常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.

Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

引言

数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等，都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如，几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。

一、常微分方程在几何学的应用

在几何应用问题中，列的方程常常是含有变限定积分的方程。在求解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。凡是能用定积分计算的量，一定分布在某个区间(比如[]b a ,)上，并且对于该区间具有可加性，曲边梯形的面积A 与区间[]b a ,有关，当把[]b a ,分成n 个部分区间时，则所求量A 也相应地分成n 个部分量),,2,1(n i A i =∆，而A 就等于所有这些部分之和，即∑=∆=n

i i A A 1，这时我们就称面积A 对区间[]b a ,具有可加性，几

何中的面积、弧长，曲线方程等都具有这种特性。在求解微分方程的应用问题时，列出方程是关键性的一步，一定要逐字逐句地仔细阅读题目，根据题目的要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程，应用问题常常是初值问题。因而，要从题设中确定未知函数满足的初始条件。

常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合，达到简易直观的效果。

利用y '表示曲线)(x f y =上()y x ,点处的切线斜率或dy

dx

-

表示曲线)(x f y =上()y x ,点的法线斜率以及

⎰x

a dt

t f )(表示由曲线

)(x f y =)0)((≥x f ，直线a x x x ==,，x 轴所围图形的面积等方面的意义，

列方程。

解方程，在求解过程中一定要对常微分方程的解法熟悉于心，才能得心应手。首先要审视方程，判断方程类型，属于一阶微分方程还是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型，确定解题方案。

下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应用。

例1［2］、设)(x f y =是第一象限内连接点)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影。O 为坐标

原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3

1

63+x ，求

)(x f 的表达式。

解：根据题意有：

0)1(,1)0(==f f

且[]3

1

6)()(1231+=++⎰x dt t f x f x x ， 将上式两边对x 求导数，

得[]2)()(2)(1212x x f x f x x f =-'++ 当10≤

x

x x f x x f 1

)(1)(-=-

' 方程两边同除x ，

即得2

11)(x x x f -='

⎪⎭

⎫

⎝⎛ 积分可得c x

x x x f ++=1

)(

于是，方程通解为cx x x f ++=1)(2 把0)1(=f 代入通解，可确定常数2-=c 故所求函数)(x f 的表达式为：

.

x

y