与一次函数有关的动态几何问题

1. (2011 省市) 如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数4

3

y x =

的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点

P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

答案：解 ：（1）根据题意，得743y x y x =-+⎧⎪

⎨=⎪⎩

，

，解得34x y =⎧⎨

=⎩，，∴A (3，4) ． 令7y

x =-+=0，得x =7．

∴B （7，0）．

（2）①当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．

由8APR ACP POR ARB COBA S S S S S =---=△△△△梯形，得

1111

(37)43(4)(7-)482222

t t t t +⨯-⨯⨯---⨯=． 整理，得2

8120t t --=，解之得t 1=2，t 2=6（舍）． 当P 在CA 上运动，4≤t ＜7． 由1

(7)482

APR

S t =⨯-⨯=△，得t =3（舍）． ∴当t =2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．

②

当P

0≤t ＜4． ∴AQ=2t ，PQ =7-t ．

当2+32 =2(4-t )2， 整理得，t 2 -8t +7= 0． ∴t =1， t =7（舍）．

当AP=PQ 时，（4-t ）2+32=（7-t ）2， 整理得，6t =24． ∴t =4（舍去）．

当AQ=PQ 时，2

2

2

2(4)3(7)t t -+=-． 整理得，t 2-2t -17=0，∴t =1±3 2 （舍）． 当P 在CA 上运动时，4≤t ＜7．

过A 作AD ⊥OB 于D ，则AD =BD =4．

设直线l 交AC 于E ，则QE ⊥AC ，AE =RD=t -4，AP =7-t ．

由cos ∠OAC= AE AQ = AC

AO ，得AQ = 5

3

（t -4）．

当AP=AQ时，7-t = 5

3

（t-4），解得t =

41

8

．

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= 1

2 AP．

得t-4= 1

2

（7-t），解得t =5．

当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，

AF= 1

2

AQ =

1

2

×

5

3

（t-4）．

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AF

AP＝

3

5

，得AF＝

3

5

AP．

即1

2

×

5

3

（t-4）=

3

5

×（7-t），解得t =

226

43

．

∴综上所述，t =1或41

8

或5或

226

43

时，△APQ是等腰三角形.

2. (2011 省鸡西市) 已知直线y=3x＋43与x轴，y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C.

（1）试确定直线BC的解析式.

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t 的函数关系式，并写出自变量的取值围.

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

A

答案：解：( 1 )由已知得A 点坐标(－4﹐0)，B 点坐标(0﹐43﹚ ∵OA ＝4 OB ＝43

∴∠BAO ＝60º ∵∠ABC ＝60º

∴△ABC 是等边三角形 ∵OC ＝OA ＝4

∴C 点坐标﹙4，0﹚

设直线BC 解析式为y ＝kx ﹢b

⎩⎨

⎧=+=0434b k b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=3

43b k ∴直线BC 的解析式为y =－343+x ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时，作QH ⊥x 轴。 ∵CB

CQ OB QH = ∴

8

234t

QH = ∴QH =3t ∴S △APQ =

21AP ·QH =2

1

t ·3t =23t ²（0＜t ≤4）

同理可得S △APQ =

2

1

t ·﹙8t 33-﹚=－t t 34232+﹙4≤t ＜8﹚ （3）存在，（4，0），（－4，8）（－4，－8）（－4，

3

3

8）

3. (2011 省市) 如图：直线y=kx+3与x 轴、 y 轴分别交于A 、B 两点，tan ∠OAB=34

，

点C(x,y)是直线y=kx+3上与A 、B 不重合的动点. (1) 求直线y=kx+3的解析式；

(2) 当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6； (3) 过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点， 是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在， 请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

P

H

Q

Q