病毒扩散与传播的控制模型

病毒扩散与传播的控制模型
摘 要
随着科技的发展，病毒扩散与传播越来越受到人们的关注。

本文通过建立微分方程模型，描述了病毒扩散与传播的过程，最后通过分析，得到了控制病毒扩散与传播的方法。

1、 面对着当今社会各种疾病的困扰，随着科技的发展对病毒的研究越来越深入，人们对病毒扩散与传播更加关注。

2、 本文通过建立微分方程模型，描述了病毒扩散与传播的过程，最后通过分析，得到了控制病毒扩散与传播的方法。

3、 对于问题一，我们小组认真讨论并分析了影响模型的变量因素，从而建立了微分方程模型。

4、 对于问题二，我们小组通过认真讨论增加了几个相关变量因素并修正了微分方程模型，将条件中的已知变量的初始值（此时隔离强度为40%）代入微分方程模型得出结果，结果显示在第13天得到确诊患者人数达到最大。

5、 对于问题三，我们通过将隔离强度由原先的40%改为30%，代入之前建立好的微分方程模型可以知道在第11-12天确诊患者人数达到最大。

然后按照题目要求把隔离强度改为60%代入先前已建立好的微分方程模型，得到在第15天左右确诊患者人数达到最大值。

6、 对于问题四，我们是基于问题三的基础上得到相应的减轻疫情的方法和建议，从而更好地为社会服务。

关键词： 微分方程模型 微分方程组求解（MATLAB ）
一．问题的重述
2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能．现在假设有一种未知的病毒潜伏期为1a --2a 天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触，例如握手、拥抱传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ (λ为感染率) ．为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人．潜伏期内的患者被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）．
要求：
1、 在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型．
2、 利用你所建立的模型对如下数据进行模拟：
1231,10,30,10,40%,50%a a a r p λ======, 初始发病人数900，疑似患者2100，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔离．由上面的数据请给出患者人数随时间变化的曲线，并分析所给结果的合理性． 3、 隔离强度改为30%和60%，患者人数将有何变化． 4、 请据此模型，给出控制H7N9传播的建议．
二．模型的假设
1.某区域内假设人数不变，不考虑出、生死亡率、迁入和迁出率。

2.时间以天为计时单位；定义疑似患者是被病毒感染，但是没有发病的人；
3.人群中只有未被隔离的疑似患者传染疾病。

定义因接触而被感染的患者为疑似患者。

4.不存在二次感染，治愈者具有完全免疫能力。

假设疑似患者接触的都是正常人。

5.将人群分四类：
确诊患者（感病者，被隔离，不具有传染性）
疑似患者（感病者，具有传染性，默认和潜伏期患者一致） 退出者：治愈者和死亡者（不具有传染性，且不被感染） 正常者（易感者，受感染）
三、符号约定
I:确诊患者
S:疑似患者（潜伏期患者） R:治愈者 D:死亡者 H ：正常者
人群总数：N 感染率：λ 隔离强度：p
人群人均每天接触人数：r 平均潜伏期：
12
2
a a +（潜伏期12a a -） 痊愈率：
1
3
a （痊愈时间3a ） 四．模型建立与求解
由题意知：
S+I+R+H+D=N
根据假设，分析
4.1.1单位时间确诊患者人数的变化：
确诊患者在人群中的数量决定于疑似患者与治愈者的数量。

t+t 21
t 123t t
t t a a a S I I I ∆=
∆-∆+-
dI
dt
=潜伏期患者转化为确诊患者人数⨯确诊患者转化为治愈者或死亡者人数， 两边同除以t ∆，取极限使得0
lim t ∆→即：
dI dt =212S a a +13
I a - 式中，平均潜伏期为122a a +，表示单位时间内潜伏期患者以常数2
12
a a +，转化为确诊患者。

4.1.2 单位时间内疑似患者人数变化：
人群中疑似患者数量决定于未被隔离的疑似患者和疑似患者发病的数量。

2(1)12
t t t t t p r t t a a S s s s λ+∆=-∆-
∆+-
两边同除以t ∆，取极限使得0
lim t ∆→，
2(1)12
ds s
p rS dt a a λ=--
+
4.1.3单位时间治愈者人数变化：
治愈者在人群中的数量决定于确诊患者被治愈的数量。

t+1
t 3t t t
a R R I ∆-=
∆ 两边同除以t ∆，取极限使得0
lim t ∆→，
dR dt =13
I a 式中，dR
dt
为确诊患者的痊愈率。

4.1.4 单位时间内正常人数的变化：
正常者的数量决定于未被隔离的疑似患者的数量。

t+(1)t
t t p r t s H
H λ∆-=--∆
两边同除以t ∆，取极限使得0
lim t ∆→，
(1)dH
S p r dt
λ=--
4.1.5死亡者人数
死亡者的比例则是人群中每一时刻人群原来整数减去疑似患者、确诊患者、治愈者、正常人人数的比例。

即：
D N-S-I-R-H =
微分方程 综合如下：
2(1)
12
ds s
p rS dt a a λ=--
+
dI dt =212S a a +13
I a - dR dt =13I a (1)dH
S p r dt
λ=-- 1D S I R H =----
至此，我们初步建立了病毒的传播与扩散的控制模型。

4.2问题二的模型建立与修改
在前面问题的基础上，再给出患者2天后入院，疑似患者2天后被隔离这一条件，
我们做出如下修正：
以两天后患者2I 和疑似患者2S 为初始值:
'
11
0210
100
100'
10211212
3
2123
2r 12
2r 12
a a a a a a a a a a S I
I I I S I I I S S S S S S S S S λλ==+-
+=+
-+=+-+=+-+=
考虑到患者
1
t
天后入院，所以治愈时间变为
1
3
t a +：
修正微分方程变成：
2(1)12ds s
p rS dt a a λ=--
+ dI dt =212S a a +31
1I a t -+ dR dt =1
31I a t + (1)dH
S p r dt
λ=-- 1D S I R H =----
补充初始条件：
'1
10
212123
a a a S I I
I I ==+
-+3091=71957=
'
102112r 12
a a S S S S S λ=+-
+=71957=
1231,10,30,10,40%,50%
a a a r p λ======
0R
= 60%P =,
0D
=
用MA TLAB 求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线，
,
问题二的结果
4.3 问题三的模型建立与求解
因为只有隔离强度发生了改变，所以微分方程仍然使用。

用MA TLAB 求解此微分方程模型，可以得到患者人数随时间变化的曲线，
问题三的结果（30%
P=）
问题四的结果(60%
P=)
可见，隔离强度的增强延缓了患者和疑似患者的增长速度，当然，数量也降低不少。

图中患者曲线的起始点（0,900）代表确诊患者初始值，在第15天，人数多达680万，在0至15天，确诊人数持续递增，之后患者数目递减。

列出数据如下：
问题和影响因素患病人数最大
时刻（天）
患病人数最大
值（人）
t=150时患病
人数
t天后开始隔离、
治愈
隔离强
度p
疑似患者
日均接触
人数
问题二15 6793000 116800 2 50% 10 问题三15 6829000 108400 2 30% 10 问题三15 6745000 116200 2 60% 10
4.4问题四的模型建立与求解
通过上述微分方程与图形的结合分析，得出如下建议：
1.确诊患者与疑似患者应该尽早隔离。

2.减少患者每天接触的人数。

3.提高隔离强度。

通过这三条途径，可以缓解病情。

五．模型评价
优点：
该模型基于假设，推出了四个微分方程，通过严格的控制变量，讨论了各种因素对五类人的影响因素。

我们的通过建模绘制出来的图形接近真实情况，在小范围内误差较小，近似可用。

缺点：
该微分方程的修正式并不完美，我们的前提是把疑似患者于潜伏期患者一致化，事实上二者有区别。

再者，我们建立的微分方程在较大的容量内即人群中，存在较大误差。

另外，我们不考虑死亡率与迁入迁出率，不太符合实际情况。

六．参考文献
1）谈永基，蔡志杰，《数学模型》（第三版），复旦大学出版社，2005。