角动量变化定理与角动量守恒

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3
2012-3-7
理学院 物理系 陈强
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
质2.质点点组组角的动角量动：量Lr 变= ∑化定Lri理(对同一点)
r dL
∑ ∑ ∑ dt
= =
d（
dt （
ri Mi
ri L i）=
外
+
r M
i
i内）=
r dL i dt r M外 +
r M内
∑ ∑ 式中：
ri M外 =
2.力矩的分量表示r M
=
rr
×
r F
( ) 在直角坐标系中： r M = Mx,My,Mz
=
r i x
r j y
r k z
r
r
r
r
M = Mxi + My j + Mzk
Fx Fy Fz
Mx = yFz − zFy
My = zFx − xFz
Mz = xFy − yFx
6
1
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dt = rr× d (mυr)
=
rr
×
r F
dt
dt
dt
牛顿第二定律
r M
=
rr
×
r F
——为力 F 对固定点O的力矩
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
所以
r M
=
r dL
—角动量变化定理(微分形式)
dt
质点的角动量对时间的变化率等于它所受的合外力矩。
又注意:Mr力dt矩=和dL动r 量矩都是对于惯性系中同一点来说。
O′
rr3′m3Fr3
∑ ∑ i r r ri
r
= R × Fi = R × Fi
i
∑ 当
ri Fi = 0
r M
=
r M
′
i
i 合外力为零时合外力矩与参考点无关
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
例:如图, 理想轻滑轮, 轻绳, m1 = m2, 从静止开始, 问哪个 猴先到?(忽略摩擦力矩) υ′1 υ1′,υ2′ 为m1,m2对绳的速度. m1
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第5章 角动量变化定理与角动 量守恒
§5-1. 角动量与力矩 §5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒 §5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒 §5-4.有心运动(自学)
1
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
§5-1. 角动量与力矩
一.质点的角动量(动量矩)
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
∫ ∫ ∫ r
F
=
F ( r ) err = F ( r )
br r F⋅dr =
b
F
(
r
)
r r
⋅d
r r
r r r
=
rb
F ( r ) dr
ar r
⋅
d
r r
=
a
1
r (r
⋅
d
r r
r +
d
r r
⋅
r ra r) =
1
r d (r
⋅
r r)
=
1
d
(r 2
)
=
rdr
2
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
注意: • 角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动也依 赖于所选定的参考点，参考点不同，质点的动量矩 不同。
• 角动量的单位 千克·米2/秒 （kg · m2/s)
例如：
锥摆 O
α l
m
O′
vr
r LO′
=
rro′m
× mvr
LO′ = lm v sin α 方向竖直向上不变
2
2
2
这里，被积函数只是r 的函数，积分值仅与起点位置
和终点位置有关，而与积分路径无关。
(2) 运动方程 m&rr& = F err
由质点系的动量矩定理,若对于某点而言,质点系所受
的外力矩之和为零,则质点系对该点的动量矩不随时
间改变,即：
若
r M外
=
0
,则
r L
=
r C
──质点组的角动量守恒定律
r M外 = 0
——质点组的角动量守恒条件
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
2.合外力为零时合外力矩与参考点无关 m1
质点组所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变
化率。
∫ ∫ t2
r Mdt
=
t1
L2 L1
r dL
=
r L2
−
r L1
=
ΔLr
──质点组的角动量变化定理(积分形式)
质点组角动量的增量等于作用于质点组的角冲量。
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
二.质点组的角动量守恒定律
1.质点组的角动量守恒条件
[对例O] 点锥：摆r的rom角×T动r =量0 rrom × mgr = mgl sinα
合力矩不为零，角动量变化。
锥摆 O
rα Tl
m
O′
mgr vr
对O′点：
rro′m
×
r T
+
rro′m
×（mgr）=
0
合力矩为零，角动量大小、方向都不变。
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
二.质点的角动量守恒定律
•
由质点的角动量变化定理，
r M
=
r dL
dt
若
r M
=
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则
r L
=
常矢量
—质点的角动量守恒定律
若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量不随时间 改变。
因为
r M
=
rr
×
r F
r M
=
0
⎧ ⎪ ⎨
FFrr过=
0, O点：中心力（如行星受
R T1 T2
O υ′2 m1 m2
m2 m1g m2g
解: m1, m2系统合外力矩为零， 对O角动量守恒. 逆时针为正向。 设右边绳对地速度为υ, 方向向上.
−
m1 (υ1′
−υ
)R
+
m2
(υ
′
2
+
υ
)R
=
0
解得
υ
=
(υ
′
1
−
υ
′
2
)
2
谁离得近谁先到！
υ1
= υ2
=
(
υ
′
1
+
υ
′
2
)
2
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L
1. 定 义 ： 在 惯 性 参 考 系 中 选 一
d
固定的参考点O，运动质点对O
α rO
点的位矢r,动量为p,则质点对O
点的角动量为r: L
≡
rr × pr
≡
rr ×
m υr
p 又称动量矩
角动量L的大小：L = rp sinα = rmυ sinα = mυ d
角动量L的方向：垂直于矢径 r 和动量 p 所组成的平面 指向由右手螺旋法则确定.
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
小结：动量与角动量的比较
动量 pr = ∑ mivri
i
矢量
角动量
r L
=
∑
rri
×
pr i
矢量 i
与固定点无关
与固定点有关
与内力无关
守恒条件
r
∑ Fi = 0
i
与内力矩无关
守恒条件
∑ rri
r × Fi
=
0
i
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
解：仪 器 对 行 星 中 心的角动量守 恒;
m
υ0 θ
r0 = 4R
υ= ?
R oM
则 mυ0r0 sinθ = mυR, r0 = 4R
(1)
又行星引力场为保守力场，仪器机械能也应守恒;
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
则
1 2
mυ02
−
GMm r0
=
1 2
mυ 2
−
GMm R
F 对O点的力矩M定义为矢径r与力F 的矢积.
即
r M
=
rr
×
r F
M
力矩的大小：
M = rF sinα = r0 F
O·
r Fα •
r0 = r sin α ——称力臂。 r0
A
力矩的方向：
垂直于 r 和 F组成的平面，指向按右手螺旋法则确定.
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
§5-4.有心运动(自学) 一 质点在有心力场中的运动方程
(1) 有心力 有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，
固定中心叫力心。
有心力场：有心力存在的空间。
(中心对称)有心力：有心力的大小仅与参考点P到力心
FOr的=距F离(rr)有er关r ，即
可以证明，这类有心力必定是保守力。
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转 的 星 云
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
pc — 秒差距，1pc = 3.086×1016m
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粗 略 的 解
释：
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
z
v0
星球具有原始角动量
r r0mv 0k
r0
m
· · r v
Mz = 0
Lz = const .
r0mv 0 = rmv
(2)
由(1)得
υ
= υ 0r0 sin θ R
= 4υ 0 sin θ
代入(2)式得
1
sin θ
=
1 4
⎛⎜⎜⎝
1
+
3GM 2Rυ02
⎞⎟⎟⎠
2
1
1
则
υ
=
4υ 0
×
1 4
⎜⎜⎝⎛1 +
3GM 2Rυ02
⎟⎟⎠⎞
2
= υ0⎜⎜⎝⎛1 +
3GM 2Rυ02
⎟⎟⎠⎞
2
15
▲
星 云 具 有 盘 形 结 构：旋
∴ v = v oro ∝ 1
rr
星球所需向心力： 可近似认为引力： 引力使r↓到一定程度
F向
=
m
v2 r
F引
∝
1 r2
∝
1 r3
F引 = F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
§5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒 一.质点组的角动量变化定理
∫ ∫ ∫ t2Mr dt = t1
L2 L1
r dL
=
r L2
−
r L1
=
r ΔL
⇒
t2
r M dt
=Δ
r L
t1
—角动量变化定理(积分形式)
∫ 定义
t2 t1
r Mdt
为合力矩M在t1到t2时间内的角冲量。
质点角动量的增量等于作用于质点的角冲量。
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
r M i外 =
rri
×
r Fi
∑ ∑ ∑ r
M内 =
ir
i
M i内 =
( rri ×
r f ij )
i
i
j≠i
因为一对内力的力矩之和为零
∴
∑ r
M内 =
r M i内 = 0
i
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
于是有：
r M
外
=
r dL dt
r (M
外和
Lr都对同一点)
──质点组的角动量变化定理(微分形式)
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
例. 发射一宇宙飞船去考察一质量为M,半径为R的行星,
当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度υ0发射一质 量为m(m远小于飞船质量)的仪器。要使这仪器恰好掠
着行星的表面着陆, 发射角θ角应是多少？着陆滑行初速
度υ多大？(在不计其它星体对仪器作用的情况下，仪器
只处在行星的中心力场中。)
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
2.质L点z =对(轴rr⊥的×角pr⊥动) ⋅量kr = p⊥r⊥ sin β
——质点对轴的角动量
z
r⊥sinβ
r⊥
p⊥ •β
r
O·
3.对轴的角动量定理
r M
⋅
r k
=
d
r L
⋅
r k
=
d
rr (L⋅k)
dt dt
即
Mz
=
d Lz dt
—— 质点对轴的 角动量定理
质点对轴的角动量定理
z
F
F//
· 1. 力对轴的力矩
r⊥sinα
把对O点的力矩向过O
M
点的轴（如 z 轴）投影：
r⊥
•
αF⊥
Mz
r
平面 ⊥ z轴
M
z
=
r M
⋅
kr=
(rr
×
r F
)
⋅
= =
([rr⊥(rr×⊥
+ r
rr//
F⊥ )
)× r ⋅k
(
r F⊥
r k +
r F//
)
O
]
⋅
r k
r⊥
r//
= F⊥r⊥ sin α ——力对轴的力矩。 10
Lx = y pz − z py = ymυz − z mυy
px py pz
Ly = zpx − xpz = zmυx − xmυz
Lz = xpy − ypx = xmv y − ymvx
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
二.力矩
1.定义
给定一力F, 若r为固定点O到力F作用点A的矢径，则力
r LO
=
rrom
×
mvr
LO = lmv 方向变化
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
2.角动量的分Lr量≡表rr示× pr ≡ rr × m υr
( ) 在直角坐标系中： r
r i
L = Lx , Ly , Lz = x
r j y
r k z
r
r
r
r
L = Lxi + L y j + Lzk
中
⎪ ⎩
心恒星的万有引力）
12
2
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第5章 角动量变化定理与角动量守恒
若 M z = 0 ，则 Lz = 常量 — 质点对轴的角
动量守恒定律
角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系， 而且在高速低速范围均适用。
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1.一对内力的力矩之和为零
如Mr图i +示M,r一j=对=(内rrrrii 力×− rrfrfrjiijj)和+×frrrfrjiji(j×=
r
−
r
f
ij
f ji
Fi
)
O
ri
m• i fij
r﹣i rj
fji rj
•mj Fj
r = 0r
∴ M i dt + M jdt = 0
一对内力的角冲量之和为零
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
§5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒 一.质点的角动量变化定理
角动量d L对r t=求d导(rr × pr )= rr × dpr + drr × pr
因为
ddtrr
=
dt
υr ,
pr = mυr
⇒
ddrrt
×
dt pr =
0
则
dt r dL
=
rr ×
d pr
r F1
r F2
参考点rO，合外r 力矩
∑ ∑ M = M i =
rri
×
r Fi
i
i
参考点O′，合外力矩
r
∑ ∑ M
′
=
r M
′
i
=
rri′×
r Fi
r
∑ ∑ ∑ M
-
r M
′
=
riri
×
r Fi
−
i
rri′×
r Fi
=
rr1
O
rrrr32
rr1′
m2
rr2′
r
R
(rri
−
rri′ ) ×
r Fi