第二讲 决策表的正域约简

( x, y) 时，有 B ( x, y) .
证明 必要性：设 x, y U 且 ( x, y) 。于是 ( x, y) 成立。 （1） 若 x posA (d ) 且 y posA (d ) ， 则 x posB (d ) 且 y posB (d ) ， 故 x B([ x]d ) ，y B([ y]d ) ， 即 [ x]B [ x]d ， [ y]B [ y]d ， 故 [ x]B [ y]B ， [ x]B [ y]B ， 于 是 x [ y]B ， 即 存 在 a B 使
a (b c) (a b) (a c)
c
0 0 0 0 1 1
d
1 0 1 0 0 1
其中 a, b, c 为条件属性， d 为决策属性。
U
ind ( A)
{{1},{2,3},{4},{5},{6}}
U
ind (d )
{{1,3, 6},{2, 4,5}}
区分矩阵为
1 1 2 {a} 2 3 4 5 6
posA (d ) {1, 4,5,6}
定理 决策表 S (U , A {d},V , f ) 的区分函数
( x, y )
x , yU
的极小析取范式的所有合取子式恰为 A 的所有 d 约简。
例子
例 7.3.1 考虑下面的决策表。
U
1 2 3 4 5 6
a
2 1 1 0 1 2
b
2 2 2 0 0 0
{4}: ( 头痛，否 ) ( 肌肉痛，是 ) ( 体温，正常 ) ( 流感，否 ) ；
{7,9}: ( 头痛，否 ) ( 肌肉痛，是 ) ( 体温，很高 ) ( 流感，是 ) ；
2 {5,6,8}: ( 头痛，否 ) ( 肌肉痛，否 ) ( 体温，高 ) ( 流感，是 ) ；可信度为 ； 3 1 {5,6,8}: ( 头痛，否 ) ( 肌肉痛，否 ) ( 体温，高 ) ( 流感，否 ) ；可信度为 。 3
对于任意 x, y U ，令 ( x, y) 表示下列条件：
x posA (d ) y posA (d ) ，
或
x posA (d ) y posA (d ) ，
或
x, y posA (d ) ( x, y) ind (d ) 。
且令 ( x, y) 为如下集合： 若 ( x, y) 成立，则
red ( A) {{R1, R2},{R1, R3}} ， core( A) {R1}.
定义 一个决策表是一个四元组 S (U , A {d},V , f ) ，其中 U , A,V , f 的 意义同定义 1， d 称为决策属性。 例 一个关于病例的决策表如下： 病例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 头痛 是 是 是 否 否 否 否 否 否 肌肉痛 是 是 是 是 否 否 是 否 是 体温 正常 高 很高 正常 高 高 很高 高 很高 流感 否 否 是 否 是 是 是 否 是
例 设 S (U , A,V , f ) 为一个信息系统，其中 U {xi ;1 i 8} ， A {R1 , R2 , R3} 且
U U U
R1 R2 R3
{{x1 , x4 , x5},{x2 , x8},{x3},{x6 , x7 }} ， {{x1 , x3 , x5},{x2 , x4 , x7 , x8},{x6}} ， {{x1 , x5},{x2 , x7 , x8},{x3 , x4},{x6}}.
第二讲: 信息系统知识约简
1 信息系统的约简
定义: 设 S (U , A,V , f ) 是信息系统， B A ， a B 。 称 a 为 B 中不必要属性，如果 ind ( B) ind ( B {a}) 。 否则称 a 为 B 中必要属性。若对于任意 a B ， a 为 B 必要的， 则称 B 为独立的；否则称 B 为依赖的。

( y, z ) 不 成 立 ， 则 由 y A([ x]d ) posA (d ) 可 得 z posA (d ) 且 ( y, z) ind (d ) ， 故
z [ y]d [ x]d .
若② ( y, z ) ind ( A) ，则 z [ y]A [ x]d . 于是，我们证明了 [ y]B [ x]d ，即 y B([ x]d ) 。故 A([ x]d ) B([ x]d ).
经过计算可得：
U
ind ( A)
{{x1 , x5},{x2 , x8},{x3},{x4 },{x6},{x7 }} ，
U U
ind ({R2 , R3}) ind ({R1 , R3})
{{x1 , x5},{x2 , x7 , x8},{x3},{x4},{x6}} ， U ind ({R1 , R2 }) U ind ( A) .
区分函数为
3 {a} 4 {a, b} {a, b} {a, b} 5 {a, b, c} {b, c} {b, c} 6 {a, b, c} {a, b, c} {a, c} {a}
a (a b) (a b c) (b c) (a c)
f ( x, a) f ( y, a) ， B ( x, y) .
（2）若 x posA (d ) 且 y posA (d ) ，类似可证 B ( x, y) . （3） 若 x, y posA (d ) 且 ( x, y) ind (d ) ， 则 x posB (d ) 可得 [ x]B [ x]d ， 因 y [ x]d ， 故 y [ x]B 。 类似于（1） ，可以证明 B ( x, y) .
故 x Y ，从而 [ x]B Y ，即 x B(Y ) ，于是有
x B( Z ) posB (d ), x A( X ) posA (d ),
Z U d
此与 posA (d ) posB (d ) 矛盾。
定理 设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表且 B A 。 则 posB (d ) posA (d ) 当且仅当：对于任意 x, y U ，
由此决策表可以得到如下决策规则：
{1}: ( 头痛，是 ) ( 肌肉痛，是 ) ( 体温，正常 ) ( 流感，否 ) ； {2}: ( 头痛，是 ) ( 肌肉痛，是 ) ( 体温，高 ) ( 流感，否 ) ；
{3}: ( 头痛，是 ) ( 肌肉痛，是 ) ( 体温，很高 ) ( 流感，是 ) ；
d
， A( X ) B( X ).
d
，源自文库
A( X ) {x [ x] A X }， B( X ) {x [ x]B X }，
因 [ x]A [ x]B ，故 B( X ) A( X ). 若存在 x U ，使 x B( X ) 且
x A( X ) ，则 [ x]A X ，故 x X . 对于任意 Y U d ， Y X ，有 Y X ，
其中，前五条是确定性规则，后两条是近似规则。
2 决策表的正域约简
设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表，其中 A 为条件属性集合，
d 为决策属性。若 B A 满足 posB (d ) posA (d ) ，
则称 B 是 S 的一个正域协调集；极小的（关于集合包含关系） 正域协调集称为 S 的正域约简，也称为 A 的正域约简。

充分性：需要证明对于任意 x U ， B([ x]d ) A([ x]d ). 事实上， B([ x]d ) A([ x]d ) 显然成立。 有① ( y, z ) 不成立，或② ( y, z ) ind ( A) 。 若① 设 y A([ x]d ) ，则 [ y]A [ x]d 。对于任意 z [ y]B ，有 B ( y, z) ，故 ( y, z) 。于是
( x, y )
x , yU
区分函数是一个布尔逻辑公式，其中元素为布尔变量。
定理 设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表且 B A 。则 posA (d ) posB (d ) 当且仅当：对于任意 X U 证明 充分性是显然的。 必要性：设 posA (d ) posB (d ) ，对于任意 X U
对于依赖的属性集合，其中包含有冗余关系，可以对其进行约简。 定义：设 S (U , A,V , f ) 是信息系统， B A 。若 B 为独立的 且 ind ( A) ind ( B) ，则称 B 为 A 的一个约简。 A 的所有约简构成的 集合记为 red ( A) ， A 的核 core( A) red ( A).
于是， R1 是 S 中的一个必要知识； R2 是 S 中的一个不必要知识，去掉 R2 之后，由 {R1 , R3} 形成的论 域 划 分 与 A 形 成 的 划 分 相 同 ， {R1 , R3} 是 A 的 一 个 约 简 。 同理 ， {R1 , R2 } 也 是 A 的 一 个 约 简 。即
( x, y) {a A; f ( x, a) f ( y, a)} ； 若 ( x, y) 不成立，则 ( x, y) .
对于任意条件属性 a A ，指定一个布尔变量 （仍记为 a ）与之对应。设 U n ，决策表 S 的区分矩阵 是一个 n n 矩阵，其中的元素为 ( x, y) 。 S 的区分函数定义为：