医学统计学简单回归分析

例：以凝血酶浓度(单位/毫升)估计凝血时间(秒)的回归方程为
ˆ Y 21.78 6.98 X
简单线性回归 2013-8-15
（一）简单线性回归模型的一般形式
13
ˆ Y a bX
ˆ Y 的意义
给定X 时，Y 的估计值 给定X 时，Y 的平均值（总体均数的点估计） 举例
简单线性回归
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简单线性回归
2013-8-15
（一）简单线性回归模型的一般形式
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总体回归模型表示为：
Yi X i i
样本回归模型表示：
ˆ Y a bX
简单线性回归 2013-8-15
（一）简单线性回归模型的一般形式
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ˆ Y a bX
a 的意义
a 截距、常数项 (intercept, constant) X=0 时，Y 的估计值 a 的单位与Y 值相同 当X 可能取0时，a 才有实际意义。
2013-8-15
（二）线性回归分析的基本步骤
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1. 绘制散点图（观察是否有线性趋势、异常点） 2. 估计回归参数，列出回归方程 3. 对回归方程进行假设检验 4. 在散点图上绘制回归直线 5. 解释回归系数的统计学意义
6. 评价回归方程的拟合效果
简单线性回归
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教材例题
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对14名40~60岁健康妇女的体重(Kg)与基础代谢(KJ/d) 进行回归分析： 绘制散点图
48
作回归分析应有实际意义 进行回归分析时，应先绘制散点图 进行回归分析时，应避免超出自变量的取值范围，任 意外延 残差图是考察是否满足回归分析条件的简单有效的方
法
简单线性回归
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•直线回归与直线相关的区别与联系
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区别
相关、回归分析的作用不同
相关表示相互关系，没有依存关系；而回归有依存关系； r没有单位，b有单位； 对资料的要求不同： 相关要求双变量正态分布，回归分析条件（4个） 当X和Y都是随机的，可以进行相关和回归分析； 当Y是随机的(X是控制的)，理论上只能作回归而不能作相关分 析；
Y t ,n 2 S Y t ,n 2 SY . X
Y
简单线性回归


1 (X X ) 2 n (X X )
2
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总体回归直线的95％的置信带
3、个体Ｙ的预测值的容许区间估计
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给定X 时， Y 值的容许区间（ Y 值可能的变动范围）。
Y t ,n 2 SY Y t ,n 2 SY . X
5800 5300
基础代谢(KJ/day)
4800 4300 3800 3300 2800 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重 (kg)
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教材例题
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建立回归方程
ˆ Y 1106 .788 61.423 X
简单线性回归
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19 18 凝 17 血 16 时 15 间 ( 秒) 1 4 13 12 0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
凝血酶浓度( 单位/ 毫升)
（一）简单线性回归模型的一般形式
8
若描述凝血酶浓度和凝血时间在数量上的依存关系时 （回归分析），应变量为凝血酶浓度，自变量为凝血 酶时间。 Y 表示应变量，因变量，响应变量 (dependent variable, response variable) X 表示自变量，解释变量，预测因子 (independent variable, explanatory variable，predictor) 用数学上的二元一次方程形式表示简单线性回归
简单线性回归
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（一）简单线性回归模型的一般形式
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ˆ Y a bX
b 的意义
b 斜率(slope) b 的单位为 (Y 的单位 / X 的单位) b>0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大而增大； b<0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大而减小；
b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关系
（二）线性回归分析的基本步骤
14
1. 绘制散点图（观察是否有线性趋势、异常点） 2. 估计回归参数，列出回归方程 3. 对回归方程进行假设检验
4. 在散点图上绘制回归直线
5. 解释回归系数的统计学意义
6. 评价回归方程的拟合效果
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
15
绘制散点图（观察是否有线性趋势、异常点）
（三）线性回归分析的条件
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线性(linear)：因变量Y与自变量X呈线性关系 独立(independent)：各观察值间相互独立 正态性(normality)：给定X，Y 服从正态分布 等方差性(equal variance)：在自变量X的取值范围内， 不论X取何值，Y都具有相同的方差。
简单线性回归
(Y Y )2

SS回归 (Y Y )2 回归的贡献，回归平方和：
(sum of squares due to regression)
简单线性回归
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Y 的自由度分解
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总的自由度：n-1 回归自由度：1 剩余自由度：n-2
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
凝血酶浓度
a. Depen dent Variable: 凝 血 时 间
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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在散点图上绘制回归直线 解释回归系数的统计学意义
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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评价回归方程的拟合效果
剩余标准差： 剩余标准差反映的是扣除X对Y的线性影响后Y的变异 剩余标准差越小，回归方差的拟合效果越好
简单线性回归
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一、线性回归
5
简单线性回归模型的一般形式
线性回归分析的基本步骤 线性回归分析的条件
简单线性回归
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（一）简单线性回归模型的一般形式
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例： 随机抽取15名健康成年人,测定其血液的凝血酶浓度 (单位/毫升)及凝固时间(秒)，数据如下表所示：
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在回归分析中，将ｂ称为回归系数（regression coefficient）
简单线性回归
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（一）简单线性回归模型的一般形式
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ˆ Y a bX
b 的意义 b 表示X 每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位
例：1～7岁儿童以年龄(岁)估计体重(Kg)的回归方程为
ˆ Y 7 2X
应变量Ｙ的总变异的分解

P
(X,Y)
Y
（Y Y ）


Y
（Y Y）
（ Y） Y
Y
Y
X
Y的总变异（离均差平方和）分解
22
总变异：
SS总 (Y Y ) 2

(sum of squares about the mean of Y)
SS剩余 剩余（残差）的变异: (sum of squares about regression)
SY X MS剩余

ˆ Y Y

2
n2
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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评价回归方程的拟合效果 决定系数（确定系数）：r2
r
2
SS回归 SS总
决定系数反映的是回归引起的变异占Y总变异的 比重 决定系数越大(越接近1)，回归的拟合效果越好
简单线性回归
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方差分析
ANOVAb
Model 1 Regression Residual Total Sum of Squares 19.684 3.249 22.933 df 1 13 14 Mean Square 19.684 .250 F 78.757 Sig. .000a
a. P re dic tors: (Consta nt), 凝血酶浓度 b. Dependent Variable: 凝血时间
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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方差分析
将应变量Ｙ的总变异划分成两部分，一部分是由线性回归所致 的变异，另一部分是由残差所致的变异 总的离均差平方和相应划分为两部分 总的自由度相应划分为两部分
SS总 SS回归 SS剩余
总 回归 剩余
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均数界值×标准差
简单线性回归
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1、总体回归系数 的可信区间估计
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根据 t 分布原理估计： 总体回归系数
1 置信区间
b t ,n 2 sb
简单线性回归
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2、
Y 的置信区间估计 ˆ
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样本 Y的均数 给定X时Y的均数
Y

总体
Y


Y
(Y的条件均数) 根据 t 分布原理根据：
教材例题
假设检验（方差分析）
教材例题
假设检验（t 检验）
教材例题
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绘制直线
6000
基础代谢(KJ/d)
5000
4000 体重(Kg) 3000 35 40 45 50 55 60 65 70 75
简单线性回归
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教材例题
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评价回归方程的拟合效果
简单线性回归
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简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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回归系数的ｔ检验
b t Sb
n2
Coefficientsa
Standa rdized Coeffic ients Beta t 27.860 -.926 -8.874 Sig. .000 .000
Unstandardized Coefficients Model 1 (Consta nt) B 21.774 -6.980 Std. Error .782 .787
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二、线性回归的应用
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回归分析中的区间估计 总体回归系数的置信区间估计
给定X＝Xp时，Y 的总体均数的置信区间估计
给定X＝Xp时，个体Y值的容许区间估计
简单线性回归
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二、线性回归的应用
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复习
总体均数的置信区间： 均数界值×标准误 个体的容许区间(参考值范围):
简单线性回归
2013-8-15
•直线回归与直线相关的区别与联系
第十二章 简单线性回归
Simple linear regression analysis
流行病学与卫生统计学教研室 曹 明 芹
Regression 释义
第十二章 简单线性回归
3
线性回归
线性回归的应用 残差分析 回归分析应注意的问题
非线性回归
简单线性回归
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一、线性回归
4
线性相关：分析两个变量的相关关系的方向及密切程 度的统计方法 欲分析两个变量在数量上的依存关系或者由一个易测 变量推测另一个难测变量，采用回归分析。 简单线性回归：涉及一个应变量和一个自变量 多重线性回归：涉及一个应变量和多个自变量 例：体重与体表面积、胰岛素水平与血糖水平 用身高、体重、肺活量估计心室输出量
( X ,Y )
b
l xy
l xx
a Y bX
可使用计算器计算或软件计算
ˆ Y a bX
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（二）线性回归分析的基本步骤
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对回归方程进行假设检验 方差分析 回归系数的ｔ检验
ｂ≠0，推断是否 =0 ，若 =0，则回归关系不存在。
H0： ＝0，无直线回归关系； H1：≠0，有直线回归关系；


1 ( X X )2 1 n ( X X )2
简单线性回归
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Ｙ个体值95％预测带
三、残差分析
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ˆ i Yi Yi
残差分析作用（直观图示） 评价资料是否符合回归分析的条件 识别异常点 了解资料和回归模型之间的关系
简单线性回归
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四、回归分析应注意的问题
ˆ i Yi Yi
ˆ 即实测值Y与假定回归线上的估计值 Y 的纵向距离
最小二乘法(least sum of squares)：回归的残差平方和最小， 即各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
简单线性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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估计回归参数，列出回归方程
最小二乘法原理估计的回归直线必过点 公式为
19 18 凝 17 血 16 时 15 间 ( 秒) 1 4 13 12 0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
凝血酶浓度( 单位/ 毫升)
简单பைடு நூலகம்性回归
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（二）线性回归分析的基本步骤
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估计回归参数，列出回归方程
求解a、b，实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据 点分布趋势的直线。 最小二乘法原理估计 残差(residual)或剩余