D82一个正态总体期望与方差的假设检验.ppt
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单个正态总体参数的假设检验PPT精选文档
样本含量。
例：检验药品外观指标。
医药数理统计方法
H0：药品外观相同； H1：药品外观不同。
第一类错误：本相同，但结论为不同。（） （弃真）
第二类错误：本不同，但结论为相同。（）
（存伪）
使尽量小一些
例：检验药品质量。 H0：药品质量合格；
医药数理统计方法
H1：药品质量不合格。
第一类错误： 本合格，但结论为不合格。（）
小概率事件还是会发生的
２.两类错误及记号
医药数理统计方法
(1)当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出 了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错 误。犯第一类错误的概率是显著性水平 。
(2)当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作 出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪
右侧检验 （显著性水平与拒绝域 ）
假设H0成立
抽样分布
医药数理统计方法
拒绝域
1 -
接受域
样本统计量 临界值
医药数理统计方法
例6-3．一药厂生产的药品的某项指标服从正态分布 N(60，42).经工艺革新后，随机抽取容量为30的样本， 算得样本均值为64.如果方差不变，能否认为工艺革
新提高了药品该项指标的均值 ?(=0.01)
(1)X~N(,2/n)
(2) t X~t(n1)
Sn
检验统计量
检验步骤为：
医药数理统计方法
1、建立假设 H 0:0 H 1:0 （双侧）
2、在H0成立的条件下，构造检验统计量
设总体 X~N(,2)，X1,X2,L,Xn为抽自总
体X的样本，方差 2 已知，则
(1)X~N(,2/n)
(2) uX~N(0,1) n
例：检验药品外观指标。
医药数理统计方法
H0：药品外观相同； H1：药品外观不同。
第一类错误：本相同，但结论为不同。（） （弃真）
第二类错误：本不同，但结论为相同。（）
（存伪）
使尽量小一些
例：检验药品质量。 H0：药品质量合格；
医药数理统计方法
H1：药品质量不合格。
第一类错误： 本合格，但结论为不合格。（）
小概率事件还是会发生的
２.两类错误及记号
医药数理统计方法
(1)当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出 了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错 误。犯第一类错误的概率是显著性水平 。
(2)当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作 出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪
右侧检验 （显著性水平与拒绝域 ）
假设H0成立
抽样分布
医药数理统计方法
拒绝域
1 -
接受域
样本统计量 临界值
医药数理统计方法
例6-3．一药厂生产的药品的某项指标服从正态分布 N(60，42).经工艺革新后，随机抽取容量为30的样本， 算得样本均值为64.如果方差不变，能否认为工艺革
新提高了药品该项指标的均值 ?(=0.01)
(1)X~N(,2/n)
(2) t X~t(n1)
Sn
检验统计量
检验步骤为：
医药数理统计方法
1、建立假设 H 0:0 H 1:0 （双侧）
2、在H0成立的条件下，构造检验统计量
设总体 X~N(,2)，X1,X2,L,Xn为抽自总
体X的样本，方差 2 已知，则
(1)X~N(,2/n)
(2) uX~N(0,1) n
假设检验与方差分析概述(ppt 33页)
显著水平的运用：t 统计量
• t 统计量的定义
– 假定总体服从正态分布，用样本标准差s作为总体标准 差δ的估计值，则样本平均值服从t分布，可以用t 分布 的值（简称t值）判断样本平均值相对于总体平均值的 误差程度
t x. 其中 x为样本均为 值总 ，体均 n为 值样 ，本
s/ n 个体数s量 为， 样本的标 , s/准n为 差样本均值的标准
– 单边检验（只检验小于或大于检验值中的一种情况）
• 工厂对收到的一批长度为2cm的零件抽检，检验 长度是否合格？
– 检验假设的设定：设u为平均长度，则 H 0:u2 H 1:u2
– 双边检验（检验小于、大于检验值的两种情况）
假设检验的标准：显著水平
显著水平的定义
– 假设检验中的第一类错误(type I error)：拒绝正确的原 假设（H0）
假设检验例（续）
• (1)确定假设和备择假设 H 0: 0 7H 1: 0 7
• (2) 计算要检验的统计量：样本均值 x7.75 • (3)确定显著水平为5% • (4) 查表得t分布的临界值 t0.051.796 • (5)要检验的统计量的|t值|>临界值，所以拒
绝原假设（ H0 ）：
• 结论是：7.75确实大于7，该柜员是高服务质量
• t分布的主要特点
– 在小样本时随个体数变化，但大样本（比如个体数大 于50）时接近标准正态分布
– 适用范围较小：基于正态分布，故只适用于均值类变 量的假设检验，不适用于方差类
显著水平的运用： t 统计量（续）
• 运用过程如下：
– 假定原假设成立，则样本的统计量（比如样本均值） 服从t分布
– 从t分布表可查出某一显著水平（比如5%）的临界值 t0.05
概率统计及随机过程课件9.2正态总体均值和方差的假设检验
解: (1)假设 H0 : 32.50,
(2)计算统计量T的值，x 31.13, s 1.13
T x 32.50 31.13 32.50 2.97
s/ n
1.13 / 6
0.05
时，t 1
(n
1)
t0.995 (5)
2.57
2
（４）比较 T 与 t1 (n 1) 2 T 2.97 2.57, 所以，拒绝假设 H 0 ,
1 – 2 = 0 1 – 2 0
拒绝域
1 – 2 0 1 – 2 < 0
1 – 2 0 1 – 2 > 0
其中
12, 22未知
12
=
2 2
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
2 1
=
2 2
2 1
2 2
2 1
=
2 2
2 1
<
2 2
标准差是 8(N).
今换了原材料新生产一批铜丝，并从中抽出10个 样品，测得折断力（单位：N）为 578 572 568
570 572 570 570 572 596 584
从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化， 问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的 折断力较大？( 0.05)
解:检验假设 H0 : 0 , H1 : 0
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
第二节-正态总体均值和方差的假设检验PPT课件
拒 绝域 的 t 形 x式 0 k为 . s/ n
根据第六章定理三知,
当 H 0 为,真 X S/ n 时 0~t(n1 ),
P { 当 H 0为 ,拒 真 H 0 } 绝 P0 X S/n0 k ,
10
得 kt/2(n 1 ),
拒绝 t域 x s/n 0为 t/2(n1).
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
故接H受 0,认为金属棒的 无平 显均 著. 长 变
12
例3 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态
分布, , 2 均为未知. 现测得16只元件的寿命如
下: 152981002112223471972964 223261262851042964081570 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
P 2 0 2 (n 1 2 )S 2 (n 0 1 2 )k . (因2 为 0 2 )
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需 P 2 0 2 令 (n 1 2 )S 2(n 0 1 2 )k .
因(为 n 12)S2~2(n1),所(以 n01 2)k 2(n1),
拒绝域 x的 0k,(形 k待 式 ).定
由标准正态分布的分布函数(•) 的单调性可知,
P {拒H 绝 0|H 0为} 真 P 0(x 0 k )
4
P 0 x /n 00 /k n
1(0/k)n0(/ 0n k)0
0
(/0nk)/ kn,
因此 P { 拒 要 H 0|绝 H 0 控 为 } 制 真 ,
件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然
后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了
10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2,
根据第六章定理三知,
当 H 0 为,真 X S/ n 时 0~t(n1 ),
P { 当 H 0为 ,拒 真 H 0 } 绝 P0 X S/n0 k ,
10
得 kt/2(n 1 ),
拒绝 t域 x s/n 0为 t/2(n1).
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
故接H受 0,认为金属棒的 无平 显均 著. 长 变
12
例3 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态
分布, , 2 均为未知. 现测得16只元件的寿命如
下: 152981002112223471972964 223261262851042964081570 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
P 2 0 2 (n 1 2 )S 2 (n 0 1 2 )k . (因2 为 0 2 )
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需 P 2 0 2 令 (n 1 2 )S 2(n 0 1 2 )k .
因(为 n 12)S2~2(n1),所(以 n01 2)k 2(n1),
拒绝域 x的 0k,(形 k待 式 ).定
由标准正态分布的分布函数(•) 的单调性可知,
P {拒H 绝 0|H 0为} 真 P 0(x 0 k )
4
P 0 x /n 00 /k n
1(0/k)n0(/ 0n k)0
0
(/0nk)/ kn,
因此 P { 拒 要 H 0|绝 H 0 控 为 } 制 真 ,
件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然
后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了
10炉, 其得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2,
数理统计与管理课件 (9)
(3)对于给定的显著性水平α=0.05 ，查标准正态分布表 z z0.025 1.96
2
(4)计算统计量观察值 (5)结论
x 0 1637 1600 z 1.258 n 150 26
z 1.258 z 1.96
2
接受原假设H0
即不能否定这批产品该项指标为1600。
X 0 对于给定的显著性水平α=0.05 ， S n 查t分布表得 t (n 1) t0.05 (8) 1.8595
S பைடு நூலகம்0 .3
t
由题意， x 62 .5
计算统计量观察值
x 0 62.5 62.0 5 S n 0.3 9
由于
t 5 t (n 1) 1.8595
X 0 选取统计量 Z n
查标准正态分布表
对于给定的显著性水平α=0.05 ，
z z0.05 1.645
已知n=9，σ=3， x 13.5 计算统计量观察值 x 0 13.5 15.5 z 2 n 3 9 由于 z 2 z 1.645 所以拒绝原假设H0，而接受H1， 即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。
(2) H0：μ= μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n
当 T X 0 t (n 1) 时，接受H0 S n (3) H0：μ= μ0，H1：μ<μ0；检验规则为
X 0 当 T t (n 1) 时，拒绝H0 S n X 0 当 T t (n 1) 时，接受H0 S n
(2) H0：μ= μ0，H1：μ>μ0；检验规则为 X 0 当 Z z 时，拒绝H0 n
第八章—正态总体均值和方差的假设检验-PPT课件
4.364 4.55 3.9 1. 96 0.108 n 5
0
，可认为现在的生产是不正常的。
例2 已知某正态总体的方差为 49，抽测 24个样本值 的均值为 x 55 . 8
.0 5) 问：总体均值 55是否成立 ( 0
解: 假设 H : 5 5 , H : 5 5 0 1 显然它与检验 H 0 : 55 时的讨论是一样的。 取统计量
概率统计
2.
2
未知，关于 的检验 ( t 检验 )
2 在 未知条件下用服
(1) 检验假设:
从 N (0,1) 的统计量 H : , H : 0 0 1 0 检验正态总体 的方 因为 2未知，所以可以考虑用 法为 t 检验法 2 2 的无偏估计 s 来代替，故有:
都取检验统计量: 拒绝域: 双边假设检验
X 0 n
右边假设检验 左边假设检验
x 0 z 2 n
概率统计
x 0 z n
x 0 z n
例1. 已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从 2 正态分布 N 现又测了5 炉铁水， ( 4 . 5 5 ,0 . 1 0 8),
未知，所以用 t 检验。
(2) 两个单边检验假设： 右边
t
2
t
2
左边
H : （ 或 ） ,H :
H : （ 或 ） ,H : 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
概率统计
则在显著性水平 下, H 0 的拒绝域: 分别为
x 0 t (n 1) s n
x 0 z n
概率统计
正态总体方差的假设检验.ppt
下(单位:牛顿): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286,
298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力
的方差为(20?0.05)
解 按题意要检验 H0 : 2 20, H1 : 2 20,
n 9, x 287.89, s2 20.36,
02
2 / 2(n 1).
下面来求单边检验问题的拒绝域 (设显著水平
为 )
H0 : 2 02,
H1
:
2
2 0
,
的拒绝域. 因H0中的全部 2都比H1中的 2要小，
当H1为真时，S 2 的观察值 s2 往往偏大,
因此拒绝域的形式为: s2 k.
此处 k 的值由下式确定:
的形式：
(n 1)S 2
02
k1
或
(n
1)
2 0
S
2
k2
,
此处 k1 和 k2 的值由下式确定:
P{H0 为真, 拒绝 H0 }
P
2 0
(
n
1)
2 0
S
2
k1
(n
1)
2 0
S
2
k2 .
为了计算方便, 习惯上取
(n 1)S 2
P{ H0
为真,
拒绝 H0
}
P
2
2 0
{
S
2
k}
(n 1)S 2 (n 1)k
一个正态总体均值与方差的假设检验
7.2 一个正态总体均值与 方差的假设检验
1. 均值的假设检验 2. 方差的检验 3. 小结
1. 均值的假设检验
设总体 X ~ N ( , 2 ) , 未 知 ， 2已 知 或 未 知 ， X 1 , X 2 , , X n 是 来 自 总 体 X的 样 本 ， 来 检 验 关 于 均 值的 假 设 （ 显 著 性 水 平 为 ）：
x 0 10.48 10.5 t分布表 t 0.327, s/ n 0.237 / 15 查表得 t / 2 ( n 1) t0.025 (14) 2.1448 t 0.327,
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
2 某种电子元件的寿命 X ( 以小时计 ) 服从正态分布 , , 例3 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作 是否正常? ( 0.05 )
解
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15, 要检验假设H0 : 10.5, H1 : 10.5, x 0 10.48 10.5 n 15, x 10.48, 0.05, 则 0.516, / n 0.15 / 15 查表得 z0.05 1.645,
0
0 0 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 拒绝域的形式 k1 或 k2 , 2 2 0 0
2
当 H 0 为真时,
1. 均值的假设检验 2. 方差的检验 3. 小结
1. 均值的假设检验
设总体 X ~ N ( , 2 ) , 未 知 ， 2已 知 或 未 知 ， X 1 , X 2 , , X n 是 来 自 总 体 X的 样 本 ， 来 检 验 关 于 均 值的 假 设 （ 显 著 性 水 平 为 ）：
x 0 10.48 10.5 t分布表 t 0.327, s/ n 0.237 / 15 查表得 t / 2 ( n 1) t0.025 (14) 2.1448 t 0.327,
故接受 H0 , 认为金属棒的平均长度 无显著变化.
2 某种电子元件的寿命 X ( 以小时计 ) 服从正态分布 , , 例3 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作 是否正常? ( 0.05 )
解
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15, 要检验假设H0 : 10.5, H1 : 10.5, x 0 10.48 10.5 n 15, x 10.48, 0.05, 则 0.516, / n 0.15 / 15 查表得 z0.05 1.645,
0
0 0 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 拒绝域的形式 k1 或 k2 , 2 2 0 0
2
当 H 0 为真时,
正态总体方差的假设检验PPT课件
规定产品尺寸的方差 2不得超过0.1, 为检验该自 动车床的工作精度, 随机的取25件产品, 测得样本
方差 s2=0.1975, x3.86 . 问该车床生产的产品是
否达到所要求的精度? (0.05)
解 要检 H 0 :验 2 0 .1 ,假 H 1 :2 设 0 .1 ,
n25, 0 2.0(52)43.6 41, 5
0
0
此处 k1和k2的值由下:式确定
P {H 0为 , 拒 真 H 0 绝 }
P 0 2 (n 1 0 2 )S 2 k 1 (n 1 0 2 )S 2 k 2 .
为了计算方便, 习惯上取
P02 (n 102)S2k1 2, P02 (n 102)S2k2 2,
P 2 0 2 (n 1 2 )S 2 (n 0 1 2 )k . (因2 为 0 2 )
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需 P 2 0 2 令 (n 1 2 )S 2(n 0 1 2 )k .
因(为 n 12)S2~2(n1),所(以 n01 2)k 2(n1),
因(n 为 0 1 2 )s22 4 0 0 ..1 19 7 4.5 4 736.41,5
所以拒H0绝 , 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度.
二、两个总体 N (1 , 1 2 )N ,(2 , 2 2 )的情况
(0.02)
解 要检 H 0 :2 验 5,0 假 H 1 0 :2 0 设 5,00
n26, 0.0,2 02 500,0
2 /2 (n 1 )0 2 .0(2 1) 5 4.3 4,14
1 2 /2 (n 1 )0 2 .9(2 9) 5 1.5 1 ,24
拒绝域为:
方差 s2=0.1975, x3.86 . 问该车床生产的产品是
否达到所要求的精度? (0.05)
解 要检 H 0 :验 2 0 .1 ,假 H 1 :2 设 0 .1 ,
n25, 0 2.0(52)43.6 41, 5
0
0
此处 k1和k2的值由下:式确定
P {H 0为 , 拒 真 H 0 绝 }
P 0 2 (n 1 0 2 )S 2 k 1 (n 1 0 2 )S 2 k 2 .
为了计算方便, 习惯上取
P02 (n 102)S2k1 2, P02 (n 102)S2k2 2,
P 2 0 2 (n 1 2 )S 2 (n 0 1 2 )k . (因2 为 0 2 )
要 P { H 0 为 使 ,拒 H 真 0 } 绝 ,
只需 P 2 0 2 令 (n 1 2 )S 2(n 0 1 2 )k .
因(为 n 12)S2~2(n1),所(以 n01 2)k 2(n1),
因(n 为 0 1 2 )s22 4 0 0 ..1 19 7 4.5 4 736.41,5
所以拒H0绝 , 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度.
二、两个总体 N (1 , 1 2 )N ,(2 , 2 2 )的情况
(0.02)
解 要检 H 0 :2 验 5,0 假 H 1 0 :2 0 设 5,00
n26, 0.0,2 02 500,0
2 /2 (n 1 )0 2 .0(2 1) 5 4.3 4,14
1 2 /2 (n 1 )0 2 .9(2 9) 5 1.5 1 ,24
拒绝域为:
统计学-假设检验与方差分析ppt课件
– 犯第一类错误的概率为(称为显著性水平）
P（拒绝H0 / H0为真）=
• 2. 第二类错误（取伪错误或采伪错误）
– 原假设为假时接受原假设 – 犯第二类错误的概率为(Beta)
P（接受H0 / H0不真）=
假设检验中的两类错误
（决策结果）
H : 无罪 假设检验就好像一场审判过程 0 陪审团审判
界值进行比较，得出接受或拒绝原假设 的结论； 2. 当检验统计量的值落在拒绝区域，则拒 绝原假设；反之，接受或不能拒绝原假 设。对于P值，若计算所得的P值小于显
著性水平 ，则拒绝原假设，否则接受
原假设。
假设检验中的两类错误
（决策风险）
• 1. 第一类错误（弃真错误或拒真错误）
– 原假设为真时拒绝原假设
（属于研究中的假设，先提出备择假设）
• 提出原假设: H0: m 25 • 选择备择假设: H1: : m 25
单侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
拒绝域
1 - 接受域
置信水平
临界值
H0值
样本统计量
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平
拒绝域
1 - 接受域
临界值
H0值
样本统计量
H0值 临界值
样本统计量
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）
• 检验研究中的假设
1. 将所研究的假设作为备择假设H1 2. 将认为研究结果是无效的说法或理论作
为原假设H0。或者说，把希望(想要)证明 的假设作为备择假设 3. 先确立备择假设H1
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）
例如，采用新技术生产后，将会使产品的 使用寿命明显延长到1500小时以上
P（拒绝H0 / H0为真）=
• 2. 第二类错误（取伪错误或采伪错误）
– 原假设为假时接受原假设 – 犯第二类错误的概率为(Beta)
P（接受H0 / H0不真）=
假设检验中的两类错误
（决策结果）
H : 无罪 假设检验就好像一场审判过程 0 陪审团审判
界值进行比较，得出接受或拒绝原假设 的结论； 2. 当检验统计量的值落在拒绝区域，则拒 绝原假设；反之，接受或不能拒绝原假 设。对于P值，若计算所得的P值小于显
著性水平 ，则拒绝原假设，否则接受
原假设。
假设检验中的两类错误
（决策风险）
• 1. 第一类错误（弃真错误或拒真错误）
– 原假设为真时拒绝原假设
（属于研究中的假设，先提出备择假设）
• 提出原假设: H0: m 25 • 选择备择假设: H1: : m 25
单侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
拒绝域
1 - 接受域
置信水平
临界值
H0值
样本统计量
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
抽样分布
置信水平
拒绝域
1 - 接受域
临界值
H0值
样本统计量
H0值 临界值
样本统计量
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）
• 检验研究中的假设
1. 将所研究的假设作为备择假设H1 2. 将认为研究结果是无效的说法或理论作
为原假设H0。或者说，把希望(想要)证明 的假设作为备择假设 3. 先确立备择假设H1
单侧检验
（原假设与备择假设的确定）
例如，采用新技术生产后，将会使产品的 使用寿命明显延长到1500小时以上
正态总体均值与方差的假设检验概述PPT(50张)
而同一对中两个数据的差异则可看成是仅 由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限 于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因 素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响. 表中第三行表示各对数据的差 di xiyi
设 d1,d2, ,dn来自正 N (d 态 ,2)总 , 体
这里 d,2均为未 . 若两知 台机器的性能一样,
则各对数 d1,d 据 2, ,d 的 n属 差 随 异 机 , 误
随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.
要检 H 0:验 d 0假 H ,1:d 设 0.
设 d 1 , d 2 ,, d n 的 样 本 均 值 d , 样 本 修 正 方 差 s n * 2 ,
按关于单个正态分布均值的t检验, 知拒绝域为
第5.2节 正态总体均值与方差的 假设检验
一、 t 检验 二、 2 检验
三、F 检验 四、单边检验
一、t 检验
1 . 2 为 已 知 ,关 于 的 检 验 ( U 检 验 )
在上节中讨论过正 体态 N(总,2)
当 2为已 ,关 知 于 时 0的检验 : 问题
假 设 检 验 H 0 : 0 ,H 1 : 0
1.9 0 1.6 0 1.8 0 1.5 0 1.7 0 1.2 0 1.7 0 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变
化, 试问该机工作是否正常? (0.05 )
解 因X 为 ~N (,2),0.15,
要检验假设
H 0:1.5 0, H 1:1.5 0,
n15, x1.04,80.0,5
d0
t sn* /
n t/2(n1),
由n9, t /2 (8 ) t0 .0( 0 8 )5 3 .35 , d5 04 .06,
一个正态总体期望与方差的假设检验
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
检验 二、方差的假设检验－
2
一、期望值的假设检验
2 2 1、方差 0 为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本 X 1 , X 2 ,
, X n 来自正态总体 N ( , 2 ), 方
差 2已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行. ①建立假设 关于正态均值 常用的三对假设 (a) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (双边假设检验问题) (b) H0 : 0 ,H1 : 0 ; (单边假设检验问题) } (c) H0 : 0 ,H1 : 0 . 选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择 U 统计量
U
X 0
/ n
~ N (0,1)
(8.2.1)
③ 确定显著性水平
显著性水平 的大小应根据研究问题的需要而定,
一般为0.05. ④ 确定临界值,给出拒绝域 对于三种不同的假设,其拒绝域如图所示,其中u1 / 2 是标准正态分布的 1 分位数, 其他意义相同. 2
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设, 认为该批金 属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0
(8.2.8)
2 2 H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 (8.2.9) 关于假设检验问题 2 2 (8.2.10) H0 : 2 0 ;H1 : 2 0 它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验 方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的 方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58, 试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
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0
0i 1
故对给定的显著性水平α， 取拒绝域为
W {2 2 ( n 1 )o r2 2 ( n 1 ) }（8.2.7）
1
2
2
例3 某车间生产的金属丝，质量较稳定.其折断力服
从正态分布N(,2),通常20264,今从一批产品中抽
出10根作折断力试验，结果如下（单位：kg）：
578，572，570，568，572，570，572，596，584，570
P {21 2 (n 1 )}
即 P {2 0 2 .9 5 ( 2 4 ) } 0 .0 5 .查 2 分布分位数表得临界值
0 2 .95(24)36.415
显然, 21 2 (n1),即观测值落在拒绝域之外,故接受原
假设.
内容小结
正态总体均值 ,方差 2 的假设检验
检验法 条件 H 0
由于σ未知，采用t检验法. 在n 2 0 , 0 .0 5 条件下，
由t1 样 2(本n 观1 )测 值t0 .9 求7 5 ( 得2 9 ) t2 .0 x4 5 ,故0拒绝11域00为1 {0 t002 .014.58}2.6.
s/ n 300/ 30 样本未落入拒绝域中，故在5%的显著性水平下知报告是
u
0 t1(n1)
(b)H 1:0
u
0 t (n1)
(c)H 1:0
W{t t1(n1)}
W { t t1 (n 1 )}
W { t t(n 1 )}
2 （备择假设、拒绝域和显著性水平）
例3 电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放 电视广告后的平均受益量(平均利润增加量)至少为15万元,
正确的。
二、方差的假设检验— 2 检验
设样本X 1 ,X 2 ,L ,X n来自正态总体 N(,2),下面检验
假设
H 0 :20 2 ,H 1 :20 2 （8.2.3）
1、期望 0为已知时对方差的假设检验
总体X~N(,2),当式（8.2.3）中原假设成立时，由抽
样分布定理，2i n1(Xi00)2~2(n)
即样本观测值落在拒绝域之外, 故接受原假设,认为该批金
属丝折断力的方差与64无显著差异.
以上对方差的检验属于双侧检验,另外还有单侧检验:
H 0 :20 2 ;H 1 :20 2 (8.2.8) H 0 :2 0 2 ;H 1 :20 2 (8.2.9)
关于假设检验问题
H 0 :20 2 ;H 1 :20 2 (8.2.10)
解: 根据所提要求,欲检验假设为
H 0 :2 0 2 4 0 0 ; H 1 :2 0 2
统计量式(8.2.6)的观测值
2 (n 1 0 2 )s2 (2 5 1 4 )0 0 3 8 8 .5 8 2 3 .3 1
考虑到检验问题为单侧检验, 当 H1:202成立时, 2 观 测值会有增大的趋势,因此, 对给定的0.05, 有
（8.2.4）
故对给定的显著性水平α， 取拒绝域为
W {2 2(n )o r22 (n )}（8.2.5）
1
2
2
2、期望 未知时对方差的假设检验
由抽样分布定理，当式（8.2.3）中原假设成立时，统计量
2 (n 1 2 )s21 2n(X i X )2~2(n 1 )（8.2.6）
所以建立假设 H 0 : 1 0 ,H 1 : 1 0
在0.05时,u11.645,故拒绝域为{u1.645},由样本
观测值求得 u x /n 02 9 ..5 5 / 1 1 0 5 0 .7 7 1 .6 4 5
故应接受H 0 ,即在0.05的水平下认为该厂处理后的水
是合格的.
2、方差 2 未知时对期望值 的检验—t 检验
第八章
第二节 一个正态总体 期望与方差的假设检验
一、期望值的假设检验
二、方差的假设检验－ 2 检验
一、期望值的假设检验
1、方差2 02为已知时对期望值 的检验— u 检验
设样本X 1 ,X 2 ,L ,X n来自正态总体 N(,2), 方
差 2 已知,对 的检验问题由上节中的五个步骤来进行.
①建立假设
它与假设检验问题式(8.2.8)在同一显著性水平α下的检验
方法是一样的,其他的单侧检验也类同. 例4 某车间生产一种保险丝,规定保险丝熔化时间的
方差不得超过400.今从一批产品中抽处25个,测得其熔化时 间的方差为388.58,试根据所给数据, 检验这批产品的方差 是否符合要求(α=0.05). 已知保险丝的熔化时间服从正态 分布.
已知这类企业广告播出后的受益量近似服从正态分布，为此,
某调查公司对该电视台广告播出后的此类企业进行了随机
调查，抽取容量为20的样本,得平均收益量为13.2万元,标准
差为3.4万元, 试在显著性水平α=0.05下判断该广告部的说
法是否正确? 解: 为判断该说法是否正确,可做如下假设
H H
0 1
: :
15 15
由于总体方差σ2未知, 用样本方差s2代替,采用t 统计量进
行检验, 在α=0.05水平下, t ( n 1 ) t 0 . 0 5 ( 1 9 ) 1 . 7 2 9 , 拒绝
域为{t1.729}.由样本观测值求得
tx02.371.729.即认为广告部的说法不正确.
s/ n
例2 某地区环保部门规定, 废水被处理后水中某种
有毒物质的平均浓度不得超过10毫克/升,现从某废水处 理厂随机抽取15升处理后的水,测得 x 9.5毫克/升,假定 废水处理后有毒物质的含量服从标准差为2.5毫克/升的
正态分布,试在0.05下判断该厂处理后的水是否合格.
解: 如果处理后的水合格,那么 不应超过10毫克/升,
解: 作假设 H 0 : 3 . 2 5 ,H 1 : 3 . 2 5
在0.05时, u1 1.96, 故拒绝域为{u 1.96}. 2 由题意,容量为9的样本的 x 3.15, 故
ux0 3.153.250.273 / n 1.1/ 9
由于u0.2731.96,故不能拒绝H 0 , 应接受厂商说法.
U 检验
已知
0 0 0
t 检验
未知
0 0 0
H1
0 0 0
0 0 0
2 检验
未知
2 02
2
2 0
2 02
2 02
2 02
2
2 0
检验统计量
拒绝域
U x 0 / n
{u u1/2} {uu1} {u u}
t x 0 s/ n
关于正态均值 常用的三对假设
( a ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 ;(双边假设检验问题) } ( b ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 ; (单边假设检验问题)
( c ) H 0 : 0 ,H 1 : 0 .
选择哪一种假设应根据问题的需要.
② 检验统计量都选择U 统计量
UX0 ~N(0,1) / n
2
(n
1)s2
2 0
{tt1/2(n1)} {tt1(n1)} {tt(n1)}
{2 12/2(n1) 或 2 2/2(n1)}
{21 2 (n1)} {2 2(n1)}
作业
P158 4； 7; 15
2 1.21,今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度
为3.15，问能否接受该厂商的说法？(0.05)
例1 厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度 （单位：MPa）服从正态分布，平均抗断强度为3.25，方差
2 1.21,今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗断强度
为3.15，问能否接受该厂商的说法？(0.05)
W{uu1/2}
u 0
u 拒绝H 0 1
(b)H 1:0
W{uu1}
拒绝H0u1 0
u
(c)H 1:0
W{uu}
（备择假设、拒绝域和显著性水平）
⑤ 判断
根据样本观测值计算检验统计量值u , 若 u 落入拒绝 域W 中，则拒绝原假设H 0 ,否则，接受原假设H 0 .
例1 厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗断强度 （单位：MPa）服从正态分布，平均抗断强度为3.25，方差
例4 据某市税务部门统计,该市大、中、小学教师 年均个调税为1000元，为核实这种说法，随机抽区30名教 师进行调查，测得年个调税为1100，标准差为300元，假定 该市教师的年个调税服从正态分布，试在5%的显著性水 平下检验该税务部门的报告是否正确？
解：依题意，可提出如下假设 H 0 : 1 0 0 0 ,H 1 : 1 0 0 0
问能否认为这批金属丝的折断力方差仍为64 (α=0.05)?
解: 该问题是在总体期望未知时来检验假设
H 0 :2 0 2 6 4 ;H 1 :2 0 2
由题中所给数据计算得
x1(5 7 8 5 7 2 L 5 7 0 ) 5 7 5 .2
n
1 0
பைடு நூலகம் (x i x )2 (5 7 8 5 7 5 .2 )2 (5 7 2 5 7 5 .2 )2 L
2 /2 ( n 1 ) 0 2 .0 2 5 ( 9 ) 2 .7
1 2 / 2 ( n 1 ) 0 2 . 9 7 5 ( 9 ) 1 9 . 0 2 3
由式(8.2.7)知,该检验问题的拒绝域为
W { 2 2 . 7 o r2 1 9 . 0 2 3 }
而这里
2 /2 ( n 1 ) 2 1 2 /2 ( n 1 )
i 1
(5 7 0 5 7 5 .2 )2 6 8 1 .6
代入式(8.2.6)得 2 统计量的观测值
21 0 2i n 1(x i x )2 6 1 4 6 8 1 .6 1 0 .6 5
21 0 2i n 1(x i x )2 6 1 4 6 8 1 .6 1 0 .6 5