《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习资料)

《第七章 玻耳兹曼统计》（期末复习）

一、热力学第一定律的统计解释：

Q d W d dU +=

l l

l l l

l l

l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε

比较可知：l l

l d a W d ε∑=

l l

l da Q d ∑=ε

即：从统计热力学观点看，

做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化 二、相关公式

1、非定域系及定域系的最概然分布

l

e a l l βεαω--=

2、配分函数： 量子体系：∑-=l

l l

e

βεω1Z

∑---==l

l l l l l

l l

e e e a βεβεβεωωωN

Z N 1

半经典体系：()r

r

r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l

ΛΛΛ2121,1Z ⎰⎰⎰==-βεβεω

经典体系：()r

r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l

02121,01Z ΛΛΛ⎰⎰⎰==-βεβε

ω

3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β

∂∂=1lnZ -N U

物态方程：V

lnZ N 1∂∂=βp

定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

∂∂-=ββ11lnZ ln Nk S Z

三、应用：

1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。

2、能量均分定理 ①能量均分定理的内容 ②能量均分定理的应用：

A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。

B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。

3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。 四、应熟练掌握的有关计算

1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质

2、用Ω=kln S 的证明及相关应用 四、解题指导

1、求广义力的基本公式∑∂∂=l

l l y

a εY 的应用；

例1：根据公式V

a p l l

l

∂∂-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

2

/1222)(2z y X n n n L

c cp ++=

=ηπε ，Λ,2,1,0±±===z y x n n n

有V

U p 31=。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。

证明：令2

/12222)(2n n n c c A y X l

++=ηπ，3V A

L A l l l '

'==

ε，因此得到

V

V A V V A V l l

l l 331313/13/4εε-=-=-=∂∂

压强

∑∑=∂∂-=l

l

l l l

l

a V

V a p εε31

因内能∑=l l a U ε，所以V

U p 3=

。 证毕

由于在求证过程中，并未涉及分布l a 的具体形式，故上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。 2、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用

例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

∑-=s

Ps Ps Nk S ln

式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1

Z e N e N a P s

s s s βεβεα---=

==,∑

s

对粒子的所有量子态求和。对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？ 证明：对于定域系

证法（1）：()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=---=⎪

⎭

⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪

⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=s

s S

S S s S S S s s s S S s s s S S S S S S Ps

Ps Nk Z P P Z P N a Z P a N Z P U N Z P N N Z P Z ln ln Nk ln Nk ln Nk ln Nk ln Nk lnZ ln Nk lnZ ln Nk S 111111111βεεβεβεββββββ

证法（2）：对于满足玻耳兹曼分布的定域系

∏∏=

Ωl

a l

l

l l

a ω!N!

l

l

l

l l l

l l

l l

l l l l

l l

l a a N a a a a N N N a a N ωωωln

ln N ln ln ln ln !ln !ln ln ∑∑∑∑∑∑-=++--=+-=Ωs s s s

s s s

s s

s l

l

l

l l

l a N

a

N N N a N a a N a a a N a ln ln ln ln ln

ln ∑∑

∑∑∑∑-=-=-=ω S s

S s s s s s

s P P N N a N a N a N

N a N ln ln ln ∑∑∑

-=-== 故：∑-=Ω=s

Ps Ps Nk kT S ln ln

讨论：对满足对1>>α

e 的非定域系

011S ln !ln ln !ln lnZ ln Nk S +-=--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂-=∑∑s s Ps Ps Nk N k Ps Ps Nk N k Z ββ 或0M.B ln !ln ln kln S S P P Nk N k k S S +-=-Ω=Ω=∑

例3：对如图所示的夫伦克尔缺陷，（1）假定正常位置和填隙位置数均为N ，证明：由N 个原子构成的晶体，在晶体中形成n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于

！

！！)(ln

2n N n N k S -=