第六章-高阶谱分析

h(n)h(n m)h(n m2 )e j ( m11 m2 2 )
h(n m1 )e j1 ( n m1 ) h(n m2 )e j 2 ( n m2 ) h(n)e j (1 w2 ) n
m1 m2 n
H (1 ) H ( 2 ) H (1 2 ) H (1 ) H ( 2 ) H *(1 2 )
C • 这里： ， k 为 x 的 k 阶累量 j • 例：考察具有特殊地位的高阶随机变量x(m, 2 )的累量 解： 的概率密度函数 f (x)为 x
Ck
k
( k ) (0)

1 dk [ln (v)] v 0 j k dv k
f ( x)
1 2

e
1 ( xm)2 2 2
(1 , 1 ) (1 ) ( 2 ) (1 2 )
• 解：x1 (t ) 的频谱 X ( ) 是两个 的函数
1
1 X 1 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
由双谱定义式（确定序列）：
B x1 (1 , 2 ) X 1 (1 ) X 1 ( 2 ) X 1* (1 2 )
1
W0
W1 W2 0
• x2 (t ) 的频谱 X
( ) 为 1 X 2 ( ) A ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2， 0， 0
W2
W0
W0
W0
0
W0
W1
* Bx2 (1 , 2 ) X 2 (1 ) X 2 ( 2 ) X 2 (1 2 )
Bx ( w1 , w2 ) Bx ( w2 , w1 ) Bx ( w1 w2 , w2 ) Bx ( w1 w2 , w1 ) Bx ( w2 , w1 w2 ) Bx ( w1 , w1 w2 ) Bx ( w1 2 , w2 2 ) Bx ( w1 , w2 )
• ⒋ 双谱中的相位信息 由 Bh (1 , 2 ) H (1 ) H ( 2 ) H * (1 2 ) ，并设：
Bh (1 , 2 ) | Bh (1 , 2 ) | e j (1 , 2 ) H ( ) | H ( ) | e j ( )
则有： | Bh (1 , 2 ) || H (1 ) || H ( 2 ) | H | (1 2 ) | （6.7） 例：求一正弦波 x1 (t ) cos 0 t 和含直流分量的正弦波 x 2 (t ) A cos 0 t 的双谱。
1 2
-π
•
双谱的对称性和周期性说明，只要知道如图中的阴影 部分内的，就可知道整个平面内各点的值。 • ⒊ 确定性序列的双谱 设为有限长确定性序列，其双谱为： Bh (1 , 2 ) H (1 ), H ( 2 ) H * (1 2 ) （6.6） 其中： ( ) h(n)e H
• 6.1 三阶相关和双谱的定义及性质
• 一、定义 • 设为零均值，三阶实平稳随机序列，其三阶相关函数 为：
Rxx (m1 , m2 ) E[ x(n) x(n m1 ) x(n m2 )]
（2nd-order R xx (m) E[ x(n) x(n m)]
（6.3）
• 它的二维付里叶变换就是双谱（Bi-spectrum）。



1
e
e jvx dx)
结果表明，高斯随机变量的二阶以上的累量为零。这 是因为二阶以上的矩不提供新的信息。
• 二、累量与矩的关系 • 先将按泰勒级数展开
e
jvx
jvx k 1 jvx k!
•
代入 (v) 写成：
jvx k (v) E{e } f ( x)[1 jvx ]dx k! ( jv ) 2 ( jv ) k 2 1 jvE[ x] E(x ) E[ x k ] 2! k! ( jv ) 2 ( jv ) k 1 jvm1 m2 mk 2! k!
x1 (t ) 的双谱，只在 1 0及2 0 的公共交点上有非零
值（即三个因子全不为0时， x (1 , 2 ) 0 ） B 有三组线： 1 0 ，1 2 0 ， 2 0
0
W2
W1
0
三组线没有共同交 点 B ∴ x (1 , 2 ) 0
Sx
3
C3 E[ x 3 ]( m1 0)
为偏态系数，或偏态（歪斜度）。
• 显然，正态随机变量
g
的偏态
Sg 0
（
）
C3 0
•
设 m1 0 ，对四阶累量的分析（正态随机变量）
2 C 4 m4 3m2
• 而正态随机变量的四阶矩为：3m22 3 4 • 说明：累量是任意随机变量的矩与正态随机变量的同阶矩 的差。 用均方差的四次方 4 除四阶累量，记为 x
S yy ( ) S xx ( ) v2 | H (e j ) | 2 v2
2 Ruy (m)E[u (n) y (n)] u h(m)
（6.2）
•
从上面的式子，可以看出，功率谱（及相应的自相关 函数）是不含信号的相位信息的→被称为“盲相”的。 • 而在实际中，往往非高斯，不是最小相位，甚至是非线性 的，也往往不是白色的。 • 这就需要用高阶谱来分析信号。
(v) E{exp( jvx)} f ( x)e dx Taylor Series（泰勒）展开：
jvx


（6.8）
( v ) ( 0)
k 1
( k ) (0) k ( k ) (0) k v v k! k! k 1

k 1

( k ) ( 0) j k ( jv ) k k ( jv ) C k k! k! k 1
实质 坐标变换
（6.5）
• 这可以通过定义式，直接证明。
m2 m1
0
(m2 m1 )
0
m1
m2 m1
m2
m2
0
m1 m2
m1 0 m2 0
3 2 10 1 2 3
m1 m2
m1
1/8平面内值！
• 意义：只要知道图中由，两直线在第一象限中所限定的无 限三角形内的，就可以得知整个平面内所有的的值。 • ⒉ 双谱的对称性，周期性和共轭性：
第六章 高阶谱分析 6.1三阶相关和双谱的定义及其性质 6.2累量和多谱的定义及其性质 6.3累量和多谱估计 6.4基于高阶谱的相位谱估计 6.5基于高阶谱的模型参数估计 6.6利用高阶谱确定模型的阶 6.7多谱的应用
第六章 高阶谱分析
• 6.0 引言 • 我们先回顾一下前面的所学的知识。 维纳Filter，自适应信号处理，现代谱估计等，都是用信号 模型分析法，代替了信号波形分析法。在这些理论中，认为： 一个平稳随机信号是由图6-1所示信号模型产生：
A3 A 4 0
(1 , 2 ) (0,0) (1 , 2 ) ( 0 ,0 ),( 0, 0 ),(- 0 , 0 ),( 0 ,- 0 ) otherwise
•
从上例可见，双谱可以显示一个系统的对称性，即输 出中有无直流分量。实际上，一双谱还可以显示系统是否 显现非线性，输出将含有高次谐波，如 cos 2 0 t 等。 若X ( ) 除了含有 ( 0 ) 外还有 ( 2 0 ) ，则每组直线将含四根， 他们有六个公共交点。
2
（6.10b）
( • 比较这两个式子： jv) 项次：
x
C1 m1 E[ x]
C 2 m2 m12 E[( x m1 ) 2 ]
C3 m3 3m1 m2 2m13 E[( x m1 ) 3 ]
2 C 4 m4 3m2 4m1m3 12 m12 m2 6m14 E[( x m1 ) 4 ]
2
x(t ) cos 2 0 t
0
2 0
1
利用这个特点，即可监测机械系统是否发生损坏而产 生高次谐波振动。
• 6.2 累量和多谱的定义及其性质 • 前面讨论了三阶相关及其付里叶变换——双谱。它不是将K 阶相关or K阶矩定义为K阶谱，而是将与高阶矩相关的参数—— 累量作为高阶谱的付氏变换对。只是特别的，三阶累量正好与三 阶相关等同。 • 6.2.1 随机变量的累量（probability density function） 设随机变量x的概率密度函数为 f (x) ，则 x 的特征函数为：
* Bx ( w1 , w2 ) Bx ( w1 , w2 )
• 当为实序列时，由定义和三阶相关函数的对称性很易证明！ • 说明意义：（共轭性：Conjugate Symmetric Properties）
2
1 2
1 0
2 0
π
0
1 16 平面内的值
π
1
1 2
jvx
（6.10a）
• 又由累量定义式，(v) 还可写成：
Ck (v) exp{ (v)} exp ( jv ) x k 1 k! 1 1 Ck Ck k x 1 ( jv ) ( jv ) ( jv ) k n k 1 k! k 1 k! 2! k 1
•
• • • • •
可见：二、三阶累量分别就是二、三阶中心矩。当均 值为零时，就是二、三阶相关。但四阶及其更高阶累量相 应的中心矩。 累量的物理意义： 一阶累量是随机变量的数学期望，大致地描述概率分 布的中心。 二阶累量是方差，描述了概率分布的离散程度。 三阶累量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性。 定义： C3 （无量纲）
V(n) u(n) H(z) [h(n)]
x(n)
∑
y(n)
图6-1 随机信号的模型
• 其中：①是均值为零，方差为的高斯（正态）白噪声。 ②是线性时不变系统，具有最小相位。则信号的谱 与模型参数有如下关系：
S xx ( )
2 u | H (e j ) |2 （6.1）
③模型中，还假设：加性测量噪声是高斯白噪声， 其均值为0，方差为1，且与信号统计无关，即不影响信号 的谱形状，即：
其特征函数 (v) ：
( (v )
(v ) e
1 jmv 2 v 2 2 1 ( xm)2 2 2
2 2 1 2 2 2 ( jv ) (v ) ln (v ) jmv v m( jv ) 2 2! C1 m, C 2 2 , C k 0( k 3)
j n n
• 可以这样来证明： h(n) 的三阶相关函数为
Rh (m1 , m2 ) h(n)h(n m1 )h(n m2 )
n
∴其双谱为：
Bh (1 , 2 )
m1

m2
k h (m1 , m2 )e j ( m11 m2 2 )

m1

m2 n
Bx (1 , 2 )
m1

m2
Rxx (m1 , m2 )e (1m1 2m2 )
{xi } bi-spectrum
| 1 |, | 2 |
（6.4）
• 二、性质 • ⒈ 三阶相关函数的对称性（symmetry Properties）
R x (m1 , m2 ) R x (m2 , m1 ) R x (m1 , m2 m1 ) R x (m2 m1 ,m1 ) R x (m1 m2 ,m2 ) R x (m2 , m1 m2 )