八年级数学上册121幂的运算3积的乘方导学案华东师大版

§12.1幂的运算
3.积的乘方
学习目标：
1、理解、掌握和运用积的乘方的法则；
2、通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；
3、通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别 重点：积的乘方法则的理解和应用 难点：积的乘方法则的推导过程的理解 预习
1、口述同底数幂的乘法运算法则；
2、口述幂的乘方运算法则；
3、根据要求完成下列各小题 （1）若x 3
·x a
=x 5
，则a= ； （2）（ ）·x 5
=x 8
； （3）若53=x ，43
=y
，则y
x +3
＝（ ）；
A 、20
B 、9
C 、54
D 、45
（4）若a x =2，b x =3，则7x =( )； A 、2a+b B 、a 2
b C 、ab 2
D 、2ab 感受新知 一、探索
（1）(ab)2
= (ab) • (ab) = aa • bb = a
( )b ( )
根据上面的推理过程，请把下面两道题做出来 （2）（ab ）3
＝__________________________ ＝__________________________ ＝ a
( )b
( )
二、发现 积的乘方 试猜想： （ab ）n
= ?其中 n 是正整数 ※证明：（ab ）n
＝ ＝ ＝ a n b n
∴（ab ）n
＝ a n b n
（n 为正整数） 语言叙述积的乘方法则：
推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于什么？
2.逆运用可进行化简：a n b n
= (ab)n
（n 为正整数）
观察结果中幂的指数
与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?
三、实例 例 计算 （1）（2b ）3
； （2）（2×a 3）2； （3）（－a ）3； （4）（－3x ）4
解： 练习 1.计算：
(1) (ab)8
(2) (2m)3
(3) (-xy)5
(4) (5ab 2)3
(5) (2×102)2
(6) (-3×103)3
2.判断下列计算是否正确，并说明理由：
(1)（ab 2)3
=ab 6
( ) (2) (3xy)3
=9x 3y 3
( ) (3) (-2a 2)2
=-4a 4
( ) (4) -(-ab 2)2
=a 2b 4
( )
1-)73377337-)5(55
5=⨯-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛（（ ）
※3.
逆 用 法 则 进 行 计 算
我们知道 （ab ）n
＝ a n b n
那么 a n b n
＝（ab ）n
例： 24
×44
×0.1254
解：24
×44
×0.1254
＝(2×4×0.125)4
＝ 1
（1） (－4)2005
×(0.25)
2005
（2）－8
2000
×(－0.125)
2001
四、巩固 直接写出结果
①(5ab)2=
②(－xy 2)3=
③(－2xy 3)4 = ④(－2×10) 3
= ⑤(－3x 3)2
－[(2x)2]3
= ⑥(－3a 3b 2
c)4
= ⑦(－a n b n+1)3
= ⑧0.52009
×2
2009
=
⑨ (－0.25)3
×26 =
⑩ (－0.125) 8
×230
=
1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方
2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式
3、要注意运算过程和符号 自我检测
1、下列各式中，与x
5m+1
相等的是（ ）
A 、（x 5)m +1
B 、（x m +1)5
C 、 x · (x 5)m
D 、 x · x 5
· x m
2、x 14
不可以写成（ ）
A 、x 5
· (x 3)3
B 、 (－x ) · (－x 2
) · (－x 3
) · (－x 8
) C 、(x 7)7
D 、x 3
· x 4
· x 5
· x 2
3、若 ，则m= ；
4、若n 是正整数，且m=-1，则122)(+-n n m 的值是 ；
5、（1）a 6y 3
=( )3
；(2)81x 4y 10
=( )2
； (3)若(a 3y m )2
=a n y 8
, 则m= ,n= 6、计算
(1)（-2x 2y 3)3
(2) (-3a 3b 2
c)4
7、先化简，再求值：)()()(6)5(2
2232a b ab ab -⋅-⋅+-，其中a=1,b=-1；
1022x x x m m =⋅-+1
2331)()()3(+--⋅n n a a xy xy xy ⋅-23)2()()4(2
222)2()2()5(n mn mn ⋅--()20
20)2
11()32(6⋅2008
2008)7
5
(521()7(⋅-1001
3000
)
125.0(2)8(-⨯-（9）2(x 3)2 · x 3－(3x 3)3＋(5x)2 ·x 7
8、如果（a n•b m•b)3=a9b15,求m, n的值
9、试比较47，164，85的大小
10、试比较3555,4444,5333的大小.
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列事件中是必然事件的是（ ）
A ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C ．如果22a b =，那么a b =
D ．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 2．如图，OA AB =，90OAB ∠=︒，双曲线k y x
=经过点A ，双曲线k
y x =-经过点B ，已知点A 的纵
坐标为-2，则点B 的坐标为（ ）
A ．()53,
51+- B ．()
42,1
C ．()25,
51+-
D ．()
2
5,51-
3．如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 为CD 上一点，且DE ＝1，F 为射线BC 上一动点，过点E 作EG ⊥AF 于点P ，交直线AB 于点G ．则下列结论中：①AF ＝EG ；②若∠BAF ＝∠PCF ，则PC ＝PE ；③当∠CPF ＝45°时，BF ＝1；④PC 的最小值为13﹣1．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
4．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．2，3，4
B ．3，4，6
C ．4，5，6
D ．6，8，10
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF 的周长是（）
A．20 B．15 C．10 D．5
6．一种微粒的半径是4×10-5米，用小数表示为（）
A．0.000004米B．0.000004米C．0.00004米D．0.0004米
7．在平面直角坐标系中，点M(3，2)在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．反比例函数y＝k
x
，当x的值由n（n＞0）增加到n+2时，y的值减少3，则k的值为（）
A．
2
(2)
n n+
B．
(2)
2
n n+
C．﹣
(2)
2
n n+
D．
3(2)
2
n n+
9．已知点P（1，-3）在反比例函数
k
y(k0)
x
=≠的图象上，则k的值是
A．3 B．-3 C．D．
10．把方程2830
x x
-+=化成(x+m)2=n的形式，则m、n的值是( )
A．4，13 B．4，19 C．－4，13 D．－4，19
二、填空题
11．某市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物指数如表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是________
PM2.5指数150 155 160 165
天数 3 2 1 1
122_________．
13．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E. F，连接CE，则△DCE的面积为___.
14．如图，D是△ABC中AC边上一点，连接BD，将△BDC沿BD翻折得△BDE，BE交AC于点F，若，，△AEF的面积是1，则△BFC的面积为_______
==
22
AD CD BF EF
15．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点A作已知直线l的平行线”．
小云的作法如下：
（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；
（2）分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
（3）作直线AD．
所以直线A D即为所求．
老师说：“小云的作法正确”．
请回答：小云的作图依据是____________.
16．元旦期间,张老师开车从汕头到相距150千米的老家探亲，如果油箱里剩余油量y(升)与行驶里程x (千米)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么张老师到达老家时,油箱里剩余油量是_______升.
17．方程4
x 的根是__________.
232
三、解答题
18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以BD为腰作等腰△BDE交DC的延长线于点E，求BE的长．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠ABE=∠ABD=60°，AD=2，求AC的长．
20．（6分）已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC于点H，过点A 作AF⊥BC于F，交BE于点G.
(1)若∠D=50°，求∠EBC的度数；
(2)若AC⊥CD,过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．
21．（6分）2017年5月14日——5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．
（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；
（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？ 22．（8分）阅读下列解题过程：
22
1(32)(32)
3232(32)(32)(3)(2)
⨯--===-++--； 22
1(43)(43)
432343(43)(43)(4)(3)
⨯--===-=-++--. 请回答下列问题： （1）计算
65
-；
（2）计算
201920182019201720182016
31
++
+
--+++. 23．（8分）如图，ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E 、H 分别在AB 、AC 上．已知40cm BC =，30cm AD =．
（1）求证：AEH ABC ∽△△； （2）求这个正方形的面积．
24．（10分）在平面直角坐标系中，过点(1,3)C 、(3,1)D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 、B ． (1)求直线CD 和直线OD 的解析式；
(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交直线CD 于点N ，是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若AOC ∆沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中，2t ，AOC ∆与OBD ∆重叠部分的面积记为s ，试求s 与t 的函数关系式．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线33y x =+分别交x 轴，y 轴于点,A B .
（1）当03y <≤，自变量x 的取值范围是 （直接写出结果）； （2）点2
(,)3
C n -在直线33y x =+上. ①直接写出n 的值为 ；
②过C 点作CD AB ⊥交x 轴于点D ，求直线CD 的解析式.
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．D 【解析】 【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】
解：A 、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件； B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形是随机事件；
C 、如果a 2=b 2，那么a=b 是随机事件；
D 、13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月是必然事件；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．A
【解析】
【分析】
过点A 作AM y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MA ⊥延长线于点N ，BN 交x 轴于点H ,证明
AOM BAN ∆≅∆，得到,22k A ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭，2,222k k B ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
，再根据B 点坐标在k y x =-上取出k 的值. 【详解】 解析：过点A 作AM y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MA ⊥延长线于点N ，BN 交x 轴于点H . ∵OA AB =
∴AOM BAN ∆≅∆.
∴2AN OM ==.
∵A 在k y x
=上， ∴k 0<且,22k A ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭， ∴2
k BN =-， ∴22k BH BN HN AM OM =-=-=-
-. ∵22B N k x x AM AN ==+=-
+， ∴2,222k k B ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
. ∵B 在k y x
=-上，
∴2222k k k ⎛⎫⎛⎫-+--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得1225k =--，2225k =-+（舍）.
∴()
53,51B +-.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，三线合一性质.通过构造全等三角形，用含k 的式子来表示B 点坐标，代入点坐标求得k 值.难度中等，计算需要仔细.
3．C
【解析】
【分析】
连接AE ，过E 作EH ⊥AB 于H ，则EH ＝BC ，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF ＝EG ，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE ＝PC ；故②正确；连接EF ，推出点E ，P ，F ，C 四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC ＝∠FPC ＝45°，于是得到BF ＝DE ＝1，故③正确；取AE 的中点O ，连接PO ，CO ，根据直角三角形的性质得到AO ＝PO ＝12
AE ，推出点P 在以O 为圆心，AE 为直径的圆上，当O 、C 、P 共线时，CP 的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC ﹣OP ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
连接AE ，过E 作EH ⊥AB 于H ，
则EH ＝BC ，
∵AB ＝BC ，
∴EH ＝AB ，
∵EG ⊥AF ，
∴∠BAF+∠AGP ＝∠BAF+∠AFB ＝90°，
∴∠EGH ＝∠AFB ，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝1
2 AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣1
2 AE，
∵OC，AE
∴PC，故④错误，故选：C．
【点睛】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、圆的综合等知识，借助圆的性质解决线段的最小值是解答的关键.
4．D
【解析】
【分析】
分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42≠62，
∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，能够熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
5．C
【解析】
试题分析：：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE=1
2
AC，同理EF=
1
2
BC，DF=
1
2
AB，∴C△DEF=DE+EF+DF=
1
2
（AC+BC+AB）=
1
2
×20=1．
故选C．
考点：三角形的中位线定理
6．C
【解析】
【分析】
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
4×10-5= 0.00004
故答案为：C
【点睛】
考查了科学计数法，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
7．A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中，点的坐标与点所在的象限的关系，即可得到答案.
【详解】
∵3>0，2>0，
∴点M(3，2)在第一象限，
故选A.
【点睛】
本题主要考查点的坐标与点所在象限的关系，掌握点的坐标的正负性与所在象限的关系，是解题的关键. 8．D
【解析】
【分析】
根据函数的增减性，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【详解】
由题意，得k
n
﹣
2
k
n+
＝3，
解得k＝3(2)
2
n n+
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数，利用函数的增减性得出分式方程是解题关键．9．B
【解析】
根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（1，-1）代入
k
y
x
=，得
k
3
1
-=，解得k=－1．故选B．
10．C
【解析】
【分析】
根据配方的步骤把x2-8x+3=0配方变为(x+m)2=n的形式，即可得答案.
【详解】
x2-8x+3=0
移项得：x2-8x=-3
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2-8x+42=-3+42
配方得：(x-4)2=13
∴m=-4，n=13.
故选C.
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
二、填空题
11．150，1
【解析】
【分析】
根据众数和中位数的概念求解．
【详解】
这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，1，1，160，165，
则众数为：150，
中位数为：1．
故答案为：150，1
【点睛】
此题考查中位数，众数，解题关键在于掌握其概念
12．1
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质可得,2,90AC BD AB BC ABC ===
∠=︒，再利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，四边形ABCD 是边长为2正方形
则,2,90AC BD AB BC ABC ===∠=︒
由勾股定理得：222BD AC AB BC ==+=
即这个正方形的两条对角线相等，长为1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理，掌握理解正方形的性质是解题关键．
13．6
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE ，设CE=x ，表示出ED 的长度，然后在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∵EO 是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ，
设CE=x ，则ED=AD−AE=8−x ，
在Rt △CDE 中,CE 2=CD 2+ED 2，
即x 2=42 +(8−x) 2，
解得：x=5，
即CE 的长为5，
DE=8−5=3，
所以△DCE 的面积=1
2 ×3×4=6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题关键在于得出AE=CE.
14．2.5
【解析】
【分析】
由2BF EF =，可得ABF AEF BDF DEF S 2S 2S 2S ===，，由折叠可知BCD BED S S =，
可得BCF BCD 5S S 3=，由2AD CD =可得ABD BCD S 2S =，则ABC BCD S 3S =，又
ABC ABF BCF S S S =+，可得BCD BCD 53S S 23=+，即可求得BCD S ，然后求得BCF S .
【详解】
解：∵2BF EF =，
∴ABF AEF BDF DEF S 2S 2S 2S ===，，
由折叠可知BCD BED S S =，
∴BDF BCD 2
S S 3=，
∴BCF BCD BDF BCD 5S S S S 3=+=，
∵2AD CD =，
∴ABD BCD S 2S =，
∴ABC BCD S 3S =， ∵ABC ABF BCF S S S =+，
∴BCD BCD 5
3S S 23=+，
解得：BCD S
1.5=， ∴BCF S
2.5=；
故答案为2.5.
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题的关键是由线段的关系得到面积的关系.
15．①四边相等的四边形是菱形②菱形的对边平行
【解析】
【分析】
利用作法可判定四边形ABCD 为菱形，然后根据菱形的性质得到AD 与l 平行．
【详解】
由作法得BA=BC=AD=CD ，
所以四边形ABCD 为菱形，
所以AD ∥BC ，
故答案为：四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、菱形的判定与性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
16．20
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出y 与x 之间的函数关系式，然后把x=150代入解析式就可以求出y 的值，从而得出剩余的油量．
【详解】
解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，由函数图象，得
35=b 25=100k b ⎧⎨+⎩
， 解得：k=-0.1b 35
⎧⎨=⎩ ，
则y=﹣0.1x+1．
当x=150时，
y=﹣0.1×150+1=20（升）．
故答案为20
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,正确读懂函数图像，利用待定系数法求函数解析式并代入求值是解题的关键.
x=±
17．2
【解析】
【分析】
解1x4=31得x1=4或x1=-4（舍），再解x1=4可得．
【详解】
解：1x4=31，
x4=16，
x1=4或x1=-4（舍），
∴x=±1，
故答案为：x=±1．
【点睛】
本题考查解高次方程的能力，利用平方根的定义降幂、求解是解题的关键．
三、解答题
18.
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出BD，可得DE=BD=5，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝4，∠BCD＝90°，
∴DE＝BD5，
∴CE＝DE﹣CD＝1，
在Rt△BCE中，BE==
【点睛】
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）证明见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DAB=∠ABE=60°，推出△ABD是等边三角形，由BD垂直平分AC，得到∠AFD=90°，AC=2AF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）∵BD垂直平分AC，EA⊥AC，∴AE∥BD．
∵BE∥AD，∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）∵AD∥BE，∴∠DAB=∠ABE=60°．
∵∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形．
∵BD垂直平分AC，∴∠AFD=90°，AC=2AF．
∵AD=2，∴AF3
AC=23
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20．（1）∠EBC=25°；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角以及平行线的性质，即可得到∠1=∠2=1
2
∠ABC，再根据平行四边形ABCD中，
∠D=50°=∠ABC，可得出∠EBC的度数；
（2）过M作MN⊥BC于N，过G作GP⊥AB于P，则∠CNM=∠APG=90°，先根据AAS判定△BPG≌△BFG，得到PG=GF，根据矩形GFNM中GF=MN，即可得出PG=NM，进而判定△PAG≌△NCM（AAS），可得
AG=CM ，再根据等角对等边得到AH=AG ，即可得到结论．
【详解】
(1)∵AB=AE ，
∴∠1=∠3，
∵AE ∥BC ，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠
2=1
2∠ABC ，
又∵平行四边形ABCD 中,∠D=50°，
∴∠ABC=50°，
∴∠EBC=25°；
(2)证明：如图,过M 作MN ⊥BC 于N,过G 作GP ⊥AB 于P,则∠CNM=∠APG=90°，
由(1)可得，∠1=∠2，
∵AF ⊥BC ，
∴∠BPG=∠BFG=90°，
在△BPG 和△BFG 中，
12
CNM APG
BG BG
∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩ ，
∴△BPG ≌△BFG(AAS)，
∴PG=GF ，
又∵矩形GFNM 中，GF=MN ，
∴PG=NM ，
∵AC ⊥CD,CD ∥AB ，
∴∠BAC=90°=∠AFB ，
即∠PAG+∠ABF=∠NCM+∠ABC=90°，
∴∠PAG=∠NCM ，
在△PAG 和△NCM 中，
PAG NCM CNM APG PG NM ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
， ∴△PAG ≌△NCM(AAS)，
∴AG=CM ，
∵∠1=∠2，∠BAH=∠BFG ，
∴∠AHG=∠FGB=∠AGH ，
∴AG=AH ，
∴AH=MC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线. 21．（1）该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．（2）该企业2017年的年利润总和能突破1亿元．
【解析】
【分析】
（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x ，根据第一季度及第三季度的利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，取其正值即可；
（2）根据平均增长率求出四个季度的利润和，与1亿元比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x ，
根据题意得：2000（1+x ）2＝2880，
解得：x ＝0.2＝20%或x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%；
（2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）＝10736（万元），
10736万元＞1亿元．
答：该企业2017年的年利润总和突破1亿元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据平均增长率求出四个季度的利润和．
22．（1
（2
）1-
【解析】
【分析】
（1）通过分母有理化进行计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】
解：（1
===
（2）原式31=
+--
1=
1=.
【点睛】
考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．（1）见详解；（1）
1440049 【解析】
【分析】
（1）根据EH ∥BC 即可证明．
（1）如图设AD 与EH 交于点M ，首先证明四边形EFDM 是矩形，设正方形边长为x ，再利用△AEH ∽△ABC ，得
D
EH BC AM A =，列出方程即可解决问题． 【详解】
（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，
∴EH ∥BC ，
∴∠AEH ＝∠B ，∠AHE ＝∠C ，
∴△AEH ∽△ABC ．
（1）解：如图设AD 与EH 交于点M ．
∵∠EFD ＝∠FEM ＝∠FDM ＝90°，
∴四边形EFDM 是矩形，
∴EF ＝DM ，设正方形EFGH 的边长为x ，
∵△AEH ∽△ABC ， ∴
D
EH BC AM A =， ∴304030
x x -=， ∴x ＝1207
， ∴x 1＝1440049， ∴正方形EFGH 的面积为
1440049cm 1． 【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）y=-x+1，y=
13x ；（2）m=34或214；（3）S=211t 163--+（）. 【解析】
【分析】
（1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设M （m ，
13m ），则N （m ，-m+1）．当AC=MN 时，A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，可得|-m+1-13
m |=3，解方程即可； （3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD 上．设O′C′与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A′C′与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．根据S=S △OFQ -S △OEP =
12OF•FQ -12OE•PG 计算即可.
【详解】
解：（1）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
3
31
k b
k b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，解得
1
4
k
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴直线CD的解析式为y=-x+1．
设直线OD的解析式为y=mx，则有3m=1，m=1
3
，
∴直线
OD的解析式为y=
1
3
x.
（2）存在．
理由：如图1中，设M（m，1
3
m），则N（m，-m+1）．
当AC=MN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴|-m+1-1
3
m|=3，
解得m=3
4
或
21
4
.
（3）如图2中，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
2t，所以水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，
1133t +），C′（1+t ，3-t ）． 设直线O′C′的解析式为y=3x+b ，
将C′（1+t ，3-t ）代入得：b=-1t ，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-1t ．
∴E （43
t ，0）． 联立y=3x-1t 与y=
13x ，解得x=32
t ． ∴S=S △OFQ -S △OEP =12OF•FQ -12
OE•PG =12（1+t ）（1133t +）-141••232
t t =211t 163--+（）. 【点睛】
本题考查一次函数综合题、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
25．（1）10x -<≤；（2）①1；② 1739y x =-
+ 【解析】
【分析】
（1）先利用直线y=3x+3确定A 、B 的解析式，然后利用一次函数的性质求解；
（2））①把C （-23
，n ）代入y=3x+3可求出n 的值； ②利用两直线垂直，一次项系数互为负倒数可设直线CD 的解析式为y=-
13x+b ，然后把C （-23，1）代入求出b 即可．
【详解】
解：（1）当y=0时，3x+3=0，解得x=-1，则A （-1，0），
当x=0时，y=3x+3=3，则B （0，3），
当0＜y≤3，自变量x 的取值范围是-1≤x ＜0；
（2）①把C （-23，n ）代入y=3x+3得3×（-23
）+3=n ，解得n=1； ②∵AB ⊥CD ，
∴设直线CD 的解析式为y=-
13x+b ，
把C（-2
3
，1）代入得-
1
3
×（-
2
3
）+b=1，解得b=
7
9
，
∴直线CD的解析式为y=-1
3
x+
7
9
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设
y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若方程233x m x x =---有增根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．-3
2．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合．已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ）
A ．7cm
B ．10cm
C ．12cm
D ．22cm
3．化简2(12)-的结果是（ ）
A ．12-
B ．21-
C ．1
D ．322-
4．小明做了四道题：()22
2-=①；()222-=-②；222=±③；()2224=④；做对的有（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．①④
5．如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△DBF ≌△EFA ．则正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、
ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）
A ．AOM ∆和AON ∆都是等边三角形
B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
C ．四边形AMON 与四边形ABC
D 是位似图形 D ．//MO BC 且BM CO =
7．菱形的对角线不一定具有的性质是（ ） A ．互相平分
B ．互相垂直
C ．每一条对角线平分一组对角
D ．相等
8．如果()()5x m x +-中不含x 的一次项,则（ ） A ．5m =
B ．0m =
C ．5m =-
D ．1m =
9．已知32m =8n ，则m 、n 满足的关系正确的是（ ） A ．4m=n
B ．5m=3n
C ．3m=5n
D ．m=4n
10．设max 表示两个数中的最大值，例如：max{0,2}2=，max{12,8}12=，则关于x 的函数
max{3,21}y x x =+可表示为（ ）
A ．3y x =
B ．21y x =+
C ．3(1)21(1)x x y x x <⎧=⎨+≥⎩
D ．21(1)
3(1)x x y x x +<⎧=⎨≥⎩
二、填空题
11．关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0(a ≠2)的解是_____．
12．解关于x 的方程
311
x m
x x -=--产生增根，则常数m 的值等于________． 13．点A （2，1）在反比例函数y=k
x
的图象上，当1＜x ＜4时，y 的取值范围是 ．
14．若直角三角形的两边长分别为1和2，则斜边上的中线长为_____.
15．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.
16．关于x的方程21
0 4
x bx c
++=有两个实数根，则符合条件的一组,b c的实数值可以是b=______，c=______．
17．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点F为CD上一点，E是AD的中点，且DF＝1．在BC上找点G，使EG＝AF，则BG的长是___________
三、解答题
18．如图，直线y=1
2
x+b，分别交x轴，y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y=
k
x
在第一象限内的交
点，过点P作PB⊥x轴于点B，若OB=2，PB=3.
（1）填空：k= ；
（2）求△ABC的面积；
（3）求在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
19．（6分）甲、乙两组数据(单位：)
mm如下表：
甲11 9 6 9 14 7 7 7 10 10 乙 3 4 5 8 12 8 8 13 13 16 （1）根据以上数据填写下表；
平均数众数中位数方差
甲9 5.2
乙9 17.0
（2）根据以上数据可以判断哪一组数据比较稳定．
20．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；
（1）将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A 1B 1C 1． 21．（6分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝AD. 求证：(1) AB ＝BC ＝CD ＝DA (2) AC ⊥DB
(3) ∠ADB ＝∠CDB ，∠ABD ＝∠CBD ，∠DAC ＝∠BAC ，∠DCA ＝∠BCA
22．（8分）已知直线y kx b =+的图象经过点(2,4)和点(2,2)-- （1）求b 的值；
（2）求关于x 的方程0kx b +=的解
（3）若11(,)x y 、22(,)x y 为直线上两点，且12x x <，试比较1y 、2y 的大小
23．（8分）如图1，点O 为正方形ABCD 的中心，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于 BC 的长. （1）求∠EOF 的度数.
（2）连接 OA 、OC （如图2）.求证：△AOE ∽△CFO. （3）若5
OF ，求AE CF
的值.
24．（10分）若m ，n ，p 满足m －n=8，mn ＋p 2＋16=0，求m ＋n ＋p 的值？
25．（10分）如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=36°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：AB=DC ．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．D 【解析】 【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x−1）＝0，得到x ＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值． 【详解】
233
x m
x x =-
-- 方程两边都乘（x−1）， 得x=2（x−1）-m ， ∵原方程有增根，
∴最简公分母（x−1）＝0， 解得x ＝1，
当x ＝1时，1=2（1−1）-m
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17﹣5=12（cm）.
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm.
故选C.
3．B
【解析】
【分析】
=∣1
【详解】
∣1∣1，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简，解此题的关键在于熟记二次根式的性质．4．D
【解析】
【分析】
根据无理数的运算法则，逐一计算即可.
(2
=
①，正确；
2
=，错误；
2
=，错误；
2
2
④，正确；
=
4
故答案为D.
【点睛】
此题主要考查无理数的运算，熟练掌握，即可解题.
5．C
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【详解】
连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，。