整式的除法

八年级实验班竞赛专题
----整式的除法
1．一元多项式
我们把形如：()1
1100n n n n a x a x a x a a --⎡⎤++++≠⎣⎦ 的整式称为关于x 的一元n
次多项式，记作()()f x g x ，即1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，并记当x a
=时，多项式的值为()f a 。

如多项式2()352f x x x =--，
当1x =时，()f x 的值为2(1)315124f =--=- 。

2．普通除法与综合除法
将整数的带余数除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的普通除法，其关系式为：()()()()f x g x q x r x =+ ，其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且()r x 的次数小于()g x 的次数。

特别地，当()0r x ≡时，称()f x 能被()g x 整除，或称()g x 整除()f x ，记作
()()g x f x 。

当()g x x a =-时，余式()r x 为一常数。

【例1】：设42()232f x x x x =+-+，求()f x 除以223x x -+所得的商式和余式。

313x --
因此，所求商式()2245q x x x =++，余式()313r x x =--。

【例2】：已知2210x x +-=，计算：
10987623(222361)(1)(43)x x x x x x x x x x ⎡⎤+--++++÷+-+⎣⎦。

一个一元多项式除以一个一元一次式有一种简便的计算方法——综合除法，先看一个比较简间的情况。

设多项式2210a x a x a ++，求其除以x a -的商式和余式。

用普通除法来计算：
所以商式是：212()a x a a a ++，余式是：012()a a a a a ++。

我们年到上述普通除法的计算只是在系数之间进行的，把这个演算简化一下可写成
这里，第一行是被除式按降幂排列时各项的系数（如果有缺项必须用零补足）计算时，先将第一行的第一个数移至第三行的第一个位置，然后乘以a ，将乘积2a a 写在第二行第二个位置
（第一个位置空着），再将2a a 加上第一行的第二个数，写在第三行的第二个位置上，仿此继续，算得的第三行就是商式各项的系数及余数，用这种算式进行的除法叫做综合除法。

【例3】：计算(1) ()()433715202x x x x +--÷+；
(2) ()
()432
653421x x x x x ---+÷+。

所以，商式是32133424x x x -+
-，余数是194。

注意：如果除式是qx p +的形式，就先把qx p +化成()p
q x q
+
的形式，再把p
x q
+
作为除式做综合除法，然后把所得商式除以q 就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数（即余数不变）。

【例4】：确定m 的值，使多项式5433811x x x x m ++++被2x +除得的余数为3m 。

3、余数定理和因式定理
余数定理：多项式()f x 除以x a -所得的余数等于()f a 。

证明：因为()()1
1100n n n n f a a a a a a a a ---++++=
，所以 11110110()()()n n n n n n n n f x a x a x a x a a a a a a a a f a ----=++++-+++++ 1111()()()()n n n n n n a x a a x a a x a f a ---=-+-++-+
由 11n n n n x a x a x a x a x a x a -------- ，，
，， 因此，()f x 除以x a -所得的余数为()f a 。

用余数定理来解例4就方便多了。

设多项式为()f x ，由已知，有
543(2)(2)3(2)8(2)11(2)3f m m -=-+-+-+-+= ， 所以，35m =-。

作为余数定理的推论，我们有
因式定理 如果x a =时，多项式()f x 的值为零，即()0f a =，则()f x 能被x a -整除（即()f x 含有因式x a -）。

【例5】：证明23x +为多项式43225101518x x x x --++的因式。

当10n n a a a a - ，，，，为整数时，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 叫做整系数多项式，对于整系数多项式，可以利用下述定理，求它的有理根。

定理 设()f x 是整系数多项式，若p
x q
=
（p q ，是互质整数）是它的根，则p 是首项系数n a 的约数，q 是末项系数0a 的约数。

证：由所设条件，有
1110()()()0n n n n q q q q f a a a a p p p p
--=++++= ， 两边乘以n p ，得
111100n n n n n n a q a pq a p q a p ---++++= ∵ p 能整除11110n n n n a pq a p q a p ---+++ ， ∴ p 能整除n n a q ，
又 ∵ p q ，互质，∴ p 能整除n a ，即p 是n a 的约数。

同理可证，0q a 。

推论 对于首项系数为1的整系数多项式1110n n n x a x a x a --++++ ，若整数0
x 是它的根，则00x a 。

【例6】：分解因式31930x x --
【例7】：分解因式43293732x x x x -+--
【例8】：已知多项式32()4715f x ax bx x =+--可被31x +和23x -整除，求a b ，的值，并对此分解因式。

所以，()()()()312345f x x x x =+-+
【例9】：已知554x qx r -+能被2()x c -整除，求证：54q r =。

整式的除法练习题：
1．用综合除法求下列各式的商式和余式： （1）543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+ （2）32(3102316)(32)x x x x +-+÷-
（3）5432(2098123512)(56)x x x x x x +-+--÷+
2．求32(31)(321)x x x x x ---÷-+的商式()q x 和余式()r x 。

3．已知5432()933210276f x x x x x x =+-++-，求4
()3
f 。

4．利用因式定理分解下列因式：
（1）354x x -+ （2）322912x x x -++ （3）3246a a a -++ （4）43233116a a a a +--- （5）3222223(3)()x qx p q x p p q ++-+- （6）43243151x x x ++- 5．已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值。

6．设2()()f x x px q p q Z =++∈，是多项式42625x x ++与4234285x x x +++的因式，求()f x 。

7．已知多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别是1，2，求()f x 除以
(1)(2)x x --所得的余式。

练习答案与提示：
1．（1）商式＝432242x x x x ++-+ （2）商式＝245x x +-，余数＝6 （3）商式＝4224327x x x -+-，余数＝30
2．17262(),()3999q x x r x x =-=--
3．458()33
f =
4．（1）2(1)(4)x x x -+-；（2）(1)(4)(23)x x x +-- （3）(1)(2)(3)a a a +--；（4）2(1)(3)(2)a a a ++-
（5）()()()x p x p q x p q ++++-；（6）32(41)(41)x x x x +-+- 5．70
6．2()25f x x x =-+ 7．()r x x =。