22随机变量分布函数的定义
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随机变量函数的分布
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4
概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
第二章-1分布函数
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 0) P(a < X < b) = F(b − 0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b − 0) − F(a − 0)
概率论
二、分布函数的性质 (1) F( x) 在(− ∞,+∞) 上是一个不减函数 ,
即对 ∀ x1 , x2 ∈(− ∞,+∞) 且 x1 < x2 , 都有 F( x1 ) ≤ F( x2 ) ;
概率论
F(x)的分布函数图
y
1பைடு நூலகம்
22 35 34 35
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 ， 上任意投掷一个质点， X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比， 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数 的分布函数. 的分布函数， 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
x→x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
概率论
例1 设有函数 F(x)
0 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A− B x→−∞ x→−∞ 2
π
π
概率论
解方程组
π A− 2 B = 0 π A+ B = 1 2
分布函数与概率密度函数分析：概率分布的数学描述
分布函数与概率密度函数分析：概率分布的数学描述概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其对应的概率。
在概率论中，有两种常用的概率分布函数，即分布函数和概率密度函数。
本文将分别对这两种函数进行详细的分析，探讨它们对概率分布的数学描述。
一、分布函数分布函数，又称分布累积函数，是描述随机变量的取值小于或等于给定值的概率。
它通常用字母F(x)表示。
对于随机变量X，其分布函数F(x)的数学定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P表示概率，X ≤ x表示随机变量X的取值小于或等于x。
分布函数是一个非递减的右连续函数。
通过分布函数，可以得到随机变量X在某个取值x处的概率。
具体而言，对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数。
而对于一个离散型随机变量X，其概率质量函数p(x)是分布函数F(x)的跳跃点的高度。
二、概率密度函数概率密度函数，简称密度函数，是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。
通常用字母f(x)表示。
对于随机变量X，其概率密度函数f(x)的数学定义为：f(x) = dF(x)/dx其中dF(x)表示F(x)的微分，dx表示x的微分。
概率密度函数具有以下性质：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数非负；2. ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的总面积为1；3. 在一段区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的积分得到。
通过概率密度函数，可以计算连续型随机变量在某个区间内的概率。
具体而言，连续型随机变量X在区间[a, b]上的概率可以表示为：P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx三、分布函数与概率密度函数的关系对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)与概率密度函数f(x)之间存在如下关系：F(x) = ∫[−∞, x]f(t)dt即分布函数F(x)是概率密度函数f(x)的积分。
反之，如果已知一个连续型随机变量X的分布函数F(x)，可以通过对F(x)求导来得到概率密度函数f(x)。
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
随机变量的分布函数
P{ X x}是不可能事件 ,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{ X 0} P{0 X x} .
故又称 F(x) 为累积概率函数.
例2 设随机变量 X 的分布律为
X 1 2 3
pk
111
424
求
X 的分布函数 ,并求
P{ X
1 },
3 P{
X
5 },
22
2
P{2 X 3}.
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答 不一定. 例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
1, 出正面;
此时称 为连续型随机变量 .
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.
四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{ X x} pk .
xi x
2.分布律与分布函数的关系
最容易做到的事是把简单的事变复杂，最难做到的事是把复杂的事变简单。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a), (2) P{X a} 1 F (a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{ X 0} P{0 X x} .
故又称 F(x) 为累积概率函数.
例2 设随机变量 X 的分布律为
X 1 2 3
pk
111
424
求
X 的分布函数 ,并求
P{ X
1 },
3 P{
X
5 },
22
2
P{2 X 3}.
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答 不一定. 例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
1, 出正面;
此时称 为连续型随机变量 .
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.
四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{ X x} pk .
xi x
2.分布律与分布函数的关系
最容易做到的事是把简单的事变复杂，最难做到的事是把复杂的事变简单。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a), (2) P{X a} 1 F (a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
随机变量的分布函数的定义
随机变量的分布函数的定义随机变量的分布函数是概率论中一项重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。
本文将会从以下几个方面详细介绍随机变量的分布函数的定义。
1. 随机变量的定义在介绍随机变量的分布函数之前，需要先介绍什么是随机变量。
随机变量是指随机试验得出的结果，它可以是一个离散的数值，也可以是一个连续的数值。
例如，掷一枚骰子得到的数字就是一个随机变量。
随机变量的取值是由概率决定的。
2. 分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数，一般用大写字母F表示。
设X是一个随机变量，则X的分布函数FX(x)定义为：FX(x) = P(X ≤ x)其中，≤ 表示小于或等于。
3. 分布函数的解释分布函数的解释是将随机变量的概率分布情况用一条连续的曲线来表示，可以很直观地看出随机变量取某个值的概率大小。
例如，在掷一枚骰子时，如果要求得点数小于等于3的概率，那么分布函数FX(x)就可以表示为：FX(x) = P(X ≤ 3) = 3/6 = 1/2这个值意味着当掷出的点数小于等于3时，随机事件发生的概率为1/2。
4. 分布函数的性质分布函数有以下几个基本性质：（1）0 ≤ FX(x) ≤ 1（2）FX(x)单调不降（3）当x → -∞时，FX(x) → 0（4）当x → +∞时，FX(x) → 1这些性质是由于随机变量的取值是由概率决定的，所以分布函数必须满足这些条件。
综上所述，随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数。
在实际问题中，掌握随机变量的分布函数可以更准确地建立数学模型，预测事件的概率，更好地解决实际问题。
《概率论》课程PPT ： 随机变量的分布函数
4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx
1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)
F(x)
2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)
随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)
f (x)dx
3e3xdx e3
1
1
概率论(随机变量的分布函数)
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a) a f ( x)d x.
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随 机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
例2.15 离散型随机变量X的分布函数为
0 , x 1 a , 1 x 1 F (x) 且 P（ X 2 / 3 a ,1 x 2 a b, x 2
2） 1 / 2
求a,b及X的分布律。
解
因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每 盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽 车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独 立)。求X的分布律、分布函数以及概率
P ( 2 X 3)
2.3 随机变量的分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地 描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个 列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试 灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事 件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只 灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说， 事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概 率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率(a≤b)。 由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R， 只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻 可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。
2.3随机变量的分布函数
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
随机变量的分布函数
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e
1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
随机变量的分布函数
1 1 x arcsin x 2
2
x
1
对 x>1， F (x) = 1
即
x 1 0, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1 (3).
1 1 2 2 P( X ) 1 x dx 2 2 sin 2t 6 1 1 1 3 (t ) F( ) F( ) . 2 6 2 2 3 2 1
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
• 例3.2.4
设§是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概 率为 (t )t (t ), (t )是与t有关的正值函数， 求 §的分布函数为。
3.4
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
x1 x2
y
f (x)
o x1
x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:P79中
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
随机变量的分布函数
A
sin
As
x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率 密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解 由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值， 所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节 随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
随机变量分布函数的定义
1 x 1 1 x3
1
x3
试求X的概率分布列。
0 x1
F(x) 00..48
1 x1 1 x3
1
x3
间断点 1为 ,1,3
P (Xxi)F (x i) F (x i 0 )
P(X=-1)= F ( 1 ) F ( 1 0 ) 0.40
P(X=1)= F (1 ) F (1 0 ) 0 .80 .4
F(x)=P(X≤x) p
0
1
p 1-p
X
x
0
1
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0
X
x
0
1
当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
F(x)=P(X≤x)
=P()=0
=P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
P(X=3)= F (3 ) F (3 0 ) 10.8
X －1
13
p 0.4 0.4 0.2
例3. 设离散型随机变量X 的分布函数为
0,
F(x)
a2, 3
a,
a b,
x 1; 1 x 1;
1 x 2;
x2
且P{X2}1 2
试确 定常a数 ,b; 并求X的分 布列
解 a b 1 . 1
11 1 26 3
1 1 1 22
已 知 1P{X2} 2
解得
P {X2} F (2 ) F (2 0 ),a
1
,
b
5 .
1(ab)(2a) 2
66
2
3
X 的分布函数为
随机变量的分布函数
求常数a.
答:
−x
1 a= 2
（3） (a ≤ X < b)＝ a p(u)du 的 何 义 P 几 意 ∫
b
(4) 若x是p(x)的连续点，则 的连续点， 是 的连续点
dF(x) = p(x) dx
例2：设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F(x) = 1 −x − e 1 2 x <0 x ≥0
− e−λx , x > 0 1 F(x)＝ 0, x ≤ 0
电子元件的寿命X( 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指 电子元件的寿命X(年 服从参数为3 数分布. 数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 求该电子元件寿命超过 (2)已知该电子元件已使用了1.5年 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能 已知该电子元件已使用了1.5 使用两年的概率为多少？ 使用两年的概率为多少？ 解:
反之，任一满足上述四个性质的二元 反之， 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 Y)的分布函数 的分布函数。 量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 已知二维随机变量
x y F(x, y) = A[B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
上服从均匀分布， 例 5 ： 设 K 在（ 0 ，5 ） 上服从均匀分布 ， 2 求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概 率。
p(x)
2. 指数分布
λe−λx , x > 0 若 X～ p(x)＝ ～ 0, x ≤ 0
答:
−x
1 a= 2
（3） (a ≤ X < b)＝ a p(u)du 的 何 义 P 几 意 ∫
b
(4) 若x是p(x)的连续点，则 的连续点， 是 的连续点
dF(x) = p(x) dx
例2：设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F(x) = 1 −x − e 1 2 x <0 x ≥0
− e−λx , x > 0 1 F(x)＝ 0, x ≤ 0
电子元件的寿命X( 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指 电子元件的寿命X(年 服从参数为3 数分布. 数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 求该电子元件寿命超过 (2)已知该电子元件已使用了1.5年 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能 已知该电子元件已使用了1.5 使用两年的概率为多少？ 使用两年的概率为多少？ 解:
反之，任一满足上述四个性质的二元 反之， 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 Y)的分布函数 的分布函数。 量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 已知二维随机变量
x y F(x, y) = A[B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
上服从均匀分布， 例 5 ： 设 K 在（ 0 ，5 ） 上服从均匀分布 ， 2 求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概 率。
p(x)
2. 指数分布
λe−λx , x > 0 若 X～ p(x)＝ ～ 0, x ≤ 0
第二章4随机变量的分布函数
(3)
1 2
)
xe 2 f (x) F x 0
x
e
2
2
x 0 x 0
例 5、设随机变量
X 的密度函数为
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
x
解： x 0 时， F x 当
( 3 ) F ( ) lim F ( x ) 0 ;
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
( 4 ) F ( x ) 至多有可列个第一类间 处右连续 .
断点，且在间断点
1
F(x)
-1 x
0
1
2
3
0 3
1
2
例1、设随机变量X的分布函数为 F x A Barctgx
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
当 x 2 时，
F x
x
f t dt
f t dt f t dt f t dt f t dt
1 2 0 1 2
第二章 第四节 随机 变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数 本节要点： 分布函数 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数
一 分布函数的定义和性质
1 分布函数的定义 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
x
P { X 3} 1 C5
3
1 10
P { X 4}
1 2
)
xe 2 f (x) F x 0
x
e
2
2
x 0 x 0
例 5、设随机变量
X 的密度函数为
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
x
解： x 0 时， F x 当
( 3 ) F ( ) lim F ( x ) 0 ;
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
( 4 ) F ( x ) 至多有可列个第一类间 处右连续 .
断点，且在间断点
1
F(x)
-1 x
0
1
2
3
0 3
1
2
例1、设随机变量X的分布函数为 F x A Barctgx
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
当 x 2 时，
F x
x
f t dt
f t dt f t dt f t dt f t dt
1 2 0 1 2
第二章 第四节 随机 变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数 本节要点： 分布函数 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数
一 分布函数的定义和性质
1 分布函数的定义 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
x
P { X 3} 1 C5
3
1 10
P { X 4}
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X的分布函数F(x)为
p
0
F
(
x)
0.3 0.8
x0 0 x1 1 x 2
1﹣
0.5﹣
1
2 x
·¹ ¹ x
(2) P{0 X 1.5}
01 2
= P{0<X 1.5}+P{X=0}
=F(1.5)-F(0)+P{x=0}
=0.8－0.3+0.3.
2.2.2 分布函数的主要性质
1 单调不减性 当 x1 ＜ x2 ，则 F (x1 ) ≤ F (x2 )
0
x 1
F(x)
0.4 0.8
1 x 1 1 x3
1
x3
试 求X的 概 率 分 布 列 。
0
x 1
F
(
x)
0.4 0.8
1 x1 1 x3
1
x3
间断点为 1, 1, 3
P( X xi ) F ( xi ) F ( xi 0)
P(X=-1)= F(1) F(1 0) 0.4 0
p1
○· x1
○
○
·x2 x·3
...
阶梯型 跳跃线段
x
用分布函数表示事件的概率
F(x)=P(X≤x)
1.
P(X ≤ b)
F (b)
2.
P(X > b)
=1－P(X ≤ b)
3.
P(a<X ≤ b)
= P(X ≤ b) －P(X ≤ a)
4.
P(X =a)
= P(X ≤ a) － P(X ≤ a－0)
Distribution Function
2.2.1 分布函数的定义
定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x，
{X ≤ x}是一个随机事件，称
F(x) = P {X ≤ x}
为随机变量X 的分布函数
定义域 值域
x∈（－∞，＋∞）
F(x) ∈［０，１］
F(x) = P {X ≤ x}
X
x
P {X < x}=
P(X x 0 )
F(x 0)
例题
计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数
解. 两点分布的分布律是： X
F(x)=P(X≤x) p
0
1
p 1-p
X
x
0
1
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0
X
x
0
1
当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
1 F(b)
F(b) F(a)
F(a) F(a 0)
例1 已知分布列求分布函数
设随机变量X的分布律为 X 0
1
2
p 0.3 0.5 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 X 1.5}。
当 x<0 时 当 0 x<1 时 当1 x<2 时
当x 2
F(x)= P{Xx}=
0 P{X=0}=0.3 P{X=0}+ P{X=1}=0.3+0.5=0.8 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
xn-1≤x<xn xn≤x<+
n1
n1
P(X xk ) pk
k 1
k 1
1
F(x)
0
p1
p1 p2
n1
pi
i 1
1
x x1 x1 x x2 x2 x x3
xn1 x xn xn x
离散随机变量分布函数的图形
F (x) 1•
p1+ p2
2 非负有界
0 ≤ F (x) ≤ 1 F ( – ∞) = 0 F ( + ∞) = 1
3 右连续性 x,有 F ( x0 0) F ( x0 )
例1.
F ( x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是 因为F(+∞)=0 ≠1
例2.
设 随 机 变 量X的 分 布 函 数 为 ：
P(X=1)= F(1) F(1 0) 0.8 0.4
P(X=3)= F(3) F(3 0)
1 0.8
X －1
13
p 0.4 0.4 0.2
例3. 设离散型随机变量X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
a2,
3
a,
a b,
x 1; 1 x 1;
1 x 2;
x2
且P{X 2} 1 2
1 x 2, x 2.
P( X xi ) F( xi ) F( xi 0)
X
1
1
2
p
1
6
11 1
26 3
1 1 1 22
试 确 定 常 数a, b; 并 求X的 分 布 列
解 a b 1. 1
已知 1 P{X 2} 2
P{ X 2} F(2) F(2 0),
1
(a
b)
2 (
a)
2
2
3
解得 15
a ,b . 66
X 的分布函数为
X 的分布律为
6 1 2
,
1,
x 1, 1 x 1,
F(x)=P(X≤x)
=P()=0
=P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
0
F
(
x)
p
1
x0 0 x1 1 x
F (x)
1·
q
○
○•
•
0
1
x
离散型随机变量的分布律
X
x1 x2 xk
P(X=xk) p1 p2 pk
x1
x2
x
xk
F(x)=P(X≤x)
若-<x<x1 F(x)=P() =0
X
x1 x2 xk
P(X=xk) p1 p2 pk
x1
x2
x
xk
F(x)=P(X≤x)
若x1x<x2 F(x)=P(X=x1)=p1
x的取值
F(x)=P(X≤x)
-<x<x1 x1≤x<x2 x2≤x<x3
P(X ) 0
P( X x1 ) p1
P( X x1 ) P( X x2 ) p1 p2