消费者理论(数理经济学讲义西安交大寿纪麟)精讲

则
z}，t （0,1)，
z
tx+(1-t)y z
x1
y
tx＋(1－t)y
此假设可以保证无差别曲线是严格弯曲的。
3.3 效用函数（Utility Function)
定义 与消费者的偏好相协调的效用函数应满足：
1. 当x 2. 当x 3. 当x
y u(x) u(y); y u(x)= u(y); y u(x) u(y).
f (x1 (1 )x2 ) ( ) f (x1 ) (1 ) f (x 2 )
成立。函数 f : C R 叫做严格凸(凹)函数，如果对任意的
x1 , x2 C, x1 x2 , 和任意的 (0,1), 有
f (x1 (1 )x2 ) ( ) f (x1 ) (1 ) f (x 2 )
证明 () 设 f (x) 为拟凹，x,y D, f (x),f (y) ,
f[x (1 )y] min{f (x),f (y)} , [0,1],

x+(1 )y D, 即 D为凸集。
不妨设 f(x) f(y) (= ) ,
() x, y E,
y，xi x0 , 则 x0
y ；
y 。
（6）强单调性假设:
当x y,x y时，必有x
n （ 7）凸性假设: z R＋ ，{x|x
y，
z}为凸集，即
若x,y {x|x
y},则 t [0,1],则凸组合
tx＋(1－t)y {x|x
（8）严格凸性假设：
y}
x2 x
若 x,y {x|x
u1 u2 ＝ ＝ 或 p1 p2
u1 p1 ＝ 。 u2 p2
x2
L
消费者最优行为的几何解释：
设 C={x|p x m}为预算集，
L= {x|p x＝m}为预算线。

o
x*
上定理表明，最优解必产生在预算线上，
x1
并与某个无差别曲线相切的切点位置上。
当u为严格拟凹时,无差别曲线一定是严格弯曲的， 因而它与预算线的切点只有一个！
C D, C D 和 t C 都是凸集。进一步地，若 Ci Rn，
m i 1
i 1, 2, ...,m, 则
C i 也是凸集。
定义 一个集合S的凸包就是包含这个集合的最小凸集合。
记为 co(S) 它是该集合中所有凸组合所组成的集合, 因此
co(S) { i xi | xi S, i 0,
u(tx +(1 t)x) min u(x ),u(x) max u(x)
xC
因而tx +(1 t)x C，且优于x和x,导出矛盾。
求消费者的最优行为的解析解
运用微积分中的Lagrange乘子法可求出问题的
最优解。设u(x1,x2 )为一阶连续可微，则
max u(x1 ,x2 ) s.t. m p1x1 -p2x2＝0
另一种商品的减少（dx2 0) 去弥补（替代之意）。
3.4 消费者的最优行为
当消费者面对市场的(固定)价格p＝(p1,p2 ),
在一定的预算m约束下，消费者如何作出的选择?
定理3.4 (最优解的存在与唯一性定理）
设该消费者的效用函数为u(x1,x2 )，则他的最优行为
max u(x1,x2 ) 应为 s.t. p x＝p1x1＋p2x2 m（预算约束） 设 p＝(p1,p2 ) 0, 则
它的Lagrange函数为:
L u(x1,x2 )＋( m p1x1 p2x2 )
最优解的一阶必要条件为
L1 = u1 p1 = 0 L 2 = u 2 p2 = 0 L = m p x p x = 0 1 1 2 2
(1) (2) (3)
由(1)(2)式得
i 1 m

i=1
m
i
1}
例3.2 圆环{(x,y)|s2 x2 +y2 r2 }的凸包是圆盘:
{(x,y)|x2 +y 2 r 2 }。
定义 C R n为凸集合，函数 f : C R 叫做凸(凹)函数，
如果对任意的x1 , x2 C 和任意的 [0,1], 有
定理3.3（效用函数的存在性定理）
设消费者有满足(1),(2),(3)的偏好: ,若还满足
连续性和强单调性，则必存在一个与
连续效用函数。
证明 以R2 +为例，令 e＝(1,1),及
相协调的
x2
x
e
o
u(x) e
u(x)＝inf{ |e
可以证明, u(x) e x 。
x}
x1
事实上，由下确界的定义和连续性假设，，知
当x=y时，u(x) e
u(y) e u(x) u(y)。
当xn x0时，有 u(xn ) e u(x0 ) e，
因而 u(xn ) u(x0 ),即 u(x)是连续的。
定理得证。
注意：对一个偏好，与此相协调的效用函数不是
唯一的，相反会有许多。 例如:
1. 在定理的证明中，选取不同的e，如 e=(1,2)等，
定义 设S为凸集，x, y S, t [0,1] (0,1), 有
f(tx+(1-t)y) ( )min{f(x),f(y)}
则称f为(严格)拟凹函数。
定理3.1 设 E R n 为凸集。f : E R，则
f(x) 为拟凹 D={x |f (x) },,为凸集；
x2
y2
1.若f (x1 ) f (x2 ), 则 f (y1 ) f (x2 ) f (y1 ),
2.若f (x1 ) f (x2 ), 则 f (y1 ) f (x2 ) 明了f (x)是严格拟凹的。
商品空间 R :
价格空间 Rn:
问当x1改变时，为使其效用值不变，x2应怎样变化？
u u du(x1 ,x2）＝ dx1＋ dx2＝ 0 x1 x2
u dx 2 x1 u1 ＝＝u dx1 u2 x 2
称此式为商品替代率（Marginal Rate of Substitution）
等式右端“负号”表示一种商品的增加（如dx1 0）,要用
第3章 消费者理论（Consumer Theory）
3.1 凸集与凸函数
定义 集合C Rn叫做凸集，如果对任意的 x1，x2 C
和任意的 [0,1]，有x1 (1 )x2 C 成立。
例3.1 平面中的 圆盘{(x,y)|x2 y 2 r 2 } R 2是凸集，
即 x1 ,x2 D, [0,1],
f x1 (1 )x2 ) minf(x1 ),f(x2 ) (*)
反证法 若存在x1 ,x2 E, f(x1 ) f(x2 )， 0， 1 , 使
f x1 (1 )x2 ) min{f(x1 ),f(x2 )}＝f(x2 )，
（1）在预算约束下使效用极大的最优解x ( x1 , x 2 )存在； （2）若u(x)满足强单调性，则p1x1 ＋p2 x 2＝m；
（3）若u(x)是严格拟凹函数时，则最优解x是唯一的。
证明 （1）令 C＝ {x|p x m},当x C时， m p1x1 p1x1＋p2x2 m，则 0 x1 ； p1 m p2x2 p1x1＋p2x2 m，则 0 x2 。 p2 C 是有界闭集(紧集)。
三维空间中的球体{(x,y,z)| x2 y 2 z 2 r 2 } R 3也是凸集。
性质 1 C Rn是凸的等价于对任意的xi C, i=1,2,...,m和
任意的i 0,

i 1
m
i
1, 有 i xi C (称为凸组合)成立。
i 1
m
性质2 对于任意的C, D R n是凸的和正常数t 0 ,
由无差别这个等价关系,可以把商品分为许多等价类，
称它为无差别曲线，
n y R＋ , {x|x
y} 称为关于y的无差别曲线。
y}和{x|x
n y}均为R＋ 中的闭集,
（5）连续性假设:
n y R＋ ， {x|x
n 即 若 xi R＋ ，xi
n 若 xi R＋ ，xi
y，xi x0 , 则 x0
f(x)为严格拟凹函数 R, D x | f(x) 为凸集，
且 S()=x | f(x) 是严格弯曲的。
证明 与定理3.1一样，可证 D=x | f(x) 为凸的。
当 x1 , x2 S()，即 f(x1 ) f(x2 ) 时，由严格拟凹性，
x2
p1x1+ p2x2=m
C
o x1
max u(x) max u(x) xC s.t. p x m
而u(x)是连续函数，则它在紧集中必能达到最大值，
即存在x ，使 u(x )＝ max u(x)。
xc


（ 2）反证法，若x为最优解，但 p1x1 ＋p2x 2 m。
+p2x 因而总会存在x ＝（x1,x2）,使x x , 且 p1x1 2 m。
由u的强单调性，u(x) u (x )，这与x为最优解的
假设矛盾，得证。
(3)若有两个最优解x与x，则
u(x )＝u(x)＝max u(x), x C

由u的严格拟凹性，对t (0,1),
u(x) e
x
x，或 x (u(x) ) e
另一方面， 0, (u(x) ) e
令 0，得