6-(4-5)电容 电容器 静电场的能量和能量密度
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2
1Q 1 1 = CU = UQ W= 2 2 2 C
这个结论对所有电容器都成立。 这个结论对所有电容器都成立。
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
+++++++++
第六章 静电场中的导体和电介质
dq +q
−q
+
dq
U
--------17
v E
U
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
4
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
注意 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、 形状 其间的电介质有关，与所带电荷量无关 介质有关 无关. 其间的电介质有关，与所带电荷量无关.
Q Q C= = V A − VB U
U =∫
AB
−Q
+Q
v v E ⋅ dl
VB
VA
二
静电场的能量
能量密度
1 1 εS 1 2 2 2 ( Ed ) = εE Sd We = CU = 2 2 d 2
电场能量密度 1 1 2 w e = εE = ED 2 2 电场空间所存储的能量 1 W e = ∫ we d V = ∫ εE 2 d V V V 2
第六章 静电场中的导体和电介质
E = E+ + E − λ λ = + 2 π ε 0 x 2 π ε 0 (d − x)
第六章 静电场中的导体和电介质
v E
−λ
o
P
x d −x
d
x
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物理学
第五版
6-4 电容 电容器
U =
∫
d −R
R
Edx
2R
λ = 2 πε0
∫
d −R
R
1 1 ( + )dx x d−x
+λ
v E
−λ
λ d−R λ d = ln ≈ ln πε0 R πε0 R
第六章 静电场中的导体和电介质
5
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
3 电容器电容的计算 步骤
Q Q C= = VA − VB U
（1）设两极板分别带电±Q 设两极板分别带电
v （2）求两极板间的电场强度 E
（3）求两极板间的电势差U = ∆V = ∫A 求两极板间的电势差 （4）由C=Q/U求C 求
§6.4 电容和电容器
一. 孤立导体的电容
导体具有储存电荷的本领 电容：孤立导体所带电荷量q 电容： 的比值。 与其电势V 的比值。
q C= V
6
单位： 单位：法拉 （F= C·V-1 ）
12
5mL 5mL 0
1F =10 µ F =10 pF
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
例 球形孤立导体的电容
第六章 静电场中的导体和电介质
2
二.电容器
电容器： 电容器：
一种储存电能的元件。 一种储存电能的元件。 电介质隔开的两块任意形 由电介质隔开的两块任意形 导体组合而成 组合而成。 状导体组合而成。两导体称 为电容器的极板。 为电容器的极板。
.电容器的 电容器的分类 1 .电容器的分类
按形状：柱型、球型、 按形状：柱型、球型、平行板电容器 按型式：固定、可变、 按型式：固定、可变、半可变电容器 按介质：空气、塑料、云母、 按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 特点：非孤立导体， 特点：非孤立导体，由两极板组成
r
R1
第六章 静电场中的导体和电介质
21
第六章 静电场中的导体和电介质
+ + + +
R1+ + + R2 +
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物理学
第五版
6-4 电容 电容器
Q 2 π ε r ε0 l C= = RB U ln RA
l >> RB
l + + + + -
两圆柱体面间的间隙为 两圆柱体面间的间隙为d, 当
d = R2 − R1 << R1
2 π ε r ε 0 lR A ε r ε 0 S C≈ = d d
第六章 静电场中的导体和电介质
19
1 Q 解： 由高斯定律可得电场强度为 E = 2 4πε r
能量密度为
1 Q 2 w e = εE = 2 32 π 2 εr 4
2
2
半径为r,厚度为dr的球壳储存的电场能为 半径为r,厚度为dr的球壳储存的电场能为 r,厚度为dr
Q d W e = we d V = dr 2 8 π εr Q We = ∫ dWe = 8πε
C∝S C ∝1 d
εr ：相对电容率
第六章 静电场中的导体和电介质
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物理学
第五版
例2 圆柱形电容器
6-4 电容 电容器
圆柱形电容器是由半径分别为R 圆柱形电容器是由半径分别为 1和R2的同轴圆柱导体 面所构成， 比半径R 大的多。 面所构成，且圆柱体的长度 l 比半径 2大的多。两圆柱 的电介质，求电容。 面之间充满相对电容率为 εr 的电介质，求电容。
18
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
如图所示,球形电容器的内、 例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R 所带电荷为±Q． 分别为 1和R2 ，所带电荷为 ．若在两球 的电介质， 壳间充以电容率为ε 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1 R2
8
物理学
第五版
圆柱形电容器
6-4 电容 电容器
1 E= (R1 < r < R2 ) 2π ε 0ε r l r
U =∫
RB RA
Q
l >> R2
l -
RB λ dr Q = ln 2 π ε 0ε r r 2 π ε 0ε r l R A
Q 2 π ε r ε0 l C= = RB U ln RA
R1+ + + R2 +
平行板电 容器电容
第六章 静电场中的导体和电介质
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物理学
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6-4 电容 电容器
例3 球形电容器的电容 解 设内外球带分别带电 设内外球带分别带电±Q Q ( R1 < r < R2 ) E= 2 4 π ε 0r
v v U = ∫ E ⋅ dl dl
l
Q R2 dr = 4 π ε 0 ∫R1 r 2 Q 1 1 = ( − ) 4 π ε 0 R1 R2
−
R2
−
＋ ＋
−
＋
R1
＋
− −
＋ ＋
−
＋
r
＋
−
−
第六章 静电场中的导体和电介质
11
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
Q 1 1 U= ( − ) 4 π ε 0 R1 R2
Q R1 R2 C = = 4 πε0 U R2 − R1
R2 → ∞
C = 4 π ε 0 R1
−
R2
−
＋ ＋
−
＋
R1
＋
− −
1、电容器的电能
在给电容器充电时，电源要克服电场力做功， 在给电容器充电时，电源要克服电场力做功，把电 荷从一个极板移到另一个极板。 荷从一个极板移到另一个极板。电源做的功就变成了 −q 静电能而储存在电容器之中了。 静电能而储存在电容器之中了。 dq +q
U
W = ∫ Udq = ∫
0
2
Q
Q
0
q dq C
λ π ε0 C= = U ln d R
o
P
x d −x
d
x
第六章 静电场中的导体和电介质
14
物理学
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6-4 电容 电容器
三
电容器的并联和串联
1 电容器的并联
C = C1 + C 2
＋
C1
C2
−
2 电容器的串联
1 1 1 = + C C1 C 2
＋
−
C1
C2
第六章 静电场中的导体和电介质
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§6-5 电场的能量
2
-Q
dr
Q
∫
R2
R1
dr r2
R2
r
R1
1 Q2 1 ( − ) = 8 π ε R1 R 2
物理学
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6-5 静电场的能量和能量密度
2
Q 1 1 讨论 We = ( − ) 8 π ε R1 R 2 Q2 （1） We = ） 2 C R2 R1 C = 4πε R2 − R1 dr
（球形电容器） 球形电容器） Q2 （2） R2 → ∞ W e = ） 8 π εR 1 R2 孤立导体球） （孤立导体球）
圆柱面带电 带电量分 解 设内、外圆柱面带电量分 别为+Q +Q和 别为+Q和-Q，则单位长度 上的电荷为 λ = Q / l 由高斯定理计算得： ：
l >> R1B R
l + + + +
R2
λ Q 1 E= = 2πε0εrr 2πε0εrl r
R r 1+ + + R2 +
-h -
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
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6-4 电容 电容器
2.电容器的电容 电容器的电容为电容器一块极板 电容器的电容为电容器一块极板所带 的电容为电容器一块极板所带 电荷Q与 电荷 与两极板电势差 VA − VB 的比值 .
Q Q C= = VA − VB U
U =∫ v v E ⋅ dl
−Q
+Q
VB
VA
AB
第六章 静电场中的导体和电介质
＋ ＋
孤立导体球电容
−Baidu Nhomakorabea
＋
r
＋
−
−
第六章 静电场中的导体和电介质
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物理学
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6-4 电容 电容器
两半径为R的平行长 例4 两半径为 的平行长 2R 直导线，中心间距为d， 直导线，中心间距为 ，且 d>>R, 求单位长度的电容. + λ , 求单位长度的电容. 解 设两金属线的电荷线 密度为 ± λ
Q V = 4 πε 0 R
Q C = = 4 πε 0 R V
Q
R
孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和 孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大 的电容仅取决于导体的几何形状 与导体是否带电无关。 小，与导体是否带电无关。
RE = 6.4 × 10 6 m, CE ≈ 7 × 10 −4 F 地球
第六章 静电场中的导体和电介质
6
B
v v E ⋅ dl
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6-4 电容 电容器
平行平板电容器 例1 平行平板电容器 σ Q 解 E= = ε 0 ε r ε 0ε r S
U = Ed = Qd
+ + + + + + Q
εr
d
ε 0ε r S
- - - - - - −Q
S
Q ε 0ε r S C= = U d
1Q 1 1 = CU = UQ W= 2 2 2 C
这个结论对所有电容器都成立。 这个结论对所有电容器都成立。
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6-5 静电场的能量和能量密度
+++++++++
第六章 静电场中的导体和电介质
dq +q
−q
+
dq
U
--------17
v E
U
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6-5 静电场的能量和能量密度
4
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6-4 电容 电容器
注意 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、 形状 其间的电介质有关，与所带电荷量无关 介质有关 无关. 其间的电介质有关，与所带电荷量无关.
Q Q C= = V A − VB U
U =∫
AB
−Q
+Q
v v E ⋅ dl
VB
VA
二
静电场的能量
能量密度
1 1 εS 1 2 2 2 ( Ed ) = εE Sd We = CU = 2 2 d 2
电场能量密度 1 1 2 w e = εE = ED 2 2 电场空间所存储的能量 1 W e = ∫ we d V = ∫ εE 2 d V V V 2
第六章 静电场中的导体和电介质
E = E+ + E − λ λ = + 2 π ε 0 x 2 π ε 0 (d − x)
第六章 静电场中的导体和电介质
v E
−λ
o
P
x d −x
d
x
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6-4 电容 电容器
U =
∫
d −R
R
Edx
2R
λ = 2 πε0
∫
d −R
R
1 1 ( + )dx x d−x
+λ
v E
−λ
λ d−R λ d = ln ≈ ln πε0 R πε0 R
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6-4 电容 电容器
3 电容器电容的计算 步骤
Q Q C= = VA − VB U
（1）设两极板分别带电±Q 设两极板分别带电
v （2）求两极板间的电场强度 E
（3）求两极板间的电势差U = ∆V = ∫A 求两极板间的电势差 （4）由C=Q/U求C 求
§6.4 电容和电容器
一. 孤立导体的电容
导体具有储存电荷的本领 电容：孤立导体所带电荷量q 电容： 的比值。 与其电势V 的比值。
q C= V
6
单位： 单位：法拉 （F= C·V-1 ）
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5mL 5mL 0
1F =10 µ F =10 pF
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6-4 电容 电容器
例 球形孤立导体的电容
第六章 静电场中的导体和电介质
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二.电容器
电容器： 电容器：
一种储存电能的元件。 一种储存电能的元件。 电介质隔开的两块任意形 由电介质隔开的两块任意形 导体组合而成 组合而成。 状导体组合而成。两导体称 为电容器的极板。 为电容器的极板。
.电容器的 电容器的分类 1 .电容器的分类
按形状：柱型、球型、 按形状：柱型、球型、平行板电容器 按型式：固定、可变、 按型式：固定、可变、半可变电容器 按介质：空气、塑料、云母、 按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 特点：非孤立导体， 特点：非孤立导体，由两极板组成
r
R1
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第六章 静电场中的导体和电介质
+ + + +
R1+ + + R2 +
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6-4 电容 电容器
Q 2 π ε r ε0 l C= = RB U ln RA
l >> RB
l + + + + -
两圆柱体面间的间隙为 两圆柱体面间的间隙为d, 当
d = R2 − R1 << R1
2 π ε r ε 0 lR A ε r ε 0 S C≈ = d d
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1 Q 解： 由高斯定律可得电场强度为 E = 2 4πε r
能量密度为
1 Q 2 w e = εE = 2 32 π 2 εr 4
2
2
半径为r,厚度为dr的球壳储存的电场能为 半径为r,厚度为dr的球壳储存的电场能为 r,厚度为dr
Q d W e = we d V = dr 2 8 π εr Q We = ∫ dWe = 8πε
C∝S C ∝1 d
εr ：相对电容率
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例2 圆柱形电容器
6-4 电容 电容器
圆柱形电容器是由半径分别为R 圆柱形电容器是由半径分别为 1和R2的同轴圆柱导体 面所构成， 比半径R 大的多。 面所构成，且圆柱体的长度 l 比半径 2大的多。两圆柱 的电介质，求电容。 面之间充满相对电容率为 εr 的电介质，求电容。
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6-5 静电场的能量和能量密度
如图所示,球形电容器的内、 例1 如图所示,球形电容器的内、外半径 分别为R 所带电荷为±Q． 分别为 1和R2 ，所带电荷为 ．若在两球 的电介质， 壳间充以电容率为ε 的电介质，问此电容器 贮存的电场能量为多少？ 贮存的电场能量为多少？ -Q
Q
R1 R2
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圆柱形电容器
6-4 电容 电容器
1 E= (R1 < r < R2 ) 2π ε 0ε r l r
U =∫
RB RA
Q
l >> R2
l -
RB λ dr Q = ln 2 π ε 0ε r r 2 π ε 0ε r l R A
Q 2 π ε r ε0 l C= = RB U ln RA
R1+ + + R2 +
平行板电 容器电容
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6-4 电容 电容器
例3 球形电容器的电容 解 设内外球带分别带电 设内外球带分别带电±Q Q ( R1 < r < R2 ) E= 2 4 π ε 0r
v v U = ∫ E ⋅ dl dl
l
Q R2 dr = 4 π ε 0 ∫R1 r 2 Q 1 1 = ( − ) 4 π ε 0 R1 R2
−
R2
−
＋ ＋
−
＋
R1
＋
− −
＋ ＋
−
＋
r
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−
第六章 静电场中的导体和电介质
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6-4 电容 电容器
Q 1 1 U= ( − ) 4 π ε 0 R1 R2
Q R1 R2 C = = 4 πε0 U R2 − R1
R2 → ∞
C = 4 π ε 0 R1
−
R2
−
＋ ＋
−
＋
R1
＋
− −
1、电容器的电能
在给电容器充电时，电源要克服电场力做功， 在给电容器充电时，电源要克服电场力做功，把电 荷从一个极板移到另一个极板。 荷从一个极板移到另一个极板。电源做的功就变成了 −q 静电能而储存在电容器之中了。 静电能而储存在电容器之中了。 dq +q
U
W = ∫ Udq = ∫
0
2
Q
Q
0
q dq C
λ π ε0 C= = U ln d R
o
P
x d −x
d
x
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6-4 电容 电容器
三
电容器的并联和串联
1 电容器的并联
C = C1 + C 2
＋
C1
C2
−
2 电容器的串联
1 1 1 = + C C1 C 2
＋
−
C1
C2
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§6-5 电场的能量
2
-Q
dr
Q
∫
R2
R1
dr r2
R2
r
R1
1 Q2 1 ( − ) = 8 π ε R1 R 2
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6-5 静电场的能量和能量密度
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Q 1 1 讨论 We = ( − ) 8 π ε R1 R 2 Q2 （1） We = ） 2 C R2 R1 C = 4πε R2 − R1 dr
（球形电容器） 球形电容器） Q2 （2） R2 → ∞ W e = ） 8 π εR 1 R2 孤立导体球） （孤立导体球）
圆柱面带电 带电量分 解 设内、外圆柱面带电量分 别为+Q +Q和 别为+Q和-Q，则单位长度 上的电荷为 λ = Q / l 由高斯定理计算得： ：
l >> R1B R
l + + + +
R2
λ Q 1 E= = 2πε0εrr 2πε0εrl r
R r 1+ + + R2 +
-h -
第六章 静电场中的导体和电介质
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6-4 电容 电容器
2.电容器的电容 电容器的电容为电容器一块极板 电容器的电容为电容器一块极板所带 的电容为电容器一块极板所带 电荷Q与 电荷 与两极板电势差 VA − VB 的比值 .
Q Q C= = VA − VB U
U =∫ v v E ⋅ dl
−Q
+Q
VB
VA
AB
第六章 静电场中的导体和电介质
＋ ＋
孤立导体球电容
−Baidu Nhomakorabea
＋
r
＋
−
−
第六章 静电场中的导体和电介质
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6-4 电容 电容器
两半径为R的平行长 例4 两半径为 的平行长 2R 直导线，中心间距为d， 直导线，中心间距为 ，且 d>>R, 求单位长度的电容. + λ , 求单位长度的电容. 解 设两金属线的电荷线 密度为 ± λ
Q V = 4 πε 0 R
Q C = = 4 πε 0 R V
Q
R
孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和 孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大 的电容仅取决于导体的几何形状 与导体是否带电无关。 小，与导体是否带电无关。
RE = 6.4 × 10 6 m, CE ≈ 7 × 10 −4 F 地球
第六章 静电场中的导体和电介质
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B
v v E ⋅ dl
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6-4 电容 电容器
平行平板电容器 例1 平行平板电容器 σ Q 解 E= = ε 0 ε r ε 0ε r S
U = Ed = Qd
+ + + + + + Q
εr
d
ε 0ε r S
- - - - - - −Q
S
Q ε 0ε r S C= = U d