6-齐次线性方程组的解法

产出 投入
消费部门 农业 工业 190 1520 95 1995 3800 其他 30 180 60 330 600 60 90 30 420 600
最终产品 总产出 320 2010 415 600 3800 600
农业 生产部门 工业 其他 创造价值 总投入
xij 解： 由公式 aij 得出直接消耗系数矩阵 xj
四、产品分配平衡方程组的解法


问题1：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A， 各部门在计划期内的最终产品Y下，如何预测 各部门在计划期内的总产出X？ 问题2：在已知经济系统的直接消耗系数矩阵A， 各部门在计划期内的总产出X下，如何测算各 部门在计划期内的最终产品Y ？
把直接消耗系数代入产品分配平衡方程组可得
1 x11 x21 ︰ xn1 z1 x1
消费部门 2 … x12 … x22 ︰ xn2 z2 x2 … … … … …
n x1n x2n ︰ xnn zn xn
最终产品总产出 y1 y2 ︰ yn x1 x2 ︰ xn
Xi表示第i个部门的总产品； yi表示第i个部门的最终产品； zj表示第j个部门的总产品
投入产出分析的作用：


为编制经济计划，特别是为编制中、长期计划 提供依据 分析经济结构，进行经济预测 研究经济政策对经济生活的影响 研究某些专门的社会问题，如污染、人口、就 业以及分配等问题
一、投入产出平衡表
投入产出平衡表（价值型）
产出 投入
生 产 部 门
1 2 ︰ n 创造价值 总投入
则上述方程组可写成向量方程
Ax = b.
当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性 方程组.
定义：线性方程组的同解变换
初等行变换
（1）交换线性方程组的任意两个线性方程式
（2）线性方程组的任意一个线性方程式乘以 非零常数k
（3）线性方程组任意一个线性方程式的常数k 倍加到另外一个线性方程式上去
5 x1 2 x3 3 x4 0, 4 x 2 2 x 3 x 4 0, 3
5 x1 2 x3 3 x4 , 由此即得 4 x 2 2 x 3 x4 , 3
5 x 1 2c 1 3 c 2 , x 2c 4 c , 1 2 2 3 x 3 c1 , x 4 c2 ,
直接消耗系数的性质：
性质1： 0 aij 1 (i 1,2, n; j 1,2,n)
性质2：
a1 j a2 j anj 1
( j 1,2,, n)
直接消耗系数也称为投入系数，是经济系统中生产一 种产品对另一种产品的消耗定额，它充分反映了各部门 之间在生产技术上的数量依存关系，当生产及管理技术 无显著变化时，直接消耗系数是不会改变的，因此也可 以称为技术系数。
j 1
n
(i 1,2, , n )
其中， x ij 表示第i个部门提供给各部门生产性消耗的总产品量
j 1
二、投入产出平衡方程组
2、产品消耗平衡方程组
x1 x11 x 21 x n1 z 1 x x x x z 2 12 22 n2 2 x n x1n x 2n x nn z n
线性方程组解的判别
定理： 已知n元线性方程组AX B， 增广矩阵为A， 那么
(1)若秩r(A) r(A) n, 则此线性方程组有唯一解；
( 2)若秩r(A) r(A) n, 则此线性方程组有无穷多解， 且有n r( A )个自由未知量
( 3)若秩r(A) r(A), 则此线性方程组无解.
若各部门在计划期内的最终产品为y1=75,y2=120, y3=225，预测各部门在计划期内的总产出x1,x2,x3.
解：列出此经济系统在计划期内的产品分配 平衡表。
产出 投入
1 生产部门 2 3
消费部门 最终产品 1 2 3 0.2x1 0.1x2 0.2x3 75 0.1x1 0.1x1 0.2x2 0.1x2 0.2x3 0.1x3 120 225
取x4为自由未知量， 则方程可化为
x1 c x 2 c 令x4 c， 则方程的解为 x 3 0 x4 c
x1 x 4 , x x , 4 2 x3 0
第四节 投入产出问题
投入产出是分析研究经济各个部分（作为 生产单位或消费单位的产业部门、行业、产品 等）之间表现为投入和产出的相互依存关系的 一种经济数量分析方法。由美国经济学家里昂 惕夫1933年提出。
0.8 x1 0.1 x2 0.2 x3 75 0.1 x1 0.8 x2 0.2 x3 120 0.1 x 0.1 x 0.9 x 225 1 2 3
解此方程组，对增广矩阵作初等行变换，直 到化为简化阶梯形矩阵为止。
0.8 - 0.1 - 0.2 75 - 0.1 0.8 - 0.2 120 - 0.1 - 0.1 0.9 225
例1 求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 . x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换： 1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an 2 a 1n a 2n , 称为直接消耗系数矩阵 a nn
例：设整个国民经济分为农业、工业和其他三个部
门，根据统计资料编出了简化的部门间联系平衡表， 试求该经济系统的直接消耗系数矩阵？
由表可得到此经济系统在计划期内的产品分配平 衡方程组
x1 0.2 x1 0.1 x2 0.2 x3 75 x2 0.1 x1 0.2 x2 0.2 x3 120 x 0.1 x 0.1 x 0.1 x 225 1 2 3 3
整理上式得
结论：（1）若各部门的总产品量X已知，则各部 门的最终产品Y可由Y= (I-A) X求得 （2）若各部门的最终产品Y已知，则各部 门的总产品量X可由X= (I-A) -1 Y求得
应用举例
已知一个经济系统包括三个部门，在报告期内的直接 消耗系数矩阵为
0.2 0.1 0.2 A 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
即
n
x i x ij y i
j 1
n
(i 1,2, , n )
其中， x ij 表示第j个部门消耗各部门的总产品量
j 1
三、直接消耗系数
定义：第j个部门生产单位产品消耗第i个部门的产品量， 称为第j个部门对第i个部门的直接消耗系数，记为aij, x ij 即 a ij (i , j 1,2, , n ) xj
5 1 0 2 1 2 2 1 3 r3 r2 4 r1 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ( 3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 由于RA 2, 故方程组有非零解，且有
令X ( x1 , x 2 ,, xn )T , Y ( y 1 , y 2 ,, y n )T , 则上式可化为矩阵方程
X AX Y (I A)X Y
其中X即为各部门的总产品量，而Y为各部门的最终产品量
定理：产品分配平衡方程组(I-A)X=Y有唯一解且 为非负解。
一、齐次线性方程组解的判别
定理 已知由m个齐次线性方程式构成的n元齐次 线性方程组AX＝0，那么
Fra Baidu bibliotek
(1)若秩r(A) n, 则此齐次线性方程组有非零解；
( 2)若此齐次线性方程组有非零解， 则秩r( A) n.
推论 当齐次线性方程式的个数少于未知量的个 数即m<n时，齐次线性方程有非零解。
二、齐次线性方程组的解法
190 30 60 600 3800 600 90 1520 180 A 600 3800 600 30 95 60 600 3800 600
0.1 0.05 0.05 A 0.15 0.4 0.3 0.05 0.025 0.1
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1 , x4 c2，把它写成通常的参数 形式
例2 求解齐次线性方程组
x1 2x 2 3x 3 x 4 0 3x1 2x 2 x 3 x 4 0 5x1 5x 2 2x 3 0 2x1 3x 2 x 3 x 4 0
x1 a11x1 a12x 2 a1n x n y 1 x a x a x a x y 2 21 1 22 2 2n n 2 x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n y n
二、投入产出平衡方程组
1、产品分配平衡方程组
x1 x11 x12 x1n y 1 x x x x y 2 21 22 2n 2 x n x n1 x n 2 x nn y n
即
n
x i x ij y i
第三节 齐次线性方程组
设线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 a11 a12 a1n b1 x a a22 a2 n , x 2 , b b2 , 若记 A 21 xn bm am 1 am 2 amn
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 3 A 5 2 2 3 1 2 1 1 5 2 0 3 1 1
1 0 0 0 1 1 2 1 0 3 0 0 0 0 2 3
由于RA 3 n 4, 故方程组有非零解，且有
- 8 1 2 750 1 - 8 2 1200 1 1 - 9 2250
1 0 0 200 0 1 0 250 0 0 1 300
所以此方程组的解为 x1 200 x2 250 x 300 3
1 0 0 0 1 1 2 1 0 3 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
则得到线性方程组
x1 x 4 0, x x 0, 2 4 x 3 0