工程流体力学 第五章 量纲分析与相似原理

单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等时， • 单值条件中的各物理量称为定性量。由定性量组成
的相似准则称为定性准则或定型准则；包含被决定量的
相似准则称为非定性准则或非定型准则。雷诺准则，傅 鲁德准则由定性量组成（几何条件、物理条件、边界条 件、初始条件等单值条件中的量）。欧拉准则中有被决 定量p，故它是非定性准则。
F f i ( d , d ,...... d )
• 即任一非定性准则可表示为定性准则的函数。 • 对于粘性不可压缩流体的定常流动，定性准则有Re， Fr，非定性准则为Eu，故：Eu=f(Re，Fr)
i 1 2 m
•
相似三定理解决模型试验中必须解决的一系列问题， 可归纳为：
（1）设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由 定性量所组成的定性准则在数值上要相等。（如何设计 模型和选择介质） （2）试验中应测定各相似准则中所包含的一切物理量， 并把它们整理成相似准则。（测定哪些物理量） （3）把试验结果整理成相似准则之间的关系式，便可推
• 5.4 模型试验
•
• • • •
在进行流体动力学的模型试验时，为保证模型与 原型中的现象相似，应按相似原理去设计模型、安排试 验，必须做到： (1)模型与原型流体通道的几何相似。 (2)模型与原型流体的密度和粘度具有固定的比值。 (3)模型与原型进口截面的速度分布相似。 (4)模型与原型进口处按平均流速计算的Re数, Fr数相等。
π2
a+b-3d+1=0 a=1
d-1=0
-a+1=0
d=1
b=1
π3
a+b-1-3d=0 a= -2 1+d=0 d=-1
π1→Fr ; π2→Re ; π 3 → Eu -a-2=0
b=0
• 若再令a=3，b=3，c=3
解得：d=2，e=-5，f=-2
V 3l 3 p3 3 Vl 5 p 3 V 2 2 4 ( ) ( ) ( ) Re 5 Eu 3 Fr 2 gl 5 g2 V 2
CvCt 1 Cl
• •
∴各相似倍数不是任意选取的，而且受上式的约束。 上述约束关系式还可表示成另一种形式：
Vt V t H0 不变量 l l
Vt • 容易看出， l 似准则。
•
V t 和 都是无因次综合量，称为相 l
结论：彼此相似的现象必定具有数值相同的相似 准则。这就是相似第一定理。
• • •
dl V dt
dl V 与其相似的流动中流体质点的方程为： dt 由于两现象相似, 有： V C vV , l C l l , t C t t 代入上式，整理后得： C C
v t
Cl
dl V dt
•
显然，要使描述第二个现象的方程与描述第一个现 象的方程一致，必须有：
•
当Re>104 流动都呈紊流状态，流体的流速分布又 相互相似，与Re数无关。将此称为第二自模化区。
当粘性流体在管道中流动时，不管入口处速度分布 如何，在离入口段一段距离后，速度分布皆趋一致。这 种性质称为稳定性。所以只要求在模型入口前有一定管 段保证入口流体通道几何相似就可以了，不必考虑入口 速度处速度分布相似。
广应用到原型中去。（如何整理试验结果）
• 5.3 相似准则的导出
• 1、因次分析法 • 物理量单位的种类叫作因次或量纲。在国际单位
制中以长度、质量及时间为基本单位，它们的因次分别 用[L]、[M]与[T]表示，称为基本因次。其它一些物理 量则可以通过定义方程从基本量推导出来，因此它们的 因次也可以表示为基本因次的组合。
• 即[L]：a+b-c-3d-e+f= 0
•
•
[M]：c+d+e = 0
[T]：-a-2c-e -2f = 0
• 有关物理量 i：V，l，p, ρ，μ，g 六个，
• 基本因次 j：[L]，[M]，[T] 三个 • 独立准则数：k=i - j= 6 - 3 = 3 个 • 三个基本因次，三个基本方程，确定三个未知量
• 3、相似第三定理 • 这种定理表述为：描述某现象的各种量之间的关
• • • • •
系可表示成相似准则π1π2……πn之间的函数关系： F（π1，π2，……，πn）=0。 这种关系称为准则关系或准则方程式，也称π定理。 由定性量所组成的定性准则用 表示。 包含被决定量的非定性性准则用 d1 , d 2 ,...... d m 表示。 Fm 1 ,...... Fn 准则方程式表示为：
• • • • • • • • • • • •
a b V l
c d e f π1 p ρ μ g a+b-3d-1= 0 a=2
d=0 d=0 b=-1 -a+2= 0
L 1 1 -1 -3 -1 1 M 0 0 1 1 1 0 T -1 0 -2 0 -1 -2 π1 2 - 1 0 0 0 - 1 π2 1 1 0 1 -1 0 π3 - 2 0 1 - 1 0 0
• ∴π4不是独立的无因次综合量。现象有关物理量 i 个， 基本因次 j 个，独立准则数 k = i - j 个。此称为因次分 析π定理。
• 2、几个相似准则的物理意义 • (1) 几种力的因次表示：
• 惯性力： du m V 2l 2 • dt • 重力：
3 lg gm
du 粘滞力： A Vl dy
• 近似方法：
• （1）比较定性准则的影响大小，选择对流动过程起主 导作用的定性准则，忽略对过程影响较小的定性准则。 • 如流体的强迫流动，对流动起主要作用的是粘滞力，不 是重力，忽略Fr准则，仅考虑Re准则。
• （2）自模化 • 对管流，当Re数<2300，流动处于层流范围，此时 流体的流速分布彼此相似，与Re数不再有关。常将此 称为第一自模化区。
工程流体力学
南京工业大学机械与动力工程学院
2005. 2
第五章 量纲分析与相似原理
§5.1相似概念
§5.2相似定理 §5.3相似准则的导出
§5.4模型试验
• 5.1 相似概念
• 1、几何相似（空间相似） • 两三角形相似，具有相似性质：对应边的
比例相等，即： L l h Cc L l h
过程的各物理量在空间各对应点和各对应瞬时各自互成
一定的比例关系。具有一定的相似性质，符合一定的相 似条件。
• 5.2 相似定理
• 1、相似性质 相似第一定理 • 相似现象都属同一种类，符合同一微分方程，现
象的几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等这些 单值条件必相似。即如对应量本身互成比例，而且各量 的比值，即相似倍数不能任意，而且彼此互相约束。 • 例：流体质点直线运动： •
• 例如对于粘性不可压缩流体的定常流动，有：
• • 雷诺准则： Vl Re 来自 不变量 •• •
gl 傅鲁德准则： Fr 不变量 2 V
欧拉准则：
p Eu 不变量 2 V
•
• 2、相似条件 相似第二定理
•
相似条件：凡同一类现象，当单值条件相似且由 则这些现象必定相似。这称为相似第二定理。
总压力：
pA pl
2
• 相似准则可表示为：
Vl V 2 l 2 惯 性 力 Re Vl 粘滞力
V2 V 2 l 2 惯 性 力 Fr 3 gl 重力 gl p pl 总压力 Eu 2 2 2 惯性力 V V l
2
•
可见Re，Fr和Eu准则都是有关力的比值。两种流 动的某准则数相等，表示在流动的对应点上存在力相似。 • 由此说明为什么雷诺数是判别层流和紊流状态的准则： • Re小，粘滞力起主导作用，流体微团受粘性作 用，层流状态。 • Re大，惯性力起主导作用，粘性不足以约束流 体微团的混乱运动，紊流状态。
• 3．运动相似 • 如果两种流动各对应点上对应时刻的流速一致，大
小互成比例，则这两种流动存在运动相似。
• 例如：两个不同直径管道中层流流动的速度分布， • 存在：
V1 V2 V3 CV V1 V2 V3
• 式中Cv为速度常数。
• ∴对于伴随有许多物理变化的过程，相似是指表述此种
• 式中Cc称为几何常数。
•
反过来，“对应边的比例相等”
• 也是两三角形相似的条件。
• 2、时间相似 • 若两种流动状态的压力（或其它物理量）变化的 时间间隔满足下列关系：t t t3 t4 t5 1 2 Ct t1 t2 t3 t4 t5
• 式中Ct称为时间 • 常数.则表明这两 • 种非定常流动存 • 在时间相似。
• 对不同的无因次综合量取不同的a，b，c，d，e，f值， 将各物理量的因次代入上式：
f ] 2 TL [ e ] 1 T1LM [ d ] 3LM [ c ] 2 T1LM [ b ] L [ a ] 1 TL [ ] [
•
由于π的因次为零，即对于基本因次[L]、[M]、[T] 各自的指数之和均为零。
• 如：[ρ]=[ML-3]；[V]=[LT-1]；[g]=[LT-2] • [F]=[MLT-2]；[p]=[ML-1T-2]；[μ]=[ML-1T-1] • 对不可压缩粘性流体的定常流动，其包含的物理 量有V，L，p，ρ，μ，g。假定由这些物理量组成的无 因次综合量可表示为： V a l b p c d e g f
• （3）稳定性 •
•
由于有以上近似方法，使流体动力的模化试验较易 完成。