高级微观经济学 第四章 成本最小化分解

2、求解的困难 （1）柯布-道格拉斯生产技术
c( w, y ) min w1 x1 w2 x2
x1 , x2 a b s.t. Ax1 x2 y
取对数有可能简化运算。求得条件要 素需求函数为：
x1 ( w1 , w2 , y ) A
1 a b 1 aw2 a b [ ] b y a b bw1 a 1 aw2 a [ ] b y a b bw1
• 成本最小化点要求：此时沿着等成本线任 何方向移动，产出都下降
f11 (h1 , h2 ) f 21 f12 h1 0 f 22 h2
h1 对所有(h1 , h2 )，满足( f1 , f 2 ) 0 h2
2、推广到多种要素的情况 二阶条件概括为：生产函数的海塞矩阵 是满足线性约束的半负定矩阵
• 写成向量形式
w Df ( x* )
• 如何解释一阶条件的经济含义？技术替代 率等于经济替代率
f
* x
wi xi wj f x* x j
• 如果不满足，则存在调整的空间来保证产 出但是节约成本
f x* wi xi 2 1 wj 1 1 f x* x j
w1h1 w2 h2 f1h1 f 2 h2 0
• 故二阶条件简化为
f ( x1 h1 , x2 h2 ) f11 1 f ( x1 , x2 ) ( h1 , h2 ) 2 f 21 f12 h1 h f 22 2
• 海塞加边矩阵
D 2 L ( , x1 , x2 ) 0 f1 f2 f1 f11 f 21 f2 f12 f 22
• 若此海塞加边矩阵行列式为负，则说明未 曾加边的那个矩阵在约束条件下为半负定， 即成本最小化的二阶条件满足。二阶条件 得到满足
a 1 a C Kw w y 1 2
K a a (1 a)a 1
给我们什么启发？ 1．此时成本完全是产量的线性函数 2．a越大，则要素1价格变化对成本影响越大
（2）CES技术的成本函数
1
f ( x1 , x2 ) ( x1 x2 )
min w1 x1 w2 x2
• 若是三个生产要素，海塞加边矩阵的形式 为
D 2 L( , x1 , x2 , x3 ) f1 f11 f 21 f 31 0 f 1 f2 f3 f2 f12 f 22 f 32 f3 f12 f 23 f 33
s.t.x1 x2 y
•
令
r / ( 1) 成本函数写为
1 r
r r c(w1 , w2 , y) y(w1 w2 )
• 作为练习，写成一般化CES情形下的成本函 数
• 要求这个海塞加边矩阵的三阶四阶行列式 在最优选择处的取值都为负
二、成本最小化的求解
1、要素需求函数 对每个w和y的选择，都存在使生产y单位产 出成本最小的某个x*的选择。将给出这个最 优选择的函数称作条件要素需求函数，把 它记作x(w，y)。
注意：条件要素需求函数依赖于要素价格 和产出水平y，和产出价格无关。
第四章 成本最小化
内容要点
一、成本最小化视角： 一阶条件 二、成本最小化的二阶条件
三、条件要素需求函数 四、成本最小化弱公理
一、成本最小化的微分分析
• 将成本最小化写成规划问题
min wx
x
s.t
f ( x) y
写出拉格朗日函数并求解一阶条件
L( , x) wx ( f ( x) y ) f ( x* ) wi 0 xi f ( x* ) y
h t D 2 f ( x* ) h 0 对所有h满足wt h 0
如何判断一个矩阵是半负定的？ 顺序主子式负正相间； 约束条件下的判断方法：设法将约束条 件与原矩阵写成加边矩阵，若加边矩阵顺 序主子式始终不变号，则原矩阵在约束条 件下构成半负定矩阵。
Baidu Nhomakorabea
3、从拉格朗日方程考察二阶条件
L ( , x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2 [ f ( x1 , x2 ) y ] D 2 L ( , x1 , x2 ) 2L 2 2L x1 2L x2 0 f1 f2 2L x1 2L 2 x1 2L x2 x1 f1 2 L 2 x1 2 L x2 x1 2L x2 2L x1x2 2L 2 x2 f2 2 L x1x2 2 L 2 x2
x2 ( w1 , w2 , y ) A

1 a b
• 其成本函数为
c( w1 , w2 , y ) A
1 a b a a b 1 a ab a a b [( ) b ( ) a b ]w1a b w2 y a b b b
• 若正规化技术A=1，并采用规模报酬不变，有
• 此时减少1单位i，增加1单位j，同样能够 保持产出不变，但是可以减少成本。
二、二阶条件
1、两种要素的情况 当投入要素1和2发生微小变动时，运用泰勒 f (x h , x h ) 展开，写成矩阵形式
1 1 2 2
但要求成本不变，即有
w1h1 w2 h2 0
h1 f ( x1 , x2 ) ( f1 , f 2 ) h2 f11 f12 h1 1 ( h1 , h2 ) h f f 2 21 22 2