高二年级2月22日寒假作业数学学科总结体验答案

高二年级 2月22日 数学寒假作业总结体验答案案

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 答案：B

224a b a b >>?+>且，但4a b +>推不出22a b >>且（比如a=100,b=0）

2. 答案：D

根据正态分布的图像，可知不低于110分概率为

1

20.30.22

人数约为1000

3．答案 C 根据题意，分2步进行分析：①由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选，

②将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有3

36A =种情况，则不同的分配方案有2×6=12

种；故选C ．

5．答案B 由1C 2=,2C 的渐近线斜率为b a ,

由于它们有相同的渐近线，∴2,2b

b a a

∴＝＝，C 2的焦距2c ＝c =

又

2c a +==＝2a ∴=，4b ∴=，

6答案 D 从导函数的图象可知两个函数在x 0处斜率相同，可以排除B 、C.再者导函数的函数值反

映的是原函数的斜率大小，可明显看出y ＝f (x )的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.

7 答案 A 解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －

1，

则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －

1＋(x 2＋ax －1)e x －

1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．

由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －

3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －

3＝0， 所以a ＝－1.

所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －

1，f ′(x )＝e x －

1·(x 2＋x －2)．

由e x －

1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且当x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.

所以x ＝1是函数f (x )的极小值点 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A.

8．答案C

设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22

222

a x y

b a ??

-= ???

椭圆的离心率为2

2

c a ∴=，223

4c a =，则222

34a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：22

22214

y y y b x a x a x a a ?==-=-+--， 9．答案C 【详解】根据题意，随机变量ξ的取值为0,1,2，

可得121

222444

4442222211221

(0),(1),(2)236

C A C P P P A A A ξξξ?+???=========， 所以期望为()1112

0122363

E ξ=?+?+?=. 10．答案D

解：函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，在点(x 0，x 20)处的切线的斜率为k ＝2x 0， 切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0＜m ＜1， 即有y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得2x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1

m (x －m )，

令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－x 20，由0＜m ＜1，可得x 0＞12

，且x 2

0＞1， 解得x 0＞1，由m ＝

1

2x 0

，可得x 20－ln(2x 0)－1＝0， 令f (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ＞1，f ′(x )＝2x －1

x ＞0，f (x )在x ＞1递增，

且f (2)＝2－ln22－1＜0，f (3)＝3－ln23－1＞0， 则有x 20－ln(2x 0)－1＝0的根x 0∈(2，3)．

二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 11 【答案】ACD

解：因为()2ln f x a x x

=+

，所以()12f =，()22

a f x x x '=-，所以()12f a '=-，

因此函数()f x 的图像在点1x =处的切线方程为()()221y a x -=--， 即()240a x y a ---+=，故A 正确； 当0a <时，()22

0a f x x x

'=-<在()0,x ∈+∞上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B 错；

当1a =时，()22122

x f x x x x ='-=

-，由()0f x '>得2x >；由()0f x '<得02x <<， 所以函数()2

ln f x x x =+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增；

因此()min 2

ln 2ln 212

f x =+=+，即()ln 21f x ≥+；故C 正确；

当1a =-时，()

212

f x x x

'=--<()0,x ∈+∞上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减；

由()()210f x f x -->可得210021x x x x

->??>??-

，解得：1

12x <<，故D 正确；

12. 【答案】ABCD

解：设()2,0F c ，而渐近线的方程为0bx ay ±=， 所以2F P b =

=，故A 正确.又OP a ==，

在直角三角形2OPF 中，2cos b PF O c

∠=

， 在三角形12PF F 中，由余弦定理有2

2

2

2264224b

a b c b c b a c

=+-???=+， 故

b

a

=y =，故C 正确. 所以双曲线的离心率为c e a ===B 正确. 不妨设P 在直线y =

上，则)()

2:22

F P y x c x =-

-=-， 由)

y y x ?=??=??

解得3x a =，故D 正确.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分

13．2【详解】()236f x x x '=-，令()2

360f x x x '=-=，得10x =，2

2x =，

且(),0x ∈-∞时，()0f x '>；()0,2x ∈时，()0f x '<；()2,x ∈+∞时，

()0f x '>，故()f x 在2x =处取得极小值．

14．[1，＋∞)解析：因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1

x

.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，

所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立，因为x >1，所以0<

1

x <1，所以k ≥1.

15．40【解析】5

(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r

r T x y -+=-，

当3r =时，5(2)x x y -展开式中33

x y 的系数为323

5C 2(1)40??-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33

x y 的系数为232

5C 2(1)80??-=，

所以33

x y 的系数为804040-=．

16．C 设,A B 在准线上的射影分别为','A B ，则由于3'BC BB =，则直线l 的斜率为22，

4,'4AF AA =∴=，故3'12AC AA ==，从而2,6,8,12BF CB CF CA ====，故

'P CF AA CA =

，即8

3p =

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (1)解 由题意可知，f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝2ax ln x ＋ax ＋b (x >0)，------2分

∵f ′(1)＝a ＋b ＝0， f (e)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1)＝e 2－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.5分

(2)证明 f (x )＝x 2ln x －x ＋1，f (x )－(x －1)2＝x 2ln x ＋x －x 2， 设g (x )＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)， 则g ′(x )＝2x ln x －x ＋1.

由(g ′(x ))′＝2ln x ＋1>0，得g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，--------8分 ∴g ′(x )≥g ′(1)＝0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝0 .∴f (x )≥(x －1)2.—10分

18.解：（1）

由，得，-----------2分 经过检验 此时是的极小值点.-----4分 （2）由，得或.

①当时， ， 的单调递增区间是；

()()2

'21x

f x e x a x a ??=?++++??()()11x

e

x x a =+++()'0f e =1a e =--x e =()f x ()'0f x =1x =-1x a =--0a =11a --=-()f x (),-∞+∞

②当时， ， 的单调递增区间是； ③当时， ， 的单调递增区间是 -----12分

19 解：()I 设1A 表示事件“第二局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”， A 表示事件“第四局甲当裁判”

．则12A A A =． P （A ）1212111

()()()224

P A A P A P A ===?=．-------4分

()II 设1B 表示事件“第一局比赛结果为乙胜”

， 2B 表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”， 3B 表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则1312312B B B B B B B B =++，-------7分

则P （B ）1312312()P B B B B B B B =++1312312()()()P B B P B B B P B B =++

1312312()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B =++1115

4848

=

++=．-----12分

20..解（1）()()()()211220x x f x x x x x

+-'=-+

=->， 由()0,0f x x '?>?>?得01x <<；由()0,

0f x x '??

得1x >.

在()f x ∴()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数

∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………4分 （2）

()()211,1g x x g x x x '=+∴=-.

当1,1x e ??

∈????

时，()0g x '<；当(]1,3x ∈时，()0g x '>.

0a <11a -->-()f x ()(),1,1,a -∞---+∞0a >11a --<-()f x ()(),1,1,a -∞---+∞

故()g x 在1,1e ??????

上为减函数，在(]1,3上为增函数... ……5分

()()11110,12,3333g e g g e e ??

=+==+=

???

， 而()()11012,133e g g g e e ??

<+

<∴<< ???

. ()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ??

∴?∈====????

………7分

由（1）知当1,1x e ??

∈????

时，()'

0f

x >；当(]1,3x ∈时，()'0f x <.

故()f x 在1,1e ??????

上为增函数，在(]1,3上为减函数.

()()2112,11,392ln 3f f f e e ??

=--=-=-+ ???

，

易知2192ln 321e -+<-

-<-，即()()131f f f e ??

<< ???

.

()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ??

∴?∈==-+==-????

……………9分

1当10k ->，即1k >时，对于121,,3x x e ???∈????

，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ?-≥-????()()12max 1

k f x g x ?≥-+????.

()()()()1211123

f x

g x f g -≤-=--=-，

312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分

2当10k -<，即1k <时，对于121,,3x x e ???∈????

，不等式()()1211f x g x k -≤-恒成立()()12min 1k f x g x ?-≤-????()()12min 1k f x g x ?≤-+????.

()()()()121037

3392ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-

=-+，

3434

2ln 3,1,2ln 333

k k k ∴≤-

+<∴≤-+又 综上，所求实数k 的取值范围为()34,2ln 31,3?

?-∞-

++∞ ??

?

.…………………12分

21、（1）设焦距为2c

，由已知c e a =

=， 22b =，∴1b =，又221a c =+， 解得2a =，∴椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=；------3分 （2）设()11,M x y ， ()22,N x y ，联立2

2{ 1

4

y kx m

x y =++=得()222418440k x kmx m +++-=，

122

841

km

x x k +=-+， 2122

4441m x x k -=+，-------5分 依题意，

()()()

2

228441440km k m =-+->，化简得2241m k <+，①，---6分

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若5

4

OM ON k k ?=，则121254y y x x =，即

121245y y x x =，∴()221212124445k x x km x x m x x +++=，

∴(

)

(

)22

2

22

4184544041

41m km k km m k k -??-?

+-

+= ?++??

， 即()()()

2222224518410k m k m m k --++=﹣，化简得225

4

m k +=

，②，---8分 ∵原点O 到直线l

的距离d =∴()

2

2

222259411141k m d k k k -===-++++， 由①②得2605m ≤<

， 215

204

k <≤， ∵215204k <≤，∴2807

d ≤<， ∴原点O 到直线l

的距离的取值范围是???

?------12分

22【解析】（Ⅰ）的定义域为，， 令得，当时，在上恒成立，即在单调递减，故无极值；-------2分

当时，由得，由得，在区间单调递增，在区间单调递减，故时有极大值

，无极小值；------4分

（Ⅱ）存在唯一，使直线的斜率等于-----5分 证明如下：的斜率

设函数，--------7分 则。 设函数，则， ∴在上递减，∴，即， ∵，∴

，∴，∴， 同理可证， ∴在区间内有零点--------10分 又∵，∴在区间内是增函数 ∴在区间内有唯一的零点，

故存在唯一，使直线的斜率等于-------12分

()f x (0,)+∞()a a ex

f x e x x

-'=

-=()0f x =a x e =

0a ≤()0a a ex

f x e x x

-'=-=

<(0,)+∞()f x (0,)+∞0a >()0a a ex f x e x x -'=

-=>0a x e <<()0a a ex f x e x x -'=-=

x e

>()f x (0,)a e (,)a e +∞a

x e =()()ln 2a

f x f a a a e

==-极大值1,2()x x x ∈AB ()f x 'AB 212121ln ln ()1

()AB x x e x x k f x e x x x

---'=?

=--2121(ln ln )()0x x x x x ?---=212112()(ln ln )()()g x x x x x x x x x =---<<22

112121111

()(ln ln )()(ln

1)x x g x x x x x x x x x =---=-+()ln 1(1)h x x x x =-+>l 1()10x h x x x

-'=

-=<()h x (1,)+∞()(1)0h x h <=ln 10x x -+<120x x <<211x x >2211

ln 10x x

x x -+<1()0g x <2()0g x >()g x 1,2()x x x 21ln ln 0x x ->()g x 1,2()x x ()g x 1,2()x x x 1,2()x x x ∈AB ()f x '