二次函数与角度问题

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（2009益阳）如图11，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；

(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.

(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°，

∴∠EAF ＝90°

又∵AD ⊥BC

∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90°

又∵AE ＝AD ，AF ＝AD ∴AE ＝AF

∴四边形AEGF 是正方形

(2)解：设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x ∵BD ＝2，DC ＝3 ∴BE ＝2 ，CF ＝3 ∴BG ＝x －2，CG ＝x －3

在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2 ∴( x －2)2＋(x －3)2＝52 化简得，x 2－5x －6＝0

解得x 1＝6，x 2＝－1（舍） 所以AD ＝x ＝6

A

图11

（2010南充）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝1

2BC ．

（1）求∠BAC 的度数．

（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形． （3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．

（1）解：连结OB 和OC ． ∵ OE ⊥BC ，∴ BE ＝CE ． ∵ OE ＝

1

2

BC ，∴ ∠BOC ＝90°，∴ ∠BAC ＝45°． （2）证明：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°． 由折叠可知，AG ＝AF ＝AD ，∠AGH ＝∠AFH ＝90°， ∠BAG ＝∠BAD ，∠CAF ＝∠CAD ， ∴ ∠BAG ＋∠CAF ＝∠BAD ＋∠CAD ＝∠BAC ＝45°． ∴ ∠GAF ＝∠BAG ＋∠CAF ＋∠BAC ＝90°． ∴ 四边形AFHG 是正方形．

（3）解：由（2）得，∠BHC ＝90°，GH ＝HF ＝AD ，GB ＝BD ＝6，CF ＝CD ＝4． 设AD 的长为x ，则 BH ＝GH －GB ＝x －6，CH ＝HF －CF ＝x －4． 在Rt △BCH 中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x －6）2＋（x －4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴ AD ＝12．

（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

考

点：

圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．

分析：如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．

解答：解：设线段BA的中点为E，

∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA

为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，

∵∠BCA为⊙P的圆周角，

∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，

∴OC=OF+CF=5+7=12，

∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．

故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．

（2008北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于

A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，

，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；

（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 解：（1） （2） 24．解：（1）

y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，

(03)C ∴，．

设直线BC 的解析式为3y kx =+．

(30)B ，在直线BC 上，

330k ∴+=．

x

解得1k =-．

∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ·························································

抛物线2y x bx c =++过点B C ，，

9303b c c ++=⎧∴⎨

=⎩

，

． 解得43b c =-⎧⎨

=⎩，

．

∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ······················································

（2）由243y x x =-+． 可得(21)(10)D A -，，，．

3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =．

可得OBC △是等腰直角三角形．

45OBC ∴∠=

，CB =

如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，

1

12

AF AB ∴=

=． 过点A 作AE BC ⊥于点E ．

90AEB ∴∠=．

可得BE AE ==

CE =

在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，

AEC AFP ∴△∽△．

AE CE

AF PF

∴

=

，1PF =． 解得2PF =．

点P 在抛物线的对称轴上，

∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ···························································

x

图1