弹性力学用差分法和变分法解平面问题

（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力， 可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ, ，故单位体积上，
应力所做的功是
非线性 σ~ 关系－－ U1
σ d,
0
线 性 σ ~ 关系－－ U 1 1 σ .
2
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用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
f1 f3 2h
(1)
2 f
x2
0
f1
f3 2 f0 h2
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
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用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f y
0
f2 f4 2h
(3)
2 f
y 2
0
f2
f4 2 f0 h2
(4)
以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它
o
x1 x2 x3
x
将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
题化为求解差分方程问题。
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用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平 行于坐标轴的两组平行线织成正方形 网格。
设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线 上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改 变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
f
f0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
f3
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(c)
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f x 0
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。
因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点
一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在
无法应用前者时才不得不应用后者。
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用差分法和变分法解平面问题
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第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
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一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)，
而是求函数在一些结点上的值
f 1, f。2
将微分用有限差分来代替
f
dx x x2 x1
f (x)
df f f2 f1
将导数用有限差商来代替
f 1
f 2
f3
d f f f2 f1 ; dx x x2 x1
f
f
0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
1 3!
3 f x3
(x x0 )3 ... 0
(a)
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一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：
f0
2(
f1
f2
f3
f4 )
(
f5
f6
f7
f8)]
(6)
4 f y 4
0
1 h4
[6
f0
4(
f2
f4)
(
f10
f12 )]
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示
中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。
以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，
可称为端点导数公式。
存贮于U 物体内部。 1 --单位体积的形变势能（形变势能密度）。
（5）整个弹性体的形变势能
1
U AU1 d x d y 2 A (σxεx σ yεy τxyγxy ) d x d y. (d)
的差分公式如下：
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3
1
2
4h
[(
f6
f8) (
f5
f7 )]
(5)
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一 差分公式的推导
4 f x4
0
1 h4
[6
f0
4(
f1
f3)
(
f9
f11)]
4 f x 2y 2
0
1 h4
[4
或平面应变问题 (εz γzx γzy 0), 单位体积上应力所做的功都是
U1
1 2
x x
y y
xy xy
(c)
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二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部
转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，
１、应力的功和形变势能（内力势能）
σ ε
σ ε
线性的应力与应变关系
非线性的应力与应变关系
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二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
U1
1 2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
（3）对于平面应力问题 (σz τzx τzy 0)
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为：
➢ 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。
➢ 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
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二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。