几个数学原理

几个数学原理

加法原理

知识要点与基本方法

加法原理：如果完成一件有K类办法，在第一类办法中有M1种不同方法，在第二类办法中有M2种不同方法，……在第K类办法中中有MK种不同方法，那么完成这一件任务共有N=M1+M2+M3……+MK 种不同方法。

[例1]从A地到B地，可以乘火车，也可以乘汽车，也可以乘轮船，一天中火车有5班，

汽车有3班，轮船有2班，那么一天中乘坐这些交通工具从A地到B 地有多少种不同的走法？

[例2]小明、小刚、小星三人下午要一起出去玩。小明要去游泳，共有3个游泳馆可供选择；小刚要去看体育比赛，有2个体育场可供选择；小星要去看电影，有5个电影院可供选择。因为时间紧张，所以只能选一种。那么他们三人下午的行动方案共有多少种？

练习：

1、从写有1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、9这九张卡片中，每次取两

个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？

2、一个口袋里装有7个小球，另一个口袋里装有4个小球，所有

小球颜色互不相同。从两个口袋中任取一个小球，共有几种不同的取法？

3、小星中午到食堂去吃饭，发现米饭有三种，面食有两种。如果

小星只选一种，那么小星吃午饭共有多少种不同的选择？

4、书架上有7种不同的数学书，3种不同的语文书，从中任取一

本，有几种不同的取法？

5、八把钥匙开八把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试

开多少次，就能把锁和钥匙配出来？

6、在1——1000的自然数中，一共有多少个数字0？

7、将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？

8、有一楼梯共10级，规定每次只能跨上一级或者两级，要登上

第10级，共有多少种不同走法？

9、小芳和小丽工友图画书不超过50本，她们各自有图画书的数

目有多少种可能？

乘法原理

知识要点与基本方法

在日常生活中，我们经常会遇到这样一些问题，就是在完成一件任务时，要分几个步骤才能完成，而且在完成每一步时，又有几种不同的方法，要具体知道完成这件事一共有多少种不同的方法，就要用到乘法原理来解决。

1.如果完成一件任务是分成两个步骤进行的，在第一个步骤中有

M种不同的方法，在第二个步骤中有N种不同的方法，那么完成这一件任务共有M×N种不同的方法。

2.如果完成一件任务可分成K个步骤，做第一步有M1种不同方

法，做第二步有M2种不同方法，做第三步有M3种不同方法……做到第K步有MK种不同方法，那么完成这件任务共有N=MI×M2×M3×M4……×MK种不同方法。

[例1]从A村到B村有3条不同的道路可走，从B村到C村有4条不同的道路可走。从A村经B村到C村共有多少种不同的走法？

[例2]由1、2、3、4中任选3个数字，可以组成多少个没有重复的三位数？

[例3]用乘法原理求18的约数个数。

练习：

1、小明、小刚、小星三人下午要一起出去玩。小明要去游泳，有

三个游泳馆可供选择；小刚要去看体育比赛，有两个体育场可以选择；小星要去看电影，有五个电影院可供选择。如果他们先去游泳，再去看体育比赛，最后去看电影，那么他们三人下午的行动方案有多少种？

2、书架上有7种不同的数学书，3种不同的语文书。从中任取语

文数学各一本，有几种不同的取法？

3、小刚到食堂吃饭，主食有2种，副食有5种，如果主、副食各

选一种，他有几种不同的选择？

4、某市的电话号码有6个数字，其中第一个数字不为0，第二个

数字是5的数字不重复的电话号码有多少个？

5、由1、2、3、4、5可以组成多少个三位数？（各数位上的数字

允许重复）

6、由1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？

7、用乘法原理求24的约数个数。

8、某市的电话号码共有6个数字，其中第一个数字不是0，第二

个数字不是3的数字不重复的电话号码共有多少个？

排列

知识要点与基本方法

在实际生活中场遇到这样的问题，就是把一些事物排在一起，构成一列。计算有多少种排法，就是排列问题。在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。

例如一架民航客机飞行于上海、北京、长春三个城市之间。问准备有多少中不同的机票？

抽屉原理（1）

基本的抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里不止有一个这种物体。可以通俗地说：东西多，抽屉杀，那

么至少有两个东西在同一个抽屉里。

例1某班有45名同学，老师至少拿几本书，随意分给大家，才能保证至少有一个同学得到两本书？

例2幼儿园买来不少汽车、飞机、轮船等儿童玩具；每个小朋友任意选择两件，那么至少几个小朋友中才能保证有两人选的玩具相同？

例3有一个箱子里装有红色、黄色、蓝色手套各10只，问最少要取多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的手套？

抽屉原理（2）

以上的例题都是讨论的物体个数比抽屉数多1的情况，下面我们讨论的是抽屉原理的另一种情况：“物体的个数比抽屉数的倍数多”。这就要运用抽屉原理二“把不少于m乘n+1个物体，放入n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有m+1个或m+1个以上物体”

例1有一口袋玻璃球，里面只有红、白2、黑三种颜色的，蒙眼去拿，为保证拿到手的玻璃球中至少有5个是同一色的，那么至少应该拿多少个？

例2把125本书分给五（1）班的同学。如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

例3任意给定5个自然数，其中一定有2个数，它们的差是4的倍数，这个结论正确吗？为什么？

例4某人步行10小时，共走了45千米，已知他第1小时走了5千米，最后1小时走了3千米，其余各小时走的都是整千米数。证明，在中间的8小时当中，一定存在连续2个小时，这人至少走了10千米。