含参数二次函数的值域习题

含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域（分类讨论）

（一）正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨

论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）定轴定区间；（2）定

轴动区间；（3）动轴定区间；（4）动轴动区间。

题型一：“定轴定区间”型

例1、函数

y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习：已知232x

x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

题型二：“动轴定区间”型

例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-

①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f

②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==-

③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f

④当4≤a 时，min (4)198f f a ==-，==max (0)3f f

练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2

-上最大值为1,求实数a 的值

题型三：“动区间定轴”型的二次函数最值

例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：=-+2(x)(1)2f x 开口向上，对称轴x=1

①当a ＞1，2min

f(a)3f a ==-+;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ②212a a a ++≤<,即0＜a≤1，min f(1)2f ==;2max (a 2)a 2a 3f f =+=++ ③212a a a ++≤<即-1＜a≤0，min f(1)f =，max f(a)f =

④a+2≤1,即a≤-1时，，max

f(a)f =;min (a 2)f f =+

练习：求函数=

-+2()22f x x x 在x ∈［t,t+1］上的最值。

题型四：“动轴动区间”型的二次函数最值

例4.求函数(x)x(x )x [1,a]f a =--∈-在的最大值

○1当1,a 22

a

≤-≤即，与1a >-矛盾； ○21a,a 02a -<<>即，2max ()24

a a f f == ○3a,2

a ≥≤且a>-1,即-1

练习:已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1[,]3

b -上恒大于等于0，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b

的范围．

（二）逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例5. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。 解：2

()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-

（1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得38

a = （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-

由14a -=，得3a =- 综上知38

a =

或3a =-

练习：已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）

)(A 1 ,3 )

(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）

)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2

3．函数5

482+-=x x y 的最值为 （ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8

（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值

4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________

5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---

2213032

2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为

6．如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为

21 (B)无最大值，最小值为4

3 （C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为43 7．已知函数322

+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是

（ ）

(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞

8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________

9．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2

221x x +的最小值______ 10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

11．已知)(x f 2

2a ax x +

-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

12.设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.