圆的有关证明与计算题专题

A

B

《圆的证明与计算》专题研究

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：

1.圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题秘笈：

1、判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；

（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线.

（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.

（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3、典型基本图型：

1 / 4

2

图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：

（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（2（①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④4

图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：

（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。四个论断中，知一推三。 （2）①G 是⊿BCD 的内心；② BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=1CE 2

； （3CE （4BC ：O 交如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；

②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A

③CD·CA=4BE 2

, BA

BC BD CD R DE ==

图形特殊化：在（1）的条件下

如图1：DE ∥AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；

如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：

①31

=EF DE ;②=R BE

图形4：如图，⊿ABC 中，O 基本结论有：

（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ；

（2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC ②EF=EC ；③D 是基本图形1⑤连AD ，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 （1 ③OD BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 图2

C

图1

图1

A

图2

A A 图5

BF 图1

图2

图3

3 / 4

O

C F E

D B

A

④AD·BC ＝

AB 4

1

2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE =2R 2

(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .

图形6：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。 基本结论有： （1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)； （2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“PQ=PR ”中，知二推一

（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2 图形7：如图，⊿ABC 内接于⊙O ，I 为△ABC 的内心。基本结论有：

（1）如图1，①BD=CD=ID ；②DI 2

＝DE·DA；

③∠AIB =90°+

2

1

∠ACB ; （2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.

图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 中点，CD ⊥AB 于D 。BG 交CD 、AC

于E 、F 。基本结论有：

（1）CD =2

1

BG ；BE=EF=CE ；GF=2DE

(反之，由CD =21

BG 或BE=EF 可得：C 是 中点) （2）OE=2

1

AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿AGF

（3）BE·BG=BD·BA

（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；② 四、范例讲解：

1.△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧⋂

CF =⋂

CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D.

（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求

AF

EF

的值。

2．直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. ⑴求证：CD 为⊙O 的切线⑵若5

3=AB

BE ，求DF

BF 的值

3．如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。 （1）求证：PC 为⊙O 的切线。

（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求

DB

DG

的值。

4。如图，已知△ABC 中，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC 。 （1）求证：AC 与⊙O 相切；

（2）若AC ＝6，BC ＝8，求EC 的长

5.如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，，过D 作AE 的垂线，F 为垂足. Q R P E O A Q R P

E O B Q R P E O

B A Q

R

P E

O

B

H

O

G

F E

D C B

A

BC=CG=AG

BG

BG 图1

E O I

C

B

A A

B

C

D

I

O

E 图2

F

O

E C

D

B

A

C

A

BD BD=DE