整式的除法
整式的乘除法
整式的乘除法整式是指由数字、字母和运算符号（加减乘除和括号）组成的代数式。
在数学中，整式的乘除法是学习代数运算的重要一环。
本文将介绍整式的乘法和除法，并提供相应的解题方法和技巧。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行整式的乘法时，需要注意以下几点：1. 符号相乘：当两个整式相乘时，需要根据乘法法则对各项进行符号相乘。
同号相乘得正，异号相乘得负。
2. 同类项合并：在得到乘积后，需要对乘积中的同类项进行合并。
即将相同指数的字母项合并，并将系数相加。
下面通过一个示例来展示整式的乘法：例题：计算乘积 $(3x-4y)(2x+5)$。
解答：按照乘法法则，我们将每一项进行符号相乘，得到乘积：$$6x^2+15x-8xy-20y$$然后，我们将乘积中的同类项进行合并：$$6x^2+15x-8xy-20y$$至此，我们得到了乘积的最简形式。
二、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的过程。
在进行整式的除法时，需要遵循以下几个步骤：1. 确定除数和被除数：将要除以的整式称为除数，被除的整式称为被除数。
2. 用除法定律进行整式的除法：将整式的除法转化为有理数的除法。
3. 化简商式：对除法得到的商式进行化简，即将商式中的同类项合并。
4. 找到余式：将化简后的商式与被除数相乘，得到乘积后减去除数，得到余式。
下面通过一个示例来展示整式的除法：例题：计算商和余数 $\frac{4x^3-7x^2+10}{x-2}$。
解答：按照除法的步骤，我们首先确定除数为 $x-2$，被除数为$4x^3-7x^2+10$。
然后，我们用除法定律进行整式的除法：```4x^2 -5x___________________x-2 | 4x^3 -7x^2 +10- (4x^3 -8x^2)_______________x^2 +10- (x^2 -2x)____________12x +10- (12x -24)__________34```化简商式得到商 $4x^2-5x+1$，余数为 $34$。
整式的除法单项式除以单项式
负指数幂表示的是该数的倒数的正指数幂。因此，如果被除数或除数中的某个字母的指数 为负数，可以将其转化为倒数的正指数幂形式，再进行相除。
无法整除的情况
如果被除数无法被除数整除（即存在某个字母的指数在被除数中比在除数中小），则结果 将是一个带分数或无理数。此时，可以尝试将被除数和除数同时乘以某个适当的单项式， 使得被除数可以被除数整除。
法结果相乘。
02
理解不深入
对于某些复杂的问题，我的理解还不够深入，无法准确地把握问题的本
质和解题的关键。例如，在处理含有多个字母的单项式除法时，我有时
会感到困惑。
03
缺乏练习
我发现自己在单项式除以单项式的运算方面缺乏足够的练习，导致在考
试时无法迅速准确地完成题目。为了解决这个问题，我需要加强相关练
习，提高运算速度和准确性。
单项式与多项式区分
单项式
只包含一个项的整式，如$3x^2$， $5xy$等。
多项式
包含两个或两个以上项的整式，如 $x^2 + 2x + 1$，$3xy - 2y^2 + 5$ 等。
整式除法运算规则
01 除法运算定义
02 除法运算规则
03 按位相除
04 余数处理
05 结果表示
设$a(x)$和$b(x)$是两个多 项式，且$b(x) neq 0$，如 果存在一个多项式$q(x)$， 使得$a(x) = b(x) times q(x)$，则称$q(x)$为$a(x)$ 除以$b(x)$的商。
解析
本题涉及多个单项式的除法运算，需按照运算法则逐步进行。
解答
原式 = [(3a^2b^3c) / (2ab^2)] * [(4b) / (5abc)] = [(3/2) * (a^2/a) * (b^3/b^2) * c] * [(4/5) * b / (abc)] = [(3/2) * a * b * c] * [(4/5) * 1/(ac)] * 1/(ac) = (6/5) * b
整式的乘除知识点
整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。
例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。
例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。
例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。
例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。
3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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感谢聆听
练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
12.4 整式的除法(第1课时)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂(华东师大版)
八年级 上册
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
学习目标
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、
准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
(1)a a a
8.8×105
讲授新课
知识点一 单项式除以单项式
试 一 试
计算：
12a5c2÷3a2
把12a5c2和3a2分别看成是一个整体，相当于
(12a5c2)÷(3a2)
(4a3c2) ×3a2=12a5c2
12a5c2÷3a2=4a3c2
怎样计பைடு நூலகம்出来
的呢？
讲授新课
知识要点
单项式除以单项式的法则
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除
=(24÷3)a2-1b3-1
=3a；
=8ab2；
（3）-21a2b3c÷3ab
=(-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
讲授新课
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，
∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，
2
1
2
2
4 ÷ 2 = 8，则D选项正确，
2
故选：D．
）
× 8 = 42 2 ，所以
当堂检测
8．若x2m+nyn÷()2 = 5 ，则m，n的值分别为( )
A．3，2
B．2，2
初中数学《整式的除法》教案
初中数学《整式的除法》教案整式的除法（1）教学目标①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．教学重点与难点重点：整式除法的运算法则及其运用．难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．教学准备卡片及多媒体课件．教学设计情境引入教科书第161页问题：木星的质量约为1.901024吨，地球的质量约为5.981021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?重点研究算式(1.901024)(5.981021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．探究新知(1)计算(1.901024)(5.981021)，说说你计算的根据是什么?(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?8a32a；6x3y3xy；12a3b2x33ab2．(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．归纳法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．应用新知例2 计算：(1)28x4y27x3y；(2)-5a5b3c15a4b．首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
初中数学整式的除法(含答案)
1.3 整式的除法◆赛点归纳整式的除法包括单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式．多项式恒等定理：（1）多项式f（x）=g（x），•需且只需这两个多项式的同类项的系数相等；（2）若f（x）=g（x），则对于任意一个值a，都有f（a）=g（a）．余数定理：多项式f（x）除以x－a所得的余数等于f（a）．特别地，当f（x）•能被x－a整除时，有f（a）=0．◆解题指导例1设a、b为整数，观察下列命题：①若3a+5b为偶数，则7a－9b也为偶数；②若a2+b2能被3整除，则a和b也能被3整除；③若a+b是质数，则a－b不是质数；④若a3－b3是4的倍数，则a－b也是4的倍数．其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个以上【思路探究】对于①看7a－9b与3a+5b的和或差是不是偶数．对于②根据整数n的平方数的特征去判断．对于③、④若不能直接推导是否成立，也可举出反例证明不成立．例2 若2x3－kx2+3被2x+1除后余2，则k的值为（）．A．k=5 B．k=－5 C．k=3 D．k=－3【思路探究】要求k的值，须找到关于k的方程．由2x3－kx2+3被2x+1除后余2，可知2x3－kx2+1能被2x+1整除，由此就可得关于k的一次方程．例3计算：（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）．【思路探究】被除式是一个6次六项式，除式是一个4次四项式，直接计算比较复杂，应列竖式计算．例4若多项式x4－x3+ax2+bx+c能被（x－1）3整除，求a、b、c的值．【思路探究】由条件知x4－x3+ax2+bx+c能被x3－3x2+3x－1整除，列竖式可知x4－x3+ax2+bx+c的商式和余式．根据一个多项式被另一个多项式整除，余式恒为零可求a、•b、c的值．【拓展题】设x1，x2，…，x7都是整数，并且x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=1，①4x1+9x2+16x3+25x4+35x5+49x6+64x7=12，②9x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123，③求16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7的值．◆探索研讨整式除法的综合运用大多与多项式除以多项式相关．多项式除法运算实际上是它们的系数运算．在进行多项式乘除法恒等变形时，它们对应项系数是相等的，由此列方程可求解待定系数．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．下列四个数中，对于任一个正整数k，哪个数一定不是完全平方数（）．A．16k B．16k+8 C．4k+1 D．32k+42．要使3x3+mx2+nx+42能被x2－5x+6整除，则m、n应取的值是（）．A．m=8，n=17 B．m=－8，n=17C．m=8，n=－17 D．m=－8，n=－173．（2001，武汉市竞赛）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）．A．7 B．8 C．15 D．214．对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2－bx+x整除，则a－b+c的值是（）．A．1 B．0 C．－1 D．－25．满足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整数对（x，y）有（）．A．0对B．1对C．3对D．无穷多对6．（2003，四川省竞赛）若（3x+1）4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a－b+c－d+e=________．7．（2004，北京市竞赛）用正整数a去除63，91，129所得的3个余数的和是25，则a 的值为________．8．已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么（－a）b的值是_____．9．若多项式x4+mx3+nx－16含有因式（x－1）和（x－2），则mn=________．10．多项式x135+x125－x115+x5+1除以多项式x3－x所得的余式是_______．11．计算：（1）（6x5－7x4y+x3y2+20x2y3－22xy4+8y5）÷（2x2－3xy+y2）；（2）（41m－m3+15m4－70－m2）÷（3m2－2m+7）．12．已知a、b、c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x－4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a－2b－c的值；（3）若a、b、c为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．13．（2000，“五羊杯”，初二）已知x6+4x5+2x4－6x3－3x2+2x+1=[f（x）] 2，其中f（x）是x的多项式，求这个多项式．14．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，求a+b的值．15．（2004，北京市竞赛）能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组4•个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．答案:解题指导例1 C [提示：命题①成立．因为（7a－9b）－（3a+5b）=2（2a－7b）是偶数；命题②也成立．因为整数n的平方被3除余数只能为0或1，3整除a2+b2，表明a2、b2被3除的余数都是0，所以a和b都能被3整除；命题③不成立．如5+2=7和5－2=3都是质数；命题④也不成立．例如a=2，b=0．]例2 C [提示：∵2x3－kx2+3被2x+1除后余2，∴2x3－kx2+1能被2x+1整除．令2x+1=0，得x=－12．代入2x3－kx2+1=0，得2×（－12）3－k（－12）2+1=0，即－14－14k+1=0，解得k=3．]例3（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）=3x2－2x+1……x+5．例4 x4－x3+ax2+bx+c=（x3－3x2+3x－1）（x+2）+（a+3）x2+（b－5）x+（c+2）．由余式恒等于0，得a+3=0，b－5=0，c+2=0．∴a=－3，b=5，c=－2．【拓展题】设四个连续自然数的平方为：n2、（n+1）2、（n+2）2、（n+3）2，则（n+3）2=a（n+2）2+b（n+1）2+cn2．整理得n2+6n+9=（a+b+c）n2+（4a+2b）n+4a+b．∴a+b+c=1，4a+2b=6，4a+b=9．解得a=3，b=－3，c=1，∴16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7=③×3－②×3+①=123×3－12×3+1=334．能力训练1．B [提示：16k+8=8（2k+1）．因2k+1是奇数，8•乘以一个奇数一定不是完全平方数．] 2．D [提示：∵3x3+mx2+nx+42=（x2－5x+6）（3x+7）+（m+8）x2+（n+17）x．∴80,8,170,17.m mn n+==-⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得．]3．D [提示：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x3+ax2+bx+8=（x2+3x+2）（x+4）+（a－7）x2+（b－14）x．∴70,7,140,14.a ab b-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴a+b=21．]4．A [提示：∵x3+ax2+bx+c=（x2－bx+c）（x+1）+（a+b－1）x2+（2b－c）x，∴10,(1)20.(2)a bb c+-=⎧⎨-=⎩（1）－（2），得a－b+c=1．]5．A [提示：原方程可变形为x（x+1）（x+5）=3（9y3+3y2+3y）+1．①如果有正整数x、y使①成立，那么由于x，x+1，x+5=（x+2）+3这3个数除以3所得余数互不相同，所以其中必有一个被3整除，即①的左边被3整除，而①的右边不被3整除，这就产生矛盾．所以原方程没有正整数解．]6．16 [提示：令x=－1，得a－b+c－d+e=16．]7．43 [提示：由题意，有63=a×k1+r1，91=a×k2+r2，129=a×k3+r3．（0≤r1、r2、r3<a）相加得63+91+129=a（k1+k2+k3）+（r1+r2+r3）=a（k1+k2+k3）+25．故258被a整除．由于258=2×3×43，a大于余数，且3个余数的得25，所以a>8．•又a不超过63、91、129中的最小者63，故258的因数中符合要求的只有a=43．]8．－1 [提示：∵（x2+1）（3x+1）=3x3+x2+3x+1，∴3x3+ax2+bx+1=3x3+x2+3x+1．∴a=1，b=3，即（－a）b=（－1）3=－1．]9．－100 [提示：∵（x－1）（x－2）=x2－3x+2，x4+mx3+nx－16=（x2－3x+2）[x2+（m+3）x－8]+（3m+15）x2+（n－2m－30）x，∴3150,5,2300,20.m mn m n+==-⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩解得∴mn=－100．]10．2x+1 [提示：设x135+x125－x115+x5+1=（x3－x）f（x）+ax2+bx+c，其中f（x）为商式．取x=0，得c=1；取x=1，得a+b+c=3．取x=－1，得a－b+c=－1．解得a=0，b=2，c=1．故所求余式为2x+1．]11．（1）商式为3x3+x2y+12xy2+34133,44y余式为xy4－94y5．（2）商式为5m2+3m－10，余式为0．12．（1）∵（x－1）（x+4）=x2+3x－4，令x－1=0，得x=1；令x+4=0，得x=－4．当x=1时，得1+a+b+c=0；①当x=－4时，得－64+16a－4b+c=0．②②－①，得15a－5b=65，即3a－b=13．③①+③，得4a+c=12．（2）③－①，得2a－2b－c=14．（3）∵c≥a>1，4a+c=12，a、b、c为整数，∴a≥2，c≥2，则a=2，c=4，又a+b+c=－1，∴b=－7．13．设f（x）=±（x3+Ax2+Bx+1）或±（x3+Ax2+Bx－1）．先设f（x）=x3+Ax2+Bx+1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB+2）x3+（2A+B2）x2+2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB+2=－6，2A+B2=－3，2B=2，无解．再设f（x）=x3+Ax2+Bx－1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB－2）x3+（B2－2A）x2－2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB－2=－6，B2－2A=－3，－2B=2．解得A=2，B=－1．故所求的多项式为±（x3+2x2－x－1）．14．由题意得ab=2（2a+2b）．∴ab－4a=4b，∴a=416444bb b=+--．∵a、b均为正整数，且a>b．∴（b－4）一定是16的正约数．当（b－4）分别取1、2、4、8、16时，代入上式，得b－4=1时，b=5，a=20；b－4=2时，b=6，a=12；b－4=4时，b=8，a=8（舍去）；b－4=8时，b=12，a=6（舍去）；b－4=16时，b=20，a=5（舍去）．∴只有a=20，b=5或a=12，b=6符合题意，把a+b=25或18．15．能设任意8个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7．将其分为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}即满足要求．验证如下：先将任意8个连续的正整数按如下分为等和的两组，满足a+（a+1）+（a+6）+（a+7）=（a+2）+（a+3）+（a+4）+（a+5）则[（a）+（a+1）]·[（a+6）+（a+7）]·1=[（a+2）+（a+3）]·1+[（a+4）+（a+5）]·1 即[（a）+（a+1）][（a+1）－（a）]+[（a+6）+（a+7）][（a+7）－（a+6）]=[（a+2）+（a+3）][（a+3）－（a+2）]+[（a+4）+（a+5）]·[（a+5）－（a+4）]．故（a+1）2－a2+（a+7）2－（a+6）2=（a+3）2－（a+2）2+（a+5）2－（a+4）2．也就是（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．于是，分任意8个连续的正整数为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}．则满足（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．。
八年级数学《整式的除法》课件
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题
，
注
意
书
写
格
教学过程设计与实施
探索新知二
(一)单项式除以单项式
阅读课本103页，完成下列问题：
∵2a2b3c·3ab2
=( × )·( · )·( · ) ·c
= 6a1 32b53c ∴ 6a3b5c ÷3ab2
=( 6÷3 )·( a3÷a )·( b5÷b2) ·c
作作业业
教材p105 习题14.1第6题.
请各位专家批评指正！ 谢谢！
交流总结同底数幂的除法法则.
1、根据同底数幂的乘法 2、根据除法的知识
法则填空:
填空：
（1）2（ ）·28=214 （1）214÷28=（ ）
（2）5（ ）·53=55
（2）55÷53=（ ）
（3）m（ ）·m5=m7 与实施
总结：同底数幂相除，底数 ，指数
母表示为 .
整式的除法
教学内容及学情分析 教学目标及策略的确定 教学过程的设计与实施
四、教学过程设计与实施
教学流程图：
探索新知一
尝试练习1
探索新知二
引入新课 作业布置
尝试练习2
课堂小结 及评价
教学内容及学情分析 1.教学内容
本课的内容选自第十四章，包括单项式除以单项式和多项式 除以单项式等知识点。本节内容是在学生学习了整式的加减、 同底数幂的除法、整式的乘法基础上，对整式的除法运算进 行探索和研究的一个重要课题，是学生完整、全面掌握整式 运算的必备环节。本节教学内容属于新授课，授课时数为一 课时。
整式的除法课件
01
确定商的符号
整式除法结果的符号由被除式和除式的符号共同决定。如果被除式和除
式的符号相同，则商为正；如果被除式和除式的符号不同，则商为负。
02 03
处理多项式除以多项式的情况
当被除式和除式均为多项式时，需要按照多项式除以单项式的规则进行 计算，即把被除式的每一项分别除以除式的每一项，再把所得的商相加 。
整式的除法运算性质
03
整式的除法具有交换律和结合律。
整式除法的难点解析
整式的除法运算步骤
在进行整式的除法时，需要先将被除数和除数相乘，再减去余数 。
整式的除法运算技巧
在计算过程中，需要注意符号的变化和运算顺序的正确性。
整式的除法运算注意事项
在进行整式的除法时，需要注意结果的符号和余数的正确性。
整式除法的练习题
运用分配律
在整式除法中，可以运用分配律将复杂的表达式转化为简单的形式 ，便于计算。
逐步化简
对于复杂的整式除法问题，可以逐步化简，逐步计算，最终得到结 果。
05
复习与总结
整式除法的重点回顾
整式的除法法则
01
整式的除法遵循乘法分配律，将除数与被除数相乘，再减去余
数。
整式的除法运算顺序
02
先进行乘法运算，再进行减法运算。
例题2
$(3x^3 + 5x^2 - 4x + 7) div (3x - 1)$
解
$3x^3 + 5x^2 - 4x + 7 div (3x - 1) = 3x^3 + x^2 - x + x^2 + x - 1 = 3x^3 + 2x^2 - x + 1$
整式除法的练习题
整式的除法-
§15．4 整式的除法课时安排3课时从容说课本节课属选学内容，分3课时完成，同底数幂的除法占一课时，•单项式与单项式相除占一课时，多项式除以单项式占一课时，学生在学习了整式的乘法以后，类比数的运算，自然会想到整式的除法的运算如何进行，所以教案中应尽量鼓励学生探索、发现整式除法的运算法则，启发、引导学生理解整式除法运算的算理．要求学生会利用法则进行简单的整式除法的运算．作为选学内容，不必加大难度，并且随着计算机的介入使得一些繁杂的运算没有必要了，更重要的是绝大多数学生在今后的生活、学习和生活中并不需要繁杂的运算，所以教案中一定要把理解算理摆在重点位置上，掌握简单运算即可，不宜再做扩展．§15．4．1 同底数幂的除法第十二课时教案目标（一）教案知识点1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．2．同底数幂的除法的运算算理．（二）能力训练要求1．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．2．理解同底数幂的除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力．（三）情感与价值观要求1．经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，获得成功的体验，•积累丰富的数学经验．2．渗透数学公式的简洁美与和谐美．教案重点准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．教案难点根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．教案方法探索讨论、归纳总结的方法．教具准备投影片．教案过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]出示投影片1．叙述同底数幂的乘法运算法则．2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）•的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？[生]1．同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：a m·a n=a m+n（m、n是正整数）．2．移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210=216K．所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．[生]216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？[师]这正是我们这节课要探究的问题．Ⅱ．导入新课[师]请同学们做如下运算：1．（1）28×28（2）52×53（3）102×105（4）a3·a32．填空：（1）（）·28=216（2）（）·53=55（3）（）·105=107（4）（）·a3=a6[生]1．（1）28×28=216（2）52×53=55（3）102×105=107（4）a3·a3=a62．除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，•所以这四个小题等价于：（1）216÷28=（）（2）55÷53=（）（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（）再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：（1）28；（2）52；（3）102；（4）a3．[师]其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．[生]（1）216÷28（2）55÷53=（3）107÷105（4）a6÷a3=[师]从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？（学生以小组为单位，展开讨论，教师可深入其中，及时发现问题）[生甲]我们可以发现同底数幂相除，如果还是幂的形式，而且这个幂的底数没有改变． [生乙]指数有所变化．（1）8=16-8；（2）2=5-3；（3）2=7-5；（4）3=6-3．所以商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．[生丙]这说明同底数幂的除法与同底数幂的乘法的运算法则类似．•相同之处是底数不变．不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加．[生丁]太对了．那么同底数幂的除法运算法则可以叙述为：同底数幂相除，•底数不变，指数相减．即：a m÷a n=a m-n．[师]同学们总结得很好．但老师还想提一个问题：对于除法运算，•有没有什么特殊要求呢？[生]噢，对了，对于除法运算应要求除数（或分母）不为零，所以底数不能为零．[师]下面我们来共同推导同底数幂相除的运算法则：方法一：a m÷a n= =a m-n方法二：根据除法是乘法的逆运算∵a m-n·a n=a m-n+n=a m∴a m÷a n=a m-n．要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即：a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）例题讲解：（出示投影片）1．计算：（1）x8÷x2（2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）22．先分别利用除法的意义填空，再利用a m÷a n=a m-n的方法计算，你能得出什么结论？•（1）32÷32=（）（2）103÷103=（）（3）a m÷a n=（）（a≠0）1．解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．（2）a4÷a=a4-1=a3．（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．2．解：先用除法的意义计算．32÷32=1 103÷103=1 a m÷a m=1（a≠0）再利用a m÷a n=a m-n的方法计算．32÷32=32-2=30103÷103=103-3=100a m÷a m=a m-m=a0（a≠0）这样可以总结得a0=1（a≠0）于是规定：a0=1（a≠0）即：任何不等于0的数的0次幂都等于1．[生]这样的话，我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：a m÷a n=a m-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．[师]说得有理．下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色．Ⅲ．随堂练习课本P187练习．让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的．Ⅳ．课时小结这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验．Ⅴ．课后作业1．课本P191习题15．4─1、5题．2．预习“整式的除法”Ⅵ．活动与探究已知2m=a，32n=b求：23m+10n过程：首先将不同底的幂化为同底数幂．所以32n=（25）n=25n．•再逆用同底数幂的乘法运算法则：23m+10n=23m·210n因为2m=a 所以23m=（2m）3=a3因为25n=b 所以210n=（25n）2=b2．结果：23m+10n=23m·210n=（2m）3·（25n）2=a3b2．板书设计备课资料[例1]计算：（1）（a4）n÷a n+1÷a n-1（2）（a6n÷a2n）÷a n（3）[（a2）3·（a4）3]÷（a6）2÷（-a3）2（4）x2·x7+x12÷x8·x6-x n+6÷x n-4提示：进行同底数幂的除法运算时，应注意运算顺序，即先计算乘方，再算乘除，•最后算加减，有括号的要先计算括号里面的．参考答案：（1）原式=a4n÷a n+1÷a n-1=a4n-(n+1)-(n-1)=a4n-n-1-n+1=a2n．（2）原式=a6n-2n÷a n=a4n÷a n=a4n-n=a3n．（3）原式=（a6·a12）÷a12÷a6=a18÷a12÷a6=a18-12-6=a0=1．（4）原式=x9+x4·x6-x(n+6)-(n-4)=x9+x10-x10=x9．说明：对于乘除运算应按先后顺序，切不可理解成先乘后除．如（4）题的x12÷x8·•x6=x10而不等于x-2．另外a≠0时a0=1．[例2]在括号内填写各式成立的条件：（1）x0=1（）（2）（y-2）0=1（）（3）（a-b）0=1（）（4）a6·a0=a6（）（5）（x+12）0·（x+12）8=（x+12）8（）（6）（│x│-3）0=1（）（7）（a2-b2）0=1（）分析：本题考查只有当a≠0时a0=1 参考答案：（1）x≠0 （2）y≠2 （3）a≠b （4）a≠0 （5）x≠-12（6）x≠±3（或│x│≠3 （7）a2≠b2（或│a│≠│b│）．说明：对于规定a0=1（a≠0），要特别注意底数不能为0，若底数是一整式时，要使底数的整体不能为0．例如（2）题中底y-2≠0，所以得y≠2．[例3]计算：（1）（x+y）6÷（x+y）5·（y+x）7（2）（a-2）14÷（2-a）6（3）（m-n）9÷（n-m）8·（m-n）2提示：每一小题的底数均有不同，不能直接用同底数幂的运算法则，•必须适当变形，使底数变为相同再计算．参考答案：（1）原式=（x+y）6÷（x+y）5·（x+y）7=（x+y）6-5+7=（x+y）8．（2）（a-2）14÷（2-a）6=（2-a）14÷（2-a）6=（2-a）14-6=（2-a）8．（3）原式=（m-n）9÷（m-n）8·（m-n）2=（m-n）9-8+2=（m-n）3．说明：1．因加法满足交换律，所以（a+b）n=（b+a）n．2．当n为奇数时（a-b）n=-（b-a）n；当n为偶数时（a-b）n=（b-a）n．。
12.4 整式的除法
12.4 整式的除法一、知识概述1、单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.2、多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.3、整式乘除法的比较跟整式的乘法一样，整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除．为此，不妨将二者进行归纳、比较．二、重难点知识归纳重点：以同底数幂的除法，幂的运算法则的综合应用以及单项式除以单项式，多项式除以单项式.难点：以整式的综合运算.一、基础训练1．计算（14a3b2-21a b2）÷7ab2等于（）A．2a2-3 B．2a-3 C．2a2-3b D．2a2b-32．x2y3÷（xy）2的结果是（）A．xy B．x C．y D．xy23．（05年江苏省海安市中考）计算（-3a3）2÷a2的结果为（）A．9a4 B．-9a4 C．6a4 D．9a34．下列计算正确的是（）A．（8a3b8）÷（4ab4）=2a2b2 B．（8a3b8）÷（4ab4）=2a3b4C．（-2x2y4）÷（-12xy2）=xy2 D．（-a4b5c）÷（a2b3）=-a2b2c5．下列计算27a8÷13a3÷9a2的顺序不正确的是（）A．（27÷13÷9）a8-3-2 B．（27a8÷13a3）÷9a2C．27a8÷（13a3÷9a2） D．（27a8÷9a2）÷13a36．32a2b2c÷4ab=__________．7．（16a2b4+8a4b2-4a2b2）÷（-4a2b2）=_________．8．一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为2abcm，则它的周长为_______cm．9．计算：（1）12a4b3c2÷（-3a2bc2）；（2）（32a n+3-2a n+1）÷（-13a n-1）；（3）7.2×1012÷（-3.6×109）；（4）（-13xy4）3÷（16xy4）2·y3．三、能力训练10．已知4a3b m÷36a n b2=19b2，则m、n的值为（）A．m=4，n=3 B．m=4，n=1 C．m=1，n=3 D．m=2，n=3 11．若n为正整数，则（-5）n+1÷[5（-5）n]=（）A．5n+1 B．0 C．-5n+1 D．-112．化简求值：（34a4b7+12a3b8-19a2b6）÷（-13ab3）2，其中a=12，b=-4．13．8x6y4z÷（）=4x2y2，括号内应填的代数式为（）A．2x3y2z B．2x3y2 C．2x4y2z D．12x4y2z四、综合训练14．（1）（-52a a+1b2）2÷（-12a n b2）2·（-15a mb n）2（2）[5a4（a2-4）+（-2a2）5÷（-a）2]÷（-2a2）2．15．已知被除式是x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式．。
《整式的除法》教学反思
《整式的除法》教学反思《整式的除法》教学反思1整式的除法只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式。
重点是单项式除以单项式，而多除以单项式则通过转化为单项式除以单项式来计算。
1、单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意（1）数字系数：相除（2）相同字母：同底数幂相除（3）只在被除式里出现的幂：不变2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即：（a＋b＋c）÷m=a÷m＋b÷m＋c÷m（m≠0）3、尽量让学生到黑板上板演，从中找到他们在解题过程中暴露的问题，及时得到纠正。
本节综合性较强，内容看似简单，其实学生存在的问题很多。
《整式的除法》教学反思2教学不应仅仅传授课本上的知识内容，而应该在传授知识内容的同时，注意对学生综合能力的培养。
在本节课中，教师并没有直接将运算法则告诉学生，而是由学生利用已有知识探究得到。
在探究过程中，学生的数学思想得到了进一步的拓展，学生的综合能力得到了进一步的提高。
当然一节课的提高并不显著，但只要坚持这种方式方法，最终会有一个美好的结果。
在教学中，有意识、有计划的设计教学活动，引导学生体会单项式乘法与单项式除法之间的联系与区别，感受数学的整体性，不断丰富学生的解题策略，提高解决问题的能力。
在课堂教学中应当把更多时间交给学生。
本节课中计算法则的探究，例题的讲解，习题的完成，知识的总结尽可能的全部由学生完成，教师所起的作用是点拨，评价和指导。
这样做，可以更好的体现以学生为中心的教学思想，能更好的提高学生的综合能力。
《整式的除法》教学反思3这个学期，我就《整式的除法》上了一节公开课，教材选自人教版八年级上§15.3的教学内容。
完成教学后，结合多次的实施情况和老师们的研讨，我萌发了一点思考。
整式的乘法与除法
整式的乘法与除法整式是由数字、变量和运算符（+、-、*、/）组成的代数表达式，而整式的乘法与除法是整式运算的两种基本操作。
了解整式的乘法与除法的规则和方法，可以帮助我们更好地理解和解决代数问题。
本文将介绍整式的乘法与除法的规则及其应用。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到的结果。
在整式的乘法中，我们需要掌握以下几个规则：1. 相同项的乘法：将同类项的系数相乘，对应变量的指数相加，并保持未知量的字母不变。
例如，(2x^2y)(3xy^2) = 6x^3y^3。
2. 不同项的乘法：将一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘，并将结果整理成一个整式。
例如，(2x + 3)(4x - 5) = 8x^2 - 10x + 12x -15 = 8x^2 + 2x - 15。
3. 乘法分配律：若a、b和c为任意的整数或整式，则a(b + c) = ab+ ac。
即将一个整式与另一个整式的和相乘，相当于将该整式与另一个整式的每一项分别相乘，然后将结果相加。
例如，3(2x + 5) = 6x + 15。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
整式的除法通常使用长除法的方法进行计算，具体步骤如下：1. 将被除式与除式按照变量的指数从高到低排列。
2. 将被除数的第一个项除以除数的第一个项，得到商式的第一项。
将商式的第一项乘以除数，得到一个临时的乘积。
3. 将临时乘积与被除式进行相减，得到新的多项式。
4. 将新的多项式的第一个项除以除数的第一个项，得到商式的第二项。
将商式的第二项乘以除数，得到另一个临时的乘积。
5. 重复以上步骤，直到无法继续相减为止。
此时得到的商式为最终的商式，余式为未相减的多项式。
例如，我们将(3x^2 - 2x + 5)除以(x - 1)：3x - 1_________x - 1 | 3x^2 - 2x + 5- (3x^2 - 3x)________x + 5所以，商式为3x - 1，余式为x + 5。
整式的除法(课件)八年级数学上册(人教版)
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
思考 上式中a为什么不能为0？ 若a为0，则除数为0，除法就没意义.
当a≠0时，am ÷ am= am-m= a0 .
规定
a0=1
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
例1 计算： (1)x8 ÷x2 ;
(2) (ab)5 ÷(ab)2.
解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6; (2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.
解：原式＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y， ＝x－y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得 原式＝x－y＝2015－2014＝1.
归纳总结
多项式除以单项式的“四注意”
(1)多项式除以单项式要转化为单项式除以单项式； (2)多项式是几项，所得的商就有几项； (3)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时 要带着符号与单项式相除，注意符号的变化； (4)注意运算顺序．
课堂练习
1．计算(3ab－2a)÷a的结果是( C )
A．a
B．b
C．3b－2 D．3b－2a
2．计算(6x3y－3xy2)÷3xy的结果是( B )
A．6x2－y B．2x2－y
C．2x2＋y D．2x2－xy
3．计算： (1)(6x4－8x3)÷(－2x2)＝ －3x2＋4；x (2)(－2x3y2－3x2y2)÷2xy＝－x2y－32xy； (3)(6m2n－6m2n2－3m2)÷(－3m2)＝ －2n＋2n2＋．1
单项式除以单项式的法则
单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式.
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的 幂 被除式的系数 底数不变，保留在商里
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八年级实验班竞赛专题
----整式的除法
1．一元多项式
我们把形如：()1
1100n n n n a x a x a x a a --⎡⎤++++≠⎣⎦ 的整式称为关于x 的一元n
次多项式，记作()()f x g x ，即1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，并记当x a
=时，多项式的值为()f a 。
如多项式2()352f x x x =--，
当1x =时，()f x 的值为2(1)315124f =--=- 。
2．普通除法与综合除法
将整数的带余数除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的普通除法，其关系式为：()()()()f x g x q x r x =+ ，其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且()r x 的次数小于()g x 的次数。
特别地，当()0r x ≡时，称()f x 能被()g x 整除，或称()g x 整除()f x ，记作
()()g x f x 。
当()g x x a =-时，余式()r x 为一常数。
【例1】：设42()232f x x x x =+-+，求()f x 除以223x x -+所得的商式和余式。
313x --
因此，所求商式()2245q x x x =++，余式()313r x x =--。
【例2】：已知2210x x +-=，计算：
10987623(222361)(1)(43)x x x x x x x x x x ⎡⎤+--++++÷+-+⎣⎦。
一个一元多项式除以一个一元一次式有一种简便的计算方法——综合除法，先看一个比较简间的情况。
设多项式2210a x a x a ++，求其除以x a -的商式和余式。
用普通除法来计算：
所以商式是：212()a x a a a ++，余式是：012()a a a a a ++。
我们年到上述普通除法的计算只是在系数之间进行的，把这个演算简化一下可写成
这里，第一行是被除式按降幂排列时各项的系数（如果有缺项必须用零补足）计算时，先将第一行的第一个数移至第三行的第一个位置，然后乘以a ，将乘积2a a 写在第二行第二个位置
（第一个位置空着），再将2a a 加上第一行的第二个数，写在第三行的第二个位置上，仿此继续，算得的第三行就是商式各项的系数及余数，用这种算式进行的除法叫做综合除法。
【例3】：计算(1) ()()433715202x x x x +--÷+；
(2) ()
()432
653421x x x x x ---+÷+。
所以，商式是32133424x x x -+
-，余数是194。
注意：如果除式是qx p +的形式，就先把qx p +化成()p
q x q
+
的形式，再把p
x q
+
作为除式做综合除法，然后把所得商式除以q 就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数（即余数不变）。
【例4】：确定m 的值，使多项式5433811x x x x m ++++被2x +除得的余数为3m 。
3、余数定理和因式定理
余数定理：多项式()f x 除以x a -所得的余数等于()f a 。
证明：因为()()1
1100n n n n f a a a a a a a a ---++++=
，所以 11110110()()()n n n n n n n n f x a x a x a x a a a a a a a a f a ----=++++-+++++ 1111()()()()n n n n n n a x a a x a a x a f a ---=-+-++-+
由 11n n n n x a x a x a x a x a x a -------- ，，
，， 因此，()f x 除以x a -所得的余数为()f a 。
用余数定理来解例4就方便多了。
设多项式为()f x ，由已知，有
543(2)(2)3(2)8(2)11(2)3f m m -=-+-+-+-+= ， 所以，35m =-。
作为余数定理的推论，我们有
因式定理 如果x a =时，多项式()f x 的值为零，即()0f a =，则()f x 能被x a -整除（即()f x 含有因式x a -）。
【例5】：证明23x +为多项式43225101518x x x x --++的因式。
当10n n a a a a - ，，，，为整数时，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 叫做整系数多项式，对于整系数多项式，可以利用下述定理，求它的有理根。
定理 设()f x 是整系数多项式，若p
x q
=
（p q ，是互质整数）是它的根，则p 是首项系数n a 的约数，q 是末项系数0a 的约数。
证：由所设条件，有
1110()()()0n n n n q q q q f a a a a p p p p
--=++++= ， 两边乘以n p ，得
111100n n n n n n a q a pq a p q a p ---++++= ∵ p 能整除11110n n n n a pq a p q a p ---+++ ， ∴ p 能整除n n a q ，
又 ∵ p q ，互质，∴ p 能整除n a ，即p 是n a 的约数。
同理可证，0q a 。
推论 对于首项系数为1的整系数多项式1110n n n x a x a x a --++++ ，若整数0
x 是它的根，则00x a 。
【例6】：分解因式31930x x --
【例7】：分解因式43293732x x x x -+--
【例8】：已知多项式32()4715f x ax bx x =+--可被31x +和23x -整除，求a b ，的值，并对此分解因式。
所以，()()()()312345f x x x x =+-+
【例9】：已知554x qx r -+能被2()x c -整除，求证：54q r =。
整式的除法练习题：
1．用综合除法求下列各式的商式和余式： （1）543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+ （2）32(3102316)(32)x x x x +-+÷-
（3）5432(2098123512)(56)x x x x x x +-+--÷+
2．求32(31)(321)x x x x x ---÷-+的商式()q x 和余式()r x 。
3．已知5432()933210276f x x x x x x =+-++-，求4
()3
f 。
4．利用因式定理分解下列因式：
（1）354x x -+ （2）322912x x x -++ （3）3246a a a -++ （4）43233116a a a a +--- （5）3222223(3)()x qx p q x p p q ++-+- （6）43243151x x x ++- 5．已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值。
6．设2()()f x x px q p q Z =++∈，是多项式42625x x ++与4234285x x x +++的因式，求()f x 。
7．已知多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别是1，2，求()f x 除以
(1)(2)x x --所得的余式。
练习答案与提示：
1．（1）商式＝432242x x x x ++-+ （2）商式＝245x x +-，余数＝6 （3）商式＝4224327x x x -+-，余数＝30
2．17262(),()3999q x x r x x =-=--
3．458()33
f =
4．（1）2(1)(4)x x x -+-；（2）(1)(4)(23)x x x +-- （3）(1)(2)(3)a a a +--；（4）2(1)(3)(2)a a a ++-
（5）()()()x p x p q x p q ++++-；（6）32(41)(41)x x x x +-+- 5．70
6．2()25f x x x =-+ 7．()r x x =。