理想流体的运动微分方程共33页
流体力学第四章_理想流体运动基本方程
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。
理想流体的运动微分方程
理想流体的运动微分⽅程你刚刚更新第四节在流动的理想流体中，取出⼀个微元平⾏六⾯体的微团，它的各边长度分别为d、d和d，如图3-2所⽰。
由于是理想流体，没有黏性，运动时不产⽣内摩擦⼒，所以作⽤在流体微团上的外⼒只有质量⼒和压强。
该压强与静压强⼀样，垂直向内，作⽤在流体微团的表⾯上。
假设六⾯体形⼼的坐标为、、，压强为。
先分析⽅向的运动，在垂直于轴的左右两个平⾯中⼼点上的压强各等于，由于是微元⾯积，所以这些压强可以作为各表⾯上的平均压强。
设在六⾯体形⼼上的单位质量的质量⼒分量为、、和，则作⽤在微元平⾏六⾯体的流体微团上的质量⼒在轴⽅向的分量为⼜流体微团的加速度在轴上的投影为，则根据⽜顿第⼆定律得轴⽅向的运动微分⽅程将上式各项除以流体微团的流体质量，化简后得：]同理：这就是理想流体的运动微分⽅程。
对于静⽌的流体，，则由上式可以直接得出流体平衡微分⽅程，即欧拉平衡微分⽅程式。
因此欧拉平衡微分⽅程只是欧拉运动微分⽅程的⼀个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分⽅程写成如下形式你刚刚更新第五节理想流体微元流束的伯努利（Bernoulli）⽅程⼀．理想流体微元流束的伯努利⽅程理想流体的运动微分⽅程只有在少数特殊情况下才能求解。
在下列⼏个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同⼀微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量⼒只有重⼒。
即可求得理想流体微元流束的伯努利⽅程。
根据欧拉运动微分⽅程和流线微分⽅程可以推导出或上式称为理想流体微元流束的伯努利⽅程。
该⽅程的适⽤范围是：理想不可压缩均质流体在重⼒作⽤下作定常流动，并沿同⼀流线（或微元流束）。
若1、2为同⼀条流线（或微元流束）上的任意两点，则上式也可写成，在特殊情况下，绝对静⽌流体，可以得到静⼒学基本⽅程。
⼆．⽅程的物理意义和⼏何意义1．物理意义第⼀项z表⽰单位重量流体所具有的位势能；第⼆项表⽰单位重量流体的压强势能；第三项表⽰单位重量流体具有的动能位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
流体力学第6章流体运动微分方程
（2）进口与出口
流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布 通常也是需要知道的，如管流。
（3）液体-气体交界面
液体-气体交界面的边界条件主要有两个：
运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等。
压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表面张力相 平衡。
31
第三十一页，共40页。
根据这些初始条件和边界条件，我们可对 基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到 符合实际流动的求解结果。
时可用以应力表示的运动方程。
Navier-Stokes方程是不可压流体理论中最根本 的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流 体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方 程。
27
第二十七页，共40页。
6.3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将N-S方
程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通 过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积 分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程 组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分 常数，才能得到具体流动问题的特解。
将切应力和法向应力的关系式
xy
( vx
y
vy x
)
yz
( vz
y
vy z
)
zx
( vx
z
vz x
)
xx
p
2
vx x
yy
p
2
vy y
zz
p
2
vz z
代入上式的第一式并整理得：
20
第二十页，共40页。
Dvx Dt
fx
1
p x
(
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
流体运动的连续性方程、34理性流体运动微分方程及其积分、35伯努利方程-PPT精品文档
连续性微分方 m m m d x d y dz x y z t 程的一般形式 ( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 t x y z 或 ( u )0 t
C
105.0 0
2
解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程
计算点选在液面上，即有 2 v 1 1 p 0， 0 1 p 2 2g Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m
令v2=vc
2 2 1 . 0 v v c c 15 0 0 1 . 2 0 0 . 1 2 g 2 g
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用
时，应对上式进行修正：
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
2 2 p u p u 1 1 2 2 z z h 1 2 w g 2 g g 2 g
工程流体力学课件
杨庆华 制作
Copyright2019西南交通大学土木工程学院流体力学教研室
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法
•
• •
§3–2 流体运动的一些基本概念
§3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分
•
•
§3–5 伯努利方程
§3–6 动量方程
2
符号说明：
符号
物理意义
单位重流体的位能
几何意义
位置水头
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
第四章流体动力学
y
du y 1 ∂p − = ρ ∂y dt
同理可得x 方向的关系式 方向的关系式： 同理可得 、z方向的关系式：
f
f
f
f f
x
dux 1 ∂p − = ρ ∂x dt du z 1 ∂p − = ρ ∂z dt
x
即
y
dux 1 ∂p − = ρ ∂x dt du y 1 ∂p − = ρ ∂y dt
水流必需是恒定流； ⑴水流必需是恒定流； 作用于液体上的质量力只有重力； ⑵作用于液体上的质量力只有重力； 在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件， ⑶在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取 的两个断面之间，水流可以不是渐变流； 的两个断面之间，水流可以不是渐变流； 在所取的两个过水断面之间，流量保持不变， ⑷在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入 或分出。若有分支，则可对两支水流分别建立能量方程式， 或分出。若有分支，则可对两支水流分别建立能量方程式，例如图 1 示有支流的情况下,能量方程为： 示有支流的情况下,能量方程为： 3 p 3 α 3V 32 p1 α 1V12 Q1 Z1 + + = Z3 + + + hw1− 3 1 2 2g 2g ρg ρg Q3 Q2 p 3 α 3V 32 p 2 α 2V 22 3 Z2 + + = Z3 + + + hw 2 − 3 2 2g 2g ρg ρg 流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为： ⑸流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + ± Ht = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
第四讲 流体动力学基本方程 (1)理想流体
4-3 理想流体的运动微分方程
同理，可推得在 x、z 方向有：
1 p dvx fx x dt 1 p dvy fy y dt 1 p dvz fz z dt
理想流体的运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
4-3 理想流体的运动微分方程
也可以从雷诺输运方程角度来得到欧拉方程：
一、控制体与物质体
控制体 (Control Volume):
由一个固定空间构成的体积
在不同时刻由不同的流体质点
占据
控制面 (Control Surface):
控制体的封闭表面 流体质点可自由通过
4-1 雷诺输运方程
一、控制体与物质体
物质体(Material Volume):
由系统的流体团构成的体积
的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数
在这种情况下，方程组中有四个未知数u、v、w和p，而方 程仅有三个 为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭， 从理论上提供了求解的可能性。
由dV=dxdydz
4-3 理想流体的运动微分方程
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
欧 拉 运 动 微 分 方 程 欧 拉 平 衡 微 分 方 程
1 p fx 0 x 1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
v 0 t
该式是流体的连续方程式，是质量守恒定律在流体运动 中的体现，是一切流体运动必须遵循的普遍原则。 直角坐标系下，连续方程式可写为：
vx v y vz 0 t x y z
4-2 连续性方程
第04章理想流体动力学
y
2 t
（4-3）
(U p v2 ) 0
z
2 t
括弧内函数不随空间坐标(ｘ，ｙ，ｚ)变化,
只可能是时间的函数。
所以
p v2
U F (t)
2 t
（4 - 4）
若流体的质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，
有U＝－ｇｚ，故
gUz
p
v2 2
t
F (t)
（4
- 4'）
7
t
为书写简单，引入 F (t)dt 0
分常数Ｃ 只在同一条流线上不变，不同流线取 l
值不同，称为流线常数或者说拉氏积分在整个空 间成立，而伯氏积分只在同一条流线上成立。
18
为了工程上的应用，现将伯氏方程推广到 有限大的流束。
渐变流动:流线近似平行，而且流线的曲率很小 的流动，否则称为急变流动。
渐变流动特点：(z p) 项在整个过水（过流） 断面上为常数。
z p 称为静压
v2 称为动压
2
28
伯努利方程的应用
实例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞） 图示容器装有液体，在重力作 用下从小孔流出。求流量。
设小孔面积比容器中液面 面积小很多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流），
不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力。满足伯氏方程来求解的前提。
29
取小孔轴线为基准，整个容器看成一个大流管 取容器液面为截面
将Φ对ｘ，ｙ，ｚ求偏导数，仍为速度的投影
x
x
Vx
y
y
Vy
z
z
Vz
引入Φ后，式（４-４）可改写成：
U p V 2
2
t
（４-5）
8
若流体的质量力只有重力，式（4 - 4'）可写成：
第5章 理想流体运动
第五章理想流体流动•欧拉运动方程•伯努利方程及其应用•开尔文涡线定理•能量守恒定律•速度势函数与流函数什么是理想流体？为什么要研究理想流体？第一节理想流体的欧拉运动方程式完整的求解一个流动问题有几个未知数？：p压力u：r速度zy x u u ：u ,,速度完整的描述此流动问题需要有几个方程？:=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u zy x 质量守恒方程动量方程个分量有矢量方程3,欧拉运动方程柯西方程()()()()T div g v v t v dt v d ρ1+=∇⋅+∂∂=v v v vv ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u u y u u x u u tu zx yx xx x x z x y x x xτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zy yy xy y yz yy yx yτττρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y xf z u u y u u x u u t u zz yz xz z z z z y z x z τττρ1矢量形式()()()p grad g v v tv ρ1−=∇⋅+∂∂v v v v⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂x p f z u u y u u x u u t u x x z x y x x x ρ1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y p f zu u y u u x u u t u y yz y y y x yρ1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z u u y u u x u u t u z z z z y z xz ρ1矢量形式剪应力全部=0压应力=压强即正应力=-p根据牛顿第二定律得x 方向的运动方程式为()dt du dxdydzdydz x p p dydz p dxdydz X x ρρ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−+上式简化后得同理zoyx微元六面体A A1A2dx xPp ∂∂−21dxxP p ∂∂+21pdtdu x p X x=∂∂−ρ1dtdu z p Z dt du y p Y zy =∂∂−=∂∂−ρρ11111xy z du p X x dt du p Y y dt du p Z z dtρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂对静止流体的欧拉平衡方程式和理想流体的欧拉运动方程式进行对比101010p X x p Y y p Z zρρρ∂−=∂∂−=∂∂−=∂把上式的三个方程依次乘以i、j、k后相加可得理想流体运动方程的矢量形式，即：1d p dt ρ=uf -∇(,,)d dx dy dz dt dt dt dt==r u dz dtdu dy dt du dx dt du dz zpdy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x++=∂∂+∂∂+∂∂−++)(1)(ρ由于稳定流时流线与迹线重合，质点沿流线运动，由流线上微元矢量（dx,dy,dz）与时间间隔dt所构成的导数便是流体质点的速度，即将欧拉拉运动微分方程式中各式分别乘以dzdy dx ,,相加得（4-4）伯努利方程的推导——分量方法式（4-4）等号右端可变为222211()()22y x z x x y y z z x y z du du du dx dy dz u du u du u du d u u u d u dt dt dt++=++=++=因此)(21)()(1)(2u d dp Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x pZdz Ydy Xdx =−++=∂∂+∂∂+∂∂−++ρρ1()()y x z du du du p p pXdx Ydy Zdz dx dy dz dx dy dzx y z dt dt dt ρ∂∂∂++−++=++∂∂∂•思考一下什么情况下左端的项可以消去？–静止流体–稳定流，且沿流线积分–稳定流，且沿涡线积分–稳定流，且为无旋流动•右端三项分别为：重力势能，动能和压力能•可以写成水头的形式，即单位重量流体的能量•利用伯努利方程，如何通过测压力来测量流速？CvpU E =++=22ρ伯努利方程的适用条件第三节开尔文涡线定理•开尔文涡线定理的表述–理想正压流体在有势力场中运动时，连续流场内沿封闭流体线的速度环量不随时间变化–如果理想流体初始状态静止或绕任意封闭流体线的速度环量为0，则流体运动必然是无旋运动–如果理想正压流体在势力场中运动时，如某一时刻无旋，则流场始终无旋。
理想流体动力学 欧拉运动微分方程
k tlldt kt ll
l dk k tlll k dt t 由 2出去的动量 由1进来的动量
单位时间内从 1 进来的动量
v (v n ) d
1
n
控制面的外法线单位矢量
单位时间内从 2出去的动量
dk v (v n)d v (v n )d v (v n )d dt 2 1
定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和
压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论：
实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
理想流体动力 学
伯努利方程的应用：
一、小孔口出流
求流量
截面Ⅰ：z1 h p1 p0
U1 0
截面Ⅱ：z2 0 p2 p0 , U2 U ? Ⅰ,Ⅱ截面列伯氏方程：
v y 1 p vx vy vz Y t x y z y v y v y v y
（4-2）
v z v z v z v z 1 p vx vy vz Z t x y z z
矢量
dv 1 F p dt
即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。
(通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 下的定常无旋运动
V2 z C 2g p
(通用常数)
理想流体动力 学
§４-３伯努利积分式及其应用
——欧拉方程在定常运动沿流线的积分
一、推导过程： 假设条件： （１）理想不可压缩，质量力有势； （２）定常运动； （３）沿流线积分。
理想流体动力 学
p0 p0 U 2 h 0 0 2g
4-5第4讲 理想流体运动微分方程及其积分
p du u u u u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y u v w y dt t x y z p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2 g g 2 g g
（3-22）
即单位重量流体的机械能是守恒的（总水头是不变的） ， （3-21）式的物理意义就是机械能守 恒，故又称为能量方程。 2 ·
V2
流线
V1
1 ·
z1
z2
基准线
图 3-12 沿流线上机械能守恒
注意 1：伯努利方程的使用条件如下： (1) 流体为理想流体 (2) 流动为定常流动 (3) 流体是不可压缩的 (4) 只有重力场，质量力只有重力 (5) 沿一条流线。 沿不同的流线，常数的值一般是不相同的。 注意 2：伯努利方程表示，沿一条流线单位质量流体的位能、压能和动能之和为常数。 这是机械能守恒在流体力学中的体现，也是伯努利方程的物理意义。 注意 3：对于水流而言，如果某点的压强低于水的汽化压强，则会产生气泡，发生了汽 化现象，此时方程（3-21）就不再适用了。 有几个常用的名称介绍如下：
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
有
V 2 gy 0 g (h y ) 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度的关系为
V 2 gh
（3-24）
例3-2 设水流以速度 V 在封闭管道中匀速流动如图 3-15 所示， 试求水流速度 V 与两管 （直管与折管）中液面高度差∆h 的关系。 ∆h h1
（3）根据牛顿第二定律列方程
微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为 由牛顿第二运动定律，沿 x 方向的运动方程为
水力学 第3章 流体力学基本方程PPT课件
积分得：
p u2 gzppρt精选版 2 cons. t
19
例1：已知：u = x+t，v = -y+t, w = 0。
求t=0时，经过点A（-1，-1）的流线方程。
解：t=0时，u=x, v=-y, w=0；代入流线微分方程， 有：
dx dy x y
ln xln yC 1
xyc
流线过点（-1，-1） ∴ C =1
流线方p程 pt精选为 版 x： y 1
这里：
Vuivjwk
aaxiay jazk
2.欧拉法：
以流场作为研究对象，研究各流场空间点上流体质 点的各运动要素随时间与空间的变化的分布规律。
流场：运动流体所占据的空间。
在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的运
动速度（即速度函数）是定义ppt在精选空版 间点上的，它们是空间点坐
标（x, y, z）的函数：
因为： V // ds
因此,两矢量的分量对应成比例：
ppt精选版
dx dy dz
u vw 15
四.流管、流束、元流、总流：
1.流管：
在流场中任意绘一条非流线的封 闭曲线，在该曲线上的每一点作流 线，这些流线所围成的管状面称为 流管。
由于流管的“管壁”是由流线构成的，因而流体质点的 速度总是与“管壁”相切，不会有流体质点穿过“管壁”流 入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管子里 流动一样：从一端流入，从另一端流出。
二.恒定流与非恒定流：
1.恒定流（定常流动）：
流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。
特征 u ： v w 0 ， p0 等。
t t t
t
2.非恒定流（非定常流动）：
运动微分方程-理想流体流动
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
准数形式的动量传递方程为：
du1 (e y ) 1 2 1 EuP u1 ( u1 ) 1 d 1 Fr Re 3 Re
(2)准数形式的能量传递方程
采用同样方法对能量传递方程无量纲化，可得准数形式 的能量传递方程：
dT1 1 2T1 d 1 Re Pr
普朗特（Prandtl）准数为： 流体的热扩散系数为：
v cP Pr a k k cP
1.3.5.3 相似原理 相似原理包括以下三方面的内容： (1)两个相似系统，它们的同名准数必定相等。 (2)属于同一系统的各准数之间存在着一定的函数关系，这些 函数关系将由描述现象的微分方程式决定。
作用在控制体 中流体合外力
质量力
表面力
dux 2u x 2u x 2u x P Fbx ( 2 2 2 ) d x x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 x x y z 3 x x 2u y 2u y 2u y P Fby ( 2 2 2 ) d y x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 y x y z 3 y y du y duz P 2u z 2u z 2u z Fbz ( 2 2 2 ) d z x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 z x y z 3 z z
热传导过程服从傅里叶定律。
第四章 理想流体力学
其余两项同上，积分得沿流线的能量方程
P u z+ + =C ρ g 2g
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表明：在恒定、质量力只有重力，流体不可压缩条件下沿 流线各点水头相等。
与势流场方程形式上完全相同，积分常数有差 别，（不同流线有不同的C值，势流场中对势流 的全流场C值均为同一常数。
§4.2
理想流体元流的伯努利方程
• 一、流体中的 能量转换现象
∂ u ∂ u ∂ u = ( )dx + ( )dy + ( )dz ∂y 2 ∂z 2 ∂x 2
2 2 2
u = d( ) 2
2
【Ι】=
—gdz
【Ⅱ】= − d (
P
ρ
)
代人总式得
u2 d ( gz + + ) = 0 ρ 2
P
u2 【Ⅲ】= d ( ) 2
积分得：
u ' gz + + = C ρ 2
• 重力作功：
WG = dmg ( z1 − z2 ) = ρ gdQdt ( z1 − z2 )
• 压力作功：
WP = p1dA1dL1 - p2dA2dL2
= p1dAU1dt − p2dAU2dt 1 2 = dQdt ( p1 − p2 )
• 外力做功的总和：
ΣW = ρg dQ dt (z1 z 2 ) + dQdt(p1 2 ) － －p
由动能定理可以得到
：
ρdQdt 2 (u 2 − u12 ) = ρgdQdt(z1 − z 2 ) + (p1 − p 2 )dQdt 2
两边除以ρg dQdt，整理得到恒定元流的能量方程 ：