2．（2008嘉兴市）某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ）A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，3.(2008年安徽省)函数k y x=的图象经过点（1，－2），则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．2D ．－24.（2008黄冈市）已知反比例函数y=2x，下列结论中，不正确．．．的是（ ） A ．图象必经过点(1，2) B ．y 随x 的增大而减少 C ．图象在第一、三象限内 D ．若1x >，则2y < 5.(2008常州市) 若反比例函数1k y x-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是( )A.-1B.3C.0D.-36.（2008年南京市）已知反比例函数的图象经过点(21)P -，，则这个函数的图象位于（ ）A ．第一、三象限;B ．第二、三象限;C ．第二、四象限;D ．第三、四象限 7．(2008年宁波市)如图，正方形A B O C 的边长为2，反比例函数k y x=过点A ，则k的值是（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-（第7题）A B CDA．B．C．D．2yx=xyOP1P2P3P41 2 3 48．(2008年扬州市)函数xk1y-=的图象与直线xy=没有交点，那么k的取值范围是( )A、1k>B、1k<C、1k->D、1k-<9．(2008年双柏县)已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）10.(08年宁夏回族自治区)反比例函数xky=(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2的大小关系为（）A．S1＞S2B。

S1= S2C。

S1＜S2D。

无法确定11.（2008恩施自治州）如图5,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2=x2的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（）A. ｘ＞2B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0C. －1＜ｘ＜2D. ｘ＞2 或ｘ＜－112.（2008年广东湛江市）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（A．B．C． D ．13. (2008年西宁市) 如图，已知函数kyx=-中，0x>时，y随x的增大而增大，则y kx k=-的大致图象为（14.(2008年益阳)物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为SFP=. 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( )15．(2008年内江市) 若()A a b，，(2)B a c-，两点均在函数1yx=的图象上，且0a<，则b与c的大小关系为（）A．b c>B．b c<C．b c=D．无法判断二、填空题：1．（2008年义乌市）函数1yx a=-，当2x=时没有意义，则a的值为．2.（2008年上海市）在平面直角坐标系中，如果双曲线(0)ky kx=≠经过点(21)-，，那么k=．3.（2008年龙岩市）若xky=的图象分别位于第一、第三象限，则k的取值范围是 .4.（云南省2008年）函数21yx=-中，自变量x的取值范围是_________．5．(08河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为．6.（2008年湖北省宜昌市）某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________.7.（2008年巴中市）如图8，若点A在反比例函数(0)ky kx=≠的图象上，A M x⊥轴于点M，A M O△的面积为3，则k=．9.（2008福建福州）如图，在反比例函数2yx=（0x>）的图象上，有点1234P P P P，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S，，，则123S S S++=．v/(km/h) v/(km/h) v/(km/h)A．B．C．k y x =1y x=（10题图） n )10.（2008年遵义市）如图，在平面直角坐标系中，函数k y x=（0x >，常数0k >）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，，（1m >），过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若A B △的坐标为 ．11．（2008年湖北省咸宁市）两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 12．（2008年荆州市）如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k y k x=>的图象于Q ，32O Q C S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为_________________________.13．（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xo y 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数k y x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ．14.(2008常州市) 过反比例函数(0)k y k x=>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.15. (2008年西宁市)如图3所示的是函数y kx b =+与y m x n =+的图象，求方程组y kx b y m x n=+⎧⎨=+⎩的解关于原点对称的点的坐标是 ；在平面直角坐标系中，将点(53)P ，向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数k y x=的图象上，则此函数的图象分布在第 象限．16.（2008年甘肃省白银市）一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（－1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．17、（2008年宜宾市）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y=x1的图像上，则点C 的坐标是 .18．（四川省资阳市）若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数12y x=的图象上，则当1x 、2x 满足_______________时， 1y ＞2y 。

19、（08河南试验区）如图，直线2-==kx y (k ＞0)与双曲线xk y =在第一象限内的交点面积为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，则=k . 三、解答题：1. （2008年郴州市）已知一次函数y =ax ＋b 的图像与反比例函数4y x= 的图像交于A （2，2），B (－1，m )，求一次函数的解析式．2.（2008年聊城市）已知一次函数与反比例函数的图象交于点(3)P m -，（1）求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；（3）当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？_4 图3x3．（2008年重庆市）已知：如图，反比例函数的图象经过点A 、B ，点A 的坐标为（1，3），点B 的纵坐标为1，点C 的坐标为（2，0）. （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线BC 的解析式.4. ( 2008年杭州市) 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为tay （a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1） 写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函 数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?6. （四川省资阳市）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝2k x的图象都经过点（1，1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．(第4题)。