概率论与数理统计习题解答(第8章)

第八章 假 设 检 验

三、解答题

1. 某种零件的长度服从正态分布，方差2

= ，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分

别为

，，，，，

在显著性水平 = 下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(~2σμN X ，

则需要检验的是：

00:μμ=H 01:μμ≠H

由于2

σ已知，选取n

X Z σμ0

-=

为检验统计量，在显著水平 = 下，0H 的拒绝域为：

}|{|}|{|005.02Z z Z z ≥=≥α

>

查表得 2.575829005.0=Z ，现由

n =6, 31.1266711

∑===n

i i x n x ,1.1=σ, 50.320=μ

计算得：

3.058156

1.13

2.5

-31.126670

==

-=

n

X z σμ

005.0Z z >

可知，z 落入拒绝域中，故在的显著水平下应拒绝0H ，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。

EXCEL 实验结果：

2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：

、

54，67，68，78，70，66，67，65，69，70

已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平 = 下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正

常人的脉搏有无显著差异

解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数

),(~2σμN X ，则需要检验的是：

0:μμ=H

1:μμ≠H

由于方差未知，选取n

s X T 0

μ-=

为检验统计量，在显著水平 = 下，0H 的拒绝域为：

)}9(|{|)}1(|{|2/05.02t t n t t ≥=-≥α

查表得 2.26215716)9(025.0=t ，现由

n =10, 67.411∑===n i i x n x , ()35.1555556111

22

∑==--=n i i

x x n s ， 计算得

2.453357610

35.1555556724.670=-=

-=

n

s

X t μ

(

)9(025.0t t >

可知，t 落入拒绝域中，故在的显著水平下应拒绝0H ，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值11958=x ，样本均方

差316=s ．设发热量服从正态分布，在显著性水平 = 下，是否可认为该试验物发热量

的平均值不大于12100

解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量),(~2σμN X ，

则需要检验的是： 00:μμ≤H 01:μμ>H

此为右边检验，由于方差未知，应选用t 统计量检验，在显著水平 = 下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=

)1(0

n n s x t t αμ=}

{)124(05.0-≥t t 由表得}{714.1)23(05.0=t ，现有n =24，11958=x ，316=s ，121000=μ计算得到

-2.201440

=-=

n

s

x t μ<

—

可知，t 未落入拒绝域中，故在的显著水平下应接受H 0 ，认为该试验物发热量的平均值不大于12100。

4. 某种电子元件的寿命（以小时记）服从正态分布．现测得16只元件的寿命如下所示：

159

280

101

212

224

379

179

&

264

222 362 168

250 149 260 485 170

问在显著性水平 = 下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时

)

解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命 ),(~2σμN X ，则需要检验的是：

H 0 ：225≥μ H 1 ：225<μ

此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用t 检验，在显著性水平 = 下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≤-=

-)1(0

n n s x t t αμ=}

{)116(05.0--≤t t 查表得7531.1)15(05.0-=-t 有n =16，x =(159+280+……+170)/16=，2

s =，2250

=μ

，计算

得到

n

s

x t μ0

-=

=> -

可知，t 未落入拒绝域中，故在的显著水平下不能拒绝H 0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时。

5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为，标准差为15分．

—

(1) 问在显著水平

= 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分

(2) 在显著水平 = 下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为162 解: (1):按题意需检验

H 0 ：70=μ H 1 ：70≠μ

此为双边检验，由于方差未知，应选用t 检验，在显著水平为 = 下，H 0 的拒绝域为

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-≥-=)1(20

n n s x t t αμ=}

{)136(025.0-≥t t =}{0301.2≥t

现有n=36，5.66=x ，s=15，

700

=μ

计算得到

4.10

=-=

n

s

x t μ<

可知，t 为落入拒绝域中，故在的显著水平下应接受H 0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

（2）按题意需检验

、

H 0 ：2

2

16=σ H 1 ： 2

2

16≠σ

取检验统计量20

2

2

)1(σ

χs n -=

，在显著水平为 = 下，H 0 的拒绝域为

}{}{

)1()1(2

2

222

12

-≥-≤-n n χ

χ

ααχχ

即 }{

}

{

)35()35(2025

.022975

.02χ

χ

χχ≥≤

计算得

569.20)35(2975

.0=χ

，203.53)35(2025

.0=χ

由n =36，5.66=x ，s=15，

2

2

016=σ，而σ

χ20

2

2

)1(s n -=

=

16

1615

1535⨯⨯⨯=，由于<< ，则统

计量2

χ为落入拒绝域中，不能拒绝H 0 ，可以认为这次考试考生的成绩的方差为2

16。

6. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差

2

= 5000 (小时2)的正态分

布, 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化．现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S 2 = 9200(小时2)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的