D82一个正态总体期望与方差的假设检验.ppt

问能否认为这批金属丝的折断力方差仍为64 (α=0.05)?
解: 该问题是在总体期望未知时来检验假设
H 0 :2 0 2 6 4 ;H 1 :2 0 2
由题中所给数据计算得
x1(5 7 8 5 7 2 L 5 7 0 ) 5 7 5 .2
n
1 0
(x i x )2 (5 7 8 5 7 5 .2 )2 (5 7 2 5 7 5 .2 )2 L
W{uu1/2}
u 0
u 拒绝H 0 1
(b)H 1:0
W{uu1}
拒绝H0u1 0
u
(c)H 1:0
W{uu}
（备择假设、拒绝域和显著性水平）
⑤ 判断
根据样本观测值计算检验统计量值u , 若 u 落入拒绝 域W 中，则拒绝原假设H 0 ,否则，接受原假设H 0 .
例1 厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度 （单位：MPa）服从正态分布，平均抗断强度为3.25，方差
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
二、方差的假设检验－ 2 检验
一、期望值的假设检验
1、方差2 02为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本X 1 ,X 2 ,L ,X n来自正态总体 N(,2), 方
差 2 已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行.
①建立假设
0
0i 1
故对给定的显著性水平α， 取拒绝域为
W {2 2 ( n 1 )o r2 2 ( n 1 ) }（8.2.7）
1
2
2
例3 某车间生产的金属丝，质量较稳定.其折断力服
从正态分布N(,2),通常20264,今从一批产品中抽
出10根作折断力试验，结果如下（单位：kg）：
578，572，570，568，572，570，572，596，584，570
设样本X 1 ,X 2 ,L ,X n来自正态总体 N(,2), 方差
2未知, 由抽样分布定理知,若用样本标准差 s 代替 , U
统计量变为 t
即
统计量,
t
x0
~t(n1)
s/ n
(8.2.2)
相应于上述三对假设,拒绝域见下图.
/2
/2
t
t ( n 1) 0 t1 (n 1)
2 (a)H 1:20
已知这类企业广告播出后的受益量近似服从正态分布，为此,
某调查公司对该电视台广告播出后的此类企业进行了随机
调查，抽取容量为20的样本,得平均收益量为13.2万元,标准
差为3.4万元, 试在显著性水平α=0.05下判断该广告部的说
法是否正确? 解: 为判断该说法是否正确,可做如下假设
H H
0 1
: :
解: 作假设 H 0 : 3 . 2 5 ,H 1 : 3 . 2 5
在0.05时, u1 1.96, 故拒绝域为{u 1.96}. 2 由题意,容量为9的样本的 x 3.15, 故
ux0 3.153.250.273 / n 1.1/ 9
由于u0.2731.96,故不能拒绝H 0 , 应接受厂商说法.
关于正态均值 常用的三对假设
( a ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 ;(双边假设检验问题) } ( b ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 ; (单边假设检验问题)
( c ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 .
选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择U 统计量
UX0 ~N(0,1) / n
2 1.21,今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度
为3.15，问能否接受该厂商的说法？(0.05)
例1 厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度 （单位：MPa）服从正态分布，平均抗断强度为3.25，方差
2 1.21,今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度
为3.15，问能否接受该厂商的说法？(0.05)
P {21 2 (n 1 )}
即 P {2 0 2 .9 5 ( 2 4 ) } 0 .0 5 .查 2 分布分位数表得临界值
0 2 .95(24)36.415
显然, 21 2 (n1),即观测值落在拒绝域之外,故接受原
假设.
内容小结
正态总体均值 ,方差 2 的假设检验
检验法 条件 H 0
所以建立假设 H 0 : 1 0 ,H 1 : 1 0
在0.05时,u11.645,故拒绝域为{u1.645},由样本
观测值求得 u x /n 02 9 ..5 5 / 1 1 0 5 0 .7 7 1 .6 4 5
故应接受H 0 ,即在0.05的水平下认为该厂处理后的水
是合格的.
2、方差 2 未知时对期望值 的检验—t 检验
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05.
④ 确定临界值,给出拒绝域
是标对准于正三态种分不布同的的1 假2设分,其位拒数绝, 其域他如意图义所相示同,其. 中u1 / 2
/2
/2
u u u 拒绝H 0
0
1 / 2
拒绝H 0
1 / 2
(a)H 1:0
例2 某地区环保部门规定, 废水被处理后水中某种
有毒物质的平均浓度不得超过10毫克/升,现从某废水处 理厂随机抽取15升处理后的水,测得 x 9.5毫克/升,假定 废水处理后有毒物质的含量服从标准差为2.5毫克/升的
正态分布,试在0.05下判断该厂处理后的水是否合格.
解: 如果处理后的水合格,那么 不应超过10毫克/升,
解: 根据所提要求,欲检验假设为
H 0 :2 0 2 4 0 0 ; H 1 :2 0 2
统计量式(8.2.6)的观测值
2 (n 1 0 2 )s2 (2 5 1 4 )0 0 3 8 8 .5 8 2 3 .3 1
考虑到检验问题为单侧检验, 当 H1:202成立时, 2 观 测值会有增大的趋势,因此, 对给定的0.05, 有
正确的。
二、方差的假设检验— 2 检验
设样本X 1 ,X 2 ,L ,X n来自正态总体 N(,2),下面检验
假设
H 0 :20 2 ,H 1 :20 2 （8.2.3）
1、期望 0为已知时对方差的假设检验
总体X~N(,2),当式（8.2.3）中原假设成立时，由抽
样分布定理，2i n1(Xi00)2~2(n)
它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验
方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的
方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58,试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
u
0 t1(n1)
(b)H 1:0
u
0 t (n1)
(c)H 1:0
W{t t1(n1)}
W { t t1 (n 1 )}
W { t t(n 1 )}
2 （备择假设、拒绝域和显著性水平）
例3 电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放 电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,
2
(n
1)s2
2 0
{tt1/2(n1)} {tt1(n1)} {tt(n1)}
{2 12/2(n1) 或 2 2/2(n1)}
{21 2 (n1)} {2 2(n1)}
作业
P158 4； 7; 15
U 检验
已知
0 0 0
t 检验
未知
0 0 0
H1
0 0 0
0 0 0
2 检验
未知
2 02
2
2 0
2 02
2 02
2 02
2
2 0
检验统计量
拒绝域
U x 0 / n
{u u1/2} {uu1} {u u}
百度文库t x 0 s/ n
2 /2 ( n 1 ) 0 2 .0 2 5 ( 9 ) 2 .7
1 2 / 2 ( n 1 ) 0 2 . 9 7 5 ( 9 ) 1 9 . 0 2 3
由式(8.2.7)知,该检验问题的拒绝域为
W { 2 2 . 7 o r2 1 9 . 0 2 3 }
而这里
2 /2 ( n 1 ) 2 1 2 /2 ( n 1 )
15 15
由于总体方差σ2未知, 用样本方差s2代替,采用t 统计量进
行检验, 在α=0.05水平下, t ( n 1 ) t 0 . 0 5 ( 1 9 ) 1 . 7 2 9 , 拒绝
域为{t1.729}.由样本观测值求得
tx02.371.729.即认为广告部的说法不正确.
s/ n
例4 据某市税务部门统计,该市大、中、小学教师 年均个调税为1000元，为核实这种说法，随机抽区30名教 师进行调查，测得年个调税为1100，标准差为300元，假定 该市教师的年个调税服从正态分布，试在5%的显著性水 平下检验该税务部门的报告是否正确？
解：依题意，可提出如下假设 H 0 : 1 0 0 0 ,H 1 : 1 0 0 0
i 1
(5 7 0 5 7 5 .2 )2 6 8 1 .6
代入式(8.2.6)得 2 统计量的观测值
21 0 2i n 1(x i x )2 6 1 4 6 8 1 .6 1 0 .6 5
21 0 2i n 1(x i x )2 6 1 4 6 8 1 .6 1 0 .6 5
对于给定的α=0.05, 查自由度为n19的 2分布的分位数
由于σ未知，采用t检验法. 在n 2 0 , 0 .0 5 条件下，
由t1 样 2(本n 观1 )测 值t0 .9 求7 5 ( 得2 9 ) t2 .0 x4 5 ,故0拒绝11域00为1 {0 t002 .014.58}2.6.
s/ n 300/ 30 样本未落入拒绝域中，故在5%的显著性水平下知报告是
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设,认为该批金
属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
H 0 :20 2 ;H 1 :20 2 (8.2.8) H 0 :2 0 2 ;H 1 :20 2 (8.2.9)
关于假设检验问题
H 0 :20 2 ;H 1 :20 2 (8.2.10)
（8.2.4）
故对给定的显著性水平α， 取拒绝域为
W {2 2(n )o r22 (n )}（8.2.5）
1
2
2
2、期望 未知时对方差的假设检验
由抽样分布定理，当式（8.2.3）中原假设成立时，统计量
2 (n 1 2 )s21 2n(X i X )2~2(n 1 )（8.2.6）