22随机变量分布函数的定义

1 F(b)
F(b) F(a)
F(a) F(a 0)
例1 已知分布列求分布函数
设随机变量X的分布律为 X 0
1
2
p 0.3 0.5 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 X 1.5}。
当 x<0 时 当 0 x<1 时 当1 x<2 时
当x 2
F(x)= P{Xx}=
0 P{X=0}=0.3 P{X=0}+ P{X=1}=0.3+0.5=0.8 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
Distribution Function
2.2.1 分布函数的定义
定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x，
{X ≤ x}是一个随机事件，称
F(x) = P {X ≤ x}
为随机变量X 的分布函数
定义域 值域
x∈（－∞，＋∞）
F(x) ∈［０，１］
F(x) = P {X ≤ x}
X
x
2 非负有界
0 ≤ F (x) ≤ 1 F ( – ∞) = 0 F ( + ∞) = 1
3 右连续性 x,有 F ( x0 0) F ( x0 )
例1.
F ( x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是 因为F(+∞)=0 ≠1
例2.
设 随 机 变 量X的 分 布 函 数 为 ：
P {X < x}=
P(X x 0 )
F(x 0)
例题
计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数
解. 两点分布的分布律是： X
F(x)=P(X≤x) p
0
1
p 1-p
X
x
0
1
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0
X
x
0
1
当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
试 确 定 常 数a, b; 并 求X的 分 布 列
解 a b 1. 1
已知 1 P{X 2} 2
P{ X 2} F(2) F(2 0),
1
(a
b)
2 (
a)
2
2
3
解得 15
a ,b . 66
X 的分布函数为
X 的分布律为
0,
1
,
F
(
x
)
6 1 2
,
1,
x 1, 1 x 1,
X的分布函数F(x)为
p
0
F
(
x)
0.3 0.8
x0 0 x1 1 x 2
1﹣
0.5﹣
1
2 x
·¹ ¹ x
(2) P{0 X 1.5}
01 2
= P{0<X 1.5}+P{X=0}
=F(1.5)-F(0)+P{x=0}
=0.8－0.3+0.3.
2.2.2 分布函数的主要性质
1 单调不减性 当 x1 ＜ x2 ，则 F (x1 ) ≤ F (x2 )
xn-1≤x<xn xn≤x<+
n1
n1
P(X xk ) pk
k 1
k 1
1
F(x)
0
p1
p1 p2
n1
pi
i 1
1
x x1 x1 x x2 x2 x x3
xn1 x xn xn x
离散随机变量分布函数的图形
F (x) 1•
p1+ p2
1 x 2, x 2.
P( X xi ) F( xi ) F( xi 0)
X
1
1
2
p
1
6
11 1
26 3
1 1 1 22
F(x)=P(X≤x)
=P()=0
=P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
0
F
(
x)
p
1
x0 0 x1 1 x
F (x)
1·
q
○
○•
•
0
1
x
离散型随机变量的分布律
X
x1 x2 xk
P(X=xk) p1 p2 pk
x1
x2
x
xk
F(x)=P(X≤x)
若-<x<x1 F(x)=P() =0
X
x1 x2 xk
P(X=xk) p1 p2 pk
x1
x2
x
xk
F(x)=P(X≤x)
若x1x<x2 F(x)=P(X=x1)=p1
x的取值
F(x)=P(X≤x)
-<x<x1 x1≤x<x2 x2≤x<x3
P(X ) 0
P( X x1 ) p1
P( X x1 ) P( X x2 ) p1 p2
p1
○· x1
○
○
·x2 x·3
...
Leabharlann Baidu
阶梯型 跳跃线段
x
用分布函数表示事件的概率
F(x)=P(X≤x)
1.
P(X ≤ b)
F (b)
2.
P(X > b)
=1－P(X ≤ b)
3.
P(a<X ≤ b)
= P(X ≤ b) －P(X ≤ a)
4.
P(X =a)
= P(X ≤ a) － P(X ≤ a－0)
0
x 1
F(x)
0.4 0.8
1 x 1 1 x3
1
x3
试 求X的 概 率 分 布 列 。
0
x 1
F
(
x)
0.4 0.8
1 x1 1 x3
1
x3
间断点为 1, 1, 3
P( X xi ) F ( xi ) F ( xi 0)
P(X=-1)= F(1) F(1 0) 0.4 0
P(X=1)= F(1) F(1 0) 0.8 0.4
P(X=3)= F(3) F(3 0)
1 0.8
X －1
13
p 0.4 0.4 0.2
例3. 设离散型随机变量X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
a2,
3
a,
a b,
x 1; 1 x 1;
1 x 2;
x2
且P{X 2} 1 2