生活中的一些概率问题

摘要随着科学技术的迅速发展和计算机的普及应用，概率论正广泛的应用到各个行业，它与我们的生活密切相关.在我们的生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用概率论来解决.本文从概率论的基础出发，通过在日常生活中包括生日缘分、博彩、抽奖、比赛等以及商品买卖与贮存和其他一些特殊的例子来说明概率论的重要性.关键词：概率论、生日缘分、博彩、比赛、商品买卖与贮存.AbstractWith the rapid development of science and technology and the popularization of computer applications, probability theory is widely applied to various industnss, it is closely related to our lives. In our lives, there are many problems can be directly or indirectly, the use of probability theory to resolve. In this paper, probability theory, basis, by fate in their daily lives, including birthdays, gaming, sweepstakes, contests, etc. as well as commodity trading and storage and some other specific examples to illustrate the importance of probability theory.Key word: Probability theory, birthday fate, gaming, competition, commodities trading and storage.目录一、引言二、概率论的介绍（一）定义 (01)（二）基本理论与方法 (01)（1）古典概率 (01)（2）条件概率 (02)（3）离散型随机变量 (02)（4）连续型随机变量及其密度函数 (03)（5）大树定律及中心极限定理 (03)三、概率论的应用（一）生日缘分 (04)（二）博彩 (04)（三）抽奖 (06)（一）比赛 (08)（一）商品贮存于买卖 (09)（一）其他一些例子 (12)四、总结 (13)参考文献 (14)致谢 (15)浅析生活中的一些概率问题一、引言概率论是一门相当有趣的数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性.“概率”是现行告知和哪个数学大纲中的必修内容，概率最早起源于对赌博问题的研究，十七世纪帕斯卡、惠更斯等数学家对“合理分配赌注”问题进行了深入广泛的研究，并作了系统的归纳总结，于是便出现了概率论，随着社会的发展，概率论在工农业生产、国名经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用，在日常生活中，概率论的应用更是普遍，几乎无处不在，本文从生日缘分，博彩，抽奖，比赛，商品贮存等方面举例说明概率论在生活中的重要应用.让人们更深刻的了解概率论与生活的密切联系.二、概率论的介绍（一）、定义概率论与数理统计是数学的一门分支.在自然现象和社会现象中，有一些现象就其个别来说是无规则的，但是通过大量的试验和观察以后，就其整体来说却呈现出一种严格的非偶然的规律性.这些现象称为“随机现象”.概率论就是研究这种“随机现象”规律性的一门学科. （二）、基本理论与方法 （1） 古典概率；在古代较早的时候，在一些特殊情形下，人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性，确定概率的一种方法如下：对于某一随机试验，如果它的全体基本事件12,,...,n E E E 是有穷的，且具有等可能性，则对任意事件A ，对应的概率()P A 由下式计算：()P A事件A 包含的基本事件数（k ）基本事件总数（n ）并把它称作古典概率.（2）条件概率；在实际问题中，一般除了要考虑事件A 的概率()P A ，还要考虑在“已知事件B 已发生”这一条件下，事件A 发生的概率，一般地说，后者发生的概率与前者的概率未必相同.为了区别起见，我们把后者叫作条件概率，记为()P A B 或()B P A ，读作在条件B 下，事件A 的条件概率.条件概率的定义：定义1. 4. 1 设(,,)P ζΩ为一概率空间，A ζ∈，B ζ∈，且()P B >0，在“已知事件B 已经发生”的条件下，“事件A 发生”的条件概率()P A B 定义为：()()()P A B P A B P B =由条件概率的定义可得：()()()P AB P A B P B = ()()()P AB P B A P A =定理 1. 4. 1 （全概率公式）设(,,)P ζΩ为一概率空间，1,2,...,n A A A 是Ω的一个有穷部分，且()i P A >0(1,2,3,...,)i n =.则对于与1,2,...,n A A A 中的每一个发生有关的事件B ζ∈，有1()()()ni i i P B P B A P A ==∑式称为全概率公式. （3）离散型随机变量；定义 2. 1. 2 设ξ为离散型随机变量，亦即ξ的一切可能值为12,,...,...n x x x 记()(1,2,...)n n p P x n ξ===，称12,,...,,...n p p p 为ξ的分布列，亦称为ξ的概率函数.由上述可知，若ξ为随机变量，则n P 有意义.对于离散型随机变量，把它列出下表更为直观：显然，其中n p 满足下列两个条件：10(1,2,...),1n n n p n p ∞=≥=⎫⎪⎬=⎪⎭∑ （2.1.2）（4）、连续型随机变量及其密度函数； 定义2. 1. 3 若存在非负可积函数()f x ，()d f x x +∞-∞<∞⎰使随机变量ξ取值于任一区间(,)a b 的概率为{}()d baP a b f x x ξ<<=⎰， （2. 1. 16）则称ξ为具有连续型分布或称ξ为连续型随机变量.()f x 称为ξ的分布密度函数，有时简称为分布密度或密度函数. （5）、大数定律与中心极限定理；定义4. 4. 2 设ξ为一随机序列，数学期望{}n ξ存在，令()n E ξ，若lim[()]0n n n E ξξ→∞-=， （4. 4. 3）则称随机序列{}n ξ服从大数定律，或说大数法则成立.定义4. 5. 2 设(1,2,3,...)n n ξ=为相互独立的随机变量序列，有有限的数学期望和方差：2(),()(1,2,...)k k k k E a D k ξξσ===令211(),(1,2,...),nnk k nk k n k n B D n aB ξξη==⎫=⎪⎪=⎬-⎪=⎪⎭∑∑ 若对于z R ∈一致地有212lim {}edzy n n P z y η--∞→∞<=⎰（4. 5. 1）则称随机序列{}n ξ服从中心极限定理.三、概率论的应用1、生日缘分在平常的生活中，我们偶尔会遇到这样的巧合：某某与某某生日相同，他们被认为很有“缘分”，仔细想想我们能碰上这种“巧合”的机会是否真的难得呢？ 要解答这个问题，我们先从相反的情况着手：对于任意两人，他们生日不同的概率是2365364365364()365365365P A -⨯=⨯= （用A 表示两人生日相同，A -表示两人生日不相同），至于对任意三个人来说，碰不到这种“巧合”的概率为3365364363365⨯⨯ ，若有r 个人在一起，其中却找不到两个人生日相同的概率为 365364...[365(1)]365rr ⨯⨯-- .因此在r 人当中，最少有两人生日相同的机会为365364...[365(1)]()1365rr p A ⨯⨯--=-. 若令r =23，则()P A =0.51 ，有一半以上的机会碰到上述的“巧合”；若r =40，则()P A =0.89 ，即差不多有九成的机会出现最少有两个人的生日相同的情况；若令r =55，则 ()P A =0.99 ，几乎必有两人的生日相同.或许遮掩的演算结果使我们感到有点意外，但倘若真的遇到生日相同的人，我们不妨也算是意外的缘分吧. 2、博彩赌博，社会的一大毒瘤，利用我们所学的概率知识揭示赌博的欺诈性，帮助更多的人们认清赌博的罪恶本质.例1：某广场一地摊上摆着一街头赌摊：一个摆地摊的赌主，他拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里.他规定，凡自愿摸彩者，需交1元手续费，然后依次从袋中摸出5个棋子，摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到三个白子奖价值五角的纪念品，摸到其他则没有奖励.由于本钱小，许多围观者跃跃欲试，可获奖者确寥寥无几，这是为什么呢？那么我们能知道获得20元奖金的概率是多少？获得2元的概率是多少？假如按每天摸1000次计算，赌主一天可净挣多少呢？解决这个问题我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性.从16个棋子中摸出5个棋子共有516C 种可能情形：其中摸出5个棋子全为白子的情况有 58C 种，得20元钱的概率为58516C C ≈0.0128 ；摸出5个棋子中有4个白子的情况有 4188C C 种，得2元钱的概率为 4188516C C C ≈0.1282 ；摸出5个棋子中有3个白子的情况有 3288C C 种，得纪念品的概率为 3288516C CC ≈ 0.3590 .现在有1000人模子，赌主支付的彩金是：约有13人获得20元，128人获得2元，359人获得纪念品，共计695.5元，手续费1000元，故摊主赚300多元. 有上述一系列数据可看出，得奖者很少，最大受益人为摊主.希望更多人看清赌博本质！例2：根据以下材料，分析中奖情况.下表是2000年江苏省第二十五期体育彩票的中奖情况，请算出每个奖的中奖概率.说明：购买江苏体育彩票时，需选取一个六位数作为彩票号码，第一位可以是0，数字也允许重复，如666666等，可以购买指定号码，也可以由电脑随机选号，购买数量不限（一个号码2元）.另外，选定六位数的号码后，还要在0，1，2，3，4这五个数种挑选一个所谓的“特别号”，一兑特等奖之用（每张彩票都不能重复得奖）.解析：用 P 表示中特等奖的概率，i P 表示获i 等将的概率（A =1,2,3,4,5）.因为六位数共有 610 个，特别号有5种选择，故P = 61105-⨯=7210-⨯，即特等奖的中奖率为五百万分之一.67124108105p p --=⨯=⨯ 65210(99) 1.810p --=⨯+=⨯64310(91099109) 2.6110p --=⨯⨯+⨯+⨯=⨯ 622223410(910910109109) 3.4210p --=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯632222223510[9(101)9109109(101)9(1019)]4p --=⨯⨯-+⨯+⨯+⨯-+-=⨯从以上计算可知，中特等奖、一等奖和二等奖的概率极低，要想一夜之间成为“巨富”简直比登天还难.因此，买彩票要有一颗平常心. 3、抽奖抽奖，在生活中是常常碰到的事，那么抽奖的概率又是怎么样的呢？ 例1：推门得奖问题在一著名的电视节目上，台上有三扇门A B C 、、，分别其中只有一扇门后面有大奖.请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖.这个问题恐怕不难回答，因为我们知道，不论选择A B 、还是C ，我们得到大奖的概率都是三分之一.如果你选择了A ，在门A 被打开之前，主持人打开了另外两扇门中的一扇，比如说是B ，发现门后什么都没有，问你现在是否改变决定，放弃A 门而选择C 门？这个问题恐怕就有些争议了.一部分人认为，我们无论选择A B 、还是C ，得到大奖的概率都是三分之一，所以选择A 还是C 无关紧要，所以完全可以不改变决定，坚持选 A .但另一部分认为，选择A 门，我们得到大奖的概率为三分之一，则 B 门和 C 门得到大奖的总概率为三分之二，当主持人打开 B 门后发现门后无奖，则三分之二的概率全部落在了 C 门上，此时我们当然要给本决定，放弃 A 门，改选 C 门.两种说法视乎都有些道理，那么我们到底应做怎么样的决定呢？首先应明确的一点是，在类似的电视节目中，主持人是应该知道到底那扇门后面有大奖的，否则可能出现尴尬的场面.这个问题就可以应用条件概率的知识来解决.条件概率是概率论的重要的概念之一，主要表现在两个方面：第一，在实际问题中，常常是已知随机试验的部分信息，也就是说，除了样本空间外，还有事件发生了.利用这一新田间所求的概率为条件概率；第二，即使没有随机试验的信息可以利用，条件概率仍然可以比较容易地求出事件的概率.对于本问题，我们先令A 表示事件“A 门后有奖”，B 表示事件“主持人打开B 门”， C 表示事件“C 门后有奖”.我们要求的概率分别是()()P A B P C B 和.由条件概率公式可得：()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P B ==()()()()()()P C P B C P CB P C B P C P B ==经过简单分析即可得出1()()3P A P C ==，而()P B 表示主持人打开B 门的概率，由于参与游戏者已经选择了A 门，所以主持人只能打开B 门或C 门，即()P B 12=.()P B A 表示在A 门有奖的条件下主持人打开B 门的概率，若A 门有奖，则B 门和C 门门后都没奖，则主持人可以任意打开一扇门，即1()()2P B A P C A ==，()P B C 表示在C 门有奖的情况下主持人打开B 门的概率，由于参与游戏者已经选择了A 门，而主持人又知道C 门后有奖，则主持人只能选择打开B 门，即()P B C 1=.将求得的各个概率值分别代入()()P A B P C B 和的求解公式中，得到11132()132P A B ⨯==，1123()132P C B ⨯== 即得到在主持人打开B 门的条件下，选择A 门得到大奖的概率是三分之一，选择C 门得到大奖的概率是三分之二.于是我们得到结论，在这个游戏中，参与游戏者应该放弃A 门而选择C 门，这样等到大奖的概率就会高很多了.4、比赛概率可以证明比赛的公平性和计算比赛中几方获胜的概率.例1：试用概率论的思想来证明“五局三胜”为公平比赛.证明：根据题意即证明比赛五局，先胜三局为胜的比赛是公平的.把每局比赛看成一次试验，假设甲、乙两人水平相同，则他们在每一局获胜的概率都是12，设A =“甲先胜三局”，3545355551111()()()()2222P A C C C =++= 推广：比赛21n +局，先胜1n +局者为优胜者的比赛制度也是一种公平的比赛.例2：甲、乙两人比赛射击，每回射击胜者得一分，每回射击中甲胜的概率为α，乙胜的概率为β，甲先射，比赛进行到一人比对方多两分为止，多辆分者最终获胜.求甲最终获胜的概率.解1：这是一个涉及到可列可加性的复杂事件的题目.按以上规则，不难分析在甲获胜时，比赛一定进行21(0)n n +≥次，最后两场一定是甲连胜，且对任何01k n ≤≤-，第21k +，22k +场一定是甲、乙各胜一场，共有2n 种不同的可能.“甲最终获胜”这个时间包含样本空间里如下的序列：甲甲，甲乙甲，甲乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲乙甲甲……，用()P A 表示甲最终获胜的概率.那么“甲最终获胜”这个事件包含可列个不同的基本事件，因此由可列可加性220()2()12n n n P A ααβααβ∞===-∑ 解2：仔细分析，甲获胜的条件可分为三种：“在第一：二回射击中，甲均获胜”，“在第一，二会射击中，乙均获胜”，“在第一，二回射击中，乙各胜一局”.在第三种条件下，甲乙胜局数可以抵消，等于又重新开始比赛了，所以概率就等于：设A =“甲最终获胜”.1B =“在第一，二回射击中甲均获胜”，2B =“在第一，二回射击中，乙均获胜”，3B =“在第一，二回射击中，甲、乙各胜一局”. 2112233()()()()()()()02()p A p B p A B p B p A B p B P A B p A ααβ=++=++解这个方程，得到2()12p A ααβ=- 相对于第一种接法，这种方法思路清晰，计算也比较简单，这就是根据事件发生条件的不同而分解成两个或若干个互不相容的事件的并，分别计算每一部分的概率及条件概率，组后利用全概率公式计算出概率.5、商品买卖与贮存例1：张老师在水果批发市场上打算买几箱梨，他询问卖主所售梨的质量如何，卖主说一箱里（假设为100个）顶多有四、五个坏的.张老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个梨，心想着10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个梨中有3个坏的.于是张老师对卖主说，你一箱梨里不止有五个坏的，卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱梨中就这3个坏的，让你碰巧看见了.张老师的指责有道理么？解析：假设一箱梨有100个.其中有5个是坏的.根据古典概率的定义，我们知道所抽取的10个中坏梨数等于3的概率为7395510100(3)0.00638C C P X C ==≈；类似可求得坏梨数为4、5的概率分别为：6495510100(4)0.00025C C P X C ==≈;5595510100(5)0.000003C C P X C ==≈.故抽取10个中坏梨数大于2的概率(2)(3)(4)(5)0.006633P X P X P X P X >==+=+=≈这表明，一次抽取10个，发现多于2个坏的概率很小，几乎不可能，现在居然发生了，说明张老师的指责是有道理的.这个例题也说明了“先尝后买”中的数学道理，即抽样调查的方法，先尝后买在决定买不买比不尝就买的风险要小，但是风险依然存在.例2：一家商店根据以往经验，平均每周只能售出1架钢琴.现在经理制定的存贮策略是：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售，否则，不订购.试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少.解：记第n 周的需求量为n D ,由题意可知n D 服从均值为1的泊松分布，即1()!n e P D k k -== (0,1,2,)k =⋅⋅⋅ （1）记第n 周初的库存量为n S ，{1,2,}n S l ∈是这个系统的状态变量，由题意可知：状态转移规律为1,3,n n n n n n nS D D S S D S +-<⎧=⎨≥⎩ （2） 由(1)式不难算出，(0)0.36n P D ==，(1)0.368n P D ==，(2)0.184n P D ==，(3)0.061n P D ==，(3)0.019n P D >=，由此计算状态转移矩阵111213212223313233p p p P p p p p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111(1)(0)0.368n n n p p S S P D -=====，121(31)0n n p p S S +====，131(11)(1)0.632n n n p p S S P D +====≥=，211(22)(0)0.368n n n p p S S P D +======221(22)(0)0.368n n n p p S S P D +======231(32)(2)0.264n n n p p S S P D +====≥=311(13)(2)0.184n n n p p S S P D +======321(23)(1)0.368n n n p p S S P D +======331(33)(0)(3)0.448n n n n p p S S P D P D +=====+≥=得到0.36800.6320.3680.3680.2460.1840.3680.448P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦记状态概率1()()n a n P S i ==，1,2,3i =，123()((),(),())a n a n a n a n =，因为状态转移具有无后效性，有(1)()a n a n P +=.可知这是一个正则链，具有稳态概率分布ω，且ω满足：123(,,)(0.285,0.263,0.452)ωωωω==该存贮策略（第n 周）失去销售机会的概率为()n n P D S >按照全概率公式 31()()()n n n n n i P D S P Di S i S i =>=>==∑，其中的条件概率()n n P D i S i >=容易有（1）式计算，当n 充分大时，可以认为()n i P S i ω==，1,2,3i =最终得到()0.2640.2850.0800.2630.0190.4250.105n n P D S >=⨯+⨯+⨯=即从长期看，失去销售机会的可能性大约为10%.在计算该存贮策略（第n 周）的平均销售量n R 时，应注意到，当需求超过存量时只能销售掉存量，于是3111()()()i n n n n n n i j R jP D j S i iP D i S i P S i -==⎡⎤===+≥==⎢⎥⎣⎦∑∑同样的，当n 充分大时用稳态概率i ω代替()n P S i =得到0.6320.2850.8960.2630.9970.4520.857n R =⨯+⨯+⨯=即从长期看，每周的平均销售量为0.857架.6、其他一些例子；例1：有52张扑克牌平均分给四个人，如果某人断言这四个人在一次发牌中每人将得到13张同一花色的牌，认为这是正常的么？解：将52张扑克牌平均分给四个人每人得到13张同一花色的牌的概率为：2813131313525213522*13523*1311114! 4.4710C P C C C ----=⨯⋅⋅⋅≈⨯ 这个数值是非常非常小的，换句话说，它的出现是一个小概率事件.现在某人竟然断言这样的小概率时间再一次发牌时就会出现，则自然认为这是不正常的，若这件事确实发生了，则我们有理由怀疑他在发牌是有作弊行为，比方说，他把牌事先排成他所知道的顺序.例2：对“人多力量大”这句话用概率论的角度来思考.解：这句话可以看成将一个试验独立重复的做了n 次，设在每次试验中事件A 发生的概率为(01)p p <<，求在n 此试验中事件A 至少发生一次的概率. 设B 表示“n 次试验中事件A 至少发生一次”，则B 表示“n 次试验中事件A 没有发生一次”，根据题意有()1()1(1)n PB P B p =-=--，于是有l i m ()l i m[1(1)]n n n P B p →∞→∞=--=，此式表明当n 充分大时，事件A 必然会发生. 通过上述的证明可以很清楚的了解到，人多力量大这句话也是有一定道理的.例3：据统计，一年中一个万元以上的财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿(100)a a >元，为使保险公司收益的期望值不低于a 的百分之七，求最大的赔偿值a .解 设ζ表示保险公司在参加保险者身上的收益，则ζ取两个值100ζ=和100a ζ=-，且(100)0.99P ζ==，(100)0.01P a ζ=-=，保险公司获益的期望值0.991000.01(100)1000.01E a a ζ=⨯+⨯-=-，要使保险公司获益的期望值不低于a 的百分之七，即1000.010.07a a -≥，所以1250a ≤，即最大的赔偿之为1250元.四、总结综上所述，本文列举了概率在实际问题中的一些小片段，其实，在我们日常生活中到处都有概率的影子，小到每天的天气预报，大到神舟七号上天，都离不开概率论.保险业、金融业的风险预测更是与概率论息息相关.通过计算体育彩票或福利彩票的中奖概率大小，我们知道，实际上只有极少数人能中奖，则购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成赌博行为.利用概率也可以解释街头上的常见的赌局.此外，医学，军事等领域中的许多问题也可以有概率论中的方差分析、回归分析加以描述和分析.概率论作为一门独立的学科，它的足迹可以说已经深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见.尤其随着科技飞速发展，知识产业化的今天，许多基础学科从幕后走到台前，概率的许多其他方面也正在或将要发挥它应有的作用，我们相信，随着经济的不断发展，社会制度的不断完善以及信息产业的不断更新，概率的重要应用将继续被我们发掘出来，更好的为人类服务.参考文献[1] 梁之舜，邓集贤，杨维权，司徒荣，邓永录.概率论及数理统计第3版上册[M].高等教育出版社，2005.2.[2] 易伦，李上红.概率在生活中的几点应用[J].数学通讯，2002,(10)[3] 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