圆内接四边形习题

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【专题】圆的内接四边形

又 AOC ABC ，
AOC 120 ．
D 60 ，
故选： B ．
D．120
3. 如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， AD BC ．若 BAC 45 ， B 105 ，则下列等式成立的是 (
)
9
针对训练
强化提高
A． AB 1 CD 2
．
39. 如图，在 O 的内接四边形 ABCD 中， AB AD ， C 110 ．若点 P 为 AB 上，求 P 的度数．
40. 如图，已知四边形 ADBC 是 O 的内接四边形， AB 是直径， AB 10cm ， BC 8cm ， CD 平分 ACB ．
（1）求 AC 与 BD 的长；（2）求四边形 ADBC 的面积．
32. 如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 9 ， AD 15 ，BCD 120 ，弦 AC 平分 BAD ，则 AC 的长是 ()
A． 7 3 C．12
B． 8 3 D．13
33. 在圆内接四边形 ABCD 中，ACB ACD 60 ，对角线 AC 、BD 交于点 E ．已知 BC 3 2 ，CD 2 2 ，
9. 如图，四边形 ABDC 内接于 O ， BAC 60 ， AD 平分 BAC 交 O 于点 D ，连接 OB 、 OC 、 BD 、 CD ．
（1）求证：四边形 OBDC 是菱形；（2）若 ABO 15 ， OB 1 ，求弦 AC 长．
10. 已知四边形 ABCD 是圆内接四边形， 1112 ，求 CDE ．
则 CBE 度．
36. 如图， O 的内接四边形 ABCD 中，AB BC ，D 72，则 BAC
．
7

圆内接四边形的性质定理及其推论习题课件 2023—2024学年鲁教版(五四制)数学九年级下册

AD∶BD＝1∶3, AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为
()
A． 5
B．2 2
C．3 D．2 3
【点拨】
∵四边形 BCED 是半圆 O 的内接四边形， ∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C. ∴△ADE∽△ACB.∴DBCE＝AADC. ∵AE＝DE＝2，∴∠A＝∠ADE. ∴∠A＝∠C.∴AB＝BC. 连接 BE，∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC.
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．解：∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形．又∵EO⊥CD，∴CF＝DF. ∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC. ∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC. ∴△DCE是等边三角形．∴∠AEB＝60°. ∴△ABE是等边三角形．∴∠A＝60°.
又∵OA＝OC，AC＝4，∴OA＝2 2.
∴⊙O 的半径为 2 2. 【答案】 B
3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是 () A．25° B．30° C．32° D．35°
【点拨】连接BE.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°. ∴∠BED＝∠BAD＝60°. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°. ∴∠BDE＝90°－∠BED＝90°－60°＝30°.
【点拨】由题意可知∠AEF＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC.∴AAEB＝EBFC＝35. ∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°.∴∠BEA＝90°. ∴cos∠BAC＝AAEB＝35.易得 sin∠BAC＝45.
∴在 Rt△ ABE 中，BE＝AB·sin∠BAC＝6×45＝254.

圆内接四边形的性质-北京习题集-教师版

圆内接四边形的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD内接于O，若80∠的度数是()∠=︒，则ABCADCA．40︒B．80︒C．100︒D．120︒2．（2019秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD内接于O，过B点作BH AD⊥于点H，若135AB=，BCD∠=︒，4则BH的长度为(A．2B．22C．32D．不能确定3．（2017秋•门头沟区期末）如图，DCE∠的度∠=︒，那么BADDCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75数是()A．65︒B．75︒C．85︒D．105︒4．（2017•朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于O，E为DC延长线上一点，50∠的度数为(∠=︒，则BCEA)A．40︒B．50︒C．60︒D．130︒5．（2016•顺义区二模）如图，四边形ABCD 内接于O ，110A ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．110︒C ．120︒D ．140︒二．填空题（共6小题）6．（2019•丰台区模拟）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，若40DAB ∠=︒，则ADC ∠= ．7．（2019•海淀区校级一模）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且AOE ∠的度数为50︒，则B D ∠+∠的度数为．8．（2019•西城区二模）如图，点A ，B ，C ，D 都在O 上，C 是BD 的中点，AB CD =．若50ODC ∠=︒，则ABC ∠的度数为 ︒．9．（2018•通州区三模）如图，点A ，B ，C ，D 是O 上的四个点，点B 是AC 的中点．如果60ABC ∠=︒，那么ADB ∠= ．10．（2018秋•西城区校级月考）如图，DCE ∠是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果75DCE ∠=︒，那么BAD ∠的度数是．11．（2017秋•东城区期末）O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分BAD ∠，则正确结论的序号是． ①AB AD =； ②BC CD =； ③AB AD =； ④BCA DCA ∠=∠； ⑤BC CD =．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD 内接于O ，2OC =，22AC = （1）求点O 到AC 的距离；（2）求ADC ∠的度数．13．（2017秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒．求O 半径的长．14．（2015秋•北京校级期中）如图，四边形ABCD 内接于O ，40OAC ∠=︒，求ABC ∠的度数．15．（2012秋•东城区期末）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．圆内接四边形的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，若80ADC ∠=︒，则ABC ∠的度数是( )A ．40︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ， 180100ABC ADC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．2．（2019秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD 内接于O ，过B 点作BH AD ⊥于点H ，若135BCD ∠=︒，4AB =，则BH 的长度为(A 2B ．22C ．32D ．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得A ∠的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，135BCD ∠=︒， 18014545A ∴∠=︒-︒=︒，BH AD ⊥，4AB =， 2222BH ∴===，故选：B ．【点评】本题考查了圆内接四边形及勾股定理的知识，解题的关键是从题目中得到等腰直角三角形，难道不大．3．（2017秋•门头沟区期末）如图，DCE∠的度∠=︒，那么BADDCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75数是()A．65︒B．75︒C．85︒D．105︒【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答．【解答】解：四边形ABCD内接于O，BAD DCE∴∠=∠=︒，75故选：B．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．4．（2017•朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于O，E为DC延长线上一点，50∠的度数为(∠=︒，则BCEA)A．40︒B．50︒C．60︒D．130︒【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．【解答】解：四边形ABCD内接于O，BCE A∴∠=∠=︒．50故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．5．（2016•顺义区二模）如图，四边形ABCD内接于O，110∠的度数是()∠=︒，则BODAA．70︒B．110︒C．120︒D．140︒【分析】依据圆内接四边形的性质求得C ∠的度数，然后再求得BOD ∠的度数即可．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ， 180A C ∴∠+∠=︒． 18011070C ∴∠==︒-︒=︒． 2140BOD C ∴∠=∠=︒．故选：D ．【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得C ∠的度数是解题的关键．二．填空题（共6小题）6．（2019•丰台区模拟）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，C 为弧BD 的中点，若40DAB ∠=︒，则ADC ∠= 110︒ ．【分析】连接AC ，根据圆周角定理得到1202CAB DAB ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，计算即可．【解答】解：连接AC ，点C 为弧BD 的中点， 1202CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 40DAB ∠=︒， 140DCB ∴∠=︒，1409050DCA ∴∠=︒-︒=︒， 1802050110ADC ∴∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：110︒．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．7．（2019•海淀区校级一模）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且AOE ∠的度数为50︒，则B D ∠+∠的度数为 155︒ ．【分析】连接AB 、DE ，先求得25ABE ADE ∠=∠=︒，根据圆内接四边形的性质得出180ABE EBC ADC ∠+∠+∠=︒，即可求得155B D ∠+∠=︒．【解答】解：连接AB 、DE ，则ABE ADE ∠=∠， AOE ∠的度数为50︒， 25ABE ADE ∴∠=∠=︒，点A 、B 、C 、D 在O 上，∴四边形ABCD 是圆内接四边形，180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ABE EBC ADC ∴∠+∠+∠=︒，180********B D ABE ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：155︒．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．8．（2019•西城区二模）如图，点A ，B ，C ，D 都在O 上，C 是BD 的中点，AB CD =．若50ODC ∠=︒，则ABC ∠的度数为 100 ︒．【分析】先根据AB CD =．C 是BD 的中点，得到AB CD BC ==，再由圆周角定理得到11(180502)4022A ACB COD ∠=∠=∠=⨯︒-︒⨯=︒，最后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：C 是BD 的中点，AB CD =．∴CD BC AB ==，50ODC ∠=︒，111(1802)(180502)40222A ACB COD ODC ∴∠=∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒⨯=︒，180180402100ABC A ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．（2018•通州区三模）如图，点A ，B ，C ，D 是O 上的四个点，点B 是AC 的中点．如果60ABC ∠=︒，那么ADB ∠= 60︒ ．【分析】根据圆内接四边形的性质得出ADC ∠的度数，进而解答即可．【解答】解：点A ，B ，C ，D 是O 上的四个点，60ABC ∠=︒， 120ADC ∴∠=︒，点B 是AC 的中点． 60ADB ∴∠=︒，故答案为：60︒【点评】此题考查圆内接四边形，关键是根据圆内接四边形的性质得出ADC ∠的度数．10．（2018秋•西城区校级月考）如图，DCE ∠是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果75DCE ∠=︒，那么BAD ∠的度数是 75︒ ．【分析】直接利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解可得．【解答】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，且75DCE ∠=︒， 75BAD DCE ∴∠=∠=︒，故答案为：75︒．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．（2017秋•东城区期末）O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分BAD ∠，则正确结论的序号是 ②⑤ ． ①AB AD =； ②BC CD =； ③AB AD =； ④BCA DCA ∠=∠； ⑤BC CD =．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．【解答】解：①ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，AB ∴与AD 不一定相等，故本结论错误； ②AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，BC CD ∴=，故本结论正确；③ACB ∠与ACD ∠的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故本结论错误； ④BCA ∠与DCA ∠的大小关系不确定，故本结论错误； ⑤AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，∴BC CD =，故本结论正确．故答案为②⑤．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三．解答题（共4小题）12．（2019秋•海淀区校级月考）如图，四边形ABCD 内接于O ，2OC =，22AC = （1）求点O 到AC 的距离；（2）求ADC ∠的度数．【分析】（1）连接OA ，作OH AC ⊥于H ，根据勾股定理的逆定理得到90AOC ∠=︒，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出B ∠，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OA ，作OH AC ⊥于H ，228OA OC +=，28AC =，222OA OC AC ∴+=，AOC ∴∆为等腰直角三角形， 122OH AC ∴==，即点O 到AC 的距离为2；（2）由圆周角定理得，1452B AOC ∠=∠=︒，四边形ABCD 内接于O ，18045135ADC ∴∠=︒-︒=︒．【点评】本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．13．（2017秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒．求O 半径的长．【分析】根据圆周角定理得90ABC ∠=︒，然后在Rt ABC ∆利用勾股定理计算即可．【解答】解：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，45ADB ∠=︒，45ACB ADB ∴∠=∠=︒，2AB =，2BC AB ∴==，2222AC AB BC ∴=+O ∴2【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．14．（2015秋•北京校级期中）如图，四边形ABCD 内接于O ，40OAC ∠=︒，求ABC ∠的度数．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出180ADC x ∠=︒-，再根据圆周角定理推出3602AOC x ∠=︒-，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，180ADC ABC ∴∠+∠=︒，设ABC x ∠=，180ADC x ∴∠=︒-，23602AOC ADC x ∴∠=∠=︒-．OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠， 1(180)402OAC AOC ∴∠=︒-∠=︒， 130x ∴=︒，130ABC ∴∠=︒．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．15．（2012秋•东城区期末）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．【分析】由四边形OABC 为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得B AOC ∠=∠，由圆周角定理，可得2AOC ADC ∠=∠，又由内接四边形的性质，可得180B ADC ∠+∠=︒，即可求得120B AOC ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒，然后又三角形外角的性质，即可求得OAD OCD ∠+∠的度数．【解答】解：四边形ABCD 是圆内接四边形，180B D ∴∠+∠=︒．四边形OABC 为平行四边形，AOC B ∴∠=∠．又由题意可知2AOC ADC ∠=∠．180360ADC ∴∠=︒÷=︒．连接OD ，可得AO OD =，CO OD =．OAD ODA ∴∠=∠，OCD ODC ∠=∠．60OAD OCD ODA ODC D ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．。

圆内接四边形的性质判定定理习题及答案

17.已知：如图所示，平分. (1)求AC和DB的长； (2)求四边形ACBD的面积.
18.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足. 求证：E、B、C、F四点共圆.
19.如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G. (1)求⊙O的半径； (2)设，请写出之间关系式，并证明.
12.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .
三、解答径，⊙O交AB、AC于D、
E，求证：.
14.求证：在圆内接四边形ABCD中，. 15.在等边三角形ABC外取一点P,若，求证：P、A、B、C四点共圆.
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，M为CD中点，N为AB中点，于点 E，连接ON、ME，并延长ME交AB于点F.求证：.
角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 查四点共圆的判定方
上,且AE=AF. (1)证明:B,D,H,E四点共圆; (2)证明:CE平分∠DEF.
法及利用四点共圆的
性质证明角相等问题. 2.处理过程:第(1)小题
只要证明四边形BDHE
的内对角互补即可,但
该小题的的难点恰在
于如何证明内对角互
5.圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则
图中相似三角形有
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为
A. B.8 C. D.
T6
T7
T12
7.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接
题
共圆问题,引导学生作

圆内接四边形练习

（一）选择题1.如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 与劣弧BC 的中点M 重合，折痕分别交AB 、AC 于D 、E ，若BC=5，则线段DE 的长为（）335.3310.310.25.D C B A2.如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A.3232.232.323.23.ππππ----D C B A3.如图所示，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，四边形DEFG 是⊙O 的内接正方形，EF ∥BC ，则∠AOF 为（ C ）A.125°B.130°C.135°D.140°4.如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB ，CD 过圆心O ，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（）2..2.4.ππππD C B A5.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A.60°B.65°C.72°D.75°6．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（）R RD RC RB A n n n n 11)22.()21.()21.()22.(--（二）解答题 1.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD•DC=PA•BC ．2.如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．3.已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF（1）求证：AB=AC；（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．4.已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．5.已知：如图，圆内接四边形ABCD，过C点作对角线BD的平行线交AD的延长线于E点．求证：DE•AB=BC•CD．6．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．8.（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．9.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中=，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB=AD+2BE；（2）若∠B=60°，AD=6，△ADC的面积为，求AB的长．。

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题

中考数学总复习圆内接四边形专项练习题例题1：如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°.求∠OCB及弧DC的度数.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥DC，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD=86°，则∠PCE= °，⌒ADC的度数为例题2，如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，弧AB=弧AD，∠BCD=120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=37 ,求DE的长.练：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=BD,BM⊥AC于点M，已知AC=11,CD=7,求CM的长.例3.如图，在△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD，CD，CD与AP交于点E. 求证：∠1=∠2.练：如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°，则∠ACB= °.例题2，如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F.求证：EF=DE.练：如图，锐角△ABC中，BD，CE是高线，DG⊥CE于点G，EF⊥BD于点F.求证：FG∥BC6.如图，已知△ABC，∠C=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转x度（α为锐角），得到△ADE，连接BE，CD，延长CD交BE于点F.（1）用含有x的代数式表示∠ACD的度数为；（2）求证：点B，C，A，F四点共圆.（3）求证：点F为BE的中点.7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2.求AD的长度，课后习题：1.如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠A+∠BOD=150°，则∠DCE= °2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A与∠C的度数之比为2：3，且弧AD的度数为100°，则弧AB的度数°3,如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且DB=DC.AC是直径，若∠ACB=52°，则∠DAE= °4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，∠A=120°，CF⊥AB于F，连接DF交CB延长线于E，连接AE，则△AEF的面积为5.如图，已知P为长方形内一点，S△P AB=5, S△PBC=12, 则S△PBD=6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）7.已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD的长.8.如图，已知△ABC中，AH是高线，AT是角平分线，且TD⊥AB于点D，TE⊥AC于点E.求证：∠AHD=∠AHE.。

圆内接四边形综合题

例2：如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长
例3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE 的长都是正整数，求BD的长
E
A
B D
P
F
E
D C
B
A
例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，
求证： ::.PB BD PC CD
例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距
离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离
例7：在半⊙O 中，AB 为直径，一直线交半圆周于C 、D ，交AB 延长线与M （MB<MA ，
AC<MD ），设 K 是△AOC 与△DOB 的外接圆除点O 外的另一个交点，求证：∠MKO=90°
例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。

圆内接四边形的性质精选题36道

圆内接四边形的性质精选题36道一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝°．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝°．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝度．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝°．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝°．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝°．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．圆内接四边形的性质精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故选：C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣50°＝130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣130°＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝＝65°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【解答】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）A．30°B．50°C．70°D．80°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC＝40°，利用圆周角定理，得∠AOC＝2∠B＝80°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°．∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．8．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，如图所示，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．12．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二．填空题（共14小题）13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝215°．【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB ＝40°，则∠ABC＝70°．【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠DAB＝20°，∠ACB＝90°，计算即可．【解答】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝∠DAB＝20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．18．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝38度．【分析】由已知我们可以将点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【点评】本题利用了同弧对的圆周角是圆心角的一半的性质求解．19．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝60°．【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．20．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为8．【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE ＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．22．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝140°．【分析】根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，∴∠BAD＝＝＝40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理与圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．23．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝80°．【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝140°．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．25．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD＝AB可得出△ABD是等边三角形，则DE＝AD，∠ODE＝∠ADB＝30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．三．解答题（共10小题）27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补、锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．（1）求证：BD＝CD；（2）若圆O的半径为3，求的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°，∴BD＝CD；（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，由圆周角定理，得，的度数为：60°，故＝＝＝π，答：的长为π．【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．30．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．（1）求证：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得证．（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC；（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，∴AE＝＝，∴DE＝＝（cm）．【点评】本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．31．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【分析】根据圆周角定理得∠ABC＝90°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD ＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长；（2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE ＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CE＝AC，从而得到结论．【解答】（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．【点评】本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．34．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．【分析】根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CAB，进而利用勾股定理得出AF的值以及三角函数解答即可．【解答】解：作DE⊥AC，BF⊥AC，∵BC＝CD，∴，∴∠CAB＝∠DAC，∵∠DAB＝120°，∴∠DAC＝∠CAB＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝∠DEC＝90°，∴sin60°＝，cos60°＝，∴DE＝2，AE＝2，∵AC＝7，∴CE＝5，∴DC＝，∴BC＝，∵BF⊥AC，∴∠BF A＝∠BFC＝90°，∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，∴BF＝AF，∴，∴AF＝2或AF＝，∵cos60°＝，∴AB＝2AF，当AF＝2时，AB＝2AF＝4，∴AB＝AD，∵DC＝BC，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠ADC＝∠ABC，∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，但AC2＝49，，AC2≠AD2+DC2，∴AB＝4（不合题意，舍去），当AF＝时，AB＝2AF＝3，∴AB＝3．【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆周角定理和勾股定理以及三角函数解答．35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，连接BD交AC于点P．（1）求∠EDC的度数；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ADC＝90°，结合平角的定义可求解；（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．【解答】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝90°；（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD•AE．设DE＝x，则AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理，得BG＝DG，设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝8，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．∵∠DPC＝45°，∴OG＝PG．∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，∴⊙O的半径为2．∴AC＝4．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．36．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．【分析】（1）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；（2）如图2，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC 的长．【解答】解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．。

九年级数学：圆内接四边形练习(含答案)

九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。

(完整)初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形

例圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明：延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ．在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明（1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例（海南省，2000）如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

部编数学九年级上册专题24.5圆内接四边形【六大题型】(人教版)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是　60°　．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　64　°．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是　2x+1　．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为　8　．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为　4　．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。

圆的内接四边形(拔高训练)(有答案)

第3课时圆内接四边形重点：圆内接四边形对角互补。

习题精练1、下列关于圆内接四边形叙述正确的有（）①在圆内部的四边形叫圆内接四边形；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④圆内接四边形的一个外角等于它的相邻内角的对角。

A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A、80°B、120°C、100°D、90°3、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（）A、1:2:3:4B、1:3:2:4C、1:4:2:3D、1:2:4:34、如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°,则∠DAC的大小为（）A、130°B、100°C、65°D、50°5、如图，A、B、C在⊙O上，∠AOB=22.5°，则∠ACB的度数是_________.6、如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 为CD⌒ 上不同于点C 、D 的任意一点，则∠DPC 的度数是_________.7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE 。

求证：DB=DC 。

拓展提升8、如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（）A 、50°B 、60°C 、80°D 、90°第8题第9题9、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC=135°，22=CF ,则22BE AB +的值为（）A 、8B 、12C 、16D 、2010、如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_______°.11、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC=3，则DE=________.12、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，在劣弧AB 上取一点E ，连接DE ，BE ，过点D 作DF//BE 交⊙O 于点F ，连接BF ，AF ，且AF 与DE 相交于点G ，求证：（1）四边形EBFD 是矩形；（2）DG=BE 。

圆内接四边形练习题

圆内接四边形练习题一、选择题1. 圆内接四边形的对角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 270度D. 360度2. 以下哪个条件不能保证四边形是圆内接四边形？A. 对角互补B. 两组对边分别相等C. 两组对边分别平行D. 两组对角相等3. 如果圆内接四边形的一组对边相等，那么另一组对边也相等吗？A. 是B. 不一定C. 不是4. 圆内接四边形的对角线有什么特点？A. 互相垂直B. 互相平分C. 互相平行D. 互相垂直且平分5. 圆内接四边形中，内角和是多少度？A. 180度B. 360度C. 540度D. 720度二、填空题6. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A+∠C=∠B+∠D，那么四边形ABCD 是________。

7. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD且AD=BC，那么四边形ABCD是________。

8. 圆内接四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，那么四边形ABCD 是________。

9. 圆内接四边形ABCD中，如果AC平分BD，那么AC是________。

10. 圆内接四边形ABCD中，如果AC垂直于BD，那么四边形ABCD是________。

三、简答题11. 描述圆内接四边形的性质，并给出证明。

12. 如果圆内接四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，那么它们是否一定互相平分？为什么？13. 圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是圆的直径，那么∠A和∠C 有什么关系？14. 给定一个圆内接四边形ABCD，如果∠A=90度，那么四边形ABCD 是什么特殊类型的四边形？15. 圆内接四边形ABCD中，如果AB=CD，那么∠A和∠C之间有什么数量关系？四、计算题16. 在圆内接四边形ABCD中，已知AB=6cm，CD=8cm，且AB和CD是圆的直径，求四边形ABCD的面积。

17. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A=60度，∠B=120度，且AC=10cm，求BD的长度。

圆内接四边形

圆的内接四边形练习题（一）填空1．如图7-94，四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，△AOD∽△BOC，AD 与BC不平行，∠ABD=45°，则∠ACD=____．3∶5∶6，则∠B的外角度数为____．3．若圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是2∶3∶6，则该四边形内角中最大度数是____．4．若圆内接四边形相邻三个外角的度数的比是2∶4∶3，则该四边形内角中最大的角是____度．*5．如图7-95，在△ABC中，∠AEF=45°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠EFC=20°，则∠ABE=____．*6．如图7-96，在△ABC中，∠B=50°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则∠AEF=____．1．如图7-97，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=50°，则∠BOD=____．2．如图7-98，∠A=∠D=65°，∠ABD=30°，则∠ACD=____．12．如图7-101，已知⊙O中，弦AB=CD，延长BA，DC相交（1）PA=PC；（2）AB·EF=BE·DF．*13．如图7-102，已知在△ABC中，AD=DC，∠AFE=∠ADE，∠C=∠BAD．求证：ED=DF．*14．如图7-103，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP ⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．*15．如图7-104，四边形ABCD内接于⊙O，过AB延长线上一点E作EF∥AD，且与DC延长线交于F，证明四边形BEFC为圆内接四边形．16．如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．17．如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E．求证：AD=EC．*18．如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．*19．如图7-108，M，N分别是△ABC中AB，AC的中点，过M作AB的垂线交AC于D，过N作AC的垂线交AB于E．求证：B，C，D，E四点共圆．20．如图7-109，四边形ABCD内接于圆，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于E点．若AC=EC，求证：AD=EB．。

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《圆内接四边形》同步练习题(含答案)

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（）A．35°B．30°C．40°D．45°6．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（）A．155°B．150°C．160°D．162°7．如图，点B在上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°8．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则CD的长为（）A．2B．C．4﹣D．3﹣9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+2D．2+二．填空题11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小为．13．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为．15．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝2∠A，则∠C的度数为．16．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为．三．解答题17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．19．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC＝120°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，．延长AD交BC的延长线于点E．（1）证明：∠ACD＝∠ECD．（2）当AB＝8，CD＝5时，求AD的长度．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵AB＝AD＝CD，∴，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，设∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故选：D．5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．6．解：连接AE，∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED＝180°，∵所对的圆心角为50°，∴∠AEB＝×50°＝25°，∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，故选：A．7．解：在圆O上取点D，连接AD、CD，由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC＝50°，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣50°＝130°，故选：D．8．解：延长AB、DC，它们相交于点E，如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，∴∠D＝90°，∠A＝60°，在Rt△ADE中，∵∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AE＝2AD＝10，DE＝AD＝5，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣4＝6，在Rt△BCE中，∵BC＝BE＝2，∴EC＝2BC＝4，∴CD＝DE﹣CE＝5﹣4＝．故选：B．9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝50°，∴∠BCD＝130°，故选：D．10．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．二．填空题11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．12．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠A＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，故答案为：120°．13．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．14．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．15．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝2∠A，∴∠C＝120°，故答案为：120°．16．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．三．解答题17．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．18．（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴＝，∵OC⊥BD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD；（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，∵＝，∴BC＝CD，∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝33°．19．（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝BOC＝60°，∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解：连接OA，∵OB＝OA，∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，∴AC＝＝＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠ECD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD，∵，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ECD；（2）∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝∠ADC＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∠EDC＝∠B，设DE＝5x，则BE＝8x，∵∠ACD＝∠ECD，CD⊥AE，∴∠CAE＝∠CEA，∴AD＝DE＝5x，∴AB＝＝6x，即6x＝8，∴x＝，∴AD＝5x＝．。

圆的内接四边形

圆的内接四边形1．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠A=70°，则∠C的度数是（）A．70︒B．90︒C．110︒D．140︒2．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，∠BDC=120°，则∠BOC的度数为（）A．130︒B．120︒C．110︒D．100︒3．如图，A，B，C，D是圆O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，以为直径作圆O，分别交BC、AC于点D、E，连结AD、DE．(1)求证：点D是BC的中点；(2)若∠EDC=50°，则∠BAD=______．5．圆O的内接四边形ABCD中，∠B与∠D的数量关系为（）A．∠B=∠D B．∠B+∠D=180°C．∠B＞∠D D．∠B＜∠D6．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长BC到点E ，则∠A与∠DCE的数量关系一定成立的是（）A．∠A=∠DCE B．∠A+∠DCE=180°C．∠A＞∠DCE D．∠A+∠DCE =90°7．如图，点A、B、C在圆O上，P为弧BC上任意一点，∠A=m，则∠D+∠E等于（）A．2m B．m C．180°-m D．3m8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A．3B．2 C．23D．49．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为．10．在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，⊙O是△ABD的外接圆，若AB=6，AD=8，则OC= ．11．如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠BAD． (1)求证：BD平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，试求四边形ABCD的面积和此圆半径的长．12．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，32AC ，D在的延长线上，且AB=BD，DE⊥AD于点D，过B，C，D三点的圆O交于点F，连结．求圆O的半径．探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G，使AG=BG，求AG的长度．13．已知AB，CD为圆O的位于圆心两侧的两条弦，且弧AD=弧BC．(1)如图1，连接AC，BD．求证：AB∥CD．(2)如图2，过点A作CD的垂线交圆O于点E．若在弧AC上取一点F，使得弧AF=弧CE．求证：D，O，F三点共线．14．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．【初步应用】（1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角．①∠A的度数为_____ ；②连接BD，若圆O的半径为5，求线段BD的长；【拓展提升】（2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA 平分∠BCD，若圆O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？15．如图①，四边形ABDC内接于圆O，圆O的半径为3，AB=BC，∠BDC=60°，连接．(1)∠ADC的大小为__________度；(2)如图②，延长DC至点E，使CE=BD，连接AE．求证：∠DAE=120°；(3)直接写出DA+DB+DC的最大值．。

圆内接四边形

☞ 课堂小测
1、已知四边形ABCD内接于⊙O, 且∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 2、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75° 则∠C= 3、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm, ＰＡ＝４cm，求ＰＣ的长.
圆内接四边形
郝斌中学吴淑婷
温故知新
几何表达式： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A+∠C=180° ∠A=∠DCE
1、如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,如果∠BCD=130°,则 ∠BOD=____. 2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=_____. 3、四边形ABCD内接于⊙O，若 ∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，则m ＝，这个四边形最大内角是度， 4、圆内接四边形ABCD的一组对边AD、 BC的延长线交于P，对角线AC、BD交于点Q，则图中相似三角形有对
例1 △ABC外角∠CAM的平分线与外接圆相交与E，连接BE、CE 求证：BE=CE
拓展
练习1
练习2
例2 直径AB垂直弦CD，垂足为E,点F在弧AC 上，从点A向点C运动，AF的延长线与DC的延长线相交于点M (1)求证：∠AFD=∠MFC (2)求证：△AFD∼△CFM
பைடு நூலகம்
思考：点F在运动过程中，是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形，若存在请给予证明，若不存在，请说明理由。

圆内接四边形习题

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