障碍期权的定价问题

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第 3 期 李 霞 金治明 障碍期权的定价问题
— 203 —
k4 =
b
Ρ
-
(
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T )
T
k5 = -
aT +
b
Ρ
T
k6 = -
(a -
Ρ) T +
b
Ρ
T
证明: 因为 (ST - K ) + - (K - ST ) + = ST - K, 所以
g (x , y ) d x d y
=K
e-
( r+
a2 2
)
T
F (-
∞,
k
Ρ
,
0,
b
Ρ
,
a)
-
S0
e-
( r+
a2 2
)
T
F (-
∞,
k
Ρ
,
0,
b
Ρ
,
a
-
Ρ)
=- K
e-
rT -
2ab Ρ
N
k
(Ρ
-
(
2b Ρ
-
T
aT ) ) + S0
e-
rT + (Ρ-
2a 2
)
ΡT
2004 年 9 月
M A TH EM A T ICS
IN
ECONOM
IC S
Sep. 2004
障碍期权的定价问题①
李 霞 金治明
(国防科技大学理学院, 湖南, 长沙, 410073)
摘 要 障碍期权是与路径相关的期权, 因而它的定价计算是非常复杂的Λ 本文利用反射原理对障碍期权的 定价问题进行了简化, 从而最终给出障碍期权的定价公式Λ而文中多次运用 Girsanov 定理构造等价鞅测度是 解决问题的关键, 它为反射原理的使用创造了基本条件Λ 关键词 障碍期权, 等价鞅测度, 反射原理, G irsanov 定理
y) 为
0 x < y , or y > 0
h (x , y ) =
2 Π
x - 2y T3 2
e-
(x - 2y ) 2
2T
y
≤ 0, y
≤x
证明: i) 由参考文献[ 2 ]得Λ
i
i)
由于
m
W T
Q
=
-
M
T
WQ
,
而-
W
与W
同分布, 因此 h (x, y) = g (-
x, -
下降敲出看跌期权: (K - S T ) + ·I (ΣH > T ) , H < S 0 其中, ΣH = inf{t> 0, S t= H }. 下面的讨论建立在通常的B lack2Scho les 市场模型假设下, 设
S t = S 0exp { (Λ -
Ρ2 2
)
t
+
ΡW t},
令
Z
3 t
=
定理,W
Q t
=
W
3 t
-
at 是Q 标
准B row n ian
运动, 其中 dQ =
Z
3 T
3
dP3.
于是价格过程 S t=
S 0exp {ΡW
Ρt }.
定义 1 对连续过程 f
,
记M
f t
=
sup 0Φ uΦ tf
u,m
f t
=
inf0Φ uΦ tf u.
引理
1 ΣH
Φ
T
ΖM
S T
Ε
H
,
且
ΣH
Φ
T
Ζ
m
S T
Φ
H
.
证明: 显然Ζ
引理 2 i)W
Q T
与M
W T
Q
的联合分布密度 g
(x ,
y)为
① 收稿日期: 2004204201 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
2ab
Ρ ,N
b
(Ρ
-
(
2b Ρ
-
aT ) )-
K
T
e- rT
N (-
aT +
b
Ρ)
T
+ S0
e-
rT +
(Ρ-
2a 2
)
ΡT
+
2b (1-
a Ρ
)
N
(
b
Ρ
-
(
2b Ρ
-
(a -
T
Ρ) T ) )
+ S0
e(
Ρ2 2
-
aΡ-
r) T
N(
(a - Ρ) T -
b
Ρ)
T
∴P = S e up , in ca ll
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— 204 —
经 济 数 学 第 21 卷
其中,
k7 =
k
Ρ
P - P = e up , in ca ll
up , in put
-
( r+
a2 2
)
T
E Q (S 0
- e-
(a-
Ρ)W
Q T
K
Ε : e M -
aW
Q T
WQ T
∫∫ ∫∫ =
e-
( ( r+
a2 2
)
T
b a
-∞
+∞
b+
Ρ
+∞ +∞
b Ρ
) (S 0
x
- e- (a- Ρ) x
K
= S0
e-
0
-
rT +
(Ρ-
2a) ΡT 2
+
2b (1-
a Ρ
)
[N
(
b
Ρ
-
(
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T ) )-
N
(
k
Ρ
-
T
(
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T ) )]
T
- K
e- rT
N (-
aT +
b
Ρ) + S0
e(
Ρ2 2
-
aΡ-
r) T
N(
(a -
Ρ) T -
b
Ρ)
T
T
- K
e-
rT -
2ab Ρ
上升敲出看跌期权: (K - S T ) + ·I (ΣH > T ) , H > S 0
下降敲入看涨期权: (S T - K ) + ·I (ΣH Φ T ) , H < S 0
下降敲入看跌期权: (K - S T ) + ·I (ΣH Φ T ) , H < S 0
下降敲出看涨期权: (S T - K ) + ·I (ΣH > T ) , H < S 0
Q
Ε
b
Ρ
)
∫∫ =
e-
( r+
a2 2
)
T
( k
a
+∞
-∞
b Ρ
K
e- ax - S 0 ) e- (a- Ρ) x
g (x , y ) d x d y
=K
e-
( r+
a2 2
)
T
F (-
∞,
k
Ρ
,
b
Ρ
,
+
∞, a) -
S0
e-
( r+
a2 2
)
T
F (-
∞,
k
Ρ
,
b
Ρ
,
+
∞, a -
Ρ)
=K
C a,
e-
(2y - x ) 2
2T d y ) d x
= eΚ2T 2
-
2ΚG 1
[N (R 2 -
(2G1 - ΚT ) ) - N (R 1 -
(2G 1 - ΚT ) ) ]
T
T
于是,
- eΚ2T 2
-
2ΚG 2
[N (R 2 -
> F (R 1, R 2, G 1, G 2, Κ)
第 3 期 李 霞 金治明 障碍期权的定价问题
— 201 —
0 x > y , or y < 0
g (x , y ) =
2 Π
2y - x T3 2
Ε e-
(2y - x ) 2 2T
y
0, y Ε
x
i
i)W
Q T
与
m
W T
Q
的联合分布密度 h (x,
= P up , in ca ll
S0
C a- Ρ, 0
N (k6) -
K
C a, 0
N (k5) + S 0
C a,
b Ρ
其中,
[N (k 4) - N (k 2) ] - K
C a,
b Ρ
[N (k 3) - N (k 1) ]
k3 =
b
Ρ
-
(
2b Ρ
-
aT )
T
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+
aT
T
k8 =
k
Ρ
+
(a -
Ρ) T
T
证明:
P = e up , ou t put
-
( r+
a2 2
)
T
EQ (K
- e-
aW
Q T
S0
e-
(a-
Ρ)W
Q T
:wenku.baidu.com
W
Q T
<
k
Ρ
,M
WQ T
<
b
Ρ
)
∫∫ = e-
( r+
a2 2
)
T
k Ρ
b
Ρ (K
-∞ 0
e- ax - S 0 ) e- (a- Ρ) x
b Ρ
N
k
(Ρ
-
(
2b Ρ
-
T
aT ) ) - S0
C a,
b Ρ
N
k
Ρ
-
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T
T
=K
e-
rT -
2ab Ρ
N
k
(Ρ
-
(
2b Ρ
-
aT ) -
S0
T
e-
rT + (Ρ-
2a) 2
ΡT
+
2b (1-
a Ρ
)
N
k
(Ρ
-
(
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T ) )
T
定理 2 欧式上升敲入看涨期权的定价公式为,
EQ
(
(K
-
Z
3 T
S
3
T
)
+
I ΣH Φ T )
= EQ [ (K
e - S -
aW
Q T
-
( r+
a2 2
)
T
0
e ) -
(a-
Ρ)W
Q T
-
( r+
Ρ2 2
)
T
+
I ΣH Φ T ]
= e-
( r+
a2 2
)
T
EQ (K
- e-
aW
Q T
S0
: < e W -
(a-
Ρ)W
Q T
Q T
k
Ρ
,M
W T
exp {-
ΛΡ
r W
t-
1 2
(
ΛΡ
r) 2t},
由 G irsanov
定理, d P 3
=
Z
3 T
·d P
定义了 (8 ,
F T ) 上的
概率测度Ζ
而W
3 t
=
W
t+
(
ΛΡ
r)
t
是
P
3
标准 B
row
n ian
运动Ζ
再令
Z
3 t
3
=
exp {aW
3 t
-
1 2
a2
t},
其中
a
=
Ρ2
-2 2Ρ
r.
由 G irsanov
T
(2G 2 - ΚT ) ) ]
T
其中, C Κ, Gi=
e(
Κ2 2
-
r-
a2 2
)
T
-
, 2ΚGi i=
1, 2.
同样地,
ΚT ) ) ]
∫ ii) 由 G2 x
2 2y - x
Π
T3 2
e-
(2y - x ) 2
2T d y
=
1 2ΠT
有 (e-
x2 2T
-
) , e-
(2G2- x ) 2 2T
(2G 2 T
ΚT ) ) - N (R 1 -
(2G 2 T
ΚT ) ) ]
e-
( r+
a2 2
)
T
F (R 1, R 2, G 1, G 2, Κ) > C Κ, G1
[N (R 2 -
(2G 1 - ΚT ) ) - N (R 1 -
T
(2G 1 T
- C Κ, G2
[N (R 2 -
(2G 2 - ΚT ) ) - N (R 1 -
e-
x2
2T ) ,
记
∫ ∫( e R 2 - Κx
G2
R1
G1
2 Π
2y - x T3 2
e-
(2y - x ) 2
2T d y ) d x
>
F (R 1, R 2, G 1, 0, Κ).
b > ln (H S 0)
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障碍期权就是在初始时, 确定两个价格水平, 一为执行价格 K, 二为障碍价格 H Λ如果标的
资产价格达到一个事先确定的水平 (即障碍) 时, 敲出期权作废, 敲入期权生效Λ
首先, 给出障碍期权的未定权益:
上升敲入看涨期权: (S T - K ) + ·I (ΣH Φ T ) , H > S 0 上升敲入看跌期权: (K - S T ) + ·I (ΣH Φ T ) , H > S 0 上升敲出看涨期权: (S T - K ) + ·I (ΣH > T ) , H > S 0
[N
(
b
Ρ
-
(
2b Ρ
-
ΑT ) )-
N
(
k
Ρ
-
T
(
2b Ρ
-
ΑT ) )]
T
同理可得,
定理 3 欧式上升敲出看跌期权的定价公式为,
= - P up , ou t put
K
C a,
b Ρ
N (k1) + S 0
C a-
Ρ,
b Ρ
N (k2)
+ K C a, 0 N (k 7) - S 0 C a- Ρ, 0 N (k 8)
∫ ∫( e R 2 - Κx
G2
R1
x
2 Π
2y - x T3 2
e-
(2y - x ) 2
2T d y ) d x
>
F (R 1, R 2, 0, G 2, Κ).
∫x
iii) 由 G1
2 2y - x
Π
T3 2
e-
(2y - x ) 2
2T d y
=
1 2ΠT
有 ( - e-
(2G 1- x ) 2 2T
( r+
a2 2
)
T
[F (-
∞,
b
Ρ
,
b
Ρ
,
+
∞, a -
Ρ)
b
Ρ
)
e- ax )
g (x , y ) d x d y
+
F
(
b
Ρ
,
+
∞, 0, +
∞, a -
Ρ) ]
-K
e-
( r+
a2 2
)
T
[F (-
∞,
b
Ρ
,
b
Ρ
,
+
∞, a) +
F
(
b
Ρ
,
+
∞, 0, +
∞, a) ]
=- K
e-
rT -
— 202 —
经 济 数 学 第 21 卷
k > ln (K S 0)
定理 1 欧式上升敲入看跌期权的定价公式为,
= P up , in put
K
C a,
b Ρ
N (k1) -
S0
其中
C a, + ∞
N (k2)
k1 =
k
Ρ
-
2b Ρ
-
aT
T
k2 =
k
Ρ
-
2b Ρ
-
(a -
Ρ) T
T
证明: 欧式期权的价格等于对其未定权益折现后在 P3 测度下求期望[1], 而欧式上升敲入
看跌期权的未定权益为 (K- ST ) + · I(ΣH Φ T ) , 所以
= P up , in put
e- rT
E P3 ( (K - S T ) +
I ΣH Φ T
= e- rT
y).
在下面的定理求解过程中, 要多次用到以下积分运算:
∫ i) 因 为 G2 G1
2 Π
2y - x T3 2
e-
(2y - x ) 2
2T d y
=
所以
1 2ΠT
( - ) e-
(2G1- x ) 2 2T
e-
(2G 2- x ) 2 2T
∫ ∫( e R 2 - Κx
G2
R1
G1
2 Π
2y - x T3 2