数列求和复习中小学PPT教学课件
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数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
《数列求和》课件
《数列求和》PPT课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
第6章 第4节 数列求和 课件(共76张PPT)
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项
和为( )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
1234
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
当n≥2时，b1＋b22＋b33＋…＋nb－n－11＝an，②
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
①－②得：bnn＝an＋1－an＝2，
所以bn＝2n.
所以bn＝62n
n＝1 n≥2
.
(2)当n＝1时，S1＝a11b1＝4×1 6＝214.
第四节 数列求和
(1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
第四节 数列求和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝bb32＝93＝3， 所以b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n∈N*)．
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 核心素养 课后限时集训
3．Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于(
)
2n－n－1 A. 2n
B．2n＋1－2nn－2
2n－n＋1 C. 2n
数列求和方法专题课ppt课件
数列求和方法专题
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
数列求和各种方法总结归纳课件PPT
[冲关锦囊]
用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“
错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[精析考题] [例3] (2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋ 3a2＝1，a32＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b1n}的前n项和．
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
所以，当n＞1时，①－②得 用错位相减法求和时，应注意
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
数列求和各种方法总结归纳
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．
∴((11b))要a1n＝善＝0于k，n识b＋1别b＋，题1利＝目用1类≠等0型.差n1，数－特列别n前是＋n1等项比1和数公列＝式公直－比接为求n负解2＋数n；1.
所以数列{b1n}的前n项和为－n2＋n1.
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
数列求和常用方法精品PPT课件
两边2得：
2 S n 1 2 2 4 2 3 ( 3 n 2 2 ) 2 n 1 ( 3 n 1 2 ) 2 n 3 n 2 2 n 1
两式相减得：
S n 2 3 22 3 23 32n1
3 2n
3n22n1
2 3 2 2 2 2 2 4 2 n
当 x = 0 时 ， 数 列 不 是 等 比 数 列
当 x 0 时 ， 数 列 是 等 比 数 列 , 公 比 q = x
1, Sn n,
1
xn
1 x
x0 x 1
x 1
数列求和方法（一） 倒序相加法
3 、 已 知 对 x R , 有 fx + f1 x = 1 成 立 ， 则
3 f0 f0 .2 f0 .4 f0 .6 f0 .8 f1 _ _ _
2.已 知 数 列 an,an n2n,
求 其 前 n项 和
3.已知数列an,an
n
n 2n
,
求其前n项和s n
自我提升
这节课复习的数列求和常见解题方法
1、公式应用 2、倒序相加法 3、错位相减法 4、拆项分组求和
依据求和数列的通项公式特征，选择方法
1、公式应用 (1)等差数列:
Sna1 2annna1n(n21)d
数列求和方法 （一）
数列求和方法（一）
教学目标：
知识目标：掌握数列求和的几种方法； 能准确运用这些方法解决问题。
能力目标：提高学生的理解能力， 类比、转化能力，归纳总结能力。
情感目标：让学生认识到事物发展是有规律的， 普遍联系的。
重点： 通过复习掌握公式 、方法应用的前提及应用时易错点。 难点： 掌握各求和方法的适用题型及其易错点。
4、拆项分组求和
2 S n 1 2 2 4 2 3 ( 3 n 2 2 ) 2 n 1 ( 3 n 1 2 ) 2 n 3 n 2 2 n 1
两式相减得：
S n 2 3 22 3 23 32n1
3 2n
3n22n1
2 3 2 2 2 2 2 4 2 n
当 x = 0 时 ， 数 列 不 是 等 比 数 列
当 x 0 时 ， 数 列 是 等 比 数 列 , 公 比 q = x
1, Sn n,
1
xn
1 x
x0 x 1
x 1
数列求和方法（一） 倒序相加法
3 、 已 知 对 x R , 有 fx + f1 x = 1 成 立 ， 则
3 f0 f0 .2 f0 .4 f0 .6 f0 .8 f1 _ _ _
2.已 知 数 列 an,an n2n,
求 其 前 n项 和
3.已知数列an,an
n
n 2n
,
求其前n项和s n
自我提升
这节课复习的数列求和常见解题方法
1、公式应用 2、倒序相加法 3、错位相减法 4、拆项分组求和
依据求和数列的通项公式特征，选择方法
1、公式应用 (1)等差数列:
Sna1 2annna1n(n21)d
数列求和方法 （一）
数列求和方法（一）
教学目标：
知识目标：掌握数列求和的几种方法； 能准确运用这些方法解决问题。
能力目标：提高学生的理解能力， 类比、转化能力，归纳总结能力。
情感目标：让学生认识到事物发展是有规律的， 普遍联系的。
重点： 通过复习掌握公式 、方法应用的前提及应用时易错点。 难点： 掌握各求和方法的适用题型及其易错点。
4、拆项分组求和
数列求和方法总结PPT课件
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
-
6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
-
7
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
-
1
本节概要 数列求和的常用方法
-
2
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
-
17
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
-
18
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
数列求和及综合应用中小学PPT教学课件
例题：冲刺强化训练（14）T12
前两小问略 下面主要研究第（3）问
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
1
1 问1：能否相消？
Cn
2
3n1
1
3n
1
问2：是否需
要相消？
将Tn表示出来并不困难
解题目标？
Tn C1 C2 Cn
2n
1 32
1
1 30
1
1 33
1
1 32
1
1 3n 1
1 3n1 1
bn Sn Sn1(n 2)"
可化简得 2S 2Sn1 1 Sn • Sn1
1 11
Sn Sn1 2
Sn 与bn
关系？
第二部分：基本数列之间的综合
思路2： 由 Sn 进一步求 bn
1 n时需1 要注意什么？
1(n 1)
bn
2 n(n 1)
(n
2)
第二部分：基本数列之间的综合
第一课 文化与社会
画卷
“巨幅画轴” “巨幅画轴”
水墨画
海上丝绸之路
孔子三千弟子
活字印刷术
礼 乐
礼乐
太极
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
回忆：
1、第29届奥林匹克运文动会化开形幕式式多中，有 那些文艺节目？请写在文黑种化板多现上样。象无
n(n 1)
其中 (n 1)n 的大小理科生可以用数归法解决。 n n 1 也可得到第3项最大
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
4、与解析几何知识的交汇综合
例：已知直线ln : y x 2n与圆Cn :
x2 y2 2an n 2交于不同的两点An , Bn，
前两小问略 下面主要研究第（3）问
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
1
1 问1：能否相消？
Cn
2
3n1
1
3n
1
问2：是否需
要相消？
将Tn表示出来并不困难
解题目标？
Tn C1 C2 Cn
2n
1 32
1
1 30
1
1 33
1
1 32
1
1 3n 1
1 3n1 1
bn Sn Sn1(n 2)"
可化简得 2S 2Sn1 1 Sn • Sn1
1 11
Sn Sn1 2
Sn 与bn
关系？
第二部分：基本数列之间的综合
思路2： 由 Sn 进一步求 bn
1 n时需1 要注意什么？
1(n 1)
bn
2 n(n 1)
(n
2)
第二部分：基本数列之间的综合
第一课 文化与社会
画卷
“巨幅画轴” “巨幅画轴”
水墨画
海上丝绸之路
孔子三千弟子
活字印刷术
礼 乐
礼乐
太极
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
回忆：
1、第29届奥林匹克运文动会化开形幕式式多中，有 那些文艺节目？请写在文黑种化板多现上样。象无
n(n 1)
其中 (n 1)n 的大小理科生可以用数归法解决。 n n 1 也可得到第3项最大
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
4、与解析几何知识的交汇综合
例：已知直线ln : y x 2n与圆Cn :
x2 y2 2an n 2交于不同的两点An , Bn，
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列复习——数列求和 公开课精品课件
数列复习 ——数列求和
主讲老师：陈震
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
32 32 82
102 102 12
.
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
Hale Waihona Puke 32 32 82
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等 差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列 求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组 合数列求和；
课堂小结
常用数列求和方法有：
(5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求 和；
(6) 分部求和法：将一个数列分成n部分 求和；
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例6. 求和:
1
1
1
2
1
1 2
3
1
2
1
n
.
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例7. 求数列 1 , 1 , ,
1 2 2 3
的前n项和Sn.
1
,
n n1
课堂小结
常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列 求和公式;
2 4 8 16
的前n项和.
数列求和的方法：
3. 分组法求和：
例4.
设正项等比数列{an}的首项
a1
主讲老师：陈震
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
32 32 82
102 102 12
.
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
Hale Waihona Puke 32 32 82
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等 差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列 求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组 合数列求和；
课堂小结
常用数列求和方法有：
(5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求 和；
(6) 分部求和法：将一个数列分成n部分 求和；
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例6. 求和:
1
1
1
2
1
1 2
3
1
2
1
n
.
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例7. 求数列 1 , 1 , ,
1 2 2 3
的前n项和Sn.
1
,
n n1
课堂小结
常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列 求和公式;
2 4 8 16
的前n项和.
数列求和的方法：
3. 分组法求和：
例4.
设正项等比数列{an}的首项
a1
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
一轮复习-数列求和专题 ppt课件
∴Sn=
1（121
11 +
33
-
1 +……+
5
= 1 （1 - 1 ）= n
2
2n+1
2n+1
1 -
2n-1
1 )
2n+1
评：裂项相消法的关键就是将数列的每
一项拆成二项或多项使数列中的项出现
有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
ppt课件
20
变式探究：
求数列
1111 12 + 2 , 22 + 4 , 32 + 6 , 42 + 8
3 anan+1
3
11 1
= (6n - 5)[6(n +1) - 5] = 2 (6n - 5 - 6n +1).
故Tn=b1+b2+…+bn
=
12〔(1 -
11 )+(
77
-
1
1
)+•••+(
13
6n - 5
-
1 )〕
6n + 1
1
1
= (1 -
)
2 6n + 1
因此，使得
1 (1 -
1
m )<
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
⑤
13 23 33
n3
n(n 1) 2
2
ppt课件
3
⑥ 2+4+6+…+2n= n2+n
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
《数列求和专题》课件
数列求和的分类
有穷数列求和
数列的项数是有限的，求和时只需要 将所有项加起来即可。
无穷数列求和
数列的项数是无限的，需要采用特定 的方法进行求和。
数列求和的基本方法
公式法
对于一些特定的数列，可以直 接使用公式进行求和。
裂项法
将数列中的每一项都拆分成两 个部分，然后分别进行求和。
错位相减法
将数列中的每一项都乘以一个 常数，然后错位相减，得到一 个等差数列，最后进行求和。
03
等比数列求和
等比数列的定义
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都
相等。
等比数列的每一项都可以由首项 和公比唯一确定。
等比数列的通项公式为 $a_n=a_1*q^{(n-1)}$，其中 $a_n$是第n项，$a_1$是首项
，q是公比。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式 是数列中任意一项的 数学表示。
详细描述
分组转化法的基本思路是将原数列分组，每组内的项可以转化为等差数列或等比数列，然后利用相应 的求和公式计算每组的和，最后将各组的和相加得到原数列的和。这种方法适用于一些复杂的数列求 和问题。
05
数列求和的应用
在数学竞赛中的应用
数学竞赛中，数列求和是常见的 题型，考察学生的数学思维和计
算能力。
数列求和在金融领域中还应用于计算复利、评估贷款还款等金融业务。
在日常生活中的应用
在日常生活中，数列求和的应用也十 分常见，如计算购物清单的总价、计 算工资总额等。
数列求和在日常生活中的应用还体现 在统计数据、计算平均值等方面。
通过数列求和，人们可以快速准确地 计算出一系列数字的总和，提高日常 生活中的计算效率。
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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高三第一轮复习
数列的求和
一、基本方法 1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
Snn(a1 2源自an)na1n(n 1) 2
d
Sn
na1a(11(q
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
0且q
1)
公比含字母是一定要讨论
（2）利用公式法求和
n k n(n 1)
n
k 2 n(n 1)(2n 1) k1n
(7)
文化活动相对于政治活动和经济活动
2、文化是什么
山本身不能称之为文化。 将山开辟成旅游区或拍摄成艺术作品 则属于文化。 两者的区别在于前者是纯粹自然的东 西，而后者是经过人的实践活动，经过 人的劳动，渗透了人的精神活动，成为 人的精神活动的产品，因而成为文化。
提结问论：：张(家2)界文的化山是是人文类化社吗？会将特这有些的山现开象辟，成旅 游是区人或们拍社摄会成实艺术践作的品产能物称。得上文化吗？两者有 什么区别？ (相对于自然而言)
第一课 文化与社会
画卷
“巨幅画轴” “巨幅画轴”
水墨画
海上丝绸之路
孔子三千弟子
活字印刷术
礼 乐
礼乐
太极
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
回忆：
1、第29届奥林匹克运文动会化开形幕式式多中，有 那些文艺节目？请写在文黑种化板多现上样。象无
k3
2
[
n(n
1)
]2
k 1
6
k 1
2
2．错位相减法求和：
如：an 等差,bn 等比,求a1b1 a2b2 anbn的和.
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和：
如：1002 992 982 972 22 12 求的和
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。
C
2、下列属于文化现象的有： (1)工人、农民从事生产活动 (2)参加学校运动会 (3)参加演讲会、辩论会 (4)购买蔬菜水果 (5)参加文学社、书画协会、读书 俱乐部(6)合唱团、舞蹈队、时装 表演队
(7)浏览网站，领略世界各地风土 人情
(8)某国议员竞选
答案 (2)、 (3)、 (5)、 (6)、
an 2[n (1)n ],求Sn
解(1)： an 2n 2(1)n
2m
若 n 2m,则Sn S2m 2(1 2 3 2m) 2 (1)k k 1
Sn 2(1 2 3 2m) (2m 1)2m n(n 1)
若 n 2m 1,则Sn S2m1 S2m a2m (2m 1)2m 2[2m (1)2m]
n个
(4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1)
对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2．错位相减法求和 例2．已知数列
1,3a,5a 2 ,, (2n 1)a n1 (a 0)
求前n项和。
练习:求
Sn
1 a
2 a2
3 a3
n an
(a
0)
3.裂项相消法求和 例3
(1)求和
Sn
22 42
(2n)2
13 35
(2n 1)(2n 1)
(2)求和 Sn
1 2 1
1 3
..... 2
1 n 1
n
4.倒序相加法求和
例4 求证：
C
0 n
3C
1 n
5Cn2
(2n
1)C
n n
(n
1)2n
5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5.(1)已知数列 an,
2、请你对这些舞台艺术文节时目化进不现行有象归无类. 3、这场节目分为哪两个篇章处？不在 4、有人认为，文化就是音乐文、化戏特剧色等艺术。
你是否赞同这种看法。
5、请你对这场节目进行总体评价。
一、体味文化
1、文化万花筒
⑴文化形式:多种多样 ⑵文化现象:无时不有、无处不在 ⑶文化特色:不同区域有不同的文化特色.
结论：文化是相对于政治、经济而言； 文化现象实质上是精神现象。
练习： 1、我们要讲的“文化”，是相对于政治、 经济而言的，下列属于文化的是（ ） ①世界观、人生观、价值观 ②自然科 学 ③技术 ④语言、文字 ⑤选举人 大代表 ⑥企业的信誉和形象 A、①②④⑤ B、①②③④⑤
C、①②③④ D、①②③④⑤⑥
常见拆项： 1 1 1
n(n 1) n n 1
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
n n! (n 1)!n!
n 1 1 (n 1)! n! (n 1)!
1 n1 n
(2m 1)2m 2(2m 1)
4m2 2m 2 (n 1)2 (n 1) 2 n2 n 2
n(n 1)
(n为正偶数)
Sn
n2
n2
(n为正奇数)
三、小结
1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 q 1或q 1讨论。
《文化生活》
教材的整体结构： 第一单元 是什么：把握文化的一般意义 第二单元 为什么：文化自身发展的一般过程 第三单元 怎么看：把握文化的核心价值 第四单元 怎么办：文化建设的基本要求
2、文化是什么 重点
（1）文化的内涵： 文化是相对于经济、政治而言的人类全部
精神活动及其产品。其中，既包括世界观、 人生观、价值观等具有意识形态性质的部分， 又包括自然科学和技术、语言和文字等非意 识形态部分。其实质是精神现象。
2、文化是什么
简要比较： 文化现象与政治现象、经济
现象的不同点。
文化现象——精神家园的耕耘 政治现象——根本利益的保障 经济现象——物质财富的创造
思考：文化是什么？
阅读思考：
(1) 人与动物有什么区别? (2) 人是否天生就有文化? 文化是怎么来的? (3) 在现实生活中，我们经常听到“ 某人有 文化，某人无文化”，“某人文化程度高， 某人文化程度低”。
你能说说这里的“文化”与《文化生活》 中的“ 文化”的关系吗？ (4) 文化与文明有何不同？
n1 n
6．倒序相加法求和 7.其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
1．用公式求和
例1．求和：
①
Sn
(x
1)2 x
(x2
1 )2 x2
(xn
1 )2 xn
② 求 数 列 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n （ n+1)(n+2
）
Sn
前Snn项和1 11 111 111
③
数列的求和
一、基本方法 1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
Snn(a1 2源自an)na1n(n 1) 2
d
Sn
na1a(11(q
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
0且q
1)
公比含字母是一定要讨论
（2）利用公式法求和
n k n(n 1)
n
k 2 n(n 1)(2n 1) k1n
(7)
文化活动相对于政治活动和经济活动
2、文化是什么
山本身不能称之为文化。 将山开辟成旅游区或拍摄成艺术作品 则属于文化。 两者的区别在于前者是纯粹自然的东 西，而后者是经过人的实践活动，经过 人的劳动，渗透了人的精神活动，成为 人的精神活动的产品，因而成为文化。
提结问论：：张(家2)界文的化山是是人文类化社吗？会将特这有些的山现开象辟，成旅 游是区人或们拍社摄会成实艺术践作的品产能物称。得上文化吗？两者有 什么区别？ (相对于自然而言)
第一课 文化与社会
画卷
“巨幅画轴” “巨幅画轴”
水墨画
海上丝绸之路
孔子三千弟子
活字印刷术
礼 乐
礼乐
太极
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
回忆：
1、第29届奥林匹克运文动会化开形幕式式多中，有 那些文艺节目？请写在文黑种化板多现上样。象无
k3
2
[
n(n
1)
]2
k 1
6
k 1
2
2．错位相减法求和：
如：an 等差,bn 等比,求a1b1 a2b2 anbn的和.
3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其 转化为等差或等比数列，再求和。
4．合并求和：
如：1002 992 982 972 22 12 求的和
5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项 之差、正负相消剩下首尾若干项。
C
2、下列属于文化现象的有： (1)工人、农民从事生产活动 (2)参加学校运动会 (3)参加演讲会、辩论会 (4)购买蔬菜水果 (5)参加文学社、书画协会、读书 俱乐部(6)合唱团、舞蹈队、时装 表演队
(7)浏览网站，领略世界各地风土 人情
(8)某国议员竞选
答案 (2)、 (3)、 (5)、 (6)、
an 2[n (1)n ],求Sn
解(1)： an 2n 2(1)n
2m
若 n 2m,则Sn S2m 2(1 2 3 2m) 2 (1)k k 1
Sn 2(1 2 3 2m) (2m 1)2m n(n 1)
若 n 2m 1,则Sn S2m1 S2m a2m (2m 1)2m 2[2m (1)2m]
n个
(4) 1+(1+a)+(1+a+a2)+…+(1+a+a2+…+an-1)
对于不同的类别，可采用分组求和的方法
2．错位相减法求和 例2．已知数列
1,3a,5a 2 ,, (2n 1)a n1 (a 0)
求前n项和。
练习:求
Sn
1 a
2 a2
3 a3
n an
(a
0)
3.裂项相消法求和 例3
(1)求和
Sn
22 42
(2n)2
13 35
(2n 1)(2n 1)
(2)求和 Sn
1 2 1
1 3
..... 2
1 n 1
n
4.倒序相加法求和
例4 求证：
C
0 n
3C
1 n
5Cn2
(2n
1)C
n n
(n
1)2n
5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。
例5.(1)已知数列 an,
2、请你对这些舞台艺术文节时目化进不现行有象归无类. 3、这场节目分为哪两个篇章处？不在 4、有人认为，文化就是音乐文、化戏特剧色等艺术。
你是否赞同这种看法。
5、请你对这场节目进行总体评价。
一、体味文化
1、文化万花筒
⑴文化形式:多种多样 ⑵文化现象:无时不有、无处不在 ⑶文化特色:不同区域有不同的文化特色.
结论：文化是相对于政治、经济而言； 文化现象实质上是精神现象。
练习： 1、我们要讲的“文化”，是相对于政治、 经济而言的，下列属于文化的是（ ） ①世界观、人生观、价值观 ②自然科 学 ③技术 ④语言、文字 ⑤选举人 大代表 ⑥企业的信誉和形象 A、①②④⑤ B、①②③④⑤
C、①②③④ D、①②③④⑤⑥
常见拆项： 1 1 1
n(n 1) n n 1
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
n n! (n 1)!n!
n 1 1 (n 1)! n! (n 1)!
1 n1 n
(2m 1)2m 2(2m 1)
4m2 2m 2 (n 1)2 (n 1) 2 n2 n 2
n(n 1)
(n为正偶数)
Sn
n2
n2
(n为正奇数)
三、小结
1．掌握各种求和基本方法； 2．利用等比数列求和公式时注意 分 q 1或q 1讨论。
《文化生活》
教材的整体结构： 第一单元 是什么：把握文化的一般意义 第二单元 为什么：文化自身发展的一般过程 第三单元 怎么看：把握文化的核心价值 第四单元 怎么办：文化建设的基本要求
2、文化是什么 重点
（1）文化的内涵： 文化是相对于经济、政治而言的人类全部
精神活动及其产品。其中，既包括世界观、 人生观、价值观等具有意识形态性质的部分， 又包括自然科学和技术、语言和文字等非意 识形态部分。其实质是精神现象。
2、文化是什么
简要比较： 文化现象与政治现象、经济
现象的不同点。
文化现象——精神家园的耕耘 政治现象——根本利益的保障 经济现象——物质财富的创造
思考：文化是什么？
阅读思考：
(1) 人与动物有什么区别? (2) 人是否天生就有文化? 文化是怎么来的? (3) 在现实生活中，我们经常听到“ 某人有 文化，某人无文化”，“某人文化程度高， 某人文化程度低”。
你能说说这里的“文化”与《文化生活》 中的“ 文化”的关系吗？ (4) 文化与文明有何不同？
n1 n
6．倒序相加法求和 7.其它求和法：如：归纳猜想法，奇偶法等
1．用公式求和
例1．求和：
①
Sn
(x
1)2 x
(x2
1 )2 x2
(xn
1 )2 xn
② 求 数 列 1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n （ n+1)(n+2
）
Sn
前Snn项和1 11 111 111
③