重积分----平面图形的面积

S P (T ) I P . (充分性) 若 0,存在直线网T,使得 S P (T) , 则 I P inf{ S P T , ( )}
T
由 的任意性,I P 0, 故有界平面图形P面积为零. 几何意义: 平面有界图形 P 的面积为零,则存在T , 使得S P (T ) , 即平面图形 P 能被有限个其面积总和小于 的小矩形覆盖.
推论 光滑或按段光滑曲线
x (t ), y (t )( t )
表示的平面图形的面积为零.
, 则所有小矩形面积之和
n
xi hi xi
i 1

ba
.
o
x
证 因 f ( x) 在[a, b] 上连续,故 f ( x)在 [a, b] 上一致连续,故 0,
0, x1 , x2 [a, b],
将 且满足
| 时,有 | f ( x2 ) f ( x1 ) | . ba [a, b] 分为 n 个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,, n, x0 a, xn b),
3．有界平面图形的面积
定义1 设 P 为平面有界图形.若
并称其公共值 I P I P I P 为 P 的面积.
I P I P , 则称 P 为可求面积的,
例1 证明:平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积I P 0.
证：(充分性) 因 I P 0, 又 0 I P I P ,故 I P 0,进而
使得
4．可求面积判别
SP (T ) sP (T ) .
0, T ,
y
证：(必要性) 因P可求面积, 故
IP I P I P. I P sup{sP }, 由上确界的定义, 0,
T
P R
存在
T1
使得
sP (T1 ) I P
同理存在 T 使得
2

IP . 2 2
y
o
x
例3 若曲线K为定义在[a, b]上的连续函数 f ( x) 的图象,则K的面积为零.
{1 , 2 ,, n }(i [ xi xi 1 ] hi ), 使在每个小矩形 i (i 1, 2,, n) 的高
分析: 构造K的小矩形覆盖
y
hi

ba
n i 1
0, x1 , x2 [a, b],
当 | x1 x2
|
时,有
ba 将 [ a, b] 分为 n 个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,, n, x0 a, xn b),
且满足
| f ( x2 ) f ( x1 ) |

.
max{xi } ( xi xi xi 1 ). 则 f ( x) 在 [ xi 1 , xi ] 上的振幅
I P I P I P 0.
(必要性) 若
I P 0, 则 I P I P I P 0.
网T,使得S P (T ) .
例2 证明: 有界平面图形P面积为零的充要条件是: 0, 存在直线
证: (必要性) 由假设 I P I P I P 0, 因 I P inf{ S P (T )}, ).
1 i n
i
把

K 按自变量 x x0 , x1 ,, xn 分成 n 小段,每一小段都能被以xi 为宽、 i 为高的小矩形所覆盖, n 个小矩形的面积总和为
ba
.
x
i 1 i
n
i

x ba
i 1

n
i
,
故曲线
K 的面积为零.
定理21.1 平面有界图形 P可求面积的充要条件是：
当 | x1 x2
max{xi } ( xi xi xi 1 ). 则 f ( x) 在 [ xi 1 , xi ] 上的振幅
1 i n
i

ba
.
例3 若曲线K为定义在[a, b]上的连续函数 f ( x) 的图象,则K的面积为零. 证 因 f ( x) 在[a, b] 上连续,故 f ( x)在 [a, b] 上一致连续,故 0,
进而有
0 I P I P S P (T ) sP (T ) ,
由
的任意性,得 I P I P .
定理21.1 平面有界图形 P可求面积的充要条件是：
使得
SP (T ) sP (T ) .
y
0, T ,
P R
o
定理21.2 平面有界图形 事实上
P
R
x
1 , 2 , , n .
将其分为三类： ) (i
i 上的点都是 P 的内点; i 上的点都是 P 的外点;
(ii)
(iii) i 上含有 P 的界点.
第 (i ) 类小矩形面积之和记作 sP (T ); 第 (i ) 与第 (iii) 类小矩形的面积之和 记作 S P (T ). (1) sP (T ), S P (T ) 由 T 唯一确定; (2)
y
P R
0 sP (T ) S P (T ) R,
其中 R 为矩形 R 的面积.
(3)若直线网 T 为在 T 的基础上增加直线构成,则
o
x
y
P
y
sP (T ) sP (T )
R P R
o
x
o
x
(3)若直线网 T 为在 T 的基础上增加直线构成,则
y
P
y
sP (T ) sP (T )
使得
SP (T ) sP (T ) .
0, T ,
证：(充分性) 要证
I P I P.
T
因为
故有
I P sup{sP (T )}, I P inf{S P (T )},
T
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又
I P I P , 故得
sP (T ) I P , S P (T ) I P ,
sP (T ) I P I P S P (T ),

o
x
令
所以有
T T1 T2 ,则有 I P sP (T1 ) sP (T ) S P (T ) S P (T2 ) I P , 2 2 SP (T ) sP (T ) .
S P (T2 ) I P . 2

定理21.1 平面有界图形 P可求面积的充要条件是：
T
故 0, 存在直线网T,使得
网T,使得S P (T ) .
例2 证明: 有界平面图形P面积为零的充要条件是 0, 存在直线 证: (必要性) 由假设 I P I P I P 0, 因 I P inf{ S P (T )},
T
故 0, 存在直线网T,使得
R P R
o y
P
x
o
y
P
x
S P (T ) S P (T )
R
R
o
x
o
x
集 { sP (T )},{ S P (T )} 都是有界集,记
I P sup{ s P (T )},
T
I P inf{ S P (T )}.
T
称 I P 为有界平面图形 P 的内面积, I P 为有界平面图形 P 的外面积. (4) 有界平面图形一定存在内面积与外面积,且0 I P I P .
x
P
可求面积的充要条件是:P 的边界面积为零.
S P (T ) sP (T ) 表示 P 的边界一个有限覆盖. 若 S P (T ) sP (T ) , 则得 P 的边界面积为零.
定理21.3 若曲线
K 为定义在 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的图象,则
K 的面积为零.
第二十一章 重积分
基本内容:
1.积分概念产生的实际背景 2.积分概念及基本理论 (1)定义准备; (2)定义; (3)基本理论: 可积条件(振幅和理论),可积函数类, 中值定理. 3.计算 4.应用
§1
二重积分的概念
y
一
平面图形的面积
1．平面图形 平面图形： 平面点集. 有界平面图形： 有界平面点集. 2．内面积与外面积 o 设 P 为有界平面图形,则存在矩形 R, 使得 P R. 用平行与坐标轴的直线网 T 将 R 分割成 n 个小矩形：