第六章二次型
二次型
例 6.2 二次型 f (x1, x2 , x3) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2 ，求该二次型的秩。 【解答】
令 y1 = x1 + x2 ， y2 = x2 − x3 ， x3 = y3 ，则 x1 + x3 = y1 − y2 ，
f
( x1 ,
x2 ,
这样得到的矩阵记为 A1。 ② 如果 A1的第 2 列为零，这步跳过。
如果 A 的第 2 列非零。 (a) 如果 A 的第 2 列主对角元非零，则用初等行变换将主对角元以下元素全消为 零，做对应的初等列变换，将主对角元右边的元素全消为零。 (b) 如果 A 的第 2 列主对角元为零，在该列中寻找一个非零分量，例如，第 i 个， 将第 i 行加到第 2 行，将第 i 列加到第 2 列。(当然，也可以第 2 行减第 i 行，第 2 列 减第 i 列) 再用(a)中的步骤消元。 ③ 和前面一样的办法，一直做下去，直到得到对角阵为止。
只含平方项的二次型
f (x) = λ1x12 + λ2 x22 +" + λn xn2 称为标准二次型，简称标准形，其正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的 个数称为负惯性指数。正负惯性指数之和等于该二次型的秩。
特别地，若平方项的系数只有1, −1, 0 ，称这样的为规范形。
(2) 化二次型为其标准形 任何一个二次型都可以通过合同变换化为标准形。化二次型为标准形的方法
至于用于合同变换的矩阵 P ，也是简单易求的：将 A, E 写成分块矩阵的形
式：( A, E) ，对左边一块进行初等行变换时，对右边的也一起进行，对左边进行
88
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
线性代数PPT课件第六章 二次型
得特征值 11,22,35.
对于 1 1, 解 AEX0,
1 0 0
1 0 0
AE0 2 2, 0 1 1,
0 2 2 0 0 0
0
它的一个基础解系为： 1 1 .
( Q 1 , Q 2 ) Q Y 1 T Q Y 2 Y 1 T Y Q T Q Y Y 2 Y 1 T Y 2 ( Y 1 , Y 2 ).
正交变换 X QY 把 R n 中的标准正交基
X1,X2,,Xn 变为 R n 中的标准正交基
Q1X,Q2 X,,Qn X.
定理 6.2 对于 n元实二次型 f(X)XTAX, 存在正交变换 X QY, 可将该二次型化为标准形：
2 2 4 0 0 0
1
它的基础解系为：
3
1
,
1
再将 1,2,3 单位化得：
1 2
1 6
1 3
1
1 2
;
0
2
1 ; 26
6
3
1 . 13
3
令 Q 1 2 3, 即为所求正交变换矩阵.
满足
Q
1
A
Q
2
2
.
8
于是正交变换 X QY 化二次型 f
为标准形： f2y1 22y2 28y3 2.
x1 p11y1 p12y2 p1n yn
x2
p21y1 p22y2
p2n
yn
xn pn1y1 pn2 y2 pnnyn
称为从 x1,x2,,xn 到 y1,y2,,yn
的一个线性变换. 其矩阵形式
XPY 其中 X(x1,x2,,xn)T, Y(y1,y2,,yn)T,
第六章 二次型
线性代数第六章 二次型
令 aji = aij
(i < j)
2 a11x1 + a12x1x2 +L+ a1nx1xn 2 + a21x2x1 + a22x2 +L+ a2n x2 xn
f (x1, x2 ,L xn ) = ,
+L L
2 + an1xn x1 + an2xn x2 +L+ annxn
= ∑∑aij xi xj
a11 a12 L a1n x1 a x a22 L a2n 21 2 f ( x1 , x2 ,L, xn ) = (x1, x2,L, xn ) M M M M an1 an2 L ann xn = XT AX 二次型的矩阵表达式:f (x1, x2 ,L, xn ) = X T AX
第二节 标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.
2 2 如:f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 2 x2 + 6 x3
一般,f ( X ) = X AX = ∑∑ aij xi x j
T i =1 j =1
n
n
若 i ≠ j时,aij = 0,则f ( X )是标准形. a1 0 此时,A = M 0 0 a22 0 0 L 0 是对角矩阵. O M L ann L
所以,B是对称矩阵,Y BY 是二次型.
T
f = X T AX = Y T BY
(其中,B = C T AC)
定义2 若n阶方阵A, B存在可逆矩阵C , 使得 C T AC = B, 称矩阵A与B合同.
性质: (1) A与A合同. (2) 若A与B合同,则B与A合同. (3) 若A与B合同,B与C 合同,则A与C 合同.
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
线性代数课件：第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
第六章 二次型
则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
于是可将二次型（4）写成
6.1 二次型及其矩阵表示
或写成 其中
f (x1, x2 , , xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
)
，
nn
x
x2 x
（3） （4）
6.1 二次型及其矩阵表示
因为当i j 时有aij a j，i 所以 A 为对称矩阵. 称（4）式为二次型f(x ) f
(x1,x 2, ,x n ) 的矩阵表示式，对称矩阵A则称为二次型 f (x) 的矩阵.
容易看出，a
ii
是
x
2 i
项的系数，aij
a ji（当 i
B CT AC
则称矩阵 A 与B是合同的.
6.2 二次型的标准形
合同是矩阵之间的关系，容易看出，合同关系具有以下性质：
（i）反身性：每个方阵与自己合同.
（ii）对称性：如果矩阵A与 B 合同，则矩阵B与A也合同.
（iii）传递性：如果矩阵A与B 合同，且B与C合同，则矩阵A与 C 合同.
事实上，（i）因为有 A ET AE，所以反身性成立.
6.1 二次型及其矩阵表示
6.1.1 二次型的定义
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2 2bxy cy 2 1
（1）
的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x s in
yc
os
把方程化为标准方程
1x2 2 y2 1
从而判定曲线的类型，研究曲线的性质.
别 地 ， 如 果 矩 阵C 为 正 交 矩 阵 ， 则 （ 1 ） 式 就 称 为 正 交 的 线 性 替 换 .
第6章 二次型及其标准形
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
第六章 二次型
解： （1）写出二次型的矩阵
理学院田宝玉
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第六章
二次型
⎛ 1 − 2 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 4 − 2⎟ ⎜− 4 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ λ1 ⎜ ⎜ T （2）求正交矩阵 P ，使得 P AP = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎟ ⎠
易验证，这是一个可逆线性变换，其逆变换为
⎛1 ⎜ ⎜0 ，记 P = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
1 −1 1 1 0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠
2 2 2 则二次型经过可逆变换 x = Py ，有 f = y12 − 2 y2 − y3 − y4 .
例 2．用配方法化二次型
f = −2 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 为标准形，并写出所用变换矩阵.
f ( x1 , x2 ,
, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 +
2 a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + + 2a2 n x2 xn +
2 + ann xn
（6.1.1）
称为含变量 x1 , x 2 ,
, x n 的二次型， aij (i < j ) 为常数.
2 如： f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 3x 2 + 2 x1 x 2 + 5 x1 x3（未出现交叉项 x 2 x3 ，可以认为其系
数为 0，不能有一次项和常数项） 为研究方便，引进矩阵来表示二次型. 令 aij = a ji ，则 2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ， （6.1.1）可写为
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
第六章 二次型
6.3 基本内容6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数n n n x x x x x x x x x x f 1131132112211121222),,,(αααα++++=ΛΛ2222x α+ n n x x x x 22322322αα+++ΛΛ+2n nn x α+j i n i nj ijx x ∑∑===11α(其中∈=ij ji ij αααR )，称为n 个变量n x x x ,,,21Λ的二次型。
注 若0=ij α（n j i j i ,,2,1,,Λ=≠）则称f 为标准型。
(1) 矩阵形式Ax x x T=)(f其中[]n n ij Tn A x x x ⨯==)(,,,,21αΛx ，这里ji ij αα=，即A 为实对称矩阵。
注1 实对阵矩阵A 成为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。
注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。
注3标准型的矩阵是对角阵。
6.3.2 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换设[][]n n ij Tn Tn p y y y x x x ⨯===)(,,,,,,,,2121P y x ΛΛ可逆，则称x=Py 为由n x x x ,,,21Λ到n y y y ,,,21Λ的满秩线形变换。
注 若P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。
(2) 合同矩阵设A ，B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使 B AC C T=则A 合同与B ，C 为合同变换阵。
注1 若C 为正交阵，满足B AC C T=，A 与B 既合同，又相似。
注2 合同矩阵秩相等。
注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。
(3) 对任一个二次型Ax x Tf =，总可以通过满秩线形变换x=Py 化为 2222211r r y d y d y d f +++==ΛAy P y TT成为f 的标准型。
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
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第六章 二 次 型内容提要一、基本概念1.二次型含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(+++=n n x x a x x a x a 223223222222++++ ++ 2n nn x a称为一个(n 元)二次型.本章只讨论实二次型,即系数全是实数的二次型. 由于i j j i x x x x =,具有对称性,若令ij ji a a =,j i <,则 i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2,j i <. 于是可以写成对称形式n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121),,,(++++= n n x x a x x a x a x x a 22322322221221+++++ +2332211n nn n n n n n n x a x x a x x a x x a +++++∑∑===ni nj ji ijx x a11.记⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x xx X 21,则二次型可以用矩阵形式表示为AX X x x x f T n =),,,(21 .我们把A 称为二次型对应的矩阵,A 是一个对称矩阵.事实上,由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型,也就是说,实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为研究A 所具有的性质.2.二次型的标准形和规范形标准形 2222222121n n y b y b y b f +++= ,规范形 22122221q p p pz z z z z f ++---+++= ,q p ,分别称为正惯性指数和负惯性指数,q p -称为二次型的符号差.3.线性变换及其矩阵两组变量n x x x ,,,21 与n y y y ,,,21 的一组线性关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性变换,它可表示成矩阵形式=XCY ,其中矩阵)(ij c C =称为线性变换的系数矩阵.(1)若C 可逆,则Y =X C 1-称可逆变换;)2(*若C 是正交矩阵,即1-=C C T ,则称CY X =为正交变换. 4.正定二次型及正定矩阵设有实二次型AX X f T =,如果对任何,0≠X 都有0>=AX X f T ,则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A 是正定矩阵.5.合同矩阵设A 与B 为n 阶矩阵,若存在可逆矩阵C ,使得AC C B T =,则称A 与B 是合同的,记作A B ,满足:(1)反身性A A ;(2)对称性 若A B ,则B A ;(3)传递性 若A B ,B C ,则A C . 二、几个结果1.化二次型AX X f T =为标准形的方法 (1)配方法;)2(*正交变换法.2.(1)A 正定的充分必要条件 ①A 的正惯性指数等于n ; ②A 的所有特征值均为正;③A 的各阶顺序主子式全为正,即011>a ,022211211>a a a a , ,0212222111211>nnn n n n a a a a a a a a a.④A 与E 合同,即存在可逆矩阵D,使得A =D D T .(2)A 正定的必要条件①A 的主对角线上的元素均大于零; ②A 的行列式大于零.3.A ,B 是同阶正定矩阵,则T A ,,1-A *A ,m A ,)(A P ,lB kA +,)0,0(<>l k 均为正定矩阵,其中)(x P 为系数全为正的多项式,m 是正整数.若AB 也正定,则要求AB =BA 成立.4.惯性定理设有实二次型AX X x f T =)(,r A r =)(,有两个实的可逆变换PY X =及X QZ =,使2222211r r y k y k y k f +++= )0(≠i k , 2222211r r z z z f λλλ+++= )0(≠i λ.则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等,即无论做何种可逆线性变换将二次型化为标准形或规范形,正惯性指数和负惯性指数都是由原二次型唯一确定的.5.矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同; (2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)两个实对称矩阵合同的充要条件 ①有相同的秩,②有相同的正惯性指数.例题解析例1 设二次型31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 试求二次型矩阵A . 解 显然,111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A .注 二次型矩阵A 是对称矩阵,其主对角线元素ii a 与二次型中平方项2i x 的系数相同,而非主对角线元素ij a 恰为二次型中交叉项j i x x 的系数的一半.利用矩阵表示二次型为AX X f T =时,如果A 不是对称矩阵,则除ji ij a a +之和是二次型j i x x 的系数外,ij a 和ji a 均不能唯一地被确定.由此可知,二次型与对称矩阵一一对应,因而称对称矩阵为该二次型的矩阵.例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--223211311.例3 下列从变量321,,x x x 到321,,y y y 的线性替换中非退化线性替换为( ).⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+=32133122112)(yy y x y y x y y x A⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+=+-=321332123211)(yy y x y y y x y y y x B⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122)(yx y y x y y y x C⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=3213322321122)(yy y x y y x y y y x D 解 线性替换CY X =是非退化的,当且仅当0≠C .故只需计算各线性替换矩阵的行列式.对于)(A ,有0112101011==C ,故)(A 不是非退化线性替换.对于)(B ,同样可判断它不是非退化线性替换. 对于)(C ,有01210121≠--=C , 故本题应选)(C .例4 设A 为实对称阵,且0≠A ,把二次型AX X f T =化为Y A Y f 1-T =的线性变换是=X Y . 解 令Y A X 1-=,则1111)()()(-T -T -T T T -T T ====A Y A Y A Y A Y X , 即Y A Y Y AA A Y Y A A A Y AX X f 11111)()()(-T --T --T T ====. 应填1-A .例5 对于二次型AX X x f T =)(,其中A 为n 阶实对称矩阵,下述各结论中正确的是( ).)()(x f A 化为标准形的非退化线性替换是唯一的 )()(x f B 化为规范形的非退化线性替换是唯一的 )()(x f C 的标准形是唯一的 )()(x f D 的规范形是唯一的解 一个二次型化为标准形或规范形可应用不同的方法,对应的非退化线性替换也不同,标准形也不一定相同,故)(),(),(C B A 均不正确.但是,无论应用何种方法把二次型化为规范形,规范形中非零平方项个数(即二次型的秩)、及其正项、负项的个数(即正惯性指数、负惯性指数)都是唯一确定的.故本题应选)(D .*例6 三阶实对称矩阵A 的特征值为121==λλ,23=λ,则二次型 AX X x x x f T =),,(321的规范形为 .分析 实对称矩阵A 可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型AX X x f T=)(就化为标准形.解 由已知条件,二次型)(x f 的标准形为2322212y y y ++,故其规范形为232221z z z ++.*例7 设B A ,是同阶实对称阵,已知B A ~,证明A 与B 合同.举例说明反之不成立.证 因为A ,B 均为实对称阵,故均可对角化,且存在正交阵Q P ,使 11Λ=-AP P , 21Λ=-BQ Q .因为B A ~,所以B A ,的特征值相同,适当排列P 的列,可使21Λ=Λ,于是 BQ Q AP P 11--=, B AW W APQ QP ==---111, 其中1-=PQ W .因为Q P ,均为正交阵,故W 也是正交阵,所以B AW W AW W T ==-1,即A 与B 合同.反之,A 与B 合同,不能推出B A ~.例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11B ,存在可逆阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211C ,使得 B AC C T=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1121141211.故A 与B 合同,但A 与B 不相似,因为它们的特征值不同.注 相似的实对称阵必合同,注意条件实对称阵是重要的,对一般矩阵并不成立.例8 任何一个n 阶满秩矩阵必定与n 阶单位矩阵( ). )(A 合同 )(B 相似 )(C 等价 )(D 以上都不对 解 任一个n 阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n 阶单位矩阵,故n 阶满秩矩阵都与n 阶单位矩阵等价. 只有单位矩阵与单位矩阵相似. 只有正定矩阵与单位矩阵合同. 故本题应选)(C .例9 设B A ,均为n 阶实对称矩阵,且A B ,则( ). B A A ,)(都是对角矩阵 B A B ,)(有相同的特征值B AC =)()()()(B r A r D =解A B 意味着存在可逆矩阵C ,使得B AC C T =,并未涉及B A 或是否为对角矩阵.例如,设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1332A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011C . 不难验证B AC C T =.但A ,B 都不是对角矩阵,并且7-=A ,1=B ,≠AB ,故)()(C A 和不一定成立.矩阵间合同与矩阵间相似的关系完全不同.由AB,不能得到它们的特征值相同的结论.例如,设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121211A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211C .不难验证,B AC C T =.即A B,但A 的特征值为21和23;B 的特征值为1和43,故)(B 不正确.综上分析,本题只有选项(D)正确.实际上,由B AC C T =,C 可逆,可得)(A r = )(B r .例10 若实对称矩阵A 的秩为r ,符号差为s .试证r 与s 同是奇数或同是偶数,且r s ≤||.证 设A 的正惯性指数p ,则符号差r p s -=2,即p r s 2=+.因为p 2是偶数,故r 与s 同是奇数或同是偶数.又 r p ≤≤0, 所以 r r s 20≤+≤.于是有 r s r ≤≤-,即 r s ≤.例11 用配方法化二次型31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量:321,,x x x 逐个地配成完全平方和的形式.31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++= 223121212)22(x x x x x x +-+=])()(2[23213221x x x x x x -+-+=222322)(x x x +-- 23322223212)(x x x x x x x -++-+= 233223212)()(x x x x x x -++-+=.令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=333223211x y x x y x x x y ①则 2322213212),,(y y y x x x f -+=.由①得所作的线性变换是:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3332232112y x y y x y y y x . 因为01110211≠-- 所以所作的线性变换是可逆的.注 若二次型含有某变量的平方,先集中含此变量的乘积项,然后配方;再对剩下的1-n 个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后,再经过非退化(或称可逆)线性变换就得到标准形. 例12 用配方法化二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++= 为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211y x y y x y y x①则3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x f ++-++-= 3122212y y y y +-=2322233121)2(y y y y y y --++= 2322231)(y y y y --+=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311y z y z y y z ②为了写出所作的线性变换,先从②反解出321,,y y y ,得⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311z y z y z z y ②′把②′代入①,得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=3332123211z x z z z x z z z x ③把③代入原题,得 232221321),,(z z z x x x f --=. ③就是所作的线性变换,因为021111111≠=--- 所以线性变换③是可逆的.注 1.在二次型中,如果没有平方项,先用可逆的线性变换使它成为有平方项的二次型,然后利用上题中结果可将二次型用可逆的线性变换化成标准形.2.从①式和②′式容易看出:321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换和321,,y y y 到321,,z z z 的线性变换都是可逆的.由③式我们又看到:321,,x x x 到321,,z z z 的线性变换是可逆的.这个规律在一般情形下也是对的.*例13 用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换: 323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=. 解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A .矩阵A 的特征多项式为)10()1(5424522222--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值是1(二重)与10.对于1=λ,解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=+--04420442022321321321x x x x x x x x x ,求得它的一个基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022α.先正交化:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01211αβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=1545201254102),(),(1111222ββββααβ.再单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==055552111ββη, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3551545152222ββη. 对于10=λ,解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+-054204520228321321321x x x x x x x x x ,求得它的一个基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2213α.再单位化得:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==323231333ααη. 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32531032515455315152552T ,则T 是正交矩阵,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010001AT T T. 于是令TY X =,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=++=32332123211323532155455311552552y y x y y y x y y y x .得 23222132110),,(y y y x x x f ++=.注 解答中的正交变换不是惟一的;最后化成的标准形除系数的次序不同外,是惟一确定的.*例14 已知二次曲面方程4222222=+++++yz xz bxy z ay x 可以经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x化为椭圆柱面方程4422=+ζη,求a ,b 的值.解 二次型=f 224ζη+的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41A , 原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111a bb B . 由题意,这两个矩阵相似.所以有)(tr )(tr B A =,即25+=a ,解得3=a ;再由B A =,得1=b .例15 假如把任意01≠x ,02≠x , ,0≠n x 代入二次型),,,(21n x x x f ,都使0>f ,问f 是否是正定的.解 不一定.例如,2121),(x x x f =,对于任意01≠x ,,02≠x 有0>f ,但),(21x x X =)0,0(≠,如果取)0(),0(≠=a a X ,有0),0(=a f .例16 二次型232221321)1()1(),,(x x x x x x f +++-=λλλ,当满足( )时,是正定二次型. 1)(->λA 0)(>λB 1)(>λC 1)(≥λD解 二次型是正定的,其标准形的系数应全为正,即应有 01>-λ,0>λ, 01>+λ.解得1>λ,故应选)(C . 例17 用不同的方法判别⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A是否正定.解法1 惯性指数法A 为下列二次型的矩阵323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 322322322121855)22(2x x x x x x x x x -++-+= 232322321923)32(3)(2x x x x x x +-+-+=.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321132x y x x y x x x y . 则得标准形23222132192332),,(y y y x x x f ++=.由上述线性方程组可得,由321,,x x x 到321,,y y y 的线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x .显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知,3==n p ,),,(321x x x f 为正定二次型,其矩阵A 正定.解法2 顺序主子式法A 的各阶顺序主子式为 021>=A , 0652222>==A , 010542452222>=----=A所以A 正定.解法3 特征值法 A 的特征多项式542452222-----=-λλλλA E )10()1(2--=λλ.特征值121==λλ,103=λ均为正数,所以A 正定.注 判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它,此法一般比较简单.当二次型),,,(21n x x x f 的矩阵A 的特征值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.例18 设二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ,问λ取何值时,f 为正定二次型?解 用顺序主子式讨论. 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4212411λλA , 则11=A , 044122>-==λλλA ,0)1)(2(4320240112>-+-=++--=λλλλλλA . 解不等式组⎩⎨⎧>-+->-0)1)(2(042λλλ,得 12<<-λ.例19 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,2)(A kE B +=,求对角阵Λ,使B 与Λ相似,并求k 为何值时,B 为正定矩阵.解 先求A 的特征值.由0)2(11201012=-=-----=-λλλλλλA E得A 的特征值为01=λ,23,2=λ.故B 的特征值为21k ='λ,23,2)2(+='k λ,则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222)2()2(~k k k B . 显然B 为对称阵,当0≠k 且2-≠k 时,B 的特征值全为正,此时B 正定.例20 设n 阶矩阵A 为正定矩阵,试证1-A 也是正定矩阵. 证法１ 因A 为正定矩阵,故A E .即存在可逆矩阵C ,使得 E AC C T =, 两边求逆,有11)(--=E AC C T ,于是E C A C T =---111)(. 注意到T T C C )()(11--=,上式可化为E C A C T =---)(111.所以1-A E ,而1-A 仍为对称矩阵.故1-A 也是正定矩阵.证法2 因A 为正定矩阵,则A 的特征值),,2,1(0n i i =>λ.而1-A 仍为对称矩阵,其特征值为),,2,1(1n i i=λ.于是,由),,2,1(01n i i=>λ可知,1-A 为正定矩阵.证法3 因A 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵C ,使得C C A T =,于是 1111)()(----==T T C C C C A T C C )(11--=.所以,1-A 为正定矩阵.例21 设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明:E A +的行列式大于1.证 设A 的特征值为),,2,1( n i i =λ,则E A +的特征值为1+i λ,2,1(=i ),n .因A 是正定阵,所以),,2,1( 0n i i =>λ,所以E A +的特征值 11>+i λ,于是1)1(1>+=+∏=ni iE A λ.例22 已知A ,B 都是正定阵,证明:AB 也是正定阵的充分必要条件是BA AB =.证 必要性 设A ,B ,AB 都是正定阵,即A ,B ,AB 都是对称阵,因此 BA A B AB AB T T T ===)(.充分性 因为A ,B ,都是正定阵,故存在可逆阵P ,Q ,使 P P A T =, Q Q B T =. 于是Q PQ P AB T T =, 即)()()(1T T T T T T T QP QP QP PQ ABP P ==-.因T QP 为可逆阵,故)()(T T T QP QP 为正定阵.由上式知AB 与一正定阵相似,相似于正定阵的矩阵也是正定阵,因为它们有相同的全为正的特征值,因此AB 也是正定阵.例23 设A 正定,证明A 的主对角元素都大于零.证法１ 因为A 正定,所以对任意的非零向量X ,都有0>AX X T .取0)0,,0,1,0,,0(≠=T X ,即第i 个分量为1,其它分量为0.则 0>=ii T a AX X , n i ,,2,1 =.证法2 因为A 正定,故存在可逆矩阵P ,使得P P A T =.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnni n inii i n i c c cc c c c c c P 111111 则由于P 可逆,它的任何一行的元素不能全为零.于是可知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni i i ii c c c c c c a 2121),,,(022221>+++=ni i i c c c .例24 设A ,B 分别为m ,n 阶正定矩阵,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B OO AQ 也是正定矩阵.证 因矩阵A ,B 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵m m C ⨯和n n D ⨯,使得 m T E AC C =, n T E BD D =. 令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D OO CP 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T T TD O O C P且P 为n m +阶可逆矩阵.因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D O O CB O O A D O OC QP P T TT⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m T T E O O E BD D O OAC C . 所以,QI,故Q 为正定矩阵.练习题一.是非题1.判断下列各式是否为二次型.(1)( )752232222121++++x x x x x x ;(2)( )232232221x x x x x x ++++; (3)( )0323121=-+x x x x x x ; (4)( )2322212132x x x x x +++.2.判断是非.(1)( )合同矩阵一定有相同的规范形.(2)( )不同的实二次型，其规范形也一定不相同. (3)( )正定矩阵一定可逆.(4)( )可逆矩阵也一定是正定矩阵.(5)( )如果对任意的01≠x ,02≠x , ,0≠n x ,全都有二次型,,,(21 x x f 0)>n x ,则二次型),,,(21n x x x f 正定.(6)( )如果存在),,,(21n a a a ,使得当),,,(21n x x x 满足+++ 2211x a x a 0≥n n x a 时,都有0),,,(21>n x x x f ,则二次型),,,(21n x x x f 正定. 二.填空题1.二次型323123213214432),,(x x x x x x x x x f --+=的矩阵是 ,三元二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=021212102121210A ,则二次型==T AX X x f )( .2.二次型3221222132132),,(x x x x x x x x x f -+-=的矩阵为 ,对称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=12212112110A 所表示的二次型为 .3.二次型323121232221321121210933),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的秩为 .4.二次型2221212126),(x x x x x x f ++=的标准形为 .5.实二次型的规范形由 唯一确定.6.二次型232221213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 ,负惯性指数为 ,符号差为 ,秩为 .7.对称矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 为正定矩阵的充分必要条件是 .8.二次型3121232221321222),,(x x x tx x x x x x x f +-++=正定时,t 应满足的条件是 .9.二次型2222121),,,(r n x x x x x x f +++= ,则当=r 时f 正定.10.23222121321222),,(x x x x x x x x f +++=，则二次型矩阵为 ,其顺序主子式=1A ,=2A ,=3A ,),,(321x x x f 是 二次型. 三.单项选择题1.二次型2122212163),(x x x x x x f --=的矩阵是( ).⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3421)(A⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3331)(B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3511)(C⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3331)(D2.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=303000003012100210A 对应的实二次型=),,,(4321x x x x f ( ).2442222136)(x x x x x x A --+24422221321)(x x x x x x B --+2442222132)(x x x x x x C --+ 244222213)(x x x x x x D --+ *3.A 为n 阶实对称方阵且正交,则( ). E A A =)( E A B 与)(相似E A C =2)( E A D 合同于)(4.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100030002A ,则A 合同于矩阵( ). ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100030002)(A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100030002)(B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001)(C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100030002)(D5.下列各矩阵中,正定矩阵是( ).⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--021201110)(A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420221011)(B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1010152021)(C⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--232311211)(D6.设A 为n 阶对称矩阵,A 是正定矩阵的充要条件是( ).)(A 二次型AX X T 的负惯性指数为零 )(B A 无负特征值)(C A 与单位矩阵合同)(D 存在n 阶矩阵C ,使得C C A T = 7.若B A ,为正定矩阵,则( ).B A AB A +,)(都正定 AB B )(正定,B A +非正定 ABC )(非正定,B A +正定 ABD )(不一定正定,B A +正定 四.计算题1.写出下列二次型的矩阵A ,并将二次型用矩阵的乘积形式表示出来. (1)32312123222132162252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=; (2)43214321),,,(x x x x x x x x f -=.2.写出下列各二次型的矩阵: (1)X X x x f ⎪⎭⎫⎝⎛=T 1312),(21;(2)X X x x x f ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T987654321),,(321.3.设二次型32212221442x x x x x x f --+=,分别作下列三个可逆线性替换(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32121213210011011y y y x x x ;(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100210011y y y x x x . 4.用可逆线性变换化下述二次型为标准形,并用矩阵进行验算:23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=.5.用配方法将下列二次型化为标准形,并求出相应的可逆线性替换: (1)323121232221184422x x x x x x x x x f ++-+-=; (2)4332312423222124232x x x x x x x x x x f ++--+-=; (3)4342312132662x x x x x x x x f +--=.*6.将下列二次型通过正交替换化为标准形: (1)323123211442x x x x x x f --+=;(2)3231212322214482552x x x x x x x x x f +--++=;(3)323121232221384444x x x x x x x x x f -+-++=. 7.判断下列二次型(1)312123222114233x x x x x x x f --++=; (2)322123222124426x x x x x x x f -+++=;(3)322123222132423x x x x x x x f +-++=. 是否正定.8.(1)求λ的值,使二次型243231212322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x x x x x f +-++++=λ 是正定的,并讨论2≤λ时的情况. (2)求λ的值,使二次型yz xz xy z y x z y x f λ22232),,(222+-+++= 是正定的,并讨论1≥λ时的情况.9.t 取什么值时,下列二次型为正定的?(1)3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=; (2)32312123222161024x x x x x tx x x x f +++++=. 五.证明题1.证明:对称方阵只能与对称方阵合同.2.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,且A B .试证:1-A 1-B .3.如果A 为n 阶正定矩阵,试证明)0(>k kA 和T A 以及*A 也是正定矩阵.(*A 为A 伴随矩阵)4.证明:若A 为n 阶可逆矩阵,则A A T 与T AA 都是正定矩阵.5.设A 为n 阶正定矩阵,n ααα,,,21 为n 维非零向量,且满足0=T j i A αα,),,2,1,,(n j i j i =≠,试证:向量组nααα,,,21 线性无关.6.设A 为n m ⨯阶实矩阵,且m n <,试证明A A T 为正定的充要条件是n A r =)(.7.设A 是m 阶实对称阵且正定,B 为n m ⨯阶实矩阵,试证:AB B T 为正定阵的充分必要条件是n B r =)(.。