计量经济学第二章 简单线性回归

令
SSR
ˆ0

0
SSR
ˆ1

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
得
Yi nˆ0 ˆ1 Xi
XiYi ˆ0
Xi ˆ1
X
2 i
从而
正规方程
ˆ1 n
n
X iYi Xi2
X i Yi
2
Xi
ˆ0 Y ˆ1X
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由于 2未知，因此常用 2 的无偏估计残差方差 s2
来替代
s2 ˆ 2 ei2 n2
其算术根称回归标准误
2表示估计 参数的个数
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参数估计的标准误
SE ˆ0
ei2
X
2 i
n 2 n xi2
SE ˆ1
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回归的由来
回归(Regression)一词来源于19世纪英国生物学家葛 尔登(Francis Galton, 1822-1911)对人体遗传特征的 实验研究。他根据实验数据发现，双亲高的孩子个子 高，双亲矮的孩子个子矮，然而高和矮却不是无限制 的，总是越来越趋向于人的平均身高，他称这种现象 为“回归”。
ei2 n2
1 xi2
谷物-化肥一例的参数显著性检验 计量经济学
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谷物-化肥一例的参数显著性检验(续) 计量经济学
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SE ˆ0
ei2 n2 n
X
2 i
xi2

47.3056 3816 1.98 10 2 10 576
OLS用来拟合XY观测值样本的一条最好的直 线，涉及到求如下的最小值：
Min Yi Yˆi 2
其中Yi 表示实际观测值，Yˆi 表示相应的拟合值，
Yi Yˆi ei 称为残差。
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参数估计
SSR ˆ0, ˆ1 ei2 Yi ˆ0 ˆ1Xi 2
谷物产量和所用化肥量的计算 计量经济学
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计量经济学
谷物产量和所用化肥量的计算(续) ECONOMETRICS
ˆ1
xi yi xi2

956 576
1.66
ˆ0 Y ˆ1X 57 1.6618 27.12
Yˆi 27.12 1.66Xi
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第二章 简单线性回归
● 模型的建立及其假定条件 ● 普通最小二乘估计(OLS) ● 参数估计的显著性检验 ● 回归方程检验 ● 普通最小二乘估计的特性 ● 预测 ● 模型应用及有关软件操作 ● Monte Carlo 模拟
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模型的建立及其假定条件
为2.306，因此我们得到估计的参数在5%的显著性
上是统计显著的。
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P值
单侧：
H0 : 1 , H1 : 1
P值= Pt t1 H0
现在统计学上回归指的是变量之间的依存关系。
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两变量线性模型
反映因变量和自变量之间的近似线性关系
Yi 0 1 X i
由于所有点不可能恰在直线上，因此上式需添加 一随机扰动，误差或随机项 i ，这样上式成为：
Yi 0 1Xi i
因变量或 被解释变量
当 Xi 18 X ,Yˆ 27.12 1.6618 57 Y
说明？
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参数的显著性检验
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参数的显著性检验
参数估计的方差
Var ˆ0
2
n
X
2 i
xi2
Var ˆ1 2
1 xi2
1976 58
18
注：蒲式耳(谷物,水果等容量单位,
1977
60
22
美=35.238升,英=36.368升) 1 pound (磅)=0.4536 kilogram
1978 68
24
(千克) 1 acre (英亩)=0.405 hectare (公顷)
1979
74
26
1980 80
32
谷物产量和化肥施用量之间散点图 计量经济学
参数
自变量或 解释变量
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简单线性回归模型的重要假设
1) X与Y之间的关系是线性的； 2) X是非随机的变量，它的值是确定的； 3) 误差项的期望为0； 4) 对于所有观测值，误差项具有相同的方差； 5) 随机误差之间相互独立； 6) 误差项服从正态分布。
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例： 某农场1971年至
Year Yi
Xi
1980年每英亩的谷物 1971 40
6
产量(bushel)和化肥施 用量(pound)之间的数
1972
44
10
据见表，求出产量与 1973 46
12
化肥施用量之间的关 1974 48
14
系。
1975 52
16
data21.xls
参数估计的另一种表达式
令 xi Xi X yi Yi Y
则
ˆ1
xi yi xi2

cov X ,Y

2 X
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误差和残差的区别
误差
Yi 0 1Xi i i Yi 0 1Xi
残差
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi ei Yi Yˆi Yi ˆ0 ˆ1Xi
SE ˆ1
ei2 n2
1 xi2

47.3056
10 2576

0.1
因此
t0

ˆ0
SE
0 ˆ0
27.12 0 13.7 1.98
t1

ˆ1 1 SE ˆ1
1.66 16.6 0.1
由于自由度为8显著性水平为0.05的t分布的临界值
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Bushels of corn Y
90
80
70
60
50
40
30 5
10 15 20 25 30 35
Fertilizer X
利用Eviews所作
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普通最小二乘估计(OLS)
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普通最小二乘法
(ordinary least-squares method)