知识讲解导数的计算基础

导数的计算

【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。

2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。

3. 能熟练运用四则运算的求导法则，

4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，

层层求导”．

【要点梳理】

知识点一：基本初等函数的导数公式

（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x =

（2）()n f x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅

（3）()sin f x x =，'()cos f x x =

（4）()cos f x x =，'()sin f x x =-

（5）()x f x e =，'()x f x e =

（6）()x f x a =，'()ln x f x a a =⋅

（7）()ln f x x =，1'()f x x =

（8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =

。

要点诠释：

1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．

2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'n n x nx -=（n ∈Q ）．

特别地

211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=。 3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．

4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．

5．指数函数的导数：()'ln x x a a a =，()'x x e e =．

6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x =． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a

= 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

知识点二：函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±

（2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+

（3）商的导数：2

()'()()()'()[]'()[()]f x f x g x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：

1. 上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±，

推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．

（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+，

特别地：()''cu cu =（c 为常数）．

（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

， 两函数商的求导法则的特例

2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦

， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦

． 这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

（v ≠0），注意差异，加以区分．

（2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭

（v ≠0）． 3．求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三

角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．

知识点三：复合函数的求导法则

1．复合函数的概念

对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变

量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．

要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。

2．复合函数的导数

设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导

''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．

3．掌握复合函数的求导方法

（1）分层：将复合函数[()]y f x ϕ=分出内层、外层。

（2）各层求导：对内层()u x ϕ=，外层()y f u =分别求导。得到'(),'()x f u ϕ

（3）求积并回代：求出两导数的积：'()'()f u x ϕ⋅，然后将()u x ϕ用替换，即可得到

[()]y f x ϕ=的导数。

要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【典型例题】

类型一：求简单初等函数的导数

例1. 求下列函数的导数：

(1) 3x (2)21x

(3)x （4）sin y x =（5）ln x 【解析】

(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；

(2) (21x

)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) x

x x x x 212121)()(2112121

==='='-- （4）'(sin )'cos y x x ==；