第七章 附有参数的条件平差
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∧ ∧ ∧ ∧
∧
=1
u =2 c = n+u−t = r+u = 2+2= 4
β1 + β 2 + β 3 + β
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 6
2 1
6 X1
X2
= 180
3
o
4
5
β 4 + β 5 + X 1 = 180 o β 2 + β 6 + X 1 + X 2 = 180 o
第六章 附有参数的条件平差
第一节 平差原理 第二节 条件方程 第三节 精度评定
一、测量平差方法回 顾 （1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c。
c × n n ×1
A V −W = 0
c ×1
在最小二乘原则下有：
AQA K − W = 0
T
K = ( AQA ) W
sin( β 3 + β 4 ) sin( β 2 ) sin( X 1 ) sin( β 1 ) sin( β 6 + X 1 ) sin( β 4 )
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。
=1Hale Waihona Puke Baidu
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条 件进行线性化，可形成基础方程。
BT K = 0
即为法方程式
将法方程写成矩阵的形式：
⎡ AQA ⎢ T ⎣ B
T
B ⎤ ⎡ K ⎤ ⎡W ⎤ ⎥⎢ ∧ ⎥ − ⎢ ⎥ = 0 0 ⎦⎣ x ⎦ ⎣ 0 ⎦
T
P =Q
−1
⎡ K ⎤ ⎡ AQA ∧ ⎢x⎥=⎢ T ⎣ ⎦ ⎣ B
也可分别求解：
T −1 ∧
B ⎤ ⎡W ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣ 0 ⎦
∧ −1 aa ∧
−1
K = ( AQA ) (W − B x) = N (W − B x)
−1 −1 − −1 x = ( B T N aa B ) −1 B T N aaW = N bb1 B T N aaW
V = QA N (W − B x)
T
−1 aa
∧
X = X0 +x
∧
∧
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
V PV σ0 = ± r
∧
T
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
ϕ = φ ( L, X )
dϕ =
ϕϕ
∧
∧
∧
线性化：
∧
∂φ ∂L
∧
d L+
∧
∂φ ∂X
∧
d X ) = F T d L + FxT d X
∧
∧
∧
Q ∧ ∧ = F T Q∧ ∧ F + F T Q∧ ∧ Fx + FxT Q ∧ ∧ F + FxT Q ∧ ∧ FxT
T
−1
V = QA K
T
σ 02 =
L = L +V
∧
V T PV r
（2）间接平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n, 即n个误差方程： Λ
V = B x− l
n ×1 n × t t ×1
n ×1
在最小二乘原则下有：
( B PB ) x − B Pl = 0
16 15
C
7
P2 B
18 3 17 14 1 12
P1
13 10 5
8 4
9 6
D
2
11
A
如图：
1
2
6
条件平差：
n=6 t = 2× 4 − 4 = 4 c = r =6−4= 2
其中：
3
4
5
β1+ β 2 + β 3 + β
∧
∧
∧
∧
6
= 180
o
其它条件如何列？
设未知参数X1
2 1
6 X1
n=6
∂φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V PV = A T K BT K = 0 ∂φ ∂x V = P −1 A T K = QA T K
AQA K + B x − W = 0
T ∧
∧
= −2k T B = 0
∧ ⎧ ⎪ AV + B x − W = 0 ⎪ T 联立 ⎨ B K = 0 ⎪V = QAT K ⎪ ⎩
LL LX XL XX
四、附有参数的条件平差的计算步骤
1. 根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小 于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 与设定未知参数之和。 2. 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数K与x值。 4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与 V L= L+ ^ 参数平差值。
L
^
5. 精度评定。 6. 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差 值条件方程式，看其是否满足方程。
t = 2× 4 − 4 = 4 u =1 3 4 c = n + u − t = r + u = 2 +1 = 3
5
β1+ β 2 + β 3 + β
∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
6
= 180
o
o
β 4 + β 5 + X 1 = 180
∧ ∧ ∧
sin( β 3 + β 4 ) sin( β 2 ) sin( X 1 ) sin( β 1 ) sin( β 6 + X 1 ) sin( β 4 )
二、 基础方程及其解
基础方程：
c × n n ×1
A V + B x −W = 0
c × u u ×1 c ×1
Λ
V T PV = 最小
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
φ = V PV − 2 K ( A V + Bx − W ) = min
T T
K
T
= [k a
kb L kc ]
T
求其一阶偏导数，并令其为0：
c × n n ×1
ˆ A Δ + B x −W = 0
c × u u ×1 c ×1
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
设定未知参数的目的： （1）为了方便列立条件。 （2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。如：
T T
∧
x = ( B T PB ) −1 B T Pl
∧
σ
2 0
=
V T PV r
Q∧ ∧ = ( B T PB ) −1
xx
（3） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测 数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独 立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一 个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函 数模型，称为附有参数的条件平差法。
∧
=1
u =2 c = n+u−t = r+u = 2+2= 4
β1 + β 2 + β 3 + β
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 6
2 1
6 X1
X2
= 180
3
o
4
5
β 4 + β 5 + X 1 = 180 o β 2 + β 6 + X 1 + X 2 = 180 o
第六章 附有参数的条件平差
第一节 平差原理 第二节 条件方程 第三节 精度评定
一、测量平差方法回 顾 （1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c。
c × n n ×1
A V −W = 0
c ×1
在最小二乘原则下有：
AQA K − W = 0
T
K = ( AQA ) W
sin( β 3 + β 4 ) sin( β 2 ) sin( X 1 ) sin( β 1 ) sin( β 6 + X 1 ) sin( β 4 )
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。
=1Hale Waihona Puke Baidu
将观测值的估值写成观测值与改正数之和，对非线性条 件进行线性化，可形成基础方程。
BT K = 0
即为法方程式
将法方程写成矩阵的形式：
⎡ AQA ⎢ T ⎣ B
T
B ⎤ ⎡ K ⎤ ⎡W ⎤ ⎥⎢ ∧ ⎥ − ⎢ ⎥ = 0 0 ⎦⎣ x ⎦ ⎣ 0 ⎦
T
P =Q
−1
⎡ K ⎤ ⎡ AQA ∧ ⎢x⎥=⎢ T ⎣ ⎦ ⎣ B
也可分别求解：
T −1 ∧
B ⎤ ⎡W ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣ 0 ⎦
∧ −1 aa ∧
−1
K = ( AQA ) (W − B x) = N (W − B x)
−1 −1 − −1 x = ( B T N aa B ) −1 B T N aaW = N bb1 B T N aaW
V = QA N (W − B x)
T
−1 aa
∧
X = X0 +x
∧
∧
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差
V PV σ0 = ± r
∧
T
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数
ϕ = φ ( L, X )
dϕ =
ϕϕ
∧
∧
∧
线性化：
∧
∂φ ∂L
∧
d L+
∧
∂φ ∂X
∧
d X ) = F T d L + FxT d X
∧
∧
∧
Q ∧ ∧ = F T Q∧ ∧ F + F T Q∧ ∧ Fx + FxT Q ∧ ∧ F + FxT Q ∧ ∧ FxT
T
−1
V = QA K
T
σ 02 =
L = L +V
∧
V T PV r
（2）间接平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n, 即n个误差方程： Λ
V = B x− l
n ×1 n × t t ×1
n ×1
在最小二乘原则下有：
( B PB ) x − B Pl = 0
16 15
C
7
P2 B
18 3 17 14 1 12
P1
13 10 5
8 4
9 6
D
2
11
A
如图：
1
2
6
条件平差：
n=6 t = 2× 4 − 4 = 4 c = r =6−4= 2
其中：
3
4
5
β1+ β 2 + β 3 + β
∧
∧
∧
∧
6
= 180
o
其它条件如何列？
设未知参数X1
2 1
6 X1
n=6
∂φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V PV = A T K BT K = 0 ∂φ ∂x V = P −1 A T K = QA T K
AQA K + B x − W = 0
T ∧
∧
= −2k T B = 0
∧ ⎧ ⎪ AV + B x − W = 0 ⎪ T 联立 ⎨ B K = 0 ⎪V = QAT K ⎪ ⎩
LL LX XL XX
四、附有参数的条件平差的计算步骤
1. 根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小 于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 与设定未知参数之和。 2. 根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数K与x值。 4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与 V L= L+ ^ 参数平差值。
L
^
5. 精度评定。 6. 为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差 值条件方程式，看其是否满足方程。
t = 2× 4 − 4 = 4 u =1 3 4 c = n + u − t = r + u = 2 +1 = 3
5
β1+ β 2 + β 3 + β
∧ ∧ ∧
∧
∧
∧
∧
6
= 180
o
o
β 4 + β 5 + X 1 = 180
∧ ∧ ∧
sin( β 3 + β 4 ) sin( β 2 ) sin( X 1 ) sin( β 1 ) sin( β 6 + X 1 ) sin( β 4 )
二、 基础方程及其解
基础方程：
c × n n ×1
A V + B x −W = 0
c × u u ×1 c ×1
Λ
V T PV = 最小
按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
φ = V PV − 2 K ( A V + Bx − W ) = min
T T
K
T
= [k a
kb L kc ]
T
求其一阶偏导数，并令其为0：
c × n n ×1
ˆ A Δ + B x −W = 0
c × u u ×1 c ×1
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数 由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。
设定未知参数的目的： （1）为了方便列立条件。 （2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。如：
T T
∧
x = ( B T PB ) −1 B T Pl
∧
σ
2 0
=
V T PV r
Q∧ ∧ = ( B T PB ) −1
xx
（3） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测 数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独 立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一 个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函 数模型，称为附有参数的条件平差法。