与一次函数有关的动态几何问题
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
完整版)八年级数学一次函数动点问题
完整版)八年级数学一次函数动点问题八年级数学一次函数动点问题1、如图所示，以等边三角形OAB的边OB所在直线为x 轴，点O为坐标原点，在第一象限建立平面直角坐标系。
其中，△OAB边长为6个单位。
点P从O点出发沿折线OAB 向B点以3单位/秒的速度运动，点Q从O点出发沿折线OBA向A点以2单位/秒的速度运动。
两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。
①点A的坐标为（3，3），P、Q两点相遇时交点的坐标为（3，3）；②当t=2时，△OPQ的面积为3/2；当t=3时，△OPQ的面积为9/4；③设△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式为S=(3t-t^2)/4；④当△OPQ的面积最大时，在y轴上无法找到一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。
2、如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。
设点P、Q移动的时间为t秒。
1) 直线AB的解析式为y=-x+6；2) 当t=5时，△APQ的面积为24/5平方单位；3) △OPQ为直角三角形的时间范围为2≤t≤4；4) 无论t为何值，△OPQ都不可能为正三角形。
若点Q的运动速度为4个单位/秒，则此时t=2.3、如图所示，在直角三角形△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点。
它们同时分别从点A、O向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒。
设P、Q移动时间为t（≤t≤4）。
1）过点P做PM⊥OA于M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出P点的坐标（用t表示）。
证明：由于△OPM与△OAB相似，因此有PM/OB=AO/AB，即PM=AO*OB/AB=9/5.又因为△APM与△AOB相似，因此有AM/OA=PM/OB，即AM=OA*PM/OB=27/20.因此AM：AO=PM：BO=AP：AB=9：15：20.P点的坐标为（3t/5，18t/5）。
一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与特殊图形动点问题压轴题探究类型一一次函数与等腰直角三角形❖当一个直角（或者一个等腰直角三角形）放在一条直线上或平面直角坐标系中时，常通过构造“K型图”全等来转化等量线段。
【类题训练】1．已知A点坐标为A（）点B在直线y＝﹣x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（）A．（0，0）B．（，﹣）C．（1，﹣1）D．（﹣，）【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短得到AB垂直于直线y＝﹣x时AB最短，此时过B作BD垂直于x轴，由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得出∠AOB为45°，再由∠ABO为直角，得到三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到D为OA的中点，BD为斜边OA上的中线，利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到BD为OA的一半，由A的坐标求出OA的长，得出BD的长，而三角形BOD也为等腰直角三角形，得到OD＝BD，求出OD的长，最后由B在第四象限，即可确定出B的坐标．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：当AB⊥OB时，AB最短，此时过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，由直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，得到∠AOB＝45°，∵A（，0），即OA＝，∠ABO＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OD＝AD，即BD为Rt△AOB斜边上的中线，∴BD＝OA＝，又∵∠BOD＝45°，∠BDO＝90°，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝BD＝，∵B在第四象限，∴B的坐标为（，﹣）．故选：B．2．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（）A．（，）B．（3，3）C．（，）D．（，）【分析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD ＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，设AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴DN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，即方程组得：，即Q的坐标是（，）．故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标（6，0），B点坐标（3，﹣3），动点P从A点出发，沿x 轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC＝90°，连接OC，当OC＝10时，点P的坐标为（）A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，证明△PDB≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出DP＝BF，BD＝CF＝3，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案．【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，∵B（3，﹣3），A（6，0），∴OD＝DA＝BD＝3，∵△PBC为等腰直角三角形，∴PB＝BC，∠PBC＝90°，∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠PBD＝∠BCF，∴△PDB≌△BFC（AAS），∴DP＝BF，BD＝CF＝3，∴CE＝EF+CF＝6，∵OC＝10，∴EO＝＝＝8，∴DF＝8，∴BF＝5，∴DP＝5，∴OP＝DP+OD＝8，∴P（8，0）．故选：B．4．如图，平面直角坐标系中，点A在直线y＝x+上，点C在直线y＝﹣x+4上，点A，C都在第一象限内，点B，D在x轴上，若△AOB是等边三角形，△BCD是以BD为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为．【分析】设OG＝x，作AG⊥OB根据等边三角形的性质即可求出GA，将A的坐标代入y＝x+即可求出A；作CH⊥BD，设BH＝m，根据等腰直角三角形的性质求出CH，然后将C的横纵坐标代入直线y＝﹣x+4，即可求出m，从而确定D点坐标．【解答】解：作AG⊥OB，CH⊥BD，垂足分别为G，H，如下图所示：设OG＝x，∵△OAB是等边三角形，∴G为OB的中点，∠AOB＝60°，∴OB＝OA＝2x，AG＝，∵A点在直线y＝x+上，∴＝x+，解得x＝，∴OB＝2OG＝3，设BH＝m，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBH＝45°，∴BH＝CH＝DH，∴C（3+m，m），∵点C在直线y＝﹣x+4上，∴m＝﹣（m+3）+4，解得m＝，∴BD＝2BH＝，∴OD＝OB+BD＝3+＝，∴D（，0）．故答案为：（，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求直线l2的函数解析式；（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论；（2）根据勾股定理得到OA＝＝5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据折叠的性质得到∠OAB＝∠CAB，于是得到结论；（3）过C作CM⊥OB于M，求得CM＝OD＝4，得到C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵直线l₁：y＝x与直线l₂：y＝kx+b相交于点A（a，3），∴A（4，3），∵直线交l₂交y轴于点B（0，﹣5），∴y＝kx﹣5，把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，∴k＝2，∴直线l₂的解析式为y＝2x﹣5；（2）∵OA＝＝5，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，∴∠OAB＝∠CAB，∴∠OBA＝∠CAB，∴AC∥OB；（3）存在．理由如下：如图，过C作CM⊥OB于M，则CM＝OD＝4，∵BC＝OB＝5，∴BM＝3，∴OM＝2，∴C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N，∵△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP1＝90°，∴∠MCB＝∠NBP1，∵BC＝BP1，∴△BCM≌△P1BN（AAS），∴BN＝CM＝4，∴P1（3，﹣9）；同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．类型二一次函数与最值➢最值常结合模型——将军饮马；➢“两定一动型”将军饮马解决步骤：①对称；②连接；➢“两定两动型”将军饮马解决步骤：①平移；②对称；③连接；1．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接P A、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为﹣1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．【解答】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），∴方程组的解为，故①正确，符合题意；②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，∴直线l1：y＝2x+4，又∵直线l2：y＝﹣x+m，∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，∴△BCD为直角三角形，故②正确，符合题意；③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，∴D（0，1），∴BD＝4﹣1＝3，在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AO＝2，∴S△ABD＝×3×2＝3，故③错误，不符合题意；④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，令x＝0，则y＝1，∴当P A+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），故④正确，符合题意；故选：B．2．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ 的最小值为．【分析】根据直线y＝x+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC＝2，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．【解答】解：如图，连接CH，∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中点，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四边形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q（﹣6，﹣4），又∵点C（0，2），根据勾股定理可得CQ＝＝6，此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值为6+2；故答案为：6+2．3．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．类型三一次函数与等腰三角形存在性➢点在图象上，则点的坐标符合直线的解析式➢“两定一动型”等腰三角形——即已知两个定点，求第三个点的坐标，使形成等腰三角形；➢解决办法：“两圆一线”“两圆”：以两个顶点为圆心，两定点组成线段长为半径作圆，圆与目标直线的交点即为所求的动点；“一线”：两定点组成线段的中垂线与目标直线的交点即为所求的动点；（求解常需要结合勾股定理）1．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于．【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．【解答】解：∵直线与x、y轴交于B、C两点，∴OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，∴∠CA1O＝90°．在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故答案为：．2．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．3．如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q 的坐标．【分析】（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，即可求解；（2）由△ABP的面积＝S△HBP+S△HBA，即可求解；（3）求出线段AP、AQ、PQ的长度，再分AP＝PQ、AP＝AQ两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）设直线AP交y轴于点H，设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），则△ABP的面积＝S△HBP+S△HBA＝×AC×BH＝×（﹣2k）＝，解得：k＝﹣，∴点P的坐标为（2，﹣）；（3）由（2）知，点P的坐标为（2，﹣），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16+，同理可得：PQ2＝（t+）2，AQ2＝16+t2，当AP＝PQ时，即16+＝（t+）2，解得t＝或，故点Q的坐标为（2，）或（2，）；当AP＝AQ时，即16+＝16+t2，解得t＝（负值已舍去），故点Q的坐标为（2，）；综上，点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．类型四一次函数与全等三角形1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿过点A的直线折叠，使点B落在x轴负半轴上，记作点C，折痕与y轴交点交于点D，则点C的坐标为，点D的坐标为．【分析】由折叠的性质得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等得到BD＝CD，AB ＝AC，由一次函数解析式求出A与B坐标，确定出OA与OB的长，由BD+OD＝OB，OC+OA＝AC，在直角三角形COD中，设CD＝x，表示出OD，利用勾股定理求出x的值，即可确定出C与D坐标．【解答】解：由折叠的性质得：△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝4，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝5，∴OC＝AC﹣OA＝AB﹣OA＝5﹣4＝1，即C（﹣1，0）；在Rt△COD中，设CD＝BD＝x，则OD＝3﹣x，根据勾股定理得：x2＝（3﹣x）2+1，解得：x＝，∴OD＝，即D（0，）．故答案为：（﹣1，0）；（0，）2．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A 的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为．【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C 重合时求出点F的坐标即可求出k的值．【解答】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，∵AF平分∠DFE，∴DA＝AG＝2，在RT△ADF和RT△AGF中，，∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），∴DF＝FG，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1，∴AE＝＝，∴GE＝＝1，∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，∴点F（，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE，∴F（2，2），把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．故答案为：1或3．3．如图，直线y＝kx+6交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且OA＝3OB，P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为（6，0），直线PC交y轴点于D，O是原点．（1）求k的值；（2）直线AB上是否存在一点P，使得△OCD与△AOB是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在射线BA上运动时，连接OP，是否存在点P，使得△OPC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在y＝kx+6中，可得A（0，6），OA＝6，又OA＝3OB，即知OB＝2，B（﹣2，0），用待定系数法可得k的值是3；（2）由OC＝6＝OA，∠COD＝90°＝∠AOB，可知△OCD与△AOB全等，只需OD＝OB＝2，即D（0，2），用待定系数法得直线CD解析式为y＝﹣x+2，解即可得点P的坐标为（﹣，）；（3）设P（t，3t+6），且t≥﹣2，有OP2＝t2+（3t+6）2，OC2＝36，CP2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，分三种情况列方程即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝kx+6中，令x＝0得y＝6，∴A（0，6），OA＝6，∵OA＝3OB，∴OB＝2，B（﹣2，0），把B（﹣2，0）代入y＝kx+6得：0＝﹣2k+6，解得k＝3；∴k的值是3；（2）存在一点P，使得△OCD与△AOB是全等的，理由如下：∵C（6，0），∴OC＝6＝OA，∵∠COD＝90°＝∠AOB，∴△OCD与△AOB全等，只需OD＝OB＝2，∴D（0，2），设直线CD解析式为y＝mx+2，把C（6，0）代入得：0＝6m+2，解得m＝﹣，∴直线CD解析式为y＝﹣x+2，由（1）知k＝3，∴直线AB解析式为y＝3x+6，由得，∴点P的坐标为（﹣，）；（3）存在点P，使得△OPC为等腰三角形，理由如下：设P（t，3t+6），且t≥﹣2，∵O（0，0），C（6，0），∴OP2＝t2+（3t+6）2，OC2＝36，CP2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，①当OP＝OC时，t2+（3t+6）2＝36，解得t＝0或t＝﹣3.6（舍去），∴P（0，6）；②当OP＝CP时，t2+（3t+6）2＝（t﹣6）2+（3t+6）2，解得t＝3，∴P（3，15）；③当OC＝CP时，36＝（t﹣6）2+（3t+6）2，方程无实数解；综上所述，P的坐标为（0，6）或（3，15）．综合练习1．已知：如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．B．6C．D．【分析】由题意由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO ＝∠BNM．由P2A⊥OA而求得．【解答】解：由题意知y＝﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0）设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA＝∠BMN；∠PNO＝∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则：∠P2MA＝∠PMA＝∠BMN，∠P1NO＝∠PNO＝∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB＝∠P AB＝45°，即P2A⊥OA；PM+MN+NP＝P2M+MN+P1N＝P1P2＝＝2．故选：A．2．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C 在y轴上．OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0）．过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．（1）点G的坐标为；（2）求折痕OE所在直线的表达式；（3）若直线l：y＝mx+n平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）根据折叠的性质求出OG，根据勾股定理计算求出GN，得到点G的坐标；（2）设CE＝x，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出OE所在直线的解析式；（3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，OG＝OC＝5，由勾股定理得，GN＝＝＝4，∴点G的坐标为（3，4），故答案为：（3，4）；（2）设CE＝x，则EM＝3﹣x，由折叠的性质可知，EG＝CE＝x，∵GN＝4，∴GM＝5﹣4＝1，在Rt△EMG中，EG2＝EM2+MG2，即x2＝（3﹣x）2+12，解得，x＝，∴点E的坐标为（，5），设OE所在直线的解析式为：y＝kx，则k＝5，解得，k＝3，∴OE所在直线的解析式为：y＝3x；（3）∵直线l：y＝mx+n平行于直线OE，∴m＝3，即直线l的解析式为y＝3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5＝3×3+n，解得，n＝﹣4，当直线l经过点A（5，0）时，0＝3×5+n，解得，n＝﹣15，∴直线l与长方形ABMN有公共点时，﹣15≤n≤﹣4．3．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；（3）在x轴上是否存在点P使△P AB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为B是直线y＝x上一点，且B的横坐标为2，代入解析式中，求得B点坐标，再将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中，求得k和b的值；（2）根据勾股定理求出OA、OB、AB的值，利用勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）因为△P AB为等腰三角形，且A，B两点坐标已知，P是x轴上一动点，故要分三类讨论，即BA＝BP，AP ＝AB，P A＝PB，画出图形，求解出P点坐标．【解答】解：（1）令x＝2，则y＝x＝1，∴B的坐标为（2，1），将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，，解得，∴B的坐标为（2，1），k＝﹣2，b＝5；（2）证明：∵点A（0，5），B（2，1），∴OA＝5，OB＝＝，AB＝＝2，∵52＝（）2+（22），∴OA2＝OB2+AB2，∴∠ABO＝90°，∴直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；（3）∵△P AB为等腰三角形，∴可以分三类讨论，①当BA＝BP时，如图，此时P有两个位置，分别记为P和P′，由（2）可得，AB＝2，∴PB＝2，设P（p，0），∴PB＝＝2，解得：p＝2+或p＝2﹣，∴P（2+，0）或P（2﹣，0）；②当AP＝AB时，如图，∵OA⊥x轴，OA＝5，AB＝2，∴点A到x轴的距离为5，OA＞AB，∴此时在x轴上不存在点P使△P AB为等腰三角形；③当P A＝PB时，如图，设P（m，0），在Rt△POA中，P A2＝OA2+OP2＝52+m2＝25+m2，同理，PB2＝12+（2﹣m）2＝m2﹣4m+5，∵P A＝PB，∴25+m2＝m2﹣4m+5，∴m＝﹣5，∴P（﹣5，0），∴P（2+，0）或P（2﹣，0）或（﹣5，0）．4．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；（2）在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标；（3）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，请你直接写出点D的坐标．【分析】（1）由直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），可求出b，从而得出点B的坐标，再利用待定系数法求BC 的函数解析式即可；（2）分PB＝PC，CB＝CP，BC＝BP三种情况，分别进行计算即可；（3）利用全等变换，分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑，根据∠BAO＝∠ABO＝45°，从而得出点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），∴0＝﹣3+b，∴b＝3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），即OB＝3，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴正半轴，∴C（1，0），设直线BC的表达式为y＝kx+c（k≠0），将B（0，3），C（1，0）代入得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣3x+3；（2）①如图所示，当PB＝PC时，∵PB＝PC，设OP＝x，则PB＝OC＝3﹣x，在Rt△POC中，∠POC＝90°，∴OP2+OC2＝PC2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴点P的坐标为（0，）．②当BC＝PC时如图所示，∵BC＝PC，∴OB＝OP，∴P（0，﹣3），当BC＝BP时，由B（0，3），C（0，1），∴BC＝，∴BP＝，∴P（0，3+）或（0，3﹣），故答案为：（0，）或（0，﹣3）或（0，3+）或（0，3﹣）；（3）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑，如图，①当△BAD≌△ABC，当点D在AB上方时，∵OA＝OB＝3，∴∠BAC＝45°，∵△BAD≌△ABC，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝4，∴D（﹣4，3）；当点D在AB下方时，则BD＝AC＝4，∴D（0，﹣1）；②当∠ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝4，∴∠DAC＝90°，∴D（﹣3，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，3）或（﹣3，4）或（0，﹣1）．。
中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(学生版)
专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（ ）A ．y ＝2x +6B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6 2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 23．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2y x =--D ．2y x =--4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．4y x =-- C ．4y x =-+ D ．41y x =-+5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1 7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为24y x =-；①该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；①点(2,44)P a a -该函数图象上；①直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x =；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在等腰Rt ABC ∆中，2AB AC cm ==，动点Q 从点C 出发沿C A B →→路径以1/cm s的速度运动，设点Q 运动时间为()t s ，BCQ ∆的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt①ABC ，使①BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象可以由2y x =的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为_________．12．若一个一次函数的图象经过点()02，，则这个一次函数的解析式可以是（写出一个即可）__________．13．若一次函数y kx b =+（b 为常数）的图象过点()5,4，且与y x =的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．15．如图①，在梯形ABCD 中，AD①BC ，①A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止.已知①PAD 的面积S （单位：）与点P 移动的时间t （单位：s ）的函数关系式如图①所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．17．已知：一次函数y ＝kx +b 的图象经过M (0，2)，N (1，3)两点．（1）求一次函数的解析式，画出此一次函数的图象并利用图象回答：当x 取何值时，函数值y ＞0；（2）将该函数图象平移，使它过点(﹣2，﹣2)，求平移后直线的解析式．18．已知一次函数的图象经过点A （3，5）与点B （﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将该函数图像向下平移3个单位，求平移后图像的函数表达式．19．在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b （k ≠ 0）的图象由函数 y=x 的图象平移得到， 且经过点 A （1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象．若此图象与 x 轴交于点 B ，则①ABO 的面积为 ．（3）当 x >1 时，对于每一个 x 的值，函数 y=mx （m ≠ 0）的值都大于一次函数 y=kx+b 的值，请你直接写出 m 的取值范围： ．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．21．如图，一次函数y ＝（m ﹣3）x ﹣m ＋1图象分别与x 轴正半轴、y 轴负半轴相交于点A 、B ．（1）求m 的取值范围；（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过(2,0)A -，()1,3B 两点． （1）求这个一次函数的解析式；。
人教版八年级下期数学25.动态图形与一次函数的关系
b=-（
3 2
+b）+2
，解得b=
1 4
，得到B3(
7 4
,
1
4 ).
故答案为：A3（
7 4
,0
）.
典例精讲
类型二：一次函数中的动点问题
如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运 动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
解：过典A作例A精C⊥讲直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，
当B和C重合时，线段AB最短，
解题步骤归纳
根据一次函数设 出点的坐标
垂线段最短， 定出动点位置
根据变化 图形性质
根据一次 函数特点
求出点的 坐标
求出点的 坐标
典例精讲 类型一：一次函数与变化的图形
正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点 A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=-x+2上， 则点A3的坐标为 ________．
∵直线y=x，∴∠AOC=45°，∴∠OAC=45°=∠AOC， ∴AC=OC， 由勾股定理得：2AC2=OA2=4， ∴AC=OC= 由三角形的面积公式得：AC·OC=OA·CD， ∴ × =2CD， ∴CD=1， ∴OD=CD=1， ∴B（-1，-1）．
典例精讲
解：设正方形OA1B1C1的边长为t，则B1（t,t），所以t=-t+2.
解得t=1，得到B1（1,1）.
设正方形A1A2B2C2的边长为a，则B2（1+a,a），所以a=-（1+a）+2.
解得a=
1 2
，得到B2（
3 2
,
1 ）.
2
设正方形A2A3B3C3的边长为b，则B2（
八年级数学总复习与一次函数有关的动态几何问题专题练习
八年级数学总复习与一次函数有关的动态几何问题专题练习一、单选题，AB=6，点E、F、G分别是AB、BC、DC上的点，其中BE=DG=2，BF=1．点P 1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=45°从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线EA﹣AD﹣DG运动；点Q以每秒1个单位沿折线FC﹣CG运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设△BPQ的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）A. B. C. D.3.如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.4.如图，点P是?ABCD边上一动点，沿A→D→C→Ｂ的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A. B. C. D.5.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A. B. C. D.，PD交AB于点6.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.和，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣Ｃ7.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2 B﹣C﹣Ｄ所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，S=4 ②AD=4③当4≤t≤８时，S=2 t ④当t=9秒时，BP平分四边形ABCD的面积．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.（2016?广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.二、综合题9.（2017?河北）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣５与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣５分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠Ｓ，请通过计算解释他的想法错在哪里．10.（2017?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；（2）求出边A1C1所在直线的解析式；（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．11.如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.12.（2017?宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．13.如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF=1．（1）点E的坐标为________，点F的坐标为________；（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，①点E′的坐标为________，点F′的坐标为________；②求直线E′F′的解析式；（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．14.如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（﹣４，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒 4 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．16.直线y=﹣x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（﹣，0），另一条直线经过点A、C．（1）求线段AC所对应的函数表达式；（2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度．当点M运动到C点时停止运动．设M运动t秒时，△ABM的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，S= S△ABC，（注：S△ABC表示△ABC的面积），求出对应的t值；③当t=4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t（s）表示运动的时间（0≤t≤５）．（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值．（3）直接写出PQ中点移动的路径长度．18.如图，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y= x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．（1）求点C的坐标；（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．19.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣３，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，链接BM（1）菱形ABCO的边长________（2）求直线AC的解析式；（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠０），点P的运动时间为t秒，①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式；②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．20.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，∠ABO=30°，OB=3OC．（1）试说明直线AC与直线AB垂直；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（﹣４，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒 4 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t）．（1）当t=2时求△EFG的面积S；（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接y写出t的值．23.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．24.如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（﹣８，0），点A的坐标为（﹣６，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．（1）求k的值；（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由．25.如图，直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y=﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．26.如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣２，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→Ｃ的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠０），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．答案解析部分一、单选题1.【答案】 A【解析】【解答】解：当0＜t≤２时，点P在AB上，点Q在BC上，S= ?（1+t）?（2+2t）? = （t+1）2，当2＜t≤５时，点P在AD上，点Q在BC上，S= ?（1+t）?3 = （t+1），当5＜t≤６时，点P、点Q在CD上，S= ?[6﹣（t﹣５）]?3 =﹣t+ ．）﹣（2t﹣10故答案为：A．【分析】分三种情形求出S与t的关系即可解决问题．2.【答案】 A【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AB，∵MN=1，四边形MNQP为直角梯形，∴四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN），∴N点从A到G点四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN）中，PM，QN都在增大，所以面积也增大；当QN=CG时，QN开始减小，但PM仍然增大，且PM+QN不变，∴四边形MNQP的面积不发生变化，当PM＜CG时，PM+QN开始减小，∴四边形MNQP的面积减小，∴符合要求的只有A．故答案为：A．【分析】利用直角梯形的面积公式，由于MN是一个确定值，因此四边形MNQP的面积随PM+QN的变化而变化，找到特殊点过点C作CG⊥AB，，分情况讨论就可得出四边形MNQP的面积的变化情况。
与一次函数有关的动态几何问题
答案：解：（1）∵OB=3 tan∠OAB=
∴ ∴OA=4
即A的坐标为（4,0）
把x=4,y=0代入y=kx+3得
k=-
∴y= - x+3
(2)设△AOC的面积为S
∵S= OA ｜y｜= ×4｜y｜=6
∴y=±3
∵C(x,y)在直线y= - x+3上
∴当y=3时,x=0,点 与B重合，舍去.
当x=- 时,y= ,
∴满足题意的点有三个，它们分别是： 、 、
.
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：解：( 1 )由已知得A点坐标(－4﹐0)，B点坐标(0﹐4 ﹚
∵OA＝4OB＝4
∴∠BAO＝60º
∵∠ABC＝60º
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）根据题意，得 解得 ∴A(3，4)．
令 =0，得x=7．
∴B（7，0）．
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4．
由 ，得
．
整理，得 ，解之得t1=2，t2=6（舍）．
3. (2011 云南省曲靖市)如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB= ，
点C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点.
(1)求直线y=kx+3的解析式；
(2)当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案
中考数学《一次函数-动态几何问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形ABCD的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示∥ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM∥PA 于M，QN∥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．4．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是()A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点5．如图1，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，点E沿着B→C→D的路径以2cm/s速度匀速运动，到达点D停止运动，EF始终与直线BC保持垂直，与AB或AD交于点F，设线段EF的长度为d(cm)，运动时间为t(s)，若d与t之间的关系如图2所示，则图中a的值为（）A．3.8B．3.9C．4.5D．4.86．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，2），直线y=kx+x+3与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≥−3B．k<−32C．−3<k<−32D．−3≤k≤−3 27．如图所示，A、M、N点坐标分别为A（0，1），M（3，2），N（4，4），动点P从点A出发，沿y 轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t 秒，若点m，n分别位于l的异侧，则t的取值范围是（）A．5＜t＜8B．4＜t＜7C．4≤t≤7D．4＜t＜88．一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点P，将一次函数图象绕着点P转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与x轴交点横坐标为（）A．−3B．3C．3或−3D．6或−69．如图，在平面直角坐标系中有-个3×3的正方形网格，其左下角格点A的坐标为(1，1)，右上角格点B的坐标为(4，4)，若分布在直线y=k(x-1)两侧的格点数相同，则k的取值可以是()A．52B．2C．74D．3210．如图，直线AB：y=-3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C(-1，0)，D为y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，线段CD的长为()A．√10B．√17C．5D．2√711．小颖从家出发，走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，图（3）中表示小颖离家时间x与距离y之间的关系正确的是（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A(−1，−2)，B(3，−1)，若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的值可能是（）A．2B．3C．−12D．-4二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B是x轴上的一个动点，始终保持∥ABC 是等边三角形(点A，B，C按逆时针排列)，当点B运动到原点O处时，则点C的坐标是.随着点B在x轴上移动，点C也随之移动，则点C移动所得图象的表达式是.14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(m，2)，(2m−1，2)，若直线y=4x+1与线段AB有公共点，则m的取值范围是≤m≤．15．在平面坐标系中，已知点A（2，3），B（5，8），直线y=kx-k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为．16．如图，在直角坐标系中，∥A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣34x+6上的动点，过点P作∥A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是17．如图，在∥ABC中，∥C＝90°，AC＝8，BC＝6，D点在AC上运动，设AD长为x，∥BCD 的面积y，则y与x之间的函数表达式为．18．如图，点M的坐标为(3，2)，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线关于直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F 和点E，直线l1与直线l2 、y= 34x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当∥PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．20．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y与x之间的函数表达式；（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−12x+b相交于点C(2,m)（1）求点A、B的坐标；（2）求m和b的值；（3）若直线y=−12x+b与x轴相交于点D．动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒①若点P在线段DA上，且ΔACP的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使ΔACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．（1）如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了个单位长度；（2）将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）平移了个单位长度；（3）综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，a），B（a+2，a），其中a＞0，直线y＝kx﹣2与y轴相交于C点．（1）已知a＝2①求S∥ABC；②若点A和点B在直线y＝kx﹣2的两侧，求k的取值范围；（2）当k＝2时，若直线y＝kx﹣2与线段AB的交点为D点（不与A点、B点重合），且AD＜3，求a的取值范围．24．如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（﹣3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=﹣1交AB于点D，P是直线x=﹣1上一动点，且在点D上方，设P（﹣1，n）．（1）求直线AB的解析式；（2）求∥ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当S∥ABP=2时，∥BPC是等腰三角形①满足条件的点C的个数是▲ 个（直接写出结果）；②当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标．参考答案1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D13．【答案】( √3 ，1)；y ＝ √3 x －2 14．【答案】14；5815．【答案】2≤k ≤3 16．【答案】4√2 17．【答案】y ＝－3x ＋24 18．【答案】2或319．【答案】（1）解：设直线l 1的表达式为y=kx+b ∵直线l 1过点F （0，10），E （20，0）∴{b =1020k +b =0解得 {k =−12b =10直线l 1的表达式为y=﹣ 12 x+10求直线l 1与直线l 2 交点，得34 x=﹣ 12 x+10解得x=8y= 34×8=6 ∴点P 坐标为（8，6）（2）解：①如图，当点D 在直线上l 2时∵AD=9∴点D 与点A 的横坐标之差为9∴将直线l1与直线l2交解析式变为x=20﹣2y，x= 43y∴43y﹣（20﹣2y）=9解得y= 8710则点A的坐标为：（135，8710）则AF= √(135)2+(10−8710)2=13√510∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 1310如图，当点B在l2直线上时∵AB=6∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得﹣12x+10﹣34x=6解得x= 165则点A坐标为（165，425）则AF= √(165)2+(10−425)2=8√55∵点A速度为每秒√5个单位∴t= 8 5故t值为1310或85②如图设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9由①中方法可知：MN= 54a+54此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1∵∥PMN的面积等于18∴12×(54a +54)⋅(a +1)=18解得a 1= 12√55−1 ，a 2=﹣ 12√55−1 （舍去）∴AF=6﹣ √52则此时t 为 6√55−12 当t= 6√55−12 时，∥PMN 的面积等于18 20．【答案】（1）解：不同.理由如下：∵ 往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时∴ 往、返速度不同.（2）解：设返程中 y 与 x 之间的表达式为 y =kx +b则 {120=2.5k +b ，0=5k +b.解之，得 {k =−48，b =240.∴ y =−48x +240 .（ 2.5x ≤x ≤5 ）（3）解：当 x =4 时，汽车在返程中∴y =−48×4+240=48 .∴ 这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km.21．【答案】（1）解：在 y =x +2 中当 x =0 时当 y =0 时∴A(−2,0)（2）解： ∵ 点 C(2,m) 在直线 y =x +2 上∴m =2+2=4又 ∵ 点 C(2,4) 也在直线 y =−12x +b 上 ∴ 即 4=12x +5 解得 b =5（3）解：在 y =−12x +5 中 当 x =0 时∴D(10,0)∵A(−2,0)∴AD =12①设 PD =t ，则 AP =12−t过 C 作 CE ⊥AP 于 E ，则 CE =4由 ΔACP 的面积为 10得 12(12−t)×4=10 解得 t =7②过 C 作 CE ⊥AP 于 E则 CE =4∴AC =4√2a. 当 AC =CP 时，如图①所示则 AP =2AE =8∴PD =AD −AP =4∴t =4b. 当 AP 1=AP 2=AC =4√2 时，如图②所示DP 1=t =12−4√2c. 当 CP =AP 时，如图③所示设 EP =a则 CP =√a 2+42∴√a 2+42=a +4解得 a =0∴AP =4∴PD =8∴t =8综上所述，当 t =4 或 t =12−4√2 或 t =12+4√2 或 t =8 时，ΔACP 为等腰三角形22．【答案】（1）1（2）左；12（3）右；左；m=n|k|23．【答案】（1）解：①∵a ＝2∴A （2，2），B （4，2）∴AB ＝2∵直线y ＝kx ﹣2与y 轴相交于C 点∴C （0，﹣2），如图∴S ∥ABC ＝12AB×（2+2）＝12×2×4＝4． ②当直线y ＝kx ﹣2经过点A （2，2）时2k ﹣2＝2，解得k ＝2当直线y ＝kx ﹣2经过点B （4，2）时4k ﹣2＝2，解得k ＝1∴点A 和点B 在直线y ＝kx ﹣2的两侧时，1＜k ＜2；（2）解：直线AB 的解析式为：y ＝a当k ＝2时，直线y ＝2x ﹣2∴2x ﹣2＝a ，即x ＝a+22∴D （a+22，a ）∴2＜a+22＜a+2解得a ＞2又∵AD ＝a+22−2<3解得a ＜8所以a 的取值范围为2＜a ＜8．24．【答案】（1）解：设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A(0，1)，B(﹣3，0)代入，得{b =1−3k +b =0解得{b =1k =13∴y =13x +1； （2）解：当x=-1时，y =13×(−1)+1=23∵P(﹣1，n)∴PD=n−2 3∴∥ABP的面积=∥APD的面积+∥BPD的面积=12PD⋅OB=12(n−23)×3=32n−1；（3）解：①3；②设C(0，c)∵P(-1，2)，B(﹣3，0)∴PC2=(−1−0)2+(2−c)2=c2−4c+5BC2=(−3−0)2+(0−c)2=c2+9当PC=BC时c2-4c+5= c2+9∴c=-1∴C(0，-1)．。
一次函数动点问题精品(难)
B
C
G
【例 10】如图 1，直线 y x 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB 上任意 ，过 M 分别作 MC OA于点C ， MD OB于D ． 一点（ A、B 两点除外） ⑴当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理 由； ⑵当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ ⑶当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x y 轴的正方向移动，设平移的距离为 a 0＜a＜4 ，正方形 OCMD 与 △ AOB 重叠部分的面积为 S ． B D M
O
C 图 1
A
x
【例 11】已知：如图，直线 y 3x 4 3 与 x 轴交于点 A ，与直线 y 3 x 相交于点 P ． ⑴求点 P 的坐标． ⑵请判断 OPA 的形状并说明理由． ⑶动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 O → P → A 的路线向点 A 匀 ，过点 E 分别作 EF x 轴于 F ， EB y 轴于 B ．设 速运动（ E 与点 O 、 A 重合） 运动 t 秒时，矩形 EBOF 与 OPA 重叠部分的面 y 积为 S ．求： ① S 与 t 之间的函数关系式． ②当 t 为何值时， S 最大，并求 S 的最大值．
y B
N
O
M 图①
A
x
【例 4】如图，直角梯形 OABC 中， AB ∥ OC ， O 为坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上， 动 点 C 在 x 轴正半轴上，点 B 坐标为 2 ，2 3 ，BCO 60 ，OH BC 于点 H ． 点 P 从点 H 出发，沿线段 HO 向点 O 运动，动点 Q 从点 O 出发，沿线段 OA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．设点 P 运动的时间为 t 秒． ⑴求 OH 的长； y ． 求 S 与 t 之间的 ⑵若 △OPQ 的面积为 S （平方单位） A B 函数关系式．并求 t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最 大值是多少？ H Q M ⑶设 PQ 与 OB 交于点 M ． P ①当 △OPM 为等腰三角形时，求⑵中 S 的值； x C ②探究线段 OM 长度的最大值是多少，直接写出结论． O
初三数学一次函数与动点问题
XXXX教育______学科个性化教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级九课程类别课时学生姓名授课主题一次函数与几何动点问题授课教师教学目标理解和掌握一次函数与几何动点问题的解题思路教学重难点数形结合教学方法讲练结合教学过程1、课程导入/错题讲解：们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
点拨教学过程2.知识点讲解一次函数定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数 ,k≠0)的函数，叫一次函数。
（存在条件: ①两个变量x、y, ②k、b是常数且k≠0,③自变量x的次数是1，④自变量x的是整式形式）一次函数与正比例函数关系: 正比例函数包含于一次函数，即正比例函数是一次函数；正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
一次函数性质：以下各条性质反之也成立。
①图像形：是一条直线。
称为直线y=kx+b②象限性:当k＞0、b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不过四象限。
当k＞0、b＜0时，直线经过第一、三、四象限。
不过二象限当k＜0 、b＞0时，直线经过第一、二，四象限。
不过三象限当k＜0 、b＜0时，直线经过第二，三、四象限。
不过一象限③增减性：当k＞0时，直线从左向右上升，随着x的增大(减小) y也增大(减小)当k＜0时，直线从左向右下降。
随着x的增大(减小) y反而而减小（增大）④连续性：由于自变量取值是全体实数，所以图像具有连续性。
（没有最大或最小值）⑤截距性;当b＞0时，直线与y轴交于y轴正半轴(交点位于轴上方)当b＜0时，直线与y轴交于y轴负半轴(交点位于轴下方)⑥倾斜性:︱k︱越大，直线越靠向y轴，与x轴正方向的夹角度数越大，越陡。
⑦平移性; 直线y=kx+b当b＞0时，是由直线y=kx 向上平移得到的。
当b＜0时，是由直线y=kx 向下平移得到的。
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题.doc
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。
解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。
动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。
考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。
一次函数动点问题 精心总结版
11、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇2解（1）A （8，0）B （0，6）（2）86OA OB == ，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t =当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ （3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， 2 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．xAO QP B y23.（2010年金华） 如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题：（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为 菱形，则t 的值是多少？② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333+-=x y ；（2）（0,3），29=t（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== BFAP E O xy l(第24题(图1) BFP Ey M P′ H3而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 323=-得 59=t ； 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921tEF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中，MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-，解得745=t ②存在﹒理由如下：∵2=t ，∴332=OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， C 点坐标为（332，332－1） 过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－32，33） 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－32，3）也符合条件 9．（2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．第9题【答案】（1）=∠EBF 30°.QFC ∠＝ 60° （2）QFC ∠＝60°不妨设BP ＞3AB , 如图1所示∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60° (事实上当BP ≤3AB 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE ＝AB ＝32，由（1）得=∠EBF 30°A BE QPFC图1ACBEQF P yBF AP E OxQ′B′ Q CC 1D 1 (图3)4在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF ＝2cos30BG=︒∴EF ＝2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF 2x =+过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+ （x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =.∴点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭， （Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设OB x OC y '==，，则4B C B C O B O C y'==-=-， 在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤， ∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求. 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小y ∴的取值范围为322y ≤≤.（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．x yBO A xyBy B5（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠ ，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+， 解得0008450845x x x =-±>∴=-+ ．，.∴点C 的坐标为()08516-，.。
2019备战中考数学专题练习(全国通用)-与一次函数有关的动态几何问题(含答案)
2019备战中考数学专题练习（全国通用）-与一次函数有关的动态几何问题（含答案）一、单选题1.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A，B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A. 4B. 8C. 16D. 82.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M 运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A. B. C. D.3.如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A. （0，0）B. （，﹣）C. （，﹣）D. （﹣，）4.对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计上可以看出摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下表所示的对应关系，则确定y与x之间的函数关系式是（）A. y=xB. y=1.8x+32C. y=0.56+7.4x+32D. y=2.1x+265.如图,AD,BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设∠APB=y（单位:度),点P运动的时间为x（单位:秒），那么表示y与x关系的图象是( )A. B. C.D.6.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（）A. （0，3）B. （0，）C. （0，）D. （0，）二、填空题8.在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则矩形ABCD的面积是________．9.如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2所示，那么△ABC的面积为________．10.如图，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则线段AB的长为________，线段BC 的长为________．11.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为．12.已知在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（3，5），点P为直线y=x﹣2上一个动点，当|PB﹣PA|值最大时，点P的坐标为________．13.如图，长方形的顶点的坐标为，动点从原点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到点时停止，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，当一个点停止时，另一个点也随之停止．在运动过程中，当线段恰好经过点时，运动时间的值是________．14.如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，则平移后直线的解析式为________。
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1. (2011 省市) 如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数4
3
y x =
的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点
P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.
①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
答案：解 ：（1）根据题意，得743y x y x =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
，解得34x y =⎧⎨
=⎩，，∴A (3，4) ． 令7y
x =-+=0，得x =7．
∴B （7，0）．
（2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．
由8APR ACP POR ARB COBA S S S S S =---=△△△△梯形，得
1111
(37)43(4)(7-)482222
t t t t +⨯-⨯⨯---⨯=． 整理，得2
8120t t --=，解之得t 1=2，t 2=6（舍）． 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7． 由1
(7)482
APR
S t =⨯-⨯=△，得t =3（舍）． ∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．
②
当P
0≤t ＜4． ∴AQ=2t ，PQ =7-t ．
当2+32 =2(4-t )2， 整理得，t 2 -8t +7= 0． ∴t =1， t =7（舍）．
当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=（7-t ）2， 整理得，6t =24． ∴t =4（舍去）．
当AQ=PQ 时，2
2
2
2(4)3(7)t t -+=-． 整理得，t 2-2t -17=0，∴t =1±3 2 （舍）． 当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7．
过A 作AD ⊥OB 于D ，则AD =BD =4．
设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD=t -4，AP =7-t ．
由cos ∠OAC= AE AQ = AC
AO ，得AQ = 5
3
（t -4）．
当AP=AQ时，7-t = 5
3
（t-4），解得t =
41
8
．
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 1
2 AP．
得t-4= 1
2
（7-t），解得t =5．
当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，
AF= 1
2
AQ =
1
2
×
5
3
（t-4）．
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AF
AP＝
3
5
，得AF＝
3
5
AP．
即1
2
×
5
3
（t-4）=
3
5
×（7-t），解得t =
226
43
．
∴综上所述，t =1或41
8
或5或
226
43
时，△APQ是等腰三角形.
2. (2011 省鸡西市) 已知直线y=3x＋43与x轴，y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C.
（1）试确定直线BC的解析式.
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t 的函数关系式，并写出自变量的取值围.
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
A
答案：解：( 1 )由已知得A 点坐标(－4﹐0)，B 点坐标(0﹐43﹚ ∵OA ＝4 OB ＝43
∴∠BAO ＝60º ∵∠ABC ＝60º
∴△ABC 是等边三角形 ∵OC ＝OA ＝4
∴C 点坐标﹙4，0﹚
设直线BC 解析式为y ＝kx ﹢b
⎩⎨
⎧=+=0434b k b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
43b k ∴直线BC 的解析式为y =－343+x ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时，作QH ⊥x 轴。
∵CB
CQ OB QH = ∴
8
234t
QH = ∴QH =3t ∴S △APQ =
21AP ·QH =2
1
t ·3t =23t ²（0＜t ≤4）
同理可得S △APQ =
2
1
t ·﹙8t 33-﹚=－t t 34232+﹙4≤t ＜8﹚ （3）存在，（4，0），（－4，8）（－4，－8）（－4，
3
3
8）
3. (2011 省市) 如图：直线y=kx+3与x 轴、 y 轴分别交于A 、B 两点，tan ∠OAB=34
，
点C(x,y)是直线y=kx+3上与A 、B 不重合的动点. (1) 求直线y=kx+3的解析式；
(2) 当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6； (3) 过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点， 是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在， 请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.
P
H
Q
Q
答案：解： （1）∵OB=3 tan ∠OAB=34
∴
3
4
OB OA = ∴ OA=4 即A 的坐标为（4,0） 把x=4,y=0代入y=kx+3得 k=-34
∴y= -34
x+3
(2) 设△AOC 的面积为S
∵S=12g OA g ｜y ｜=1
2
×4｜y ｜=6
∴y=±3
∵C(x,y)在直线y= -34
x+3 上
∴当y=3时,x=0,点(0,3)与B 重合，舍去. 当y=-3时，x=8
即当点C 运动到(8,3)-时，△AOC 的面积为6 （3） ①当△BCD ≌△BAO 时， BD=BO=3，CD=AO=4 ∴DO=6 ∴1(4,6)C -, 2(4,0)C
2C (4,0)与A 重合，舍去.
②当△BCD ≌△BOA 时
BC=BO=3，CD=AO=4,BD=BA=5 过C 作CE ⊥y 轴
∵11
22
BCD BC CD BD CE S ∆=⋅=⋅ ∴CE=
12
5
∵C(x,y)在直线y= -34
x+3 上
∴125
x CE ==
当x=
125时，y=65,3126(,)55C
当x=-
125时,y=245
,41224
(,)55C -
∴满足题意的点有三个，它们分别是：1(4,6)C -、3126
(
,)55
C 、 41224(,)55
C -
.。