2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 1.2简单多面体

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北师大版高中数学必修二第1章立体几何初步1.1.2简单多面体课件

(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
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1.2 简单多面体
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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1.2 简单多面体
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
(2)表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可记作:五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)特殊的棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.
(5)棱柱的性质有: ①侧棱互相平行且相等,侧面都是平行四边形. ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图①所示. ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图②所示.
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
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名师点拨四棱柱是一种常见的棱柱,它的侧棱与底面的变化会产生一系列特殊的四棱柱.
四棱柱面体正方体. 长方体
平行六面体正四棱柱
直平行六
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1.2 简单多面体
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数学北师大版必修2作业：第一章 1.2简单多面体

[学业水平训练]1.过正棱台两底面中心的截面一定是()A．直角梯形B．等腰梯形C．一般梯形或等腰梯形D．矩形答案：C2.下列图形中||，不是三棱柱的展开图的是()解析：选C.根据三棱柱的结构特征可知||，C不是三棱柱的展开图．3.设有四种说法：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上说法中正确的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A.①不正确||，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；②不正确||，当底面是菱形时就不是正方体；③不正确||，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面||，故不一定是直平行六面体；④正确||，因为对角线相等的平行四边形是矩形||，由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体||，故选A.4.如图所示||，在三棱台A′B′C′-ABC中||，截去三棱锥A′-ABC||，则剩余部分是() A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C||，故选B.5.正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm||，那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为()A．2 cm2B．16 cm2C．25 cm2D．4 cm2解析：选B.如图所示||，取A′A||，B′B的中点分别为E||，F||，×(3＋5)＝4(cm)．则EF＝12故S中截面＝42＝16(cm2)．6.如图||，下列几何体中||，________是棱柱||，________是棱锥||，________是棱台．解析：利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定．答案：①③④⑥⑤7.下列命题中不正确的是________．①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有一组对面平行的五面体是棱台；③有一个面是多边形||，其余各面是三角形的几何体是棱锥．解析：根据棱锥、棱台的结构特征||，3个命题都不正确．答案：①②③8.正三棱锥的底面边长为3||，侧棱长为23||，则正三棱锥的高为________．解析：作出正三棱锥如图||，SO 为其高||，连接AO ||，作OD ⊥AB 于D ||，则D 为AB 的中点．在Rt △ADO 中||，AD ＝32||，∠OAD ＝30°||，故AO ＝32cos ∠OAD ＝ 3. 在Rt △SAO 中||，SA ＝23||，AO ＝3||，故SO ＝SA 2－AO 2＝3||，其高为3.答案：39.如图所示||，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是||，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM 把这个长方体分成两部分||，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是||，是几棱柱||，并用符号表示；如果不是||，说明理由．解：(1)这个长方体是四棱柱||，因为上下两个面互相平行||，其余各面都是四边形||，并且每相邻两个四边形的公共边都平行||，所以是棱柱||，由于底面ABCD 是四边形||，所以是四棱柱．(2)平面BCNM 把这个长方体分成的两部分还是棱柱．左边部分的几何体的两个面ABMA 1和DCND 1平行||，其余各面都是四边形||，并且每相邻两个四边形的公共边都平行||，所以是棱柱||，由于底面ABMA 1是四边形||，所以是四棱柱||，即左边部分的几何体为四棱柱ABMA 1DCND 1；同理右边部分的几何体为三棱柱BMB 1CNC 1.10.已知正三棱锥V -ABC ||，底面边长为8||，侧棱长为26||，计算它的高和斜高．解：如图所示||，设O 是底面中心||，则D 为BC 的中点．∴△VAO 和△VCD 是直角三角形．∵底面边长为8||，侧棱长为2 6.∴AO ＝33×8＝833||，CD ＝4||， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝（26）2－⎝⎛⎭⎫8332＝23 6. VD ＝VC 2－CD 2＝（26）2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236||，斜高为2 2. [高考水平训练]1.在正五棱柱中||，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线||，那么一个正五棱柱的对角线共有( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D.正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面||，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线||，5个平面共可得到10条对角线||，故选D.2.在侧棱长为2 3 的正三棱锥P-ABC中||，∠APB＝40°||，E||，F分别是PB||，PC上的点||，过点A||，E||，F作截面AEF||，则△AEF周长的最小值是________．解析：将正三棱锥的三个侧面展开||，如图．则当E||，F为AA1与PB||，PC的交点时||，△AEF的周长最小||，最小值为2AP·cos 30°＝6.＝2×23×32答案：63.如图||，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高是17 cm||，两底面的边长分别是4 cm和16 cm||，求这个棱台的侧棱长和斜高．解：如图所示||，设棱台的两底面的中心分别是O1和O||，B1C1和BC的中点分别是E1和E||，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE||，则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．∵A1B1＝4 cm||，AB＝16 cm||，∴O1E1＝2 cm||，OE＝8 cm||，O1B1＝2 2 cm||，OB＝8 2 cm.∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361.E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325.∴B1B＝19 cm||，E1E＝513 cm.即这个棱台的侧棱长为19 cm||，斜高是513 cm.4．一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案(请用尽可能多的方法)．解：一个三棱柱可以分割成3个三棱锥||，可以有以下六种方案供选择．。

北师大版高中数学必修二第一章1.1.2简单多面体

1.2 简单多面体1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．棱柱的侧面是平行四边形．预习交流1棱柱是“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体”．这一概念对吗？为什么？提示：不对．如图，是由两个三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱．所以棱柱的定义中强调“其余各面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”．预习交流2什么是直棱柱？什么是正棱柱？两者有什么区别？提示：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱与正棱柱的区别①直棱柱是在一般棱柱的基础上加一个条件“侧棱与底面垂直”；②正棱柱是在直棱柱的基础上加一个条件“底面是正多边形”．3．特殊的四棱柱4．棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．预习交流3棱锥所有的面可以都是三角形吗？提示：可以．当棱锥的底面为三角形时，其所有的面都是三角形，这样的棱锥叫三棱锥，也叫四面体．预习交流4“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体是棱锥吗？提示：判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面是三角形；③这些三角形有一个公共顶点．这3个特征缺一不可．如图所示的多面体有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但这些三角形没有公共顶点，所以它不是棱锥．5．棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形．预习交流5(1)如何判断一个多面体是不是棱台？提示：(2)你能总结出柱、锥、台体的关系吗？提示：1．对简单多面体的理解如图所示为长方体ABCDA′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．思路分析：①本题是一个几何体的分割问题；②分割后是两个几何体．解题时可先确定两个互相平行的面，然后根据棱柱的定义得出结论．解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′ECC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：解答本题的依据是棱柱、棱锥、棱台的结构特征，结合已知进行具体分析．解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．答案：B1．下列命题中，正确的是( )．A．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面B．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形D．侧棱与底面两边垂直的棱柱叫直棱柱解析：在棱柱底面的定义中，两个互相平行的面是特指的，反之，则不一定，如底面是梯形时，有两个侧面互相平行，这两个平行的侧面就不能称为棱柱的底面，故A不正确；棱柱可以是平行六面体，所以B项不正确，C正确；由直棱柱的定义知D错误．答案：C2．下列说法正确的有( )．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．答案：A认识一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．2．简单多面体有关量的计算已知正三棱锥VABC中，底面边长为8，侧棱长为思路分析：本题主要考查正三棱锥中基本量的计算，关键是把已知量与未知量放到直角三角形中求解．解：如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，∴△VAO 和△VCD 都是直角三角形． ∵底面边长为8，侧棱长为26， ∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝(26)2－⎝⎛⎭⎪⎫8332＝236.VD ＝VC 2－CD 2＝(26)2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2.正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高为1，试求该棱台的侧棱和斜高．解：如图，设上、下两底的中心分别是O 1，O ，连接O 1O ，则O 1O 为棱台的高，O 1O ＝1.连接A 1O 1，AO 并延长分别与B 1C 1和BC 相交于D 1，D .由平面几何知识得，D 1，D 分别是B 1C 1和BC 的中点，连接D 1D ，则D 1D 为棱台的斜高．因为B 1C 1＝3，BC ＝6，所以A 1O 1＝33×3＝3，AO ＝33×6＝23，O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝ 3. 在直角梯形AOO 1A 1中，A 1A ＝12＋(23－3)2＝2；在直角梯形DOO 1D 1中，D 1D ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝72. 即该棱台的侧棱和斜高分别为2和72.正棱锥中基本量的计算要借助构造的直角三角形，如[活动与探究3]中的Rt △VAO ，Rt △VOD ，Rt △VCD 等．它们包含了正棱锥的侧棱长、高、斜高、底面边长的一半，底面外接圆半径和内切圆半径．类似地，在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和相应两底面正多边形的顶点与中心连线组成一个直角梯形；斜高、侧棱和上下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题，实际上就是这几个直角梯形的计算问题．1．在棱柱中( )．A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D2．棱柱的侧面都是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形答案：B3．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是( )．A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案：B4．下列描述中，是棱台的性质的是__________．(填序号)①两底面平行；②侧面都是梯形；③侧棱都相等，且平行；④侧棱延长后都交于一点；⑤底面不可能为三角形．解析：棱台是由棱锥截得的，截面与底面平行，①正确；棱台的侧面都是梯形，②正确；③错误；棱台侧棱延长后必交于一点，④正确；由三棱锥截得的棱台为三棱台，其底面是三角形，⑤错误．答案：①②④5．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解：(1)正确；(2)不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等；(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱；(4)正确．。

高中数学第一章立体几何初步1.2简单多面体精练北师大版必修2

1.2 简单多面体时间：25分钟1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15 C．12 D．10答案 D解析如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．长方体答案 B解析棱锥的各面都相交，故有两个面平行的多面体不可能是棱锥．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案 A解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A．1∶2 B．1∶4C．2∶1 D．4∶1答案 B解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如下图1)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )答案 A解析两个不能相邻，B 、D 错误；两个不能相邻，C 错误，故选A.也可通过制作模型来判断．6．如下图所示，在三棱台A ′B ′C ′－ABC 中，截去三棱锥A ′－ABC 后，剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A ′－BB ′C ′C .7．若一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为20 cm ，则每条侧棱的长为________cm. 答案 4解析依题意，正棱锥有6个顶点，则该正棱锥为正五棱锥，所以每条侧棱长为205＝4 cm. 8．在下面的四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是________(填序号)．答案 ①②解析 ③④中的图不能组成四面体，只有①②行．9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．答案 ①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1(如下图所示)．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用截面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解 (1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作底面，这两个面都是四边形且平行，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．。

高中数学第1章立体几何初步 1.2 简单多面体课时作业北师大版必修2

1．2 简单多面体时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．在下列立体图形中，有5个面的是( )A．四棱锥 B．五棱锥C．四棱柱 D．五棱柱答案：A解析：柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．2．下列说法错误的是( )A．多面体是由若干个平面多边形围成的几何体B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形答案：D解析：根据多面体的概念知A说法正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱的条数、侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B说法正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C说法正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D说法错误．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱台的组合体D．不确定答案：A解析：水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．4．若正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为6，则该棱锥的高等于( )A.33B. 3C．1 D.3 2答案：B解析：如图所示，正三棱锥P －ABC 中，OP ⊥面ABC ，∴点O 为正三角形ABC 的中心，连接OA ，利用平面几何知识知正△ABC 的高(中线长)等于3 32，而OA 是中线长的23，所以OA ＝ 3.在Rt △PAO 中AP ＝6，OA ＝3，OA ⊥OP ，得OP ＝ 3.5．正四棱台两底面边长分别为3cm 和5cm ，那么它的中截面面积为( )A ．2cm 2B ．16cm 2C ．25cm 2D ．4cm 2答案：B解析：如图所示，取A ′A 、B ′B 的中点分别为E 、F ，∴EF ＝12(3＋5)＝4(cm)．∴S 截＝42＝16(cm 2)．6．在侧棱长为2 3的正三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝20°，E 、F 分别是PB 、PC 上的点，过点A 、E 、F 作截面AEF ，则△AEF 周长的最小值是( )A ．6B ．2 3C ．36D ．6 3 答案：B解析：将正三棱锥侧面沿PA 展开，转化为平面内问题解决．二、填空题(每小题5分，共5×3＝157．如图所示，三棱台A ′B ′C ′－ABC 截去三棱锥A ′－ABC 后，剩余部分是________．答案：四棱锥解析：剩余部分是四棱锥A ′—BB ′C ′C .8．已知正四棱锥V －ABCD ，底面面积为16，一条侧棱长为 2 11，则它的斜高为________．答案：2 10 解析：由S 底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2 11，故斜高h ′＝ 112－22＝2 10.9①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是______________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 答案：②④解析：还原成正方体考虑．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)正方体ABCD－A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？(2)如图，平面BCEF将正方体ABCD－A1B1C1D1分成两部分后，各部分形成的几何体还是直棱柱吗？解：(1)由于侧棱垂直于底面，所以正方体是直棱柱．又底面是正方形，所以正方体是正棱柱．(2)被平面BCEF截成的两部分都是直棱柱，分别是直四棱柱ABFA1－DCED1、直三棱柱BB1F －CC1E.11．如图，在底面是菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，棱柱的高为12 cm，对角线AC1＝20 cm，BD1＝15 cm，求底面菱形的面积．解：连接AC，BD.因为棱柱的底面为菱形，则AC⊥BD.由直棱柱的定义，知CC1⊥AC，DD1⊥BD，所以AC2＝AC21－CC21＝202－122＝256，即AC＝16 cm，BD2＝BD21－DD21＝152－122＝81，即BD＝9 cm，所以底面菱形的面积为1 2·AC·BD＝12×16×9＝72(cm2)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，其中∠AVA1＝120°，VA＝VA1＝23，则线段AA1的长为所求截面三角形AEF周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求得AD＝3，则AA1＝6.所以截面三角形AEF周长的最小值为6.。

2018-2019高一数学北师大版必修二1.1.2 简单多面体

4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一棱柱的结构特征【例1】如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明 BC��MN).
2.棱柱 (1)棱柱的定义:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱. (2)棱柱的有关概念 ①棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形. ②两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱,底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点.(如图所示)
做一做4 如图所示的几何体是棱台的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①③⑤是棱柱,②是多面体,④为圆柱,⑦为棱锥,⑥为棱台. 所以答案为A. 答案:A
归纳总结棱柱、棱锥、棱台的性质比较
性质侧棱侧面平行于底面的截面过不相邻两侧棱的截面棱柱相互平行、相等均为平行四边形与底面全等的多边形平行四边形棱锥交于一点三角形与底面相似的多边形三角形棱台延长后交于一点梯形与底面相似的多边形梯形

高中数学 1.1.2简单多面体训练北师大版必修2

第二课时 1.1.2简单多面体一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。

难点：棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征的概括。

三、教学方法（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）教法：探析讨论法。

四、教学过程：(一)、新课导入：复习：1、简单几何体都有哪些类型？2、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

（二）探究简单多面体的结构特征1. 探究棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？知识探究（1）：棱柱的结构特征思考1：我们把下面的多面体取名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱柱下一个定义吗？思考2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？CC1BB1AA1③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.思考4：棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？答案：两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四边形思考5：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？思考6：一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’知识探究（2）：棱锥的结构特征思考1：我们把下面的多面体取名为棱锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？①定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.思考2：参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？思考4：一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥有分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？【至少有4个面；1个底面，N 个侧面，N 条侧棱，1个顶点. 】思考5：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？【相似多边形】②讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2、探究棱台的结构特征：① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台； →列举生活中的实例结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？③ 讨论：棱台具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）⑤讨论：棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）4. 练习：圆锥底面半径为１cm ，高为2cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（补充平行线分线段成比例定理）5. 小结：学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.（三）、巩固练习：课本P8 A 组 1～4题.（四）、小结：本课学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类. 要求大家理解和掌握（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步1简单几何体第2课时简单多面体课件课件

认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．
练一练
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
讲一讲
1. 给出下列几个结论：
①长方体一定是正四棱柱；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[自主解答] 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错， ②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③ 是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．
提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．
2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？
提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形” 的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．
讲一讲 2. 如图几何体中，四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2 的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．

高中数学 1.1.2 简单多面体课后训练北师大版必修2

高中数学 1.1.2 简单多面体课后训练北师大版必修21．下列说法正确的是()．A．三棱柱有6个顶点，3个侧面，6条侧棱B．三棱锥总共有4个面C．四棱台是由四棱锥截得的，故它与四棱锥具有相同的棱数D．几何体截去一部分后，面数会增加，顶点数也会增加2．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．在如图所示的长方体中，由面OAB，OBC，OCD，ODA以及ABCD所构成的几何体是()．A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．35．设M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合之间关系为()．A．P N M Q B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P6．若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是()．A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()．A．20 B．15 C．12 D．108．如图，下列几何体是棱台的是__________(填序号)．9．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为______cm2.10．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．参考答案1答案：B2答案：D 解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA 1P －DD 1Q ，三棱柱BB 1E －CC 1F 和四棱柱ABEP －DCFQ .3答案：B4答案：B 解析：对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错；②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是所截棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在直线均相交于同一点，故④是正确的．5答案：B6答案：D 解析：由正棱锥的图形可知，正棱锥的侧棱应大于顶点与底面中心的连线，正六边形的边长等于顶点与其中心的连线，故正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长．7答案：D 解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.8答案：④ 解析：①，③都不是由棱锥截成，不符合棱台的定义与特征，故①③错． ∵②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义与特征，∴②不正确．∵④中的截面平行于底面，且侧棱延长线交于一点，符合棱台的定义与特征，∴④正确． 9答案：16 解析：正四棱台的中截面是正方形，其边长为12(3＋5)＝4(cm)．由此S 截＝42＝16(cm 2)．10答案：解：如图，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′，符合题意的截面为△A ′BC .在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ′＝4，BB ′＝6.∴A ′B ＝''2'22246=213AB BB +=+. 同理A ′C ＝213，在等腰三角形A ′BC 中，O 为BC 的中点，BO ＝12×4＝2. ∵A ′O ⊥BC ，∴A ′O ''22A B BO - 22(213)2=43-∴S △A ′BC ＝12BC ·A ′O ＝1×4×4383 ∴此截面的面积为83。

高中数学第一章立体几何初步1.2简单多面体学案北师大版必修2

1.2 简单多面体[学习目标] 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算.【主干自填】1．几种常见的简单多面体13简2．我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是□单多面体．【即时小测】1．思考下列问题(1)如下图中的几何体，哪些是旋转体？哪些是多面体？提示：观察图中的几何体，其中②是圆柱，③是圆锥，④是半球，⑥是圆台，都是旋转体；①和⑤都是由若干个平面多边形围成的几何体，都是多面体．(2)棱锥有哪些作为棱锥集合的特征性质？如何利用棱锥的特征性质给棱锥下一个定义？提示：通过观察，我们可以得到棱锥的主要特征性质：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥提示：D 六棱锥的所有棱长不能都相等．3．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点提示：C 只有正棱台的侧棱都相等．例1 下列说法正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形[解析]由棱柱的定义可判断A、B、C均错，故选D.[答案] D类题通法棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[变式训练1]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确.例2 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析]因为棱台的侧棱延长后必交于一点所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误．[答案]①②③类题通法棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法[变式训练2]判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？答案图①，②，③都不是棱台．解析因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台.例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形D．每个侧面都是全等的矩形[解析]将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A、B错；对于D选项，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C.[答案] C类题通法几种四棱柱之间关系是判断基础四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示：[变式训练3]用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )A．六边形B．菱形C．梯形D．直角三角形答案 D解析用一个平面去截正方体，当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能为直角三角形．易错点⊳概念理解不透判断易错[典例] 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因分析] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解]满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．课堂小结1.棱柱、棱锥、棱台的关系棱柱、棱锥、棱台的关系如下图所示.2.棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．所谓多面体就是由平面多边形所围成的几何体，它还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面．2．下列几何体中棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个答案 D解析由棱柱的定义可知，只有①③两个满足棱柱的定义，故选D.3．下面三个命题，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分一定是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题主要考查棱台有关的概念．关键利用棱台的定义和特殊的几何体加以说明．命题①中的平面不一定平行于底面，故①错；命题②③可用举反例说明不成立，如图所示，故②③不对．4．已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中不正确的是( )答案 C解析各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以选项D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知选项A中的关系是正确的；同理选项B的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以选项C的关系不正确．。

高中数学北师大版必修二课件第1章 1.2 简单多面体

行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．
3．斜四棱柱的侧面最多含有矩形的个数是(
A．0 C．2 [答案] C [解析] 如图所示，在斜四棱柱ABCD －A′B′C′D′中，若AA′不垂直于AB，则DD′ B．1 D．3
)
也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边
形DCC′D′就不是矩形．所以斜四棱柱的侧面最多有2个矩形．
(2)正棱台正棱台，正棱台的侧面是全等用正棱锥截得的棱台叫作________ 的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高． (3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边四三棱台、________ 形……的棱台分别叫作________ 棱台、五 ________ 棱台…….
1. 下列不是简单多面体的是( A．棱柱 C．棱台 [答案] D D．球
然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面．
[规律总结] 1.棱柱的结构特征有三个：
(1)有两个面互相平行； (2)其余各面都是平行四边形； (3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．以上三个特征是判断一个几何体是否是棱柱的依据． 2．正棱柱的所有侧面都是矩形，且都全等．
1.多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体 ______．其中简单多面体．棱柱、棱锥、棱台都是____________ 2．棱柱 (1)棱柱的有关概念互相平行，其余各面都是_______ 四边形，并且每相邻两两个面________ 个四边形的公共边都互相平行 ________，这些面围成的几何体叫作棱底面，其余各面叫作棱柱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的______

2018-2019高中数学第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体北师大版必修2

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体至少四个面．
(√ )
(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面．
(√ )
知识点二棱柱的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
两个面互相
平行，其余各面
都是四边形，
并且每相邻两
个四边形的公共边都互相
平行，这些面围成的几何体叫作棱柱.
互动探究
题型三多面体的表面展开图问题
【探究1】画出如图所示的几何体的表面展开图．
解表面展开图如图所示：
【探究2】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)．
解点F，G，H的位置如图所示．
【探究3】如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18 cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC， PB时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？
【探究4】长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两个端点)．解将长方体展开，有三种情况(如图)．
d1＝ a2＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， d2＝ c2＋a＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， d3＝ b2＋a＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ac，因为 a>b>c，故 dmin＝d1＝ a2＋b＋c2.
知识点三棱锥的结构特征
定义
图形及表示
相关概念
分类
有一个面是
底面：多边形面．
按底面多
多边形，

高中数学第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体练习北师大版必修2

1.2 简单多面体1.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C2.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定解析:长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.答案:A3.如图所示的图形中不是正方体的表面展开图的是()答案:C4.导学号62180007正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面SAC,如图,则截面的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2解析:△SAC是等腰三角形,且SA=SC=a,底边AC=a,取AC的中点O,连接SO,则SO⊥AC,且SO=a,于是S△SAC=a×a=a2.答案:C5.已知长方体的全面积为11,十二条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.2B.C.5D.6解析:设长方体的三条棱长分别为a,b,c,则有则a+b+c=6,两边平方,得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,即a2+b2+c2=25,所以长方体的一条对角线长为=5.答案:C6.下列关于棱锥、棱台的说法:(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;(2)棱锥的侧面只能是三角形;(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是.答案:(1)(2)(3)7.已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16,一条侧棱长为2,则它的斜高为.解析:由S底=16知底面边长为4,又侧棱长为2,故斜高h'==2.答案:28.正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm,那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为 cm2.解析:正四棱台的中截面是正方形,其边长为×(3+5)=4(cm),由此S截=42=16(cm2).答案:169.一个正三棱柱的底面边长是4,高是6,过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面,求此截面的面积.解:如图所示,正三棱柱ABC-A'B'C',符合题意的截面为△A'BC.在Rt△A'B'B中,∵A'B'=4,BB'=6,∴A'B==2.同理A'C=2.在等腰三角形A'BC中,O为BC的中点,BO=×4=2.∵A'O⊥BC,∴A'O==4.∴S△A'BC=BC·A'O=×4×4=8,∴此截面的面积为8.10.导学号62180008一个棱台的上、下底面积之比为4∶9,若棱台的高是4 cm,求截得这个棱台的棱锥的高.解:如图所示,将棱台还原为棱锥,设PO是原棱锥的高,O1O是棱台的高.∵棱台的上、下底面积之比为4∶9,∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB=2∶3,∴PA1∶PA=2∶3.∵A1O1∥AO,∴,即.∴PO=12 cm,即原棱锥的高是12 cm.11.如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,∠ASB=40°,点M和N分别是棱SB和SC上的点,求△AMN的周长的最小值.解:沿侧棱SA将正三棱锥S-ABC的侧面展开,得到三棱锥S-ABC的侧面展开图,如图所示,连接AA',当M,N分别为AA'与SB,SC的交点时,△AMN的周长最小.∵SA=SA',∠ASB=∠BSC=∠CSA'=40°,∴∠ASA'=120°.∴∠SAA'=∠SA'A=30°.作SF⊥AA'于点F,∵SA=1,∴AF=A'F=SA=,∴AA'=,即△AMN的周长的最小值为.。