数学史九章算术

《九章算术》的主要内容及意义
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。

该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。

同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的
应用数学，它的出现志
中国传统数学理论体系的形成。

内容
1.第一章“方田”
主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。

平面图形有方田——长方形田地、圭田——三角形田地、斜田——直角梯形田地、箕田——等腰梯形田地、圆田——圆形田地、弧田——弓形田地、环田——圆环或环缺形田地的面积算法。

分数运算法则包括约分术——约分与通分、合分术——分数加法、减分术——分数减法、课分术——两个分数的大小比较、平分术——求
几个分数的算数平均、
乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、大广田术——带分数除法。

2. 第二章“粟米”
该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项比例算法。

四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数=（所有数×所求率）/所有率，这里，所求率、所有率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词。

例：已知麦与米的比率是3:2，现有麦60斤，问能兑换大米多少斤？
所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是是已有麦子的斤数，
所求数就是欲求的大米斤数，
所以能兑换大米的斤数=（60×2）÷3=40（斤）
3. 第三章“衰分”
主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。

例：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4、簪褭3、上造2、公士1的比率分配所以
大夫得5÷（1+2+3+4+5）×5=53 (头) 不更得4÷（1+2+3+4+5）×5=4
3
(头)
簪褭得3÷（1+2+3+4+5）×5=1(头) 上造得5÷（1+2+3+4+5）×5=23 (头) 公士得5÷（1+2+3+4+5）×5=13 (头)
4. 第四章“少广”
主要成就包括开平方、开立方的算法。

用来求已知面积、体积，反求
其一
边和径长等。

5. 第五章“商功”
主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等内容涉及筑城、修堤、开渠粮垛等施工方面的计算问题。

6.第六章“均输”
主要论述较为复杂的配方比例问题，其中最引人注目的是“均输数”。

主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。

7.第七章“盈不足”
主要论述盈亏问题的解法。

盈不足的典型问题是：若干人共买一物，若每人出2b 钱，则多出1b 钱；若每人出2a （1a <2a ）钱，则又不足2b 钱，求人数与物价，《九章算术》给出的方法相当于公式：人数=（1b +2b ）/(1a -2a )
物价=（1a 2b +2
a 1
b ）/(1a -2a )
这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。

8.第八章“方程”
主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。

在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元。

这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。

例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，，共出粮二十六斗。

问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x 、y 、z 斗，则有 《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵
《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵
1233-22323112634
39⎛⎫ ⎪ ⎪
⨯⨯ ⎪−−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
中列右列1033-2523112624
39⎛
⎫ ⎪ ⎪
⨯ ⎪−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
左列右列
0030035-43645205281136
113924
399924
39⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⨯⨯ ⎪ ⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
左列中列左列各数除以，并逐步向右代入相消得
00101010031
14924
4
4
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
即上等禾谷每捆出粮423
斗，中等禾谷每捆出粮144
斗，下等禾谷每捆出粮3
24
斗。

该章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。

在解方程的过
程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，所以《九章算术》提出了“以正负数入之”，即引入负数及其运算法则：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

”
即两数相减时，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，正数减零为负数，负数减零为正数；两数相加时，同号则绝对值相加，异号则绝对值相减，正数加零为正数，负数加零为负数。

9. 第九章“勾股”
主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。

其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。

提出了勾股数问题的通解公式：若a 、b 、c 分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n 。

意义
《九章算术》是我国流传至今最早的数学专著之一，是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，它成书于我国汉代，距今1900年。

分数四则运算遥遥领先于世界各国，在欧洲直到16到17世纪才有人总结出类似于《九章算术》的运算法则；求两数最大公约数的“更相减损术”与西方“欧几里得算法”相同；被文艺复兴时期欧洲人誉为黄金法则的印度三率法其实就是《九章算术》中的今有术；开平方、开立方法领先于世
界1400到1500年，在国外到19世纪才由中亚数学家阿尔卡西提出开方步骤，在欧洲则更迟；“盈不足术”在世界上也是首创，中世纪被欧主人视为算术问题的万能解法；负数概念及有理数运算则也是前无古人的，在印度直到《九章算术》600年后才承认负数，欧洲人论述负数是《九章算术》1500年以后的事了；一元方程组的消元法在国外成为“高斯消元法”，而高斯解一次方程组是19世纪的事；几何体求体积方面的成就也是处于世界领先地位。

所以就其数学成就来说，可以说是世界数学名著。

例如分数四则运算、今有术、开平方和开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等，水平都很高。

其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上遥遥领先。

就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。

这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。

秦汉时期，一切科学技术都要为当时确定和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。

最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时成产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。

其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。

该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。

唐宋两代都由国家明令规定为教科书。

1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。

参考文献
[1]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004.。