概率论知识点整理及习题答案

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第一章随机事件与概率

1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？

它们的联系与区别是：

（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相

容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于

两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多

只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们

有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，=A、AU=、

AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？

两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发

生的概率。而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导

致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？

所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空

间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一

定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质

随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的.所确定的。例如：

（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为={0，1，2，3}。

在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。

4．频率与概率有何联系与区别？

事件A的概率是指事件A在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为：

概率的公理化定义：设E为随机试验，为它的样本空间，对E中的每一个事件A都赋予一个实数，记为P(A)，且满足

（1）非负性：0≤P(A)≤1；

（2）规范性：P()=1；

（3）可加性：若A1,A2,L,An,L两两互不相容，有

P(UAi)=∑P(Ai)。

i=1i=1∞∞

则称P(A)为事件A的概率。

而事件A的频率是指事件A在n次重复试验中出现的次数n(A)与总的试验次数n之比，即n(A)为n次试验中A出现的频率。因此当试验次数n为n

有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件A一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。

不过由大数定律保证，频率总能稳定在某个固定数P(A)周围，并且

→∞fn(A)n→P(A)，即频率总有稳定值。该稳定值P(A)称为事件A的概率。

有此得到概率的统计性定义：

在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事件A发生的频率的稳定值p为事件A的概率，记为P(A)。

概率P(A)的性质如下：

（1）P(φ)=0。

（2）若A1,A2,L,An两两互不相容，则P(UAi)=∑P(Ai)。

i=1i=1nn

（3）若A的对立事件记为，则P(A)=1P()。

（4）若AB，则P(BA)=P(B)P(A)，且P(A)≤P(B)。

（5）P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)。

此性质可推广到任意有限个事件A1,A2,L,An，即

P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)P(A1A3)

P(A2A3)+P(A1A2A3)。

P(UAi)=∑P(Ai)∑P(AiAj)+

i=1i=1i

熟练掌握概率的诸条性质，有利于简化复杂事件的概率计算，尤其要善于利用性质3，把复杂事件的概率计算转化为计算逆事件的

概率。

5．条件概率与无条件概率有何区别与联系？

无论是无条件概率还是条件概率都必需满足公理化定义。由条件概率定

$P(AB)/P(B)P(B)>0，则称P(A|B)=义（若A、B为样本空间中的

两个事件，

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。）可以看出

P(A|B)是在事件“B发生”的条件（新条件）下事件A发生的概率，它与无条件概率（普通概率）P(A)的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件（概率公理化定义中的条件）。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件并非可无。

无条件概率P(A)是在原来的样本空间中计算事件A发生的概率，而条件概率P(A|B)可看作事件B发生后，在缩小的样本空间中计算

事件A发生的概率。因此求条件概率的一般方法如下：

（1）事件B发生后，在缩小的样本空间中计算事件A发生的概

率P(A|B)；

（2）在样本空间中先计算P(AB)、P(B)，再按定义计算P(A|B)。

当两个事件A、B相互独立时（事件A是否发生不影响事件B发

生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此时P(A|B)=P(A)，即在事件A、B相互独立条件下无条件概率与条件概率是一样的。

6．如何使用全概率公式和Bayes公式?

全概率公式与Bayes公式应用起来较为复杂，但应用比较广泛。在分析应用全概率公式过程中，它把事件A的概率（不太好求）分

解成几个比较容易计算的事件概率之和，形似繁琐，实则简单。其

关键是寻找一组两两互不相容事件A1，A2，L，An，使要研究的事

件AUAi，即